ディジタル信号処理 Digital Signal Processing 補講 周波数領域表現 周波数領域表現 交流信号をベクトルを用いて表現 • v(t)=a・cos(ωt+θ) • 単位回転ベクトル;exp(jωt) • v(ωt)=a・exp{j(ωt+θ)} =a・exp{jθ}・ exp{jωt} =A・ exp{jωt} • オイラーの公式 • A=a・(cosθ+ jsinθ) • exp{jωt}= cos ωt+ jsin ωt だから • a・cos(nωt+θ) =1/2[a・exp{j(nωt+θ)}+a・exp{-j(nωt+θ)}] • a・sin (nωt+θ) =1/2j [a・exp{j(nωt+θ)}-a・exp{-j(nωt+θ)}] • 正弦波を離散信号化すると正の周波数成分と負 の周波数成分が対(共役)になって現れる • 解析には回転ベクトル表記を用いる 離散時間信号の周波数領域表現 フーリエ級数展開 • 周期Tの周期信号f(t)を展開すると(2.4)式 f(t)=Σ Δ(k) exp{jkωt}・・・・k=-∞~+∞ ω=2π/T Δ(k)は角周波数kωにおける複素振幅・・・・ス ペクトラム • スペクトラムを式で表すと(2.5)式 Δ(k)=1/T∫f(t) exp{-jkωt}dt 脱線 用語は何国語 • スペクトル・・・仏語 • スペクトラム・・・英語 脱線終わり 仮定 離散時間信号が周期信号とする • サンプリング時刻 t=0,T,2T,・・・(N-1)Tの n個のデータで1周期・・・周期NT 離散時間信号のスペクトラム X*(k)=1/NT∫0NT x*(t)exp{-jkωt/N} dt =1/NT∫0NT x(t)δ(t-nT)exp{-jkωt/N} dt =1/NT∫0NT x(nT)δ(t-nT)exp{-jkωT/N} dt = ・・・・・・ =1/NTΣ∫nT-0nT+0 x(nT)δ(t-nT)exp{-jkωnT/N} dt = ・・・・・・ =1/NTΣx(nT)exp{-j2πkn/N} 離散時間信号のスペクトラムを用いて 離散時間信号を書き改めると • x*(t)=ΣX*(k)exp{jkωt/N} • 周波数 0(直流)の成分,±ω/N(基本波:正弦波) の成分, ±2ω/N(第2高調波)の成分,±3ω/N (第3高調波)の成分,±4ω/N (第4高調波)の成 分,・・・・が含まれる • たとえば、横軸角周波数,縦軸成分の大きさ(スペ クトラムの絶対値|x*|)として図示すると,0を中 心に左右に対称に現れる 簡単にいうと • 正弦波・・・・ ±ω/N のふたつの(角)周波数 成分( 直流が乗っていれば0の成分もある ) • 矩形波、鋸歯状波、三角波などの顕著な繰り 返し波形・・・・高調波はリズミカルに低減する • 普通(?)の繰り返し波形・・・・高調波成分の 大きさは増えたり減ったり • 繰り返しとはいいにくいけどという場合は・・・・ フーリエ変換を使わずにウエーブレット変換 脱線 ケプストラム(Cepstrum ) • 信号のスペクトラムを信号と見なしてフーリエ 変換 (FT) した結果である。“spectrum” の最 初の4文字をひっくり返した造語。 • (信号の)ケプストラムとは、(信号の)フーリ エ変換の対数(位相アンラッピングを施したも の)をフーリエ変換したものである。スペクトル のスペクトルとも呼ばれる。 脱線 ウェーブレット変換 • 周波数解析の手法の一つ。 • 基本的には、小さい波(ウェーブレット)を拡大縮小、 平行移動して足し合わせることで、与えられた入力の 波形を表現しようとする手法。 • ある信号が与えられた時に、時間的に局在した周波 数成分を知りたい場合でも、フーリエ解析においては、 サイン波、コサイン波を拡大縮小して足し合わせるこ とで入力を表現しようとしていたが、波が局在化して いないため、時系列の情報が失われていた。 ウェーブレット変換(脱線続き) • 基底関数として、ウェーブレット関数を用いる。 • フーリエ変換によって周波数特性を求める際 に失われる時間領域の情報を、この変換に おいては残すことが可能である。 • フーリエ変換でも窓関数を用いる窓フーリエ 変換で時間領域の情報は残せたが、窓幅を 周波数に合わせて固定する必要があるため、 広い周波数領域の解析には向かなかった。 フーリエ級数の例 矩形波 周期2π 振幅1 デューティ50% 矩形波 周期 2π 振幅 0.5 直流分 0.5 デューティ a/π×100% 矩形波 周期 2π 振幅 1 直流分 0 デューティ 50% 矩形波 周期 振幅 直流分 デューティ T 1 0 50% 鋸歯状波 周期 2π 振幅 1 直流分 0 三角波 周期 2π 振幅 π 直流分 0 WEB検索 • 繰り返し波形の級数展開について調べてみ よう 脱線 ことばあそび(回文) 一文字言葉は・・・・ 蚊は蚊,新聞紙 このみくんさんねんさんくみのこ • 「予想(よそう)」がはずれて「嘘よ(うそよ)」 • 「薬(くすり)」をまちがえると「リスク」 • 「白雪(しらゆき)」もいずれ「消ゆらし」 • 「Peach」の航空券は「cheap」 おもしろかった • ここまで • ごきげんよう
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