Bi-CR法の積型解法への 準最小残差アプローチの適用 南 さつき、曽我部知広、杉原正顯、張紹良 東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻 発表の流れ 1. 研究の背景 大規模線型方程式の数値解法（Krylov部分空間法） 2. 積型解法への準最小残差アプローチの適用 ・ Bi-CG法系統への適用：TFQMR法、QMRCGSTAB法 ・ Bi-CR法系統への適用：各解法 3. 数値実験 4. まとめと今後の課題 連立一次方程式の数値解法 Krylov部分空間法 A AH CG法 A AH Bi-CG法 積型解法 Bi-CR法 CR法 積型解法 MINRES法 GMRES法 Krylov部分空間法 Krylov部分空間： １．基底 を生成 基底アルゴリズム （ランチョス原理、アーノルディ原理･･･） ２．近似解を構成 残差条件 （Ritz-Galerkin条件、残差最小条件･･･） 研究概要 PGアプローチ ＋ 各積型解法の条件 QMRアプローチ ＋ QMRアプローチ 双ランチョス原理 × 積型部分 CGS法 Bi-CGSTAB法 GPBi-CG法 TFQMR法 QMRCGSTAB法 A-双直交原理 × 積型部分 CRS法 Bi-CRSTAB法 GPBi-CR法 残差条件 基底 新たな解法 Bi-CR法の積型解法 定義： Bi-CR部分：残差多項式 積型部分：加速多項式 Bi-CR法の積型解法 基底アルゴリズム 定義： Bi-CR部分： A – 双直交原理 ：A-双直交原理の中で計算される (n+1)×nの三重対角行列 積型部分：積型原理 ：積型部分により計算される (n+1)×nの三重対角行列 Bi-CR法の積型解法 残差条件 定義： Bi-CR部分：Petrov-Galerkinアプローチ 積型部分：各解法の条件 Bi-CR法の積型解法への QMRアプローチの適用 基底アルゴリズム 残差条件 Bi-CR部分 Bi-CR部分 A-双直交 Bi-CR法の 原理 積型解法の 基底 積型部分 アルゴリズム Petrov-Galerkin アプローチ QMR アプローチ 積型原理 積型部分 各積型解法 の条件 Bi-CR法の 新しい解法 積型解法 Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用 基底アルゴリズムの式 A-双直交原理 積型原理 基底アルゴリズム： ：対角要素 、下対角要素に を持つ(m+1)×m下三重対角行列 Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用 QMRアプローチ 基底アルゴリズム： 残差条件：準最小残差アプローチ 近似解 残差 擬似残差 Bi-CR法の積型解法へのQMRアプローチの適用 各解法の定義 パラメータ の選び方によって各解法が導かれる の選び方 TFCRQMR法 QMRCRSTAB法 QMRGPBi-CR法 QMRアプローチ Bi-CR法の積型解法 （Second QMR and update iterate) （First QMR and update iterate) 各解法の分類 (First QMR and update iterate) (Second QMR and update iterate) 各解法の分類 の計算 TFCRQMR法 QMRCRSTAB法 QMRGPBi-CR法 実験環境 CPU メモリ コンパイラ 行列 初期解 ベクトル 右辺ベクトル 収束判定 解法 Intel (R) Xeon (TM) 2.66GHz 512MB Fortran77 倍精度 Matrix Market 0 と同じ CGS、TFQMR、CRS、TFCRQMR 実験結果 – Matrix Market CGS Iter. TRR add20 474 -9.6 bfw398a 235 -8.3 bfw782a 394 -7.8 cavity17 6714 -2.7 fidap001 1057 -6.2 fidap022 2350 -5.8 fidap037 73 -12.2 orsirr2 × -1.9 pde2961 309 -3.2 pde900 137 -4.8 sherman4 165 -10.2 sherman5 2151 -6.7 TFQMR Iter. TRR × -9.5 × -8.2 × -9.5 × -0.3 × -6.7 × -4.2 71 -12.1 × -5.4 × -3.2 × -4.8 × -10.1 × -5.1 CRS Iter. TRR 419 -11.9 185 -10.9 321 -7.8 7085 -6.4 703 -10.7 1775 -11.5 71 -13.0 1214 -8.1 273 -7.9 128 -6.9 151 -10.3 1944 -7.8 TFCRQMR Iter. TRR 388 -11.9 × -10.8 × -11.3 × -7.6 × -11.7 × -11.1 68 -12.2 × -9.7 × -7.4 × -6.6 × -10.3 × -10.1 Matrix Market SHERMAN5：油層シミュレーション Size 3312 Non Zeros Type 20793 real unsymmetric Matrix Market SHERMAN5：油層シミュレーション CGS -6.7 TRR TFQMR CRS -5.1 -7.8 6 TFCRQMR -10.1 CGS TFQMR CRS TFCRQMR 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 0 500 1000 1500 Iteration No. 2000 2500 まとめ QMRアプローチをBi-CR法の積型解法に適用す る一般的な方法を示した 数値実験よりTFCRQMR法は ・ 他の３解法に比べて高い精度 ・ CRS法よりも滑らかな収束性 ・ CRS法と比べてより正確に真の相対残差の 振る舞いを反映 を示した 今後の課題 QMRCRSTAB法・QMRGPBi-CR法に ついても数値実験を行い、性能評価
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