5章 母数の推定
(Estimation Of Parameters)
5.5 成功率の推定
例：内閣支持率
視聴率など
無作為抽出値 Y … 確率変数
PY  0  p, PY  1  1  p  q
E[Y ]  p, V [Y ]  pq
サイズ n の無作為標本 {Y1, Y2, …, Yn}
標本合計 x  Y1  Y2    Yn
試行回数 n 成功の確率 p の二項分布
E[ x]  np, V[ x]  npq
ˆ  x / n  (Y1  Y2    Yn ) / n
標本平均 p
pq
E[ pˆ ]  p, V[ pˆ ] 
n
母成功率(母割合) p の不偏・一致推定量
母割合（母成功率） p の 95% 信頼区間
p の 100 β % = 100 (1 – α) % 信頼区間
Clopper-Pearson法（直接確率計算法）
二項分布の分布関数 B(x; n, p)
B( x – 1 ; n, pL ) = 1 – (α / 2)
B( x; n, pH ) = α / 2
となる pL, pH をコンピュータで計算
正規近似法
zo : 標準正規分布 中央100 β % 右端
p  pˆ  zo
pˆ (1  pˆ )
n
例1
NO
YES
全有権者→ 無作為に千人
内閣支持率 48%
全有権者の内閣支持率 p
に関する 95%信頼区間。
正規近似法
中央 95% (β = 0.95) 標準正規分布右端値:
zo = 1.96
ˆ (1  p
ˆ)
p
0.48(1  0.48)
ˆ  zo
p p
 0.48  1.96
n
1000
 0.48  0.0310
p = [ 0.4490, 0.5110 ] ≒ [ 45%, 51% ]
Clopper-Pearson法
p = [ 0.4486, 0.5115 ] ≒ [ 45%, 51% ]
5.6 観測個数 n の決定
信頼区間巾 2D → 必要な標本サイズ n
pˆ (1  pˆ )
p  pˆ  zo
 pˆ  D
n
ˆ (1  pˆ )
2
2 p
D  zo
n
zo 

n  pˆ (1  pˆ ) 
 D
2
例2
NO
YES
全有権者→ 無作為に千人
内閣支持率 48%
「95%信頼区間：推定値 ± 1pt」
となる標本サイズ n。
zo 

n  pˆ (1  pˆ ) 
 D
2
pˆ  0.48, 95%信頼区間 zo  1.96, D  0.01
2
 1.96 
n  0.48(1  0.48) 
  9588.634
 0.01 
n = 9589人の調査が必要
例3
NO
YES
新内閣発足, 内閣支持率 p
「95%信頼区間：推定値±2pt」
となる標本サイズ n
zo 

ˆ)  
n 
pˆ
(1

p
  D
最大値0≦ pˆ ≦1
2
1
1
pˆ  の時 2
4
2
1  1.96 
n 
  2401人の調査が必要
4  0.02 

1章 データの整理