Experiment and Shape Design of Frame of New Type

２０１３年度力学演習
（機械力学問題）
曽我部雄次
呉志強
*
Ehime University, Japan
Powerpointのスライドショーで見てください
問1
公式（2.12）と2.13を利用する。以下省略
問2
並列部分のばね定数
k1  2K  k
全体のばね定数
k1  k (2 K  k )k
kall 

k1  k 2 K  2k
固有円振動数
kall
( 2 K  k )k
n 

m
2m( K  k )
固有振動数
n 1 ( 2 K  k )k
fn 

2 2 2m( K  k )
K
k
K
k
m
問３
kb
ks
m
ks
m
l  2.5 10 1 m, b  3 10 2 m, h  5 10 3 m
300
E  206GPa  206 10 N/m , m 
 30.6kg
9.8
k s  2 N/mm  2 103 N/m
9
1 3
I 0  bh  31.25 10 11 m4
12
梁の相当ばね定数 kb
3 EI 0
kb  3  12.36 103 N/m
l
2
問３の続き
全体のばね定数
固有円振動数
固有振動数
k s  kb
kall 
 1.72 103 N/m
k s  kb
kall
n 
 7.49 rad/s
m
n
fn 
 1.19Hz
2
問4
1 k
fn 
2 m
1
k
1

fn

fn 
2
2 2m
問5
kt1

P.10 (2.17)式より
ka  a
kt 1 
Gd14
kt 2
全ねじりモーメント
32l1
, kt 2 
M  kt1  kt 2  ka 2
 ( kt1  kt 2  ka 2 )
全ねじり剛さ
kt  kt1  kt 2  ka 2
G d14
d24

(  )  ka 2
32 l1 l2
Gd 24
32l2
問6
省略
問7
運動エネルギー

r
r
k
m
位置エネルギー
1 2 1
T  I  m( r )2
2
2
1
 (mr 2  I )2
2
1
U  k ( r ) 2
2
  Asinnt　を代入すると
1
T  (mr 2  I ) A2n2cos2n
2
1 2 2 2
U  kr A sin n
2
問7—続き
1
Tmax  (mr 2  I ) A2n2
2
1 2 2
U max  kr A
2
Tmax
2
kr
 U max より　n2 
mr 2  I
1
kr 2
fn 
2 mr 2  I
問8
I  ml 2 , M  ka  a
k  a
k
m
a
l

I  M　より
ml 2   ka 2
ml 2  ka 2  0
2
ka
  2   0
ml
ka 2 a k
n 

2
ml
l m
a k
fn 
2l m
問9
省略
問10
l
r
r
r  l    
l
1 2 r 2 2
x  l (1  cos )  l 
2
2l
( 倍角公式： cos2  cos2  sin 2  1  2sin 2 )
運動エネルギー

l
x
1 2 1 2 1 2
T  I  mx  I
2
2
2
r2 
1 2
( x   , よって mx は高次微小）
l
2
位置エネルギー
mgr 2 2
U  mgx 

2l

r
問10—続き
1 2 2 2

 T  2 IA n cos nt
   Asinnt
とし ,  

2
1
mgr


A

cos

t

n
n
U 
A2sin 2nt

2 l
1 2 2
Tmax  IA n
2
1 mgr 2 2
U max 
A
2 l
2
mgr
Tmax  U max より　n2 
Il
2
2
mgr
mgr  T 
I

 
2
l n
l  2 
2
問11
a
k
I  ml 2
M  2ka  a  mglsin
 2ka  a  mgl
l
2k  a
a
m

mg
I  M　より
ml 2  (2ka 2  mgl )  0
2
g
2
k
a
  ( 
)  0
2
l m l
g 2ka 2
n 

l ml 2
1 g 2ka 2
fn 

2 l ml 2
問12 （図省略、P.34参照）
断面積A、液体密度v、液の速さは一様で x
運動エネルギー
位置エネルギー
1
T  ( Al ) x 2
2
U  ( Ax )gx  Agx 2
x  Xsinnt　と仮定し、代入すると
1
T  ( Al ) X 2n2cos2nt
2
U  AgX 2sin 2nt
2g
2g
2
Tmax  U max より　n 
, n 
l
l
2
l
振動周期 
 2
n
2g
問１３
※ このモデルは図2.13のモデルと同じで
あるため、２．２節の公式を直接利用できる
k
c
m
m  3kg
k  20 N/cm  2 103 N/m
x1
2
  ln 
 2
2
x2
1
1
(b)   ln
 0.357
0.7
(a)   
 0.0568
2
(c) d  1   2 n  1   2 k
 25.8 rad/s
m
(d) c  cc    2 km  8.83 N  s/m
問１4
c  b k  a

以下のように係数を置き換えると
k
c
m
ml 2  M ,ka2  K ,cb2  C
臨界減衰係数
b
a
l
I  ml 2
M  cb2  ka 2
I  M　より
ml 2  cb2  ka 2
ml 2  cb2  ka 2  0
Cc  ccb2  2 KM  2al km
2al
cc  2 km
b
a k

M l m
C c
b2c
   
Cc cc 2al km
n  K
問１4-続き
減衰固有円振動数
4 2
a
k
b
c
2
d  1   n 
1 2
l m
4 a lkm
減衰固有振動数
4 2
a
k
b
c

d
fd 

1 2
2 2l m
4 a lkm
問15省略
問16
x
m
k
m  100 kg
k  500 kN/m  5 105 N/m
e  F  0.5mm  5 10 4 m
k
摩擦力
F  ke  250N
摩擦係数
F
250


 0.255
mg 100  9.8
固有振動数
1
fn 
2
k
 ...  11.3Hz
m
問17
k  40kN/m  4 10 4 N/m
F  60N
m  100 kg
e  F  0.0015m  1.5 mm
k
1/2サイクルで
2e  3mm 振幅が減少
振動回数は
18mm / 6mm  3回
摩擦係数
F
60


 0.061
mg 100  9.8
問18
省略
問１9(１)
c  b k  a

k
c
m
I  ml 2
M  cb2  ka 2  F0lsint
I  M　より
ml 2  cb2  ka 2  F0lsint
ml 2  cb2  ka 2  F0lsint
b
a
l
※
k
m
mx  cx  kx  F0sint
c
F0sint
x( t )  Asin( t   )
F0
A
( k  m 2 )2 ( c )2
  tan 1
c
k  m 2
※と比較
x   ,c  cb2 , F0  F0l
m  ml 2 ,k  ka 2
定常振動の解は
  Asin( t   )
A
F0l
( ka 2  ml 2 2 )2 ( cb2 )2
2
cb

  tan 1 2
ka  ml 2 2
問１9(２)
c  b k  a

k
c
m
I  ml 2
M  cb2  ka 2  F0 asint
I  M　より
ml 2  cb2  ka 2  F0 asint
ml 2  cb2  ka 2  F0 asint
b
a
l
※
k
m
c
F0sint
mx  cx  kx  F0sint
※と比較
x( t )  Asin( t   )
F0
A
( k  m 2 )2 ( c )2
m  ml 2 ,k  ka 2
  tan 1
c
k  m 2
x   ,c  cb2 , F0  F0 a
定常振動の解は
  Asin( t   )
A
F0 a
( ka 2  ml 2 2 )2 ( cb2 )2
2
cb

  tan 1 2
ka  ml 2 2
問20
m  60 kg
k  150  4 kN/m  6 105 N/m
c  1.6 103 N  s/m
F0  80 N
固有振動数
1
fn 
2
k
 ...  15.9Hz
m
減衰比
c
 
 ...  0.133
2 km
Ast  F0 /k  ...  0.133mm
 A
1

 
より
 Ast  max 2
1
Amax  Ast 
 0.5mm
2
問21
m  200 kg, F0  250 N
f n  5 Hz
Amax  10 mm  0.01 m
1 k
fn 
より
2 m
k  4 2 mf n  197192  197 kN/m
Ast  F0 /k  ...  1.27mm
 A
1

 
より
 Ast  max 2
Ast
 
 ...  0.063
2  Amax
問22(a)
x
m
k
c
u  Asint
mx  kx  c( u  x )
mx  cx  kx  cu
 cAcost

 cAsin(t  )
2
ここで、
※
k
m
mx  cx  kx  F0sint
c
F0sint
x( t )  Asin( t   )
F0
A
( k  m 2 )2 ( c )2
c
  tan
k  m 2
1
※と比較
F0  cA,
t  t 

2
問22(a) 続き
x  Xsin( t 

 )
2
cA
X
( k  m 2 )2 ( c )2
  tan 1
c
k  m 2
あるいは
x  Xsin( t   )
cA
X
( k  m 2 )2 ( c )2


c
      tan 1
2
2
k  m 2
2
1 k  m
 tan
c


1
1 1
 
 tan   tan
 2

問22(a) 複素数を用いた解法
x
k
m
c
u  Asint
mx  kx  c( u  x )
mx  cx  kx  cu
u  Aeit
u  A sin t
 

~ it ~
x

X
sin(

t


)
x

X
e ; X  Xei


~
~
~
m( i )2 Xeit  c( i ) Xeit  kXeit  c( i ) Aeit
icA
~
X
( k  m 2 )  i( c )
cA
~ 分子
X X 

分母
( k  m 2 )2  ( c )2

c
~
1
  argX  arg分子  arg分母   tan
2
k  m 2
2
k

m

 tan 1
c
問22(b)
x
m
c
u  Asint
k
mx  k (u  x)  cx
mx  cx  kx  ku
 kAsin(t )
ここで、
※
k
m
c
F0sint
mx  cx  kx  F0sint
※と比較
x( t )  Asin( t   )
F0
A
( k  m 2 )2 ( c )2
定常振動の解
x  Xsin( t   )
c
  tan
k  m 2
1
F0  kA
kA
X
( k  m 2 )2 ( c )2
  tan 1
c
k  m 2
問22(b) 複素数を用いた解法
x
c
m
k
u  Asint
mx  k (u  x)  cx
mx  cx  kx  ku
u  Aeit
u  A sin t
 

~ it ~
x

X
e ; X  Xe i
 x  X sin( t   )

~
~
~
m( i )2 Xeit  c( i ) Xeit  kXeit  kAeit
kA
~
X
( k  m 2 )  i( c )
kA
~ 分子
X X 

分母
( k  m 2 )2  ( c )2
~
  argX  ( arg分子  arg分母 )
c
 tan 1
k  m 2
問23
k ( u  b )
b
R
a
u
u  b
k
m
u  Asint
(1)
(2)
( I  0, なぜ？)
R  k (u  b )( a  b)/a (3)
これを式（１）に代入すると
u  a
※ 剛体の運動方程式 →
重心の並進運動式＋重心周りの回転式
重心はどこ？
mu  a  R  k (u  b )
I  k (u  b )( a  b)  aR  0
式（２）より

mau  a  k (u  b )( a  b)  ka(u  b )
ma  kb2  mau  kbu
(4)
問23 続き
u  Asint ,   sint , R  R0sint とし
式（3）と（4）に代入すると
最大変位角
kb  ma 2
 2
A
2 2
kb  ma 
最大反力
kma( a  b )2  2
R0  k (u  b )( a  b)/a  
A
2
2 2
kb  ma 
問24
m
mu e 2
( M  m )x  kx  mu e 2sint
x  Asint を代入
x
mu e 2
A
k  ( M  m ) 2
kx
mの運動方程式
m
mx  R  mg
mg
R
離れないためには
R  mx  mg  m(g  A 2sint )
R  0 より
g  A 2sint  0  g  A 2  0
mu e 4
A 
g
2
k  ( M  m )
2
問25
mg
Ast 
 20 mm  0.02 m
k
m  1300 kg, L  5 m
L
v  Lf n 
2
k
L

m 2
g
Ast
5 9 .8

10  17.6 m/s
2 2
第3章問１
m I
l1
l2
k2
x
k1

k2 ( x  l2 )

x  l2
x
x  l1
※重心の並進運動式＋重心周りの回転式
(k1l1  k 2l2  0)
mx  k1 ( x  l1 )  k2 ( x  l2 )
I  k1 ( x  l1 )l1  k2 ( x  l2 ) l2
k1  k2
k1l1  k2l2
x
 0
x 
m
m
2
2
k
l

k
l
k
l

k
l
2 2
  1 1 2 2 x  1 1
 0
I
I
（便宜上 !）
k1l1  k 2l2
 a　(  0)
m
k1  k 2
 b (  0)
m
k1l12  k 2l22
 c( 0) とする
I
x  bx  a  0 
ma



x  c  0

I
x  A sin t 
を代入 ,
  B sin t 
(b   2 ) A  aB  0
b   2

 ma / I
ma
A  (c   2 ) B  0
I
振動数方程式：
(b   2 )c   2   ma 2 / I  0
  A 0
 
2  
c     B  0
a
 4  b  c  2  bc  ma 2 / I  0
固有円振動数
n21  (b  c)  (b  c) 2  4ma 2 / I

2 
2
n 2 
振動モード
n21  b  (b  c)  (b  c) 2  4ma 2 / I
B


 1  0
 
a
2a
 A n1
B
 
 A n 2
2
2

(
b

c
)

(
b

c
)

4
ma
/I
 b


 2  0
a
2a
2
n2
１次モード
2次モード
A  0, B  0
1
A  0, B  0
1
A  0, B  0
2
1
A  0, B  0
問2
x2
m2
k2
x1
m1 x1  (k1  k 2 ) x1  k 2 x2  k1u
m1

m1x1  k1 ( x1  u )  k 2 ( x2  x1 )
m2 x2  k 2 ( x2  x1 )
u
k1
m2 x2  k 2 x1  k 2 x2  0
3.11と比較
l
f  v/l
  2f  2v / l
u   cos t
F0 cos t  k1u  k1 cos t
F0  k1 ;   2v / l
問３(a)
m1l 1  m1gl1  ka( 2  1 )a
m l 2  m gl  ka(   )a
2
k
a
2
l
2
2
2
2
1
m1l 21  (m1gl  ka 2 )1  ka 2 2  0
m2l 22  ka 21  (m2 gl  ka 2 ) 2  0
1
2
m1g
m2g
3.11と比較
x1  1 , m1  m1l 2 , m2  m2l 2
x2   2 , k1  m1 gl , k 2  ka 2 , k3  m2 gl
問３(b)
I11  kt11  kt 2 ( 2  1 )
I 22  kt 2 ( 2  1 )  kt 3 2
I11  (kt1  kt 2 )1  kt 2 2  0
I 22  kt 21  (kt 2  kt 3 ) 2  0
3.11と比較
x1  1 , m1  I1 , k1 , k 2 , k3  kt1 , kt 2 , kt 3
x2   2 , m2  I 2

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