スポーツスケジューリング問題

1
A Note on Asymmetric Power Index
for Voting Games
東京大学松井知己
東京大学上原良賢
2
Power Indices
目的：新しい非対称投票力指数の提案
Symmetric Index（対称投票力指数）
Shapley-Shubik (1953,1954)
Banzhaf (1965)
Deegan-Packel (1978)
投票力を議席数と割当数のみから測る.
Asymmetric Index（非対称投票力指数）
Shapley-Owen (1971)
Frank-Shapley (1981)
Rabinowitz-Macdonald (1986)
Ono-Muto (1997)
イデオロギー空間の存在を仮定．
各政党は､イデオロギー空間内に配置.
（位置の近い2政党は､投票行動が似る.）
議案は位置or方向ベクトルとして発生.
3
投票行動表
投票行動表
参議院での投票行動（1989-1992）
政党：自民社会公明共産民社連合：議案数
議席： 109 74
21
14
10
12
.
Y Y Y N Y Y ： 85
Y N N N N N ： 18
Y N
N N Y N ： 9
Y N Y N Y Y ： 6
N Y Y Y Y Y ： 6
Y N Y N Y N ： 5
Y N Y Y Y Y ： 3
Y Y Y N Y N ： 1
全員一致という議案は取り除いてある.
4
イデオロギー空間
イデオロギー空間：
n次元ユークリッド空間.
各政党を点(n次元ベクトル）として配置する.
方法は後に述べる.
投票行動の近い政党は近い位置にある.
議案ベクトル(Rabinowitz-Macdonald)：
議案は1つの方向として与えられる.
B党
議案 j に反対 A党
C党
O
D党
議案 j に賛成
5
ピヴォット
議案ベクトルに沿った順に提携が形成される.
{C}, {C,B}, {C,B,D},{C,B,D,A}
敗北→ 敗北→ 勝利 → 勝利
D:ピヴォット
ピヴォット：敗北から勝利に変化させた政党
B党
議案 j に反対 A党
C党
O
D党
議案 j に賛成
6
非対称投票力指数の計算
非対称投票力指数の計算法
(Rabinowitz-Macdonald)
（1）投票行動表を用いて
政党をイデオロギー空間中に配置する
(2) 議案ベクトルを
適当な方法で確率的に発生させる
(3) 政党i の指数＝政党i がピヴォットとなる確率
を計算する
7
政党の配置と議案ベクトルの発生
(1) 投票行動表を用いて
政党をイデオロギー空間中に配置する
Rabinowitz-Macdonald：因子分析を用いる
Ono-Muto
：数量化III類を用いる
(2) 議案ベクトル（または点）の発生
Shapley：各方向が等確率で発生する
Rabinowitz-Macdonald：投票行動表の議案もイ
デオロギー空間中に方向として配置, 過去の
議案の非負結合ベクトルを等確率で発生
Ono-Muto：投票行動表の議案もイデオロギー空
間中に点として配置, 過去の議案数に比例して
発生
8
研究の動機
既往の方法：
投票行動表 → イデオロギー空間 →指数
本発表の方法：
投票行動表
→→→
指数
(1) 既往の方法：投票行動表から各政党のイデ
オロギー空間での配置を構築
(2) A党とB党が同じ投票行動を示す議案が多い
→A,B党は似たイデオロギーを持つ→指数
(3) 各議案の発生比率→各提携の発生確率
→(非対称)投票力指数
9
新しい指数(1)
投票行動表
政党：自民社会公明共産民社連合：議案数
議席： 109 74 21 14 10 12
.
Y N Y Y ： 85 (勝利)
N N N N ： 18 (敗北)
・・・・・・ Y N ： 9 (敗北)
・・・・・・
重み付き多数決ゲームを生成（121=割当数）
Y
Y
Y
Y
N
N
[ 121; 109, 74, 21, 0, 10, 12 ]
[ 121; 0, 74, 21, 14, 10, 12 ]
[ 121; 0, 74, ・・・・・・ 0, 12 ]
・・・・・・
10
新しい指数(2)
重み付き多数決ゲームを生成
政党：自民社会公明共産民社連合：議案数
議席： 109 74 21 14 10 12
.
[ 121; 109, 74, 21, 0, 10, 12 ] 85
[ 121; 0, 74, 21, 14, 10, 12 ] 18
[ 121; 0, 74, ・・・・・・ 0, 12 ] 9
・・・・・・
Shapley-Shubik 指数を計算（総議案数=133）
(.75 .083 .083 0
0 .083)×(85/133）
(0 .025 .25 .25 0 .25 )×(18/133）
(0 .025 ・・・・・・ 0 .25 )×( 9/133)
＋
・・・・・・
.
(.550 .117 .145 .064 0 .125)
11
他の指数との比較
指数：自民
109
S-S ：.564
Bz ：.844
D-P ：.333
S-O1：
S-O2：.155
O-M1:
O-M2: .632
O-M3: .639
O-M4: .707
O-M5: .511
M-U : .550
社会
74
.117
.156
.117
.032
.135
.007
.166
.117
公明
21
.117
.156
.117
.5
.211
.932
.292
.180
.105
.202
.145
共産
14
.067
.094
.144
民社
10
.067
.094
.144
.5
.144 .458
.068
.068
.045
.135
.049
.064
連合
12 .
.067
.094
.144
.
.045
.072 .
.125
12
他の指数との関係
他の指数を特殊ケースとして含む
Shapley-Shubik 指数
投票行動表
政党： A B C D E F ：議案数
議案： Y Y Y Y Y Y ： 1
Deegan-Packel 指数
投票行動表
政党： A B C D E F
議案1： Y Y N Y Y Y
議案2： Y Y Y N Y Y
議案3： Y Y Y Y N N
･･････
：議案数
： 1
： 1
全ての
： 1
極小勝利提携
13
公理系(0)
公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]]
→ η(G,pE)i = η(G,pE) j
公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE)
=η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE)
公理4 指数の総和=1
公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)
14
公理系(1)
データ：
G=[q；w1, w2,..., wn]： wi ：i の票数, q ：割当
数
v : 特性関数
プロフィール p :各勝利提携の発生確率
(発生確率の総和は1）
指数： (η(G,p)1, η(G,p)2,...,η(G,p)n)
公理1 [∀F， v(F) = v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]]
→ η(G,pE)i = η(G,pE) j
単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1
公理3 ・・・・
15
公理系(2)
単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1
公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]]
→ η(G,pE)i = η(G,pE) j
公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE)
=η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE)
公理4 指数の総和=1
公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
公理6 ････
16
公理系(3)
公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]]
→ η(G,pE)i = η(G,pE) j
公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE)
=η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE)
公理4 指数の総和=1
公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)
v’：G [E ]の特性関数, v’（F)=1 ⇔ v(F∩E)=1
17
公理系(4)
公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]]
→ η(G,pE)i = η(G,pE) j
公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE)
=η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE)
公理4 指数の総和=1
公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)
定理：提案した指数は,
公理1～6で特徴付けられる.
18
まとめ
新たな指数の提案
イデオロギー空間の導入が不要
S-S指数, D-P指数を特殊ケースとして含む
参議院のデータを用いた他の指数との比較
O-M指数と近い数値が得られた
（議案ベクトルの発生が偏っている場合に有効）
指数を特徴付ける公理系の証明
S-S指数の公理系
+（公理5）プロフィｰルに関する線形性
+（公理6）単純プロフィールを持つ際の仮定
公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)
19
おわり
20
他の指数との比較
指数：自民
109
S-S ：.564
Bz ：.844
D-P ：.333
S-O1：
S-O2：.155
O-M1:
O-M2: .632
O-M3: .639
O-M4: .707
O-M5: .511
M-U : .550
社会
74
.117
.156
.117
.032
.135
.007
.166
.117
公明
21
.117
.156
.117
.5
.211
.932
.292
.180
.105
.202
.145
共産
14
.067
.094
.144
民社
10
.067
.094
.144
.5
.144 .458
.068
.068
.045
.135
.049
.064
連合
12 .
.067
.094
.144
.
.045
.072 .
.125

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