Primordial Magnetic Field and Extra

「超弦理論と宇宙」
尾道, 2008.２.11
宇宙背景重力波と弦理論
早田
次郎
京都大学理学研究科
1
なぜ宇宙背景重力波と弦理論か?
重力波の存在はほぼ確実
直接観測ももうすぐ
重力波天文学の幕開け
 Chaotic inflation は宇宙背景重力波を予言する
重力波は宇宙の進化の過程でほとんど相互作用しない
GWを観測することは難しい!
しかし不可能ではない!!
と信じよう
宇宙の始まりを見ることができる！
重力波を使った観測的宇宙論の幕開け
 弦理論では原始背景重力波はできない？
つい最近まで超弦理論でインフレーションは無理だと
言われていたことを忘れてはならない。。。
もし見つかったら？
2
A perspective on string cosmology
singularity
Non-inflation
Non-geometry
String theory
AdS/CFT, Matrix?
supergravity
String gas
cosmology
Pre-big-bang
cosmology
Ekpyrotic or cyclic cosmology
geometry
D-brane inflation
Inflation
Field theory
old inflation
new inflation
chaotic inflation
hybrid inflation
………
Cosmological observations
Primordial GW
LSS, CMB, 21cm, etc.
3
Plan of this talk

Gravitational waves (GW)

Inflation: a paradigm

Inflation in DBI theory --- scalar sector modification

Inflation in GB-CS theory --- gravity sector modification

Inflation in supergravity

Inflation in superstring

Non-inflation?

Summary
4
参考文献
H.Tye, hep-th/0610221
 J.Cline, hep-th/0612129
 R.Kallosh, hep-th/0702059
 C.Burgess, 0708.2865
 L.McAllister&E.Silverstein, 0710.2951

5
Gravitational waves
6
Astrophysical sources
Ex. NS binary
M
f
1/ G
t ff
Free fall time scale
M
G 3
R
M
frequency
6.6 10
f
M
G
R 10km
11
1030
 43
10
104 Hz
ソースが 100Mpc の距離にあるとすると, 重力波の振幅はだいたい
Ex. White dwarf binary
f
0.6M
LIGO range
h 1022
R 105 km
103 Hz
LISA range
Ex. Giant BH binary
f
M
106 M
R 107 km
103 Hz
7
Cosmological sources
For cosmological source, a typical frequency would be
The observed frequency is redshifted to
In the thermal case, we have
Ex.
EW scale
T
102 GeV
fobs
f obs
Ha
Ha
fobs
G
f
H
a
 T
T0
1044 
M
T
 p



2
103 Hz
log f obs
inflation
LIGO
LISA
inflation
cosmo
astro
CMB
log a
8
How to quantify GW?
1
df d GW ( f )
hij hij  
32 G
f d log f
Energy density of GW
GW 
Density parameter
GW ( f ) 
Let us define
hc
by
8 G d GW ( f )
3H 02 d log f
2
d GW ( f ) hc  2 f 

d log f
32 G
2
20
hc  1.5 10
GW
 f 


 100Hz 
1
It allows us to compare the amplitude of point sources and cosmological ones.
f
Ex.
103 Hz
GW
1014
hc 1022
Detector sensitivity
LISA
GW
1011
at 1 mHz
BBO
GW
1015
at 0.1 Hz
GW
1020
at 0.1 Hz
Ultimate DECIGO
9
Primordial GW
RD
1
1
H  2
2t a
Ph  1/ f
MD
2
1
H   3/ 2
3t a
Ph  1/ f
2
4
h  const.
a
k
H 1
h
RD
1
a
t
MD
Pulsar timing
BBN bound
LIGO II
CMB bound
LISA
f 2
f0
DECIGO/BBO
Inflation origin
10
Inflation: a paradigm
11
Inflation in field theory
S
1
 1 

4
4
d
x

g
R

d
x

g
      V ( ) 



16 G
 2

ds 2   dt 2  a 2 (t )  dx 2  dy 2  dz 2 
一様等方宇宙
dynamics
H2 
1 1 2

  V ( )
2 
3M p  2

  3H  V '( )  0
quasi-deSitter universe a(t )  eH t
H
tf
N   Hdt
dN   Hdt
t
H
d log H 3   p
1 2
1  d 
 2 



dN
2 
H
2 M p2 H 2 2 M p2  dN 

 p p
d log 
d 2  d 
 3    2 2 

dN
dN  dN 
 
  2  4
1
d
V'
 M p2
dN
V
1
M p2  V ' 2

 
2 V 
M p   8 G 
a
a
  M p2
N  50
1/ 2
 2.4 1018 GeV
60
2
1
H2 
1
V ( )
3M p2
  3p  0
slow roll eqs.
V ''
V
12
Origin of fluctuations
length
A free scalar field
Wavelength of
fluctuations
a
   k 2  0
a
   2
'
Super-horizon
  c  decaying mode
a
k
d
d
ds 2  a 2 ( )  d 2   ij dxi dx j 
H 1
Sub-horizon

1
eik
a 2k
Quantum fluctuations
aH  k
Matching at
c
H
2k 3
t
gives
dk k 3
2
H 
0 0 


k


k 2 2
 2 
2
2
13
Amplitude of fluctuations
Curvature perturbations Rc   N  H  t  H
PR 
c
H
4
4 2 2
 H 2

 2

Rc ( x1 )
2
1
Action for GW
The relation
S
8
d
  M pl h / 2
4
  一定
The tensor to the scalar ratio
Density parameter of stochastic GW
N ( x2 )
x hij hij  hij hij 
yields
Tensor perturbations
Rc ( x2 )
H
8 2 M p2
N ( x1 )
M p2
inflation
end   1
h
2 H2
Ph  2 2
 Mp
 ( x1 )
H
 M pl
initial
polarization
8  d 
r
 16  2 

Ph
M p  dN 
PRc
GW
 ( x2 )
104  1010
2
1014
14
Spectral tilt
aH  k
ns  1 
nt 
d log PRc
d log k
d log Ph
d log k
aH  k
d
H2

log
 2  2  4
dN


aH  k
d log k  d log a  dN
 ns  1  6  2
d
r
log H 2  2  
dN
8
CMB constraints
ns  1  6  2
ns  0.95  0.02
nt  2
r  16
r  0.3
15
Example
V
1 2 2
m
2
d
2
 M p2
dN

Inflation end
N
  
2M p2
2
1
N
f
1
 2   f2 
2  i
4M p
1.4M p
i 15M p
56
 
0.01
r
0.14
at COBE scale
ns
0.964
nt
0.02
16
Lyth bound
8  d 
r 2

M p  dN 
2
N
50

Mp
(1)
r
0.01
観測可能な背景重力波が生成されるためには
Large field inflation
Non-slow-roll inflation
17
Other interesting topics

Primordial Gravitational waves from
cosmic strings
Network evolution

Primordial Gravitational waves from the
reheating stage
Colliding branes
18
C.J.Hogan 2006
19
GW generated in the reheating stage
Bellido &Figueroa arXiv:0801.4109
20
Inflation in DBI theory
21
DBI inflation
 M p2

S   d x g 
R  P( X ,  ) 
 2

P   f 1
4
T  g P     P,X
Dynamics

1
X   g     
2
1  2 fX  1  V
E  2 XP, X  P  f 1  1  V
3M p2 H 2  E
H 
E  3H  E  P 
Quasi-deSitter expansion

 
1
1  2 fX
1
 E  P
2M p2
XP, X
 2 P, X
P, X  d  2
H
EP
  2 





H
2M p2 H 2 M p2 H 2 2M p2 H 2 2M p2  dN 

 P, X
P

d log 
 3  w 
d log N
E

1
w
1
1  1  2 fX  fV
  1  fV
22
Fluctuations
Curvature perturbations
H 2 P, X
H2
H2
PRc  2 2  2 2  2
4 
8 M p 8  cs M p2
1
cs 
d
H2
ns  1 
log
 2    s
dN
 cs
Tensor perturbations
Tensor-to-scalar ratio
Non-Gaussianity
L 
1
L 
  G  f NLG2
2 H2
Ph  2 2
 Mp
s
P, X
E, X
 1  2 fX 
1
1

P, X 
d log cs
dN
nt  2
2
P, X  d 2
8  d 
r  16 cs  16cs

  2

2M p2  dN 
M p  dN 
f NL 
1 2
  1
3
 L 
2
3
 L 
3
5
f NL
 3L
 2L
2
2  G2  f NLG3
23
Hamilton-Jacobi equation
運動方程式を解析するために少し工夫が必要

1
1 f  2
 2 1
  2
 f
2
1
1  2 1

H 
E  P  

2
2 
2
2
2M p
2M p  f
2M p
  1  4M p4 f H2
2M p2 H
 
 
Hamilton-Jacobi eq.
3M p2 H 2  f 1 1  4M p4 f H2  f 1  V
24
Example
Mp
 
2 2
p
f 

4
1

2
H
1
  2 
H
c 
2
1 
3m2 
c
1  1 

2M p2 
3  
として
1
1 2 2
m
2
4
4 1 2 2
4 
2
3M c  
1  4M p 4 c   m 


 2
H  c

V

m2
6M p2

a t
t
m
M p2
2
1
  1  4M p4 f H2  2M p2
  

2
r  16  8 
 M 

 p
PRc
1
2 Mp 
fc 

  
c 
t
1  m2 


  M p2 
m2 / 6 M p2
2
109
 109
2
1
f NL
1
Non-Gaussianity 大
2
1
重力波なし
25
Inflation in GB-CS
gravity
Masaki Satoh, Sugumi Kanno and Jiro Soda,
"Circular Polarization of Primordial Gravitational Waves
in String-inspired Inflationary Cosmology",
Phys.Rev. D77, 023526 (2008)
26
String Inspired Model
S
1 4
1 

4
d
x

g
R

d
x

g





V
(

)


 2

2

M p 1
1
1
2
d 4 x  g  ( ) RGB
  d 4 x  g  ( ) R  R

16
16
2
RGB
 R R  4R R  R2
ds 2  a 2 ( )  d 2   ij dxi dx j 
Homogeneous and isotropic universe
Friedman equation
Scalar field equation
1
R  R    R R 
2
1
1

 1
3H 2 1  2 H  '    '2  m2 a 2 2
2
 2a
 2
 '' 2 H  '
H
a'
a
'
d
d
3
H 2 H ' ,  m 2 a 2  0
2
2a
For simplicity, we take a simple model
    4
27
Dynamical Flow in the phase space
Using the cosmic time, we have
Here, H is the physical Hubble.
2
3
3

   H 3,   H 3,   6H 2  2V
2

2
3 4 2

2

H



H ,  H
,


4

1
1




 5H 2  1  H ,    H 2  1  , 2   2V




2
2

1 2 
3

H ,  3H   V '( )  H 4, 
2
2


autonomous
system
  f (, H )
H  g(, H )
28
Numerical Result
Super-inflation regime
3H 3 '  a2 2
 '' 2 H  '
   15   
3
H 2 H ' ,  0
2
2a
5/ 6
a      
Slow roll regime
1/ 6
H
1
6
 0
H 0
What can we expect for the gravitational waves in this background?
29
Polarization of Gravitational Waves
h
Z方向に進行している重力波は、TT gauge でみると
h
ds2  dt 2  dz 2  (1  h )dx2  (1  h )dy 2  2hdxdy
独立な偏極モードはこの２つ。
circular polarization
Right-handed circular polarization
hR  h  ih
hL  h  ih
Left-handed circular polarization
30
Gravitational waves
Tensor perturbation
Polarization state
Circular polarization
With the transformation
ds 2  a 2 ( )  d 2   ij  hij  dxi dx j 
hij ( , xi )
2

d 3k
  2 
 
3
A R , L
( ) eiki x pijA
k s sj A
 r pij  i A priA
k
kA  zkA  kA
i
polarization tensor
R  1,
L  1
, we get

H  '  ''  2 z A  A
  1 2  2  k   k  0
z A 
d 2 
zA
2z A 
d 2 kA
A
k
hij , j  hi i  0
z A  a( ) 1 
H '
'
A


k
2a 2
2a 2
GB
CS
Right-handed and left-handed waves obey different equations!
31
GW in Super inflationary regime

H  '  ''  2 z A  A
  1 2  2  k   k  0
z A 
d 2 
zA
2z A 
d 2 kA
For super-inflationary regime 
5 15 2
H '  
 4 / 3
9
z   
2
A
1/ 3
1 and on the scales
k 
1
6
 ''  70  25 
4/3
5 15 2

 4 / 3 1  6A k   125  4 / 3 A k 
18
Thus, we have
d 2  kA
2
A8 1  A

k
1



 k  0
3
k

d 2


Both GB and CS contribute here
32
Instability induces Polarization
kA  akAukA  a†kAuk*A
quantization
 
ukA 

a | 0  0
A
k
vacuum fluctuations
2
 0 | kA | 0  ukA
E.O.M. on sub-horizon scales
k  1/ 6
k  8 / 3
1 ik
e
2k
2
2
A8 1  A

k
1



 uk  0
3
k

d 2


d 2ukA
 8 A

 3 A  k  
u  A
exp
2

k


  

2

8
k
3




A
k
R  1,
L  1
Left-handed mode is simply oscillating,
right handed-mode is exponentially growing
33
Degree of Polarization
The growth factor
 8

exp  2   k  
 3

uR
uL
2
2

freeze
2980
Hence, we have the degree of circular polarization
2
2
R 2
k
L 2
k
ukR  ukL
u
u
k
gives
exp  32 / 3
exp  8 / 3
 (k ) 
right-handed
instability
1
8
  k 
6
3
The instability continues during
k 
H 1
8
3
k 
1
6
Bunch-Davis
vacuum
1
The string theory could produce 100 percent circularly polarized GW!
Note that the amplitude is also enhanced by the instability.
34
Two field inflation
S
1 4
1 
1 

4
d
x

g
R

d
x

g










V
(

,

)



 2

2
2
1
1
2
  d 4 x  g  ( ) RGB
  d 4 x  g  ( ) R  R
16
16
V
2
1 2 2 1 2 2
m   m     2  a    2  b 
2
2
m  106
m 
2
107
3
  1011
a  3000
b  0.04
35
Detectability
We thus have the following schematic picture.
Assuming 10 years observational time


 0.08 GW / 1015 SNR / 5 
Seto 2006
SNR
GW

10 13
at 1Hz
For LIGO and LCGT, we have


GW

/ 108 SNR / 5 
Taruya&Seto 2007
It should be stressed that our model is completely consistent with
current observations.
36
Inflation in supergravity
37
N=1 4-d supergravity
S
1
K / M 2p
4
4

4
d
x

g
R

d
x

gG





d
x

ge
i

j


16 G 
ケーラーポテンシャル
必ずcomplex
K ( ,  )
 ij
3
2
K
DW
D
W

W


i
j
M p2


とスーパーポテンシャル
W ( )
 2 K ( ,  )
Gi j 
 i  j
で理論が決まる
    i
可能な補正項
1i
K  Kclassical
  
 M p2  ci  2 
M 
i
 p
38
エータ問題
K   
VF  e
K / M 2p
e

3
2
1
W  KW  K W  K W  2 W 
Mp



 / M 2p 
V
2
 0

W   W  1 

V
 0
3 M 2p H 2

2
M
2
p

3
2
W   W  2 W 
Mp




m2
H2
O (1)
39
Supergravity inflation
Chaotic inflation in supergravity
K ( ,  , X , X ) 
Kが
2
1
    X X

2
W (, X )  m X
  i(  ) / 2 に依存しない
V
1 2 2
m 
2
Natural inflation in supergravity
K
2
1
  

4
W  w0  Beb
V  V1 ( x)  V2 ( x)cos b
観測可能な重力波が生成されうる
Kallosh, hep-th/0702059
40
Inflation in superstring
41
モジュライ, エータ, ケーラー問題
Extra –dimensionsはコンパクト化されねばならない
Moduli は固定されなければならない
m2
H2
Inflaton directionはmass lessでなければならない
m2
H2
この２つを同時に自然に実現することは困難
次元降下して得られるケーラーポテンシャルは
K  c log(  )
42
Racetrack inflation
K  3log T  T 
A
1
50
B
7
200
W  W0  AeaT  BebT
a

50
b

45
W0  
1
25000
このタイプは観測できるような inflation 起源の重力波を生成しない
Kallosh, hep-th/0702059
43
Dブレーンインフレーション
A

V  2T3 1  4 
 r 
``インフレーション’’
張力がインフレーション
を引き起こす!
r
D3
Dvali & Tye (1999)
D3
インフレーション終了
消滅
D3
44
Dブレーンインフレーション
標準的に規格化されたスカラー場を使ったポテンシャルエネルギーは

L6 T33 
V ( )  2T3 1  3 2 4 
 2 M p  
スローロールパラメータを計算すると
M p2  V '  2 4  T3 L2   L 10

   6  2   
2  V    M p  r 
6
6
V
''
10
L
L
  M p2
  3 6  0.3 6
V
 r
r
ここでLはコンパクト空間のサイズなのでブレーン間の距離rは
ゆえに
 1
rL
を与える
となり観測と矛盾してしまう
45
フラックスコンパクト化
Giddings, Kachru & Polchinski (2002)
ケーラーモジュライ
モジュライの固定で
``真空”がユニークに
決定されるはず！
複素構造モジュライ
ケーラーモジュライは固定されたと仮定する。
GKPの結果
複素構造モジュライは固定できた。
ケーラーモジュライは固定されない。
内部空間は一般にワープしている
フラックス
46
KKLT
Kachru, Kallosh, Linde, Trivedi 2003
インスタントン、ゲージーノ凝縮によるケーラーモジュライの固定。
反D3ブレーンを加えることでポテンシャルを持ち上げてドジッター時空を実現。
VKKLT  VAdS 
D

ブレーンの数に比例
2
フラックス真空は整数で指定されるので離散的
ストリングランドスケープ
フラックス付き
カラビ・ヤオ
AdS5  S 5
KSスロート
GKPの仕事を受けて, KKLTは全てのモジュライの固定に成功した
47
Warped Dブレーンインフレーション
Kachuru et al (KKLMMT 2003)
フラックス付き
カラビ・ヤオ
AdS5  S 5
KSスロート

インフラトン
D3ブレーン


 : warp factor
反D3ブレーン
 4 A 
V  2T3  1  4 
r 

4
48
残念ながら
ブレーンの反作用を考えると。。。
K  3log T  T   
m2  2 H 2
Conformal coupling
スーパーポテンシャルからの寄与でキャンセルさせる？
Kallosh & Linde 2007
m3/ 2  O(1)TeV
Fine tuning必要
3m3/2 2  VAdS
H  m3/ 2
r  1024
49
DBI inflation
D3ブレーン解

1
2
1
2
ds 2  h (  ) dx dx  h (  ) d  2   2dsX2 5 
R
h(  )   

4
R  4 g s ' N
4
2
3
vol( X 5 )
を背景としてテストD3ブレーンを考える有効作用は
S  T3  d 4 x  gh1 (  ) 1  h(  )      T3  h 1 (  )dtdx1dx 2 dx3
   d 4 x  g f 1 ( ) 1  f ( )      f 1 ( )dtdx1dx 2 dx3
f 1  T3 h1
f  T3
R4
4

  T3 r1
T3 
1
1
(2 )3 g s '2

N
1


2 vol( X 5 )  4  4
50
Microscopic constraints on DBI inflation
プランク定数
M p2 
Vthroat  vol( X 5 ) 
UV
0
 

 Mp
V ( ) 
1 2 2
m
2
V6
102 
102
d  5 h(  ) 
1
7
 2  g s2 '4
2
1
2
2
vol( X 5 ) R 4 UV
 2 4 g s N '2 UV
2
2
2
2
 T3 UV
T3102 UV
4


 
2
Mp
Vthroat
N

T3 
1
1
3
(2 ) g s '2
V6  Vbulk  Vthroat
を具体例として

CMB揺らぎの振幅から
109
N
109 vol( X 5 )
重力波は期待できない
2
 Mp 
r 2 3
N  4
 r f NL
 

8
8


r  0.3
f NL  300
観測と完全に矛盾！
N  38
51
Non-inflation?
52
特異点の解消
古典的アプローチ
無からの創生
無境界境界条件
Wheeler-DeWit 方程式
トンネル効果
現象論的アプローチ
プレビッグバンモデル
サイクリック宇宙
ストリングガス宇宙
T 双対性
Blue spectrum
ブレーンの衝突
重力波なし？
T 双対性
Thermal fluctuations
野心的アプローチ
タキオン凝縮
AdS/CFT
時空の消失？
微妙
53
Challenges
54
ストリング宇宙論の小史
1981 --- インフレーション理論
1983 --- 宇宙の波動関数
宇宙定数に関する議論が活発---Coleman, Moore, Brown-Teitelboim
1989 --- Brandenberger-Vafaのシナリオ
1993 --- プレ・ビッグバンモデル
1999 --- Randall-Sundrum ブレーンワールドモデル
1999 --- Dブレーンインフレーション
2000 --- Bousso-Polchinski による宇宙定数理論
2001 --- Ekpyrotic, Cyclic model
2003 --- KKLMMTインフレーションモデル
2004 --- DBIインフレーション
2007 --- 特異点問題が議論できるようになってきた
55

Type IIA
Heterotic

String 固有の機構

56

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