§２ 比例 （６時間） ① 比例する量 《水槽に水を入れる時間と水の深さの関係》 水を入れ始めてから の時間 x (分) たまった水の深さ y (cm) ０ 2倍 3倍 4倍 １ ２ ３ ４ 2倍 ５ ６ ･･･ ０ ３ ６ ９ 12 2倍 3倍 4倍 15 18 2倍 ･･･ x^^の値を２倍，３倍，４倍，・・・すると， y^^ ^の値も２倍，３倍，４倍，・・・となっている。 このような関係のとき， 『 y^^は x^^に(正)比例する 』 という。 y^^の値は，x^^の値の３倍になっているので， y=3x と表される。 一般に，y^^が x^^の関数で， y=ax の式で表されるとき， 『 y^^は x^^に比例する 』という。 一定の数やそれを表す文字を 定数 という。 比例の式のなかの文字 a は定数であり，比例定数 という。 ^^^y x≠0 のとき，__ の値は一定で，比例定数 a^^に等しい。 ^ ^ ^x 次の問について，y^^が x^^に比例することを比例の式で示しなさ い。また，そのときの比例定数をいいなさい。 (1) 30円の鉛筆を x^^本買ったときの代金 y^^円。 比例の式 y=30x 比例定数 30 (2) 時速５kmで x^^時間歩いた距離 y^^km。 比例の式 y=5x 比例定数 5 2 (3) 底辺が x^^cm，高さが12cmの三角形の面積 y^^cm 。 比例の式 y=x*12/2 y=6x 比例定数 6 次の関係が文章通り比例関係ならば○を，そうでないなら*を 書きなさい。 ( ) ノートを買ったときの代金は，買った冊数に比例する。 ( ) テストの点数は，勉強した時間に比例する。 ( ) 100g，200円の肉を買ったときの代金は，買った重さに比例する。 ( ) １日の睡眠時間は，起きていた時間に比例する。 ( ) 人間の体重は，身長に比例する。 ( ) 体に含まれる血液の量は，体重に比例する。 ( ) 人間の髪の毛は１日に約0.4mmずつ伸びると言われている。ある 期間に伸びる毛の長さはその日数に比例する。 ( ) ジュースを飲んだとき，体に入ってくる糖分の量は，飲んだ ジュースの量に比例する。 ( ) 毎月の小遣いの金額は，年齢に比例する。 ( ) 時計の針の回る角度は，時間に比例する。 ( ) シャープペンシルの芯が出てくる長さは，ノックした回数に比例 する。 ( ) 携帯電話にかかる料金は，通話時間に比例する。 ( ) ＪＲの運賃は，行き先までの距離に比例する。 ( ) 同じ歩幅で歩くとき，歩いた距離は，歩いた歩数に比例する。 ( ) みそ汁を同じ味にするとき，みその量は，作るみそ汁の量に比例 する。 ( ) 正方形の面積は，１辺の長さに比例する。 ( ) 円周の長さは，半径の長さに比例する。 ( ) 変速機つきの自転車で，ペダルを同じように回転させたとき， 後輪の回転数はチェーンのかかっている後輪の歯車の歯の数に比例 する。 次の関係が文章通り比例関係ならば○を，そうでないなら*を 書きなさい。 (○) ノートを買ったときの代金は，買った冊数に比例する。 (*) テストの点数は，勉強した時間に比例する。 (○) 100g，200円の肉を買ったときの代金は，買った重さに比例する。 (*) １日の睡眠時間は，起きていた時間に比例する。 (*) 人間の体重は，身長に比例する。 (○) 体に含まれる血液の量は，体重に比例する。 (○) 人間の髪の毛は１日に約0.4mmずつ伸びると言われている。ある 期間に伸びる毛の長さはその日数に比例する。 (○) ジュースを飲んだとき，体に入ってくる糖分の量は，飲んだ ジュースの量に比例する。 (*) 毎月の小遣いの金額は，年齢に比例する。 (○) 時計の針の回る角度は，時間に比例する。 (○) シャープペンシルの芯が出てくる長さは，ノックした回数に比例 する。 (*) 携帯電話にかかる料金は，通話時間に比例する。 (*) ＪＲの運賃は，行き先までの距離に比例する。 (○) 同じ歩幅で歩くとき，歩いた距離は，歩いた歩数に比例する。 (○) みそ汁を同じ味にするとき，みその量は，作るみそ汁の量に比例 する。 (*) 正方形の面積は，１辺の長さに比例する。 (○) 円周の長さは，半径の長さに比例する。 (*) 変速機つきの自転車で，ペダルを同じように回転させたとき， 後輪の回転数はチェーンのかかっている後輪の歯車の歯の数に比例 する。 《50km/時で東向きに走る車》 目の前を東に向かって，50km/時で車が通過していった。現在 からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし， 東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 西 東 《50km/時で東向きに走る車》 目の前を東に向かって，50km/時で車が通過していった。現在 からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし， 東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 ４時間前 ３時間前 ２時間前 １時間前 ４時間後 ３時間後 ２時間後 １時間後 現在 西 東 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 《50km/時で東向きに走る車》 目の前を東に向かって，50km/時で車が通過していった。現在 からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし， 東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 西 東 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 《50km/時で東向きに走る車》 目の前を東に向かって，50km/時で車が通過していった。現在 からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし， 東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 ４ 時 間 前 ３ 時 間 前 ２ 時 間 前 １ 時 間 前 現 １ 時 間 後 在 ２ 時 間 後 ３ 時 間 後 ４ 時 間 後 西 東 -200 -150 -100 -50 時間 x (時) ･･･ -4 -3 0 -2 50 100 150 -1 0 1 距離 y (km) ･･･-200-150-100 -50 0 50 100 150 200 ･･･ y=50x 変数 x, y^^ ^が，負の数の場合もある。 2 200 3 4 ･･･ 《50km/時で西向きに走る車》 目の前を西に向かって，50km/時で車が通過していった。現在 からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし， 東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 西 東 《50km/時で西向きに走る車》 目の前を西に向かって，50km/時で車が通過していった。現在 からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし， 東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 ４時間前 ３時間前 ２時間前 １時間前 ４時間後 ３時間後 ２時間後 １時間後 現在 西 東 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 《50km/時で西向きに走る車》 目の前を西に向かって，50km/時で車が通過していった。現在 からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし， 東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 西 東 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 《50km/時で西向きに走る車》 目の前を西に向かって，50km/時で車が通過していった。現在 からの時間と現在地からの距離の関係について考える。ただし， 東の方向を正の方向，これからの時間を正の時間とする。 ４ 時 間 後 ３ 時 間 後 ２ 時 間 後 １ 時 間 後 現 在 １ 時 間 前 ２ 時 間 前 ３ 時 間 前 ４ 時 間 前 西 東 -200 -150 -100 -50 時間 0 x (時) ･･･ -4 -3 -2 -1 距離 y (km) ･･･ 200 150 100 50 50 0 100 1 2 150 3 200 4 ･･･ 0 -50 -100 -150 -200 ･･･ y=-50x 比例定数 a^^ ^が，負の数の場合もある。 《変域》 例１・２の車が50km/時で走り続けたとしても，いつかは燃料がな くなって動かなくなり，比例関係が成り立たなくなる また，水槽に水を入れる場合も，水槽の深さが30cmであれば，10分 後に満水になる。もし，それ以上水を入れ続けてもあふれるだけで， 水の深さは30cmのまま変わらず，比例関係が成り立たなくなる。 このとき，水を入れ始めてからの時間を x分とすると，比例関係が 成り立つために，変数 x^^のとりうる値の範囲は， 0 以上 10以下 となる。このような，変数のとりうる値の範囲を，その変数の 変域 といい，不等号や数直線を使って， 0≦x≦10 と表す。 0 10 端の数をふくむ場合は ● を， ふくまない場合は ○ を使って表す。 不等号 a^^は b^^以下(その数をふくむ)･････ a≦b a^^は b^^以上(その数をふくむ)･････ a≧b a^^は b^^より小さい・未満･････････ a<b a^^は b^^より大きい･･･････････････ a>b 次の変域を，不等号や数直線を使って表しなさい。 (1) x^^ ^のとる値が，-3 より大きい場合， x＞-3 -3 (2) x^^ ^のとる値が，6 以下の場合， x≦6 6 次の変域を，不等号や数直線を使って表しなさい。 (1) x^^ ^のとる値が，-2 以上 8 未満の場合， -2≦x<8 -2 8 ② 座標 京都では，平面上の位置を通り名を使って表すことができる。 （ただし，すべての通りが端まで通っているとは限らない。） 南北 北大路 D 今出川 A 丸太町 御池 三条 葛 西E御 千 大 堀 西 烏 河 川 東 四条 東西 前 本 宮 川 丸 端 野 大 洞 原 大 五条 院 町 路 大 路 C F 路 七条 B 位置を通り名を使って表す A地点は，烏丸今出川 B地点は，葛野大路八条 C地点は，堀川五条 通り名を使って位置を求める 八条 D地点，千本丸太町は， 九条 E地点， 西大路四条は， 十条 F地点， 河原町七条は， 数学では，直線上の位置は，１本の数直線を使って表すことができ る。平面上の位置は，直角に交わる２本の数直線を使って表すことが できる。 y x軸(横軸) 横の数直線 A 4 3 2 1 0 -4-3-2-1 O0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 y軸(縦軸) 縦の数直線 両方をあわせて座標軸 原点 x 座標軸の交点O (オー) 原点Oの座標 (0, 0) 点Aの位置は，Aから座標軸に ひいた垂線との交点の^^x, y^^の 値を読み取り，^ ^ A(3, 4)と表す。 (3, 4) を点Aの座標という。 x座標 y座標 《座標の求め方》 次の各点の座標を求めなさい。 y B 4 3 2 1 -4-3-2-1 O -1 -2 -3 -4 B(-1, 3) y 4 3 2 1 1 2 3 4 x -4-3-2-1 O -1 C -2 -3 -4 C(-3, -2) 1 2 3 4 x y 4 3 2 1 -4-3-2-1 O -1 -2 -3 -4 D(3, 0) y D 1 2 3 4 4 3 2 1 x -4-3-2-1 O 1 2 3 4 -1 -2 -3 E -4 E(0, -4) x 《点の求め方》 次の座標の各点を図に示しなさい。 A(3, 4) y 4 3 2 1 -4-3-2-1 O -1 -2 -3 -4 y A 1 2 3 4 4 3 2 1 x x座標の３を通る縦線と， y座標の４を通る横線を引き， 交点を求める。 -4-3-2-1 O -1 -2 -3 -4 A 4 3 1 2 3 4 x 原点から右へ３，上へ４進 んだ点を求める。 B(-1, 3) C(0, -4) y B 3 y 4 3 2 1 -1 -4-3-2-1 O -1 -2 -3 -4 4 3 2 1 1 2 3 4 x -4-3-2-1 O 1 2 3 4 -1 -2 -4 -3 C -4 x 次の各点の座標を求めなさい。 y B 4 3 2 1 -4-3-2-1 O -1 -2 C -3 -4 A(4, 3) A B(0, 4) E 1 2 3 4 x C(-4, -3) D(2, -3) D E(2, 0) 次の座標の各点を図に示しなさい。 y A(3, 1) B B(-2, 3) C(-4, 0) D(0, -2) E(4, -3) C 4 3 2 1 A -4-3-2-1 O 1 2 3 4 -1 D -2 E -3 -4 x ③ 比例のグラフ 《 x, y^^ ^の値の組を座標とする点をとり，グラフをかく》 y=2x のグラフ x ･･･ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ･･･ y ･･･ -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 ･･･ y 点を取ると，１つ の直線上に並ぶ。 5 -5 O -5 5 x ③ 比例のグラフ 《 x, y^^ ^の値の組を座標とする点をとり，グラフをかく》 y=2x のグラフ x ･･･ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ･･･ y ･･･ -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 ･･･ x ･･･ y ･･･ -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 -7 -5 -3 -1 1 1.5 2.5 3.5 ･･･ 3 5 7 ･･･ y y=2x 点を取ると，１つ の直線上に並ぶ。 さらに点を増やし 5 ていくと，それらの 点の集まりは，最後 は，１つの直線にな -5 O -5 5 x る。 ③ 比例のグラフ 《 x, y^^ ^の値の組を座標とする点をとり，グラフをかく》 y=2x のグラフ x ･･･ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ･･･ y ･･･ -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 ･･･ x ･･･ y ･･･ -3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 -7 -5 -3 -1 1 1.5 2.5 3.5 ･･･ 3 5 7 ･･･ y=1.5x のグラフ x ･･･ -4 -3 -2 -1 y ･･･ -6 -4.5 -3 -1.5 0 1 2 3 4 ･･･ 0 1.5 3 4.5 6 ･･･ y y=2x y=1.5x 点を取ると，１つ の直線上に並ぶ。 さらに点を増やし 5 ていくと，それらの 点の集まりは，最後 は，１つの直線にな -5 O 5 x る。 x^^ ^が増加すると， y^^ ^も増加し，グラフ の傾きは右上がりに -5 なる。 比例定数が変わる と，グラフの傾きが 変わる。 《比例定数が負の数のグラフをかく》 y=-2x のグラフ x ･･･ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ･･･ y ･･･ 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 ･･･ y=-2x y 5 -5 O -5 5 x 《比例定数が負の数のグラフをかく》 y=-2x のグラフ x ･･･ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ･･･ y ･･･ 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 ･･･ 1 2 3 4 ･･･ y=-1.5x のグラフ x ･･･ -4 -3 -2 -1 0 y ･･･ 6 4.5 3 1.5 0 -1.5 -3 -4.5 -6 ･･･ y=1.5x y=-2x y 比例定数が負の数 のとき，x^^ ^が増加す ると，y^^ ^は減少し， 5 グラフの傾きは 右下がりになる。 -5 O -5 5 x y=1.5x y=-2x y y=2x y=1.5x 5 -5 O -5 5 x 《比例定数が負の数のグラフをかく》 y=-2x のグラフ x ･･･ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ･･･ y ･･･ 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 ･･･ 1 2 3 4 ･･･ y=-1.5x のグラフ x ･･･ -4 -3 -2 -1 0 y ･･･ 6 4.5 3 1.5 0 -1.5 -3 -4.5 -6 ･･･ 比例の関係 y=ax のグラフは 原点を通る直線 である。 y=ax のグラフをかくには，原点ともう１つの点をとって，これら を通る直線をひけばよい。 次の関数のグラフをかきなさい。 ① ① y=-3x y ② 原点と 点(1, -3) x^^ ^が１のとき，y^^ ^の 5 値は比例定数と同じ数 になり，求めやすい。 ^^4 ② y=__x ^^3 ^^4 原点と 点(1, __) ^^3 点(3, 4) -5 O 比例定数が分数のと きは，x^^ ^に分母と同じ 数を代入し，整数同士 の組み合わせにする。 -5 5 x 次の関数のグラフをかきなさい。 ② ① y=3x y ① 原点と 点(1, -3) 5 ② y=-x 原点と 点(1, -1) ^^3 ③ y=__x ^^4 ^^3 原点と 点(1, __) ^^4 点(4, 3) -5 O -5 ③ 5 x 《 x^^ ^の値が１増加するときの，y^^ ^の値の変化》 y=2x y y=-2x y 5 -1 -5 -2 5 2 O 1 -5 2 x 5 -5 -1 O 1 x -2 -5 x^^ ^が１増すと，y^^ ^は２増す x^^ ^が１増すと，y^^ ^は２減る x^^ ^が１減ると，y^^ ^は２減る x^^ ^が１減ると，y^^ ^は２増す 5 《比例定数が整数でない場合》 ^^3 y=__x y ^^4 5 -5 3 -4 __ 4 4 O 1 3 5 x -3 -5 ^^^3 x^^ ^が１増すと，y^^ ^は__増す ^^^4 x^^ ^が４(分母)増すと，y^^ ^は３(分子)増す x^^ ^が４減ると，y^^ ^は３減る 次の関数のグラフをかきなさい。 ② ① ① y=-4x y x^^が１増すと， y^^ ^は４減る 5 このようにして， いくつか点を取り， なるべく端の点を利 12 用して線を引くと， ずれにくい。 ^^3 ② y=-__x ^^2 x^^が２増すと， y^^ ^は３減る -5 O 5 -3 -4 -5 x 次の関数のグラフをかきなさい。 ④ ① ① y=-x y ③ x^^が１増すと， y^^ ^は１減る ^^1 ② y=__x ^^4 x^^が４増すと， 5 5 y^^ ^は１増す ③ y=5x x^^が１増すと， y^^ ^は５増す ^^5 ④ y=-__x ^^3 x^^が３増すと， y^^ ^は５減る -5 1 3 4 O 1 -1 ② 1 5 -5 -5 x 《グラフから式を求める》 y ① ① x^^ ^が１のとき， y^^ ^が整数であれば， その値が比例定数で 5 ある。 x=1 のとき， y=-3 なので，比 -5 O -5 5 x 例定数は -3。 y=-3x y ② x^^ ^が１のとき， y^^ ^が整数でなければ， ② ともに整数である点 の座標を求める。 5 その x^^ ^座標， y^^ ^座標の値を y=ax -5 O -5 5 x に代入して a^^ ^の値 を求める。 3=a*5 ^^3 a=__ ^^5 ^^3 y=__x ^^5 次のグラフについて，y^^ ^を x^^ ^の式で表しなさい。 ② y ① ① y=4x ② y=-6x 5 ④ ^^2 ③ y=-__x ^^3 -5 O -5 5 ^^1 x ④ y=__x ^^2 ③ 比例のグラフ 比例の関係 y=ax のグラフは，原点を通る直線で，a^^ ^の値によっ て次のようになる。 a＞0 のとき a＜0 のとき y y 増加 O 増加 右上がり x 増加 O 右下がり x 減少 ④ 比例の式を求める y^^ ^が x^^ ^に比例していて，x=8 のとき y=16 である。 y^^ ^を x^^ ^の式で表しなさい。 比例定数を a^^ ^とすると， y=ax なので， 代入して， 16=a*8 a=2 したがって， y=2x y^^ ^が x^^ ^に比例していて，x=6 のとき y=-24 である。 y^^ ^を x^^ ^の式で表しなさい。 比例定数を a^^ ^とすると， y=ax なので， 代入して， -24=a*6 a=-4 したがって， y=-4x 大リーグのイチロー選手の年収が約20億円(2012年)と伝えられ ている。もし，１万円札で20億円分を積み上げたら，どれくらい の高さになるか求めなさい。なお，１万円札100枚分の厚さは 約10mmである。 １万円札の枚数を x^^枚，高さを y^^mm とすると， ^ ^ y^ ^ が x^^ ^に比例していて，x=100 のとき y=10 比例定数を a^^ ^とすると， y=ax なので， 代入して， 10=a*100 a=0.1 したがって， y=0.1x x=200000 のとき， y=0.1*200000 y=20000 (mm) したがって y=20 (ｍ) １万円札の高さ 約20ｍ ＥＮＤ
© Copyright 2024 ExpyDoc
