ディジタル信号処理 Digital Signal Processing

ディジタル信号処理
Digital Signal Processing
補講
周波数領域表現
周波数領域表現
交流信号をベクトルを用いて表現
• ｖ（ｔ）=ａ･cos（ωｔ+θ）
• 単位回転ベクトル；exp（ｊωｔ）
• ｖ（ωｔ）=ａ･exp｛ｊ（ωｔ+θ）｝
=ａ･exp｛ｊθ｝･ exp｛ｊωｔ｝
=Ａ･ exp｛ｊωｔ｝
• オイラーの公式
• Ａ=ａ･（cosθ+ ｊsinθ）
• exp｛ｊωｔ｝= cos ωｔ+ ｊsin ωｔ
だから
• ａ･cos（nωｔ+θ）
=1/2[ａ･exp｛ｊ（nωｔ+θ）｝+ａ･exp｛-ｊ（nωｔ+θ）｝]
• ａ･sin （nωｔ+θ）
=1/2j [ａ･exp｛ｊ（nωｔ+θ）｝-ａ･exp｛-ｊ（nωｔ+θ）｝]
• 正弦波を離散信号化すると正の周波数成分と負
の周波数成分が対（共役）になって現れる
• 解析には回転ベクトル表記を用いる
離散時間信号の周波数領域表現
フーリエ級数展開
• 周期Ｔの周期信号ｆ（ｔ）を展開すると（2．4）式
ｆ（ｔ）=Σ Δ(k) eｘｐ｛ｊｋωｔ｝････k=-∞～+∞
ω=2π/Ｔ
Δ(k)は角周波数ｋωにおける複素振幅・・・・ス
ペクトラム
• スペクトラムを式で表すと（2．5）式
Δ(k)=1/T∫ｆ（ｔ） eｘｐ｛-ｊｋωｔ｝dt
脱線
用語は何国語
• スペクトル・・・仏語
• スペクトラム・・・英語
脱線終わり
仮定
離散時間信号が周期信号とする
• サンプリング時刻ｔ=０，Ｔ，２Ｔ，･･･（N-1）Tの
ｎ個のデータで１周期・・・周期NＴ
離散時間信号のスペクトラム
Ｘ*（ｋ）=1/ＮＴ∫0NT x*(t)exp{-jkωｔ/N} ｄｔ
=1/ＮＴ∫0NT x(t)δ（t-nT）exp{-jkωｔ/N} ｄｔ
=1/ＮＴ∫0NT x(nT)δ（t-nT）exp{-jkωT/N} ｄｔ
= ・・・・・・
=1/ＮＴΣ∫nT-0nT+0 x(nT)δ（t-nT）exp{-jkωnT/N} ｄｔ
= ・・・・・・
=1/ＮＴΣx(nT)exp{-j2πkn/N}
離散時間信号のスペクトラムを用いて
離散時間信号を書き改めると
• ｘ*（ｔ）=ΣＸ*（ｋ）eｘｐ｛jkωt/N｝
• 周波数 0（直流）の成分，±ω/N（基本波：正弦波）
の成分， ±２ω/N（第2高調波）の成分，±3ω/N
（第3高調波）の成分，±4ω/N （第４高調波）の成
分，・・・・が含まれる
• たとえば、横軸角周波数，縦軸成分の大きさ（スペ
クトラムの絶対値｜x*｜）として図示すると，０を中
心に左右に対称に現れる
簡単にいうと
• 正弦波・・・・ ±ω/N のふたつの（角）周波数
成分（直流が乗っていれば０の成分もある）
• 矩形波、鋸歯状波、三角波などの顕著な繰り
返し波形・・・・高調波はリズミカルに低減する
• 普通（？）の繰り返し波形・・・・高調波成分の
大きさは増えたり減ったり
• 繰り返しとはいいにくいけどという場合は・・・・
フーリエ変換を使わずにウエーブレット変換
脱線
ケプストラム（Cepstrum ）
• 信号のスペクトラムを信号と見なしてフーリエ
変換 (FT) した結果である。“spectrum” の最
初の4文字をひっくり返した造語。
• （信号の）ケプストラムとは、（信号の）フーリ
エ変換の対数（位相アンラッピングを施したも
の）をフーリエ変換したものである。スペクトル
のスペクトルとも呼ばれる。
脱線
ウェーブレット変換
• 周波数解析の手法の一つ。
• 基本的には、小さい波（ウェーブレット）を拡大縮小、
平行移動して足し合わせることで、与えられた入力の
波形を表現しようとする手法。
• ある信号が与えられた時に、時間的に局在した周波
数成分を知りたい場合でも、フーリエ解析においては、
サイン波、コサイン波を拡大縮小して足し合わせるこ
とで入力を表現しようとしていたが、波が局在化して
いないため、時系列の情報が失われていた。
ウェーブレット変換（脱線続き）
• 基底関数として、ウェーブレット関数を用いる。
• フーリエ変換によって周波数特性を求める際
に失われる時間領域の情報を、この変換に
おいては残すことが可能である。
• フーリエ変換でも窓関数を用いる窓フーリエ
変換で時間領域の情報は残せたが、窓幅を
周波数に合わせて固定する必要があるため、
広い周波数領域の解析には向かなかった。
フーリエ級数の例
矩形波
周期２π
振幅１
デューティ50%
矩形波
周期２π
振幅 0.5
直流分 0.5
デューティ a/π×100%
矩形波
周期２π
振幅１
直流分０
デューティ 50%
矩形波
周期
振幅
直流分
デューティ
Ｔ
１
０
50%
鋸歯状波
周期２π
振幅１
直流分０
三角波
周期２π
振幅 π
直流分０
WEB検索
• 繰り返し波形の級数展開について調べてみ
よう
脱線
ことばあそび（回文）
一文字言葉は・・・・
蚊は蚊，新聞紙
このみくんさんねんさんくみのこ
• 「予想（よそう）」がはずれて「嘘よ（うそよ）」
• 「薬（くすり）」をまちがえると「リスク」
• 「白雪（しらゆき）」もいずれ「消ゆらし」
• 「Peach」の航空券は「cheap」
おもしろかった
• ここまで
• ごきげんよう

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