東邦大学理学部情報科学科白柳研究室 5510039 小泉宏美  対称群の元の最大位数を求める際に、自力で計算するには非効率であり、そのためのプログラムをつくり研究につなげることにした。  対称群の元の位数のうち最大のものを、Mapleによりプログラムし、位数に関する性質を調べる。群における元aの位数とは axが単位元となる最小の自然数ｘ [定理]対称群の任意の元を互いに素な巡回置換の積で表したとき、その元の位数は、それぞれの巡回置換の位数の最小公倍数となる。（cf.Robinson,An Introduction to Abstrsct Algebra） 1234567 5617324 積 (1 5 3)(2 6)(4 7) 3 2 2 最小公倍数の６が位数 n 最大位数 17 1 1 18 2 2 19 3 3 4 5 210 210 34 35 9240 9240 36 13860 20 420 420 37 13860 4 21 420 38 16380 22 420 840 39 16380 6 6 6 40 27720 7 12 24 41 30030 8 15 25 42 32760 9 20 26 840 1260 1260 43 10 30 30 27 1540 44 28 2310 45 60060 60060 60060 29 2520 46 13 60 60 30 47 14 84 31 4620 4620 15 105 32 49 16 140 33 5460 5460 120120 180180 50 180180 180180 11 12 23 48 60060 120120 位数で表すと、、、 (1 5 3)(2 6)(4 7) [3 2 2] ｎ巡回置換を位数で表した組み合わせ 6 [6],[1,2,3] 11 [1,2,3,5],[5,6] 18 [1,2,3,5,7], [5,6,7] 21 [2,3,4,5,7], [1,1,3,4,5,7] 22 [4,5,6,7], [3,3,4,5,7], [1,2,3,4,5,7], [1,1,1,3,4,5,7] 45 [2,3,4,5,7,11,13],[1,1,3,4,5,7,11,13] 46 [4,5,6,7,11,13],[3,3,4,5,7,11,13],[1,2,3,4,5,7,11,13],[1,1,1,3,4,5,7,11,13] ６次対称群の位数２の元 [2,2,2],[1,1,2,2],[1,1,1,1,2] [2,2,2] …（1 2)(3 4)(5 6) C ・（2−1）!・ 4C2・（2−1）!・ 2C2・（2−1）! ３！ 6 2 ＝１５ [1,1,2,2] 6C2・（2−1）!・ 4C2・（2−1）! ＝４５２！ [1,1,1,1,2] 6C2・（2-1）! ＝１５ 15+45+15=75 ｎ 6 11 18 21 22 45 46 組み合わせ [6] [1,2,3] [1,2,3,5] [5,6] [1,2,3,5,7] [5,6,7] [2,3,4,5,7] [1,1,3,4,5,7] [4,5,6,7] [3,3,4,5,7] [1,2,3,4,5,7] [1,1,1,3,4,5,7] [2,3,4,5,7,11,13] [1,1,3,4,5,7,11,13] [4,5,6,7,11,13] [3,3,4,5,7,11,13] [1,2,3,4,5,7,11,13] [1,1,1,3,4,5,7,11,13] 元の個数 120 120 1330560 1330560 30487493836800 30487493836800 60822550204416000 60822550204416000 446032034832384000 1338096104497152000 446032034832384000 1338096104497152000 995855984561107180835524154975505453416448000000000 995855984561107180835524154975505453416448000000000 15269791763270310106144703709624416952385536000000000 45809375289810930318434111128873250857156608000000000 15269791763270310106144703709624416952385536000000000 45809375289810930318434111128873250857156608000000000 最大位数に関して、ところどころに異なる対称群に対して等しい最大位数が連続する部分がいくつかあった。  １つの最大位数に対して巡回置換の組み合わせが２個存在する場合はそれらの元の個数は等しくなり、組み合わせが４個存在する場合は元の個数が等しくなるものが２組ずつあった。  Ｓ18以降からだんだん位数分布の類似性がでてきた。  Ｓ50になると１０５６種類の位数の中でたった数個の位数だけが際立って多くの元をもち、それはＳ50の位数のうち比較的小さな位数ばかりであった。  今後はプログラムを改良し、Ｓ50以降のグラフについても調べていきたい。 