1章データの整理

5章母数の推定
(Estimation Of Parameters)
5.4平均と分散の推定
■母平均の区間推定（小標本法）
μ
n =4
s =σ
左 2.5% 線
内側: 正規分布
外側: t 分布
μH
95%
信頼帯
右 2.5% 線
内側: 正規分布
外側: t 分布
μ の 95%
信頼区間
μL
95%
信頼帯
o
_
x
_
X
数式による導出
 X 

P T ≦ to   P 
≦ to 

S/ n


自由度 n 1 の t 分布


 P  t S / n ≦   X ≦ t S / n 
 PX  t S / n ≦  ≦ X  t S / n 
 P   X ≦ to S / n
o
o
o

o
定理母平均 μ の信頼区間（小標本法）
母集団分布形：正規分布
[ –to, to ]：自由度 n – 1 の(Student の) t 分布の
中央100β % 区間
S
S 

P  X  to
≦  ≦ X  to

n
n

t分布の確率密度曲線 f(t; 自由度)
0.5
実際的な表現
標準正規
f(t;10)
f(t;4)
f(t;2)
f(t;1)
0.4
0.3
  X  to
S
n
0.2
100 %信頼区間
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t
母平均 μ の100β % 信頼区間
（母標準偏差 σ は未知）
大標本法 (n > 25)
zo ：標準正規分布中央100β % 区間右端
母標準偏差 σ ：標本標準偏差 s で近似
μ  x  zo
s
μ  x  to
s
n
小標本法 (n ≦ 25)
to ：自由度 n – 1 の t 分布中央100β % 区間右端
n
小学6年生の身長の分布：
n = 25 人の標本
標本平均 146 cm
標本標準偏差 7 cm が得られた。
μ に関する 95% 信頼区間を
大標本法と小標本法によって求めよ。
大標本法）標準正規分布 95%点 zo ≒ 1.96
μ に関する 95%信頼区間
s
7
  x  zo
 146 1.96
 146 2.744 (cm)
例
n
25
小標本法）自由度 n - 1 の t 分布 95%点 to ≒ 2.064
μ に関する 95%信頼区間
s
7
  x  to
 146 2.064
 146 2.8896 (cm)
n
25

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