天体物理学 Ｉ ： 授業の内容
天文学は天体からの光を研究する学問です。
そこでこの授業では、「光」をどう扱うかの基礎を学びます。
授業計画は、
Ａ．水素原子
Ｂ．エネルギー準位
Ｃ．熱平衡
Ｆ．光のインテンシティ Ｇ．黒体輻射 Ｈ．等級
Ｊ．光の伝達式 Ｉ
Ｄ．線吸収
Ｅ．連続吸収
Ｉ．色等級図
Ｋ．光の伝達式 ＩＩ Ｌ．星のスペクトル
という順で進めます。
最後まで行くと、星のスペクトルがどんな仕組みで決まっているかが判る、
というのが目標です。
ＡからＥまでは光の吸収に関係する物理の話です。Ｆでは光の強さをきちん
と定義します。ＧからＩは光の強さを天文学でどう使うかを示します。ＪからＬは
光がガス中を伝わる様子を式に表わし、その式を解いて星のスペクトルを導き
ます。それでは、始めましょう。
Ｌ 星のスペクトル
今回の内容
（Ｌ．１） 恒星大気の復習： エディントン大気
ソースファンクション Ｓ（τ）が Ｓ（τ） ＝aτ+b の時の大気を調べます。
（Ｌ．２） 黒体輻射スペクトルからのずれ
吸収係数が波長によって変化することの影響を調べます。
（Ｌ．３） 恒星スペクトルのモデル
以前に求めた吸収係数を使い、星のスペクトルを計算します。
（Ｌ．４） 線形大気での吸収線形成
吸収線が形成されるメカニズムを調べます。
（Ｌ．５） 等値巾 Ｗ （Equivalent Width）
吸収線の強度を表現する量をどう作るかを調べます。
（Ｌ．６） 成長曲線 （Ｃｕｒｖｅ ｏｆ Ｇｒｏｗｔｈ）
スペクトル解析で重要な手法の基礎です。
（Ｌ．７） スペクトル分類
標準的なスペクトル分類の解説です。
（Ｌ．８） 連続吸収とバルマージャンプ
バルマージャンプの大きさとスペクトル型の関係です。
（Ｌ．９） 連続吸収とバルマージャンプ
バルマージャンプの大きさとスペクトル型の関係です。
2
Ｌ．１． 恒星大気の復習： エディントン大気
星の大気の表面からの深さを ｘ とし、真上方向からの角度
をθとします。
ｎ
輻射強度 I(x,θ, λ） が軸対称の時、μ＝cosθとおいて
３つの量 Ｊ，Ｈ，Ｋ を次のように定義します。
Ω
J （x,λ）＝ (1/4π)∫I (μ, x, λ) dΩ
＝ (1/2)∫I (μ, x, λ) dμ
Ｘ
θ
＝平均輻射強度
H（x,λ）＝ (1/4π)∫cosθI(θ,x,λ) dΩ
＝ (1/2)∫μI(μ, x,λ) dμ
フラックス F（n, x ,λ) ＝∫ cosθ I (θ,x,λ) dΩ＝ 4πH ( x, λ)
Ｋ（x,λ）=(1/4π)∫ (cosθ)2 I ( cosθ, x,λ) dΩ
= (1/2)∫μ2 I (μ, x,λ) dμ
恒星大気中を角度θで進む光線に対する輻射の方程式は、
dI , ,
cos
I , , S ,
d
と書かれます。
この方程式に以下のような立体角の重み付き平均操作を施すと前ページで定
義した J(x,λ) , H(x,λ) , K(x,λ) に対する式が二つ出来ます。
× ∫μdΩ/4π ：
× ∫μdΩ/4π ：
dH ,
J , S ,
d
dK ,
H ,
d
上の式は未知数が Ｊ， H, K の３つあるのに式の数が２つなのでもう一つ
式がないと解けません。そのため
1
K ( , ) J ( , )
3
という仮定を導入します。これをエディントン近似と呼びます。この近似は等方
的な輻射 Ｉ（ｘ、θ）＝Ｉ（ｘ）の時には厳密に成立します。ですから、大気の深い
所での（星の内部では輻射はほぼ等方的ですから）性質を浅い所でも成り立つ
と考えていることになります。
kR（x,λ） ＝Rosseland mean opacity
こうして下の３つの式まで来ましたが、まだ波長λが邪魔です。
dH ,
J , S ,
d
（１）
dK ,
H ,
d
（２）
1
K ( , ) J ( , )
3
（３）
そのためには、上式を下のように波長積分した Ｊ（ｘ）， Ｈ（ｘ）， Ｋ（ｘ） に対す
る式に変える必要があります。
Ｊ（ｘ）＝∫Ｊ（ｘ、λ）ｄλ、Ｈ（ｘ）＝∫Ｈ（ｘ、λ）ｄλ、 Ｋ（ｘ）＝∫Ｋ（ｘ、λ）ｄλ
ただ、一つ注意する点があります。それは上の積分は同じｘの点で行われている
ことです。τλ＝一定で積分してはいけないのです。そのため、くどいのですが一
度τからｘに戻ります。
ｘ に戻ると、
dH x,
k J x, x,
dx
dK x,
k H x,
dx
K ( x, )
1
J ( x, )
3
（４）
（５）
（６）
（４）を波長で積分すると、
d H x, d
dx
k J x, x, d
dH x
（７）
A( x, ) d A( x)
dx
A( x, ) k J ( x, ) ( x, ) はλでの光の吸収と放射の差、
Ａ（ｘ）は点ｘでの光全体の吸収と放射の差です。
次に（５）をそのまま波長で積分すると、右辺が∫kλH(x, λ) dλ となるのです
が、この先の変形の展望がありません。そこで、（５）式を
1 dK x,
H x,
k
dx
（８）
として、積分するのですが、ここで幾つかの仮定を導入します。
仮定 （Ａ）
（Ｂ）
K(x, λ) = (1/3) ・J(x, λ)
エディントン近似
J(x, λ) = B [T(x), λ]
LTE(局所熱平衡)
すると、（８）式の左辺は次のように変形されていきます。
1 dKx,
1 dBT ( x), 1 dBT , dT
k
dx
3k
dx
3k
dT
dx
ここまで下処理をしてから（８）式をλで積分します。左辺は
1 dKx,
1 dT 1 dBT ,
k dx d 3 dx k dT d
（９）
ロスランド平均吸収係数 kR は次の式で定義されます。
1 dB T ,
d
k
dT
1
dB T ,
kR
dT d
（１０）
1 1 dT dB T ,
d H x, d
すると（８）式は
3 k R dx
dT
（１１）
左辺を変形し
（１２）
1 1 dT dB T ,
1 1 d B T x , d d K ( x)
d
3 k R dx
dT
3 kR
dx
dR
ここでロスランド平均光学的深さ τＲ は ｄτＲ＝ kＲｄｘ で定義されます。
結局
dK( x)
H ( x)
d R
（１３）
これで（４）、（５）式は片付きました。最後の（６）式はλで積分すると、
K ( x)
1
J ( x)
3
（１４）
こうして得られた（７）、（１３）、（１４）が波長で積分したJ(x), H(x), K(x) に対する
式です。ここでもう一度まとめて書くと、
dH x
A(x)
dx
dK( x)
H ( x)
d R
K ( x)
1
J ( x)
3
（１５）
ロスランド平均線形大気
前ページの最後にまとめた３式を星の大気に応用しましょう。
核融合反応は起きていないので、ネットの吸収は起きません。従ってＡ（ｘ）＝０
です。 したがって、（７）式から、
dH x
A( x) 0
dx
H ( x) Ho
（１３）式は、
（１６）
dK ( R )
H ( R ) Ho
d R
K ( R ) Ho R C
（１７）
Ｃは積分定数で大気表面τＲ＝０での条件から値を決めます。
ここで、前にも使ったＬＴＥ（局所熱平衡）の仮定に再登場してもらうと、
S ( R ) J ( R ) B( R ) 3 K ( R ) 3Ho R 3C
（１８）
この式は良く見ると、源泉関数Ｓ（τＲ）がτＲの一次関数の形をしています。
ですから、以前にやった線形大気の結果が使えます。もう忘れているでしょ
うから簡単にその結果をまとめておきましょう。
線形大気 S(τ)= a + bτ の表面輻射強度 Ｉ（τ=０, θ）とフラックスＦ（τ=０）
I(τ=0 , μ>0) = (1/μ)∫∞0 S(t) exp(－t/μ) dt ＝ a+ bμ = S (τ=μ)
I(τ=0 , μ<0) = 0
θ
I (μ,τ=0)
τ＝０
τ＝μ＝ｃｏｓθ
τ＝１
Ｆ＝∫μI (μ,τ=0) ｄΩ＝ 2π∫１0μ・( a+ bμ) dμ= ２π(a/2 + b/3)
もう少し変形して、 Ｆ＝π[a + ｂ・(2/3) ] =π・S (τ=2/3 )
有効温度Ｔｅは σ・Ｔｅ４＝Ｆ で定義されます。
Ｂ（Ｔ）＝（σ/π）Ｔ４ を使うと、Ｂ（Ｔｅ）＝Ｆ/π＝Ｓ（ τ=2/3 ） です。
２頁前に戻り、定数Cを決定しましょう。ここまでで判ったのは、
Ｈ＝Ｈｏ
Ｓ（τＲ）＝３ＨｏτＲ＋３Ｃ
の二つです。この二つはＣが何でも、（１５）の３式を満たす事は明らかです。Ｃを
決めるには星の表面、 τ＝０ を見る必要があります。
星の表面からは、内部から運ばれてきたフラックス Ｆ ＝ ４πＨｏ が外に放射さ
れなければなりません。星の内部ではそれは大気の温度勾配を表わす
３Ｈｏ・ τＲ
で保証されていました。これは、内部では内側の層が上を照らす輻射と、外側の
層が下を照らす輻射の差し引き、つまり黒体輻射強度の勾配がフラックスをきめ
ているからです。
ところが、星の表面近くでは上の層つまり宇宙空間からの輻射はゼロなので、表
面近くの輻射強度そのもの、勾配でなく、が表面フラックスを決めるのです。した
がって、Ｃが大き過ぎると、Ｓ（τＲ）が与えるＦが大きくなりすぎるし、Ｃが小さ過ぎ
るとＦより小さくなってしまいます。ちょうどＦになるＣを決める必要があるのです。
星の表面では
τＲ＝０
Ｆ
表面の
を産む。
星の内部では
Ｆ
上の
と下の
ΔτＲ＝１
Ｆ
が
を産む。
との差が
では、Ｓ（τＲ）＝３ＨｏτＲ＋３Ｃ から決まる Ｆ が Ｈｏから決まる Ｆ＝４πＨｏ
になるように、定数 C を決定しましょう。
Ｆ＝π・Ｓ（τＲ＝2/3） = π・[３・Ｈｏ・（２/３）＋３・Ｃ] でしたから、
π・[３・Ｈｏ・（２/３）＋３・Ｃ] ＝ ４πＨｏ
Ｃ＝（２/３）・Ｈｏ
です。これが、 Ｆを正しく与える Ｃ なのです。
この Ｃ を元の（１７）式に代入すると、
Ｂ（τＲ）＝Ｓ（τＲ）＝ ３Ｈｏ・τＲ＋２Ｈｏ
大気内の温度Ｔ
星の有効温度Ｔｅは Ｆ＝σＴe４ で定義されます。ＴｅとτＲを使って大気内部の温
度 Ｔ を表わしてみましょう。
まず上の関係から、 （σ/π）Ｔｅ４ ＝４Ｈｏ です。
Ｔは、 Ｂ（τＲ）＝Ｓ（τＲ）＝（σ/π）Ｔ（τＲ） ４ ＝ ３Ｈｏ・τＲ＋２Ｈｏから決まり
ます。
両式から、 （σ/π）Ｔ（τＲ） ４ ＝ ４Ｈｏ・[（３/４）・τＲ＋（１/２）]
Ｔ（τＲ） ４ ＝ Ｔｅ４ ・[（３/４）・τＲ＋（１/２）]
こうして、エディントン大気内部の温度変化を有効温度Ｔｅとロスランド平均光学
的深さτＲの関数として表わす事ができました。
下のグラフは (T/Te) をτRの関数として表わしたものです。大気の表面温度
はＴｅではないことに注意して下さい。
１.５
T/Te
1
To
0 1/3 2/3 1
2
τR
表面
3
Ｌ．２. 黒体輻射スペクトルからのずれ
グレイ大気
エディントン大気からの総フラックスＦは、Ｆ＝σTe4 でした。ここにTeは、ロス
ランド平均光学的深さτＲ＝2/3のところでの大気温度です。
もし、全波長でκλ＝κ0 =一定（グレイ）であったら、全波長でτλ＝τＲで
す。したがってτλ＝2/3になる深さはτＲと共通で、温度はTeです。
このようなグレイ大気からのフラックスは
Ｆλ＝πＢ(Te、λ)
つまり温度Teの黒体輻射スペクトルです。
ノングレイな大気
通常は波長毎にκλが異なるので、τλ＝κλ・Ｌλ＝2/3 となる深さ
Ｌλが、したがって波長毎に覗き込む温度Ｔ（Ｌλ）が異なります。このた
めに波長毎に異なる温度の黒体フラックスが出ます。これが、星から
のスペクトルが黒体輻射スペクトルと異なる原因です。
κλが一定
κλが波長で変化
κ
κ
λ
τλ＝０
λ
τλ＝０
Ｔ０
Ｔ１
Ｔ２
τR＝2/3
τλ＝2/3
λ
τλ＝2/3
λ
Ｆλ
Ｆλ
πＢλ（Ｔｅ）
λ
λ
波長λでの星表面からのフラックス Ｆλは、その波長での光学的深さτλが ２/３の
温度 Ｔ（τλ=2/3） に相当する黒体輻射 のフラックスです。ですから、
Ｆλ ＝ π・Ｂλ[Ｔ（τλ=2/3）]
です。回りくどい式ですからよく眺めて意味を理解して下さい。
(1) 上の式を見ると、Ｔ（τλ=2/3） を求める必要のあることが判ります。
エディントン大気で、温度分布はτＲで以下のように与えられます。
Ｔ（τＲ） ４ ＝ Ｔｅ４ ・[（３/４）・τＲ＋（１/２）]
kλ と kR が判っている時に、 τλ=2/3 となる深さはτＲではいくつでしょう？
（２） Ｔ（τλ=2/3） を kλ 、kR、Ｔｅ， を使って表わして下さい。
（３） Ｆλ を kλ 、kR、Ｔｅ， Ｂλ（Ｔ） 、を使って表わして下さい。
結局、Ｆλ ＝πＢλ (Ｔ)
ただし、
1 k R
T Te 1
2 k
上の式を見ると、
ｋλ＝ｋＲ の時に、 Ｔ＝Ｔｅ となります。
1
4
Ｆλ
Ｂλ（Ｔｅ）
ｋλ＞ｋＲ の時は、 Ｔ ＜ Ｔｅ
ｋλ＜ｋＲ の時は、 Ｔ ＞ Ｔｅ
になる理由は何度も書いたように、吸収
が強いと表面に近く低温の部分までし
か見えず、吸収が弱いと深い所まで見
えて温度の高い輻射を受けるからです。
λ
ｋλ
その様子は右の図を見て下さい。
ｋＲ
λ
Ｌ．３．恒星スペクトルのモデル
こうして、恒星のスペクトルを求める準備が整いました。
星の大気表面でのフラックスは
F B , T
で表されます。ここに、
8
1.191 10
B ,T
5
m
1
1
.
4388
exp
T 1
m 4
W/m
2
/m
1
k
1 k 4
2
R
Te 1 R
T T
R 3 k
2 k
第５回目の講義 Ｅ＝Ｃont. で ｋλ の計算をしました。その時にはまだロスラ
ンド平均吸収係数 ｋR の話はなかったのですが、その計算を行い上式で求めた
スペクトルを次に示します。
下のグラフは、Ｔｅ＝１０，０００ＫのＡ型星の吸収係数 kλ です。 点線はロスランド
平均吸収係数 kR ＝ 1.89 10-8 cm-1 を示しています。
次ページにはＢλ（Ｔ＝１０，０００Ｋ）のグラフがスケール不定で描かれています。
kλ ＝ になる波長に注意して、Ａ型星のスペクトルを描いて下さい。
Te=10,000K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot, Pg=1300erg/cm^3
logHIbf
logHIff
-6
logH-bf
logH-ff
Rosseland
Ｈα線吸収
バルマー
連続吸収
パッシェン
連続吸収
-7
フント連
続吸収
ブラケット
連続吸収
Ｈβ線
log k(cm-1)
logkTotal
-8
Ｈ－ｂ－ｆ
-9
Ｈ－ｆ－ｆ 吸収
吸収
-10
0
0.5
1
λ(μ)
1.5
2
2.5
Te=10,00K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot
B(λ, １０，０００Ｋ）
8
Ａ型星スペクトル
7
6
Ｆ（λ）
5
4
3
2
1
0
0
0.5
1
λ（μｍ）
1.5
2
2.5
Te=4,000K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot
logHIbf
logHIff
logH-bf
Ｈ－の ｂ－ｆ と ｆ－ｆ 吸収のへ
こみ
このへこみは近赤外Ｈバン
ド帯でのスペクトルのコブを
産み出します。
-7
ｋＲ
log k(cm-1)
-8
Ｈ－ｂ－ｆ
-9
Ｈ－ｆ－ｆ
-10
-11
-12
バルマー吸収
F（λ）
Te=4000K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot
B（λ,4000K)
7
-1
-0.8
-0.6
log λ(μｍ)
-0.4
Ｈ－ ｂ－ｆ 吸収のピーク
では ｋλ が ｋＲの２倍
になるので、その付近で
Ｆλが落ちるのです。
-0.2
0
6
0.2
0.4
5
Ｆ（λ）
-13
-1.2
4
3
2
1
0
0
0.5
1
λ（μｍ）
1.5
2
2.5
Te=5,000K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot
logHIbf
logHIff
logH-bf
logH-ff
logkTotal
Rosseland
-7
-8
log k(cm-1)
-9
-10
-11
F（λ）
Te=5000K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot
-12
B（λ,5000K)
4.5
-13
-1.2
4
-0.2
-0.7
log λ(μｍ)
0.3
3.5
Ｆ（λ）
3
2.5
2
バルマー不連続（バル
マージャンプ）が現れて
きました。
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
λ（μｍ）
1.5
2
2.5
Te=6,000K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot
logHIbf
logHIff
logH-bf
logH-ff
logkTotal
Rosseland
-6
-7
太陽はＴｅ＝５７８０Ｋな
ので、このスペクトルに
近いのです。
log k(cm-1)
-8
-9
Te=6000K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot
-10
F（λ）
B（λ,6000K)
6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
log λ（μｍ）
太陽大気の吸収は主に
Ｈ－が担って、Ｈのｂ－ｆ
吸収がそれを次いでい
ます。
Ｈ－の吸収は変化が穏
やかなため、生じるスペ
クトルは黒体輻射に近
いのです。
-0.2
5
0
0.2
0.4
4
Ｆ（λ）
-11
-1.2
3
Ｈα線
2
1
0
0
0.5
1
1.5
λ（μｍ）
2
2.5
Te=7,500K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot
logHIbf
logHIff
logH-bf
logH-ff
logkTotal
Rosseland
-6
log k(cm-1)
-7
-8
-9
Te=7,500K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot
log F*lmd
logB*lmd
5
-1
-0.8
-0.6
log λ（μｍ）
Ｆ型星の吸収はＨ－とＨ
のｂ－ｆ吸収が拮抗して
います。とＨのｂ－ｆ吸収
は変化が激しく、黒体輻
射からのズレが目立っ
てきます。
-0.4
-0.2
4
0
0.2
0.4
3
Ｆ（λ）
-10
-1.2
2
1
0
0
0.5
1
λ（μｍ）
1.5
2
2.5
Te=10,000K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot, Pg=1300erg/cm^3
logHIbf
logHIff
logH-bf
logH-ff
logkTotal
これが測光標準星として良く
出てきたベガのスペクトルで
す。
問題に出た星でもあります。
合いましたか？
Rosseland
-6
log k(cm-1)
-7
-8
-9
Te=10,00K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot
B(λ, １０，０００Ｋ）
F(λ)
8
-10
-1.2
-1
-0.8
log λ(μ)
-0.6
-0.4
7-0.2
0
0.2
0.4
6
5
Ｆ（λ）
Ａ型星の吸収はＨのｂ－
ｆ 吸収が支配的で、変化
が激しく、黒体輻射から
のズレが大変大きいの
です。
4
3
2
1
0
0
0.5
1
λ（μｍ）
1.5
2
2.5
Te=25,000K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot,Pe=905 erg/cm^3
-6
logHIbf
logHIff
logH-bf
logH-ff
logkTotal
Rosseland
log k(cm-1)
-7
-8
-9
Te=25,00K, N(H)=0.9Ntot, N(He)=0.1Ntot
B(λ, 25,000Ｋ）
F(λ)
7
-1
-0.8
高温の星では
バルマー不連続は
見えません。
-0.6
-0.4
-0.2
6
log λ(μｍ)
0
0.2
0.4
5
Ｆ（λ）
-10
-1.2
4
3
2
1
0
0
0.5
1
λ（μｍ）
1.5
2
2.5
Ｌ．４． 線形大気での吸収線形成
吸収線形成を簡単なモデルで考えるために、次のような沢山の仮定をします。
（１） 局所平衡（ＬＴＥ）
Ｓλ（τＲ）＝Ｂλ[Ｔ（τＲ）]
（τＲ＝ロスランド光学深さ）
（２） エディントンモデル
Ｔ（τＲ）４＝（３/４）Ｔｅ４ （ τＲ＋２/３）
（３） 線形大気
Ｓλ（τＲ）＝Aλ＋ Ｂλ・τλ
生憎、（１）と（３）は厳密には両立しません。そこで、（１）を τＲ＝０ のまわりで一次
式で展開して、近似的に（３）と考えます。
dB
dT
B T R B T R 0
R
dT T To d R 0
R
dB
B To
dT
B To
3 Te 4
3 R
T To 16 To
3 dB
8 d ln T
R B To
T To
3 dB
8 d ln T
T To
R
したがって、（３）において、
A B To,
3 dB
B
8 d ln T
R
T To
と見なせば、（３）を（１）と両立させ得るわけです。
線形大気Ｓ（τ）＝Ａ＋Ｂτの大気表面からのフラックスは
Ｆ＝π［Ａ＋Ｂ・（２/３）]＝πＳ（τ＝２/３）です。したがって、
2
2 R
F B T B T R
3
3
または、
F a b
2
3 dB
B
To
3
8 d ln T
T To
R 2
3
この式から分かるように、Ｆλ＝α＋（β/τλ）の形をしていて、 τλが大きい所では
Ｆλが小さくなる。これが、吸収係数が大きい波長で吸収線が現れる原因である。
もう少し物理的に考えると。
吸収係数が次の図のように、λ＝λＬで盛り上がっているとします。 λＬでは吸収が強
いので、浅いところでτＬ＝２/３に達します。浅いためにそこの温度は低いのです。
κλ
浅いので温度
が低く、フラック
スが小さい。
深いので温度
が高く、フラック
スが大きい。
λＬ
τＲ= 0.0
大気表面
0.2
0.4
0.6
τλ=2/3
0.8
λ
吸収係数と吸収スペクトルの関係をもう少し調べてみましょう。
λ＝ λＬの付近で、κ＝ κＣ＋κＬとします。
R
R
1
R
C L C 1 L
C
R R
C
R
L
1 L
C
L
1
C
κ（λ）
κＣ
L
1
C
λＬ
λ
に注意して、前々頁のＦの式を書き直すと、
1 dB
F B To
4 d ln T
1 dB
F B To
4 d ln T
R
T To
1 dB
B To
4 d ln T
R
T To L
1 dB
R
4 d ln T
T To C
R L
T To C C
L
1
C
L
1
C
前頁の式を検討すると、まず、下から２行目に出てくる
1 dB
Fc B To
4 d ln T
R
T To C
はλＬ付近での連続スペクトルとなっていることがわかります。
連続スペクトルの強さは、 κＣとκＲの強さの比で決まります。
κＲ＜ κＣ Ｆｏ＜Ｆｅ＝πＢ（Ｔｅ）
κＲ＞ κＣ Ｆｏ＞Ｆｅ＝πＢ（Ｔｅ）
次に下から２行目の最後の項
dB
R L
FA
4 d ln T T To C C
は、吸収線を表しています。吸収が弱い（κＬ＜κＣ）場合、吸収の深さがκＬに比例する
ことがわかります。
最後の行の
1 dB
F B To
4 d ln T
R
dB
Fo
4 d ln T
T To L
R
T To L
は吸収が強い場合には、大気の表面（Ｔ＝Ｔｏ）しか見通せないことを示しています。
図示すると以下のようです。
弱いライン
R 0
2
R R
3 C
2 R
3 C
2
R
3
R
大気表面Ｔ＝Ｔｏ
L
1
C
ライン波長で見通せる深さ
連続光波長で見通せる深さ
有効温度Ｔ＝Ｔｅの深さ
強いライン
R 0
2 R
3 L
R
2 R
3 C
2
R
3
R
大気表面（Ｔ＝Ｔｏ）
≒ ライン波長で見通せる深さ
連続光波長で見通せる深さ
有効温度Ｔ＝Ｔｅの深さ
ピュアな吸収の場合、強い吸収の極限はＴ＝Ｔｏの大気表面からの輻射がスペ
クトルの底になるわけです。
吸収線の強度につれての形の変化
Ｆｃ（λ）
Ｆ（λ）
κＬと共に深くなる
κＬが非常に強いと吸収線
の底が飽和する
）
Ｆｏ（λ）
λ
Ｌ．５．等値巾 Ｗ （Equivalent Width）
吸収線の近くのみを考え、連続吸収の強度κＣ＝一定、吸収線では
κλ＝κＣ＋κＬとします。 Ｆλ＝πＢλ[Ｔ（τλ＝2/3)] ですが、
τλ＝（２/３）の深さは連続光ではτＣ＝（2/3)(κC/κλ) < 2/3 に対応します。
2
2 Ｃ
F B T B T C
3
3
弱い吸収ではκL<<κC なので、
2 Ｃ 2 Ｃ
2 L
C
1
3 3 C L 3 C
展開して、
dB
2
F B T C
3
d C
C
2 L
3 C
2 / 3
線輪郭（line profile）
FC F
1 dB 2 L 2 L d ln B
R
FC
B d C 3 C 3 C d C
Ｆλ
等値巾 Wλ=∫Rλdλ
ＦＣ
Ｆλ
Ｒλ
Wλ
Ｒλ
１
1
０
0
λ
λ
2 d ln B
R0 L 0
1
3 C
d C
2 L d ln B
2 1 d ln B
W R d
d
L d
3 C d C
3 C d C
2
2 q 2
L d nL L d nL c L d nL c m c f
2 nL
2
L C nL N L =光球（τＣ＝2/3）までの原子数
3 C
3
d ln B 2 q 2
W N L
f
d C c m c
ドップラーコア：
R0 1
弱いライン：
マクスウェル速度分布： ｄＮ＝(Ｎ/ Vo π1/ ２)・exp[－(V/Vo)2]・ｄＶ
ここに、Vo ＝ （２ｋＴ/μｍＨ）1/2
Ｖ ーー＞ λ＝λo (1＋V/c) ＝ λo ＋Ｄ
ドップラーシフト分布： ｄＮ＝ (Ｎ/λＤπ1/ ２)・ｅｘｐ[－ (λ－λo)2/ λＤ２]・ｄＤ
ここに、λＤ＝ λo・Vo /c
2
0
q
1
L
f
exp
mc
D c
D
2
0
2
2
1 0
d ln B q
1
D NL
f
exp
d C m c
D c
D
2
Ｒ(λ1) ＝Ｄとなるλ1より内側で
はＲ＝Ｄで飽和します。
2
0
2
d ln B q 2
20
1
1
0
N L
exp
f
d C m c
D c D
D
1 0 D
d ln B q 2
ln N L f
d C m c
d ln B q
W 2 DD ln N L f
d C m c
2
1
20
D c D
1
Ｆλ /ＦＣ
2
0
1
D c D
Ｄ
Bλ(τC=０)
―――――
Bλ(τC=2/3)
この時期はドプラーコアの吸収のみ
で、吸収量Ｗの増加は小さいのです。
0
λo λ1
λ
ローレンツウィング （Ｒｏ＞＞１）
非常に強いラインでは、ドップラーコアは完全につぶれてしまい、ウイング
部分が飽和するようになります。ウィングの形はローレンツ型。
q 2 20
1
L
f
m c c
0
1
d ln B q 2 20 1
D NL
f
d C m c c 1 0 2
1 0 2 N L d ln B q
d C
1 0 0
L 0
1
2
2
0
mc c
f
1
D
2
q 2 20
mc c
f
1
Ｆλ /ＦＣ
1
d ln B q 2 1 1
NL
f
d C m c c D
Ｄ
Bλ(τC=０)
―――――
Bλ(τC=2/3)
W 2 D0
d ln B q 2 1 1
NL
f
d C m c c D
0
λo
λ1
λ
Ｌ．６．成長曲線 （Ｃｕｒｖｅ ｏｆ Ｇｒｏｗｔｈ）
弱いライン
d ln B 2 q 2
W N L
f
d C c m c
W
d ln B 2 q 2
1
NL
f
DD
d C c m c
D D
d ln B
N L L 0
d C D
X0
D
d ln B
X 0 N L L 0
d C
L 0
2 q 2
c mc
f
1
D
ドップラーコア
W 2 DD
d ln B q 2
ln N L f
d C m c
1
20
D c D
X
2 DD ln 0
D
W
X
2 ln 0
DD
D
ローレンツウィング
d ln B q 2 0 1
W 2 D N L
f
d C m c c D
2
d ln B 0 q 2 1 1
2 D N L
f
d C c m c D
2
2 DD
D
X0
D
0 2 q 2
1
L 0
f
c m c
W
2
DD
D
X0
D
弱ライン、ドップラーコア飽和、ウィング飽和に対するｌｏｇ（Ｗ/ＤλＤ ）の近似値
（δ/λＤ=0.1、0.01 ）
log (Ｘ0 /Ｄ)
log(π1/2 Ｘ0 /Ｄ)
－２.０
－１．７５
－１.０
－０．７５
－０.５
－１．２５
０.０
０．２５
log{２[ ln (Ｘ0 /D)]
１/ ２ }
log{２(Λ/λＤ) (Ｘ0 /Ｄ)1/2 }
δ/λＤ
０．１
０．０１
－０．７０
０.５
０．７５
０．３３
－０．４５
１.０
１．２５
０．４８
－０．２０
１.５
０．５７
０．０５
２.０
０．６３
０．３０
３.０
０．７２
０．８０
３.5
０．７５
－０．２０
１．０５
０．０５
４.０
０．７８
１．３０
０．３０
５.０
０．８３
１．８０
０．８０
成長曲線（Λ/λＤ=0.1
）
2
Log(W/DλＤ）
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
log X0/D
2
3
4
5
Ｌ．７．スペクトル分類
Harvard System
Pickering/Cannon
分類法
1901 Annals Harvard Obs.28,10
1912 Annals Harvard Obs.56,225
HD(Henry Draper)カタログ 1918 Annals Harvard Obs.91
低分散対物プリズム写真乾板の眼視分類
１）ライン強度比
２）ラインの有無
３）ライン強度
O(a-e)-B(1,2,3,5,8,9)-A(0,2,3,5)-F(0,2,5,8)-G(0,5)
-K(0,2,5)-M(a,b,c,d)
Yerkes System
スリット分光
Morgan/Keenan
λλ３９３０－４８６０ A
１１５A/mm
スペクトルの大部分は同じタイプを示すが、あるライン
の比が異なる。絶対等級に依存。
d: 矮星(dwarfs)
g: 巨星(giants) c:特に明るい星
Harvard System
＋ 光度クラス I（a,ab,b) ← ｃ
II
Supergiant
Bright Giant
III（a,ab,b) ← ｇ
Giant
IV
Subgiant
V ← ｄ
Dwarf
Yerkes System でのスペクトル分類
４ー９、9.5
O
B
0, 0.5, 1-3, 5, 7,8, 9.5
A
0,
2,3, 5, 7
F
0,
2,3, 5, 7, 8,9
G
0,
2,
K
0,
2,3,4,5
5,
8
M 0, 1, 2, 3, 3, 4, 7, 8
O型星
４３４０Hγ
４１０１Hδ
4686 HeII
特徴
中性及び電離ヘリウ
ム線。電離ヘリウム
線がなければB型で
ある。早期程電離ヘ
リウム線が強くなる。
４８６１Hβ
4471 HeI
MK分類は
He II 4541/He I 4471
を細分類に使用。
晩期O型ではSi IV
(4089)
とCIII(4068, 4647,
4651)
4541 HeII
4367 HeI
B型星
特徴
中性ヘリウム線有り。B2型
で最強。
電離ヘリウム線無し。
水素線は晩期程強い。
４１０１Hδ
3970Hε
４３４０H
γ
4471 HeI
４８６１Hβ
3970Hε+
3968CaII H
A型星
特徴
3933 CaII K
水素バルマー線が強く、
A2で最強。
Ca IIのH(3968)、K(3933)
線はA0型で現れ、晩期に
向かい強まる。
多数の金属線（FeI, FeII,
CrI, CrII, TiI, TiII)が有り。
４１０１H４３４０H
δ
γ
４８６１Hβ
3970Hε+3968CaII H
F型星
3933 CaII K
特徴
４１０１Hδ
４３４０Hγ
Ca IIのKH線が強い。
バルマー線は弱くなる。
CHのGバンドがF3以降
強くなる。
4300CH G
４８６１Hβ
3933 CaII K
3970Hε+3968CaII H
４８６１Hβ
G型星
特徴
バルマー線は金属線
と同じくらいまで弱くな
る。
4383FeI d
CH（Gバンド）とCN
（42163883)は強い。
４３４０Hγ
４１０１Hδ
4326 FeI
4226 CaI g
4300CH G
K型星
3933 CaII K
3968CaII H
特徴
弱いバルマー線
強くて多数の金属線
非常に強いHK線
分子バンド（Gバンド）強い
TiOはK7で見え始める
4761 TiO
4226 CaI g
4300CH G
3933 CaII K
3968CaII H
M型星
特徴
λ＜4000A多数金属線
TiO吸収帯
4422, 4584, 4626,
4761, 4954, 5167,
5448, 5497, 5759,
5810, 5847, 5862,
6158, 7054, 7589,
TiO
4226 CaI
7672, 8433,
4584
4761
4954
3970Hε+
3968CaII H
Hδ
Hγ
4686 He II
Hβ
4471 He I
Hα
ＣａＩＩ Ｋ
バルマー
ジャンプ
ＮａＩ Ｄ
3970Hε+
3968CaII H
Hδ
Hγ
Hβ
Hα
ＣａＩＩ Ｋ
ＦｅＩ Ｅ
Ｍｇ ｂ
ＮａＩ Ｄ
Ｌ.８．連続吸収とバルマージャンプ
以下の5種の大気について、連続吸収の大きさを計算してみましょう。
吸収係数 ｋ（ｃｍ－１）＝ｋ（Ｈｂ－ｆ）＋ｋ（Ｈ-ｂ－ｆ）＋ｋ（Ｈ-ｆ－ｆ）
＝n1σ1+ n２σ２+ n３σ３+n４σ４+N－σｂｆー+NeN－α－ｆｆ
スペクトル型
Ｔ
Ｐｇ（erg/cm3）
Ｐｅ（erg/cm3）
0.18
K7
４,０００
100,000
G0
６,０００
62,000
14.0
Ａ９
７,５００
17,000
130
Ａ０
１０,０００
1,300
420
Ｂ０．５
２５０００
1,900
904.7
以下の表とグラフに示すように、T=25,000Kから 10,000Kでは、バルマー端λ＝０．３
６４８μで起きるｋの変化が大きくなっていく。これは、温度が下がるため（n２/n３)が大
きくなったからです。さらに温度が下がると、 （n２/n３) がより大きくなりますが、低温に
なるとグラフに示される通りＨ－のｂ－ｆ吸収が効いてくるので、バルマー端でのｋの
ジャンプは目立たなくなってきます。
可視域ではA0型星のカラーを０とし、他の星のカラーはそれを基準にして決めてい
ます。先に求めたTe=10000KのスペクトルをA0型と考えて、U-B,B-Vという２つのカ
ラーを求めてみましょう。有効波長はU,B,Vでλ＝0.36, 0.44, 0.55 μｍとします。
FA U
F U
U B 2.5 log
2
.
5
log
F
B
F
B
A
F U
F U
6.10
2.5 log
2.5 log
2.5 log
0.68
11.4
F B
F B
FA B
F B
F B
B V 2.5 log
2.5 log
0.77
2.5 log
F V
F V
FA V
Ｔ
Fλ（U）
Fλ（B）
Fλ（V）
K7
４０００
2.69E+06
4.82E+06
7.30E+06
-0.05
1.22
G0
６０００
7.02E+07
9.69E+07
8.51E+07
-0.33
0.63
F０
７５００
1.50E+08
3.14E +08
2.17E+08
0.12
0.37
Ａ０
１００００
6.10E+08
1.14E+09
5.61E+08
0.0
0.0
Ｂ1
２５０００
1.21E+10
8.52E+09
3.65E+09
-1.06
-0.15
U-B
B-V
モデルスペクトルの２色図
-1.0
B1
U-B
-0.5
G0
K7
0
A0
F0
0
0.5
1.0
B-V
(1) 上の式を見ると、Ｔ（τλ=2/3） を求める必要のあることが判ります。
エディントン大気で、温度分布はτＲで以下のように与えられます。
Ｔ（τＲ） ４ ＝ Ｔｅ４ ・[（３/４）・τＲ＋（１/２）]
kλ と kR が判っている時に、 τλ=2/3 となる深さはτＲではいくつでしょう？
表面から幾何学的な深さ（１００ｍとか１０ｋｍという意味です） Ｌ までの、
τλ＝ kλ ・Ｌ
τＲ＝ kＲ ・Ｌ
なので、
τＲ＝ （ kＲ / kλ）・τλ
τλ ＝２/３ を代入して、
τＲ＝ （ kＲ / kλ）・（２/３）
（２） Ｔ（τλ=2/3） を kλ 、kR、Ｔｅ， を使って表わして下さい。
Ｔ（τＲ） ４ ＝ Ｔｅ４ ・[（３/４）・τＲ＋（１/２）] に τＲ＝ （ kＲ / kλ）・（２/３） を
代入して、 Ｔ（ τλ=2/3 ） ４ ＝ Ｔｅ４ ・[（３/４）・（ kＲ / kλ）・（２/３） ＋（１/２）]
＝ （１/２）Ｔｅ４ ・ [（ kＲ / kλ） ＋ 1 ]
1 k R
T 2 / 3 Te 1
2 k
1
4
（３） Ｆλ を kλ 、kR、Ｔｅ， Ｂλ（Ｔ） 、を使って表わして下さい。
Ｆλ＝π・Ｂλ[Ｔ（τλ=2/3）] に上のＴの表式を代入して
1 kR
F B Te 1
2 k
1
4
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