投票の理論 最もよい投票の仕方とは 投票方法 • 単純多数決原理と固定数投票方式 • 順位評点法(ボルダ法) 単純多数決原理 一騎打ちによる強い者勝ち 単純多数決原理 • m個の候補 A1,･･･,Am • n人の投票者 同数だと話がややこしいので 奇数で棄権はないものとする • Ai>Aj AiとAjを比較してAiに対する支持者 数がAjに対する支持者数を上回るとき すべての(i,j)に対してAi>AjまたはAj>Aiどち らか一方が成立する 単純多数決勝者 あるkが存在してAk>Aj ∀ｊ≠ｋが満たされるときのAk 誰と比較しても優位に立つ候補だから それを勝者とするのは自然 コンドルセーのパラドクス M.Condorcetが矛盾を始めて指摘した 循環順序が発生し、単純多数決勝者は存在しない コンドルセーのパラドクス • A ソバ>トンカツ>スシ • B スシ>ソバ>トンカツ • C トンカツ>スシ>ソバ ソバとトンカツでは２対１でソバ トンカツとスシでは２対１でトンカツ スシとソバでは２対１でスシ この場合単純多数決勝者は存在しない 発生する割合 各個人の選好がまったくランダムであることを想定 m=3の場合はｎ≧5で大体７～9％程度 n＝∞のとき ｍ 5 10 15 20 30 40 確率 25 49 61 68 76 81 問題点 循環順序発生の可能性はともかくとして、 投票とその集計に手間と時間がかかる ↓ 手軽で単純多数決勝者を選び出す可能性 の高い投票方法が必要 改善策 • 単記投票 • 単記投票・上位２者決戦方式 • ２段階複記方式 単記投票 • 各自が１人の候補者に投票し、最大票を 得たものを勝者とする方法 • nやmが大きいときは単純多数決勝者の選 ばれる確率はかなり低い Ｎｅｘｔ 単記投票・上位２者決戦方式 • 単記投票で最高得票者が過半数に満たな い場合は上位２者で決選投票を行う Ｎｅｘｔ ２段階複記方式 • 第一段階 m人の候補者から１人を選ぶ • 第二段階 第一段階の投票の得点の上位ｓ人の中か らｔ人を選ばせ最高得点者を勝者とする シミュレーションの結果 l≒ｍ/2 l：第一段階で選ぶ人数 s＝２ t＝１と選ぶと 単純多数決勝者との一致度が高くなる ↓ １回目の投票で約半数の候補に投票して 上位２者決戦方式を採用するのがよい next 順位評点法(ボルダ法) 多くの人にまんべんなく支持されて いる人を選び出す 順位評点法(ボルダ法) • 各投票者が候補者に第１位から最下位ま で順位をつける • 第１位にm-1点、第２位にm-2点、・・・、最 下位に０点の得点を付与する • この合計した得点が最高の候補を勝者と する 勝者と単純多数決勝者との一致確率 • nやmに依存せずほぼ85％程度 • m=20だと2段階複記法が65％なのに比べ パフォーマンスがよい 問題点 • 集計に手間がかかる • 候補が多いと投票者に負担がかかりすぎる 投票の本質的な難しさ 1.選択肢の脱落による影響 順位 投票者 1 2 3 4 5 1 a e b c d 2 a e d 2 e b 3 c c 順位 投票者 3 b 1 42 3 45 5 a e a b a b a 1 d b e b d d c b c b c b c a c a c 4 a d cd a dd d 1.選択肢の脱落による影響 • 多数決勝者はa • ボルダ法ではaが13点、bが12点 • 候補者eが脱落したら • 多数決勝者は依然a • ボルダ法ではaが10点、bが11点で逆転 2.無関係対象からの独立性 投票者 1 a b c d e 2 a 投票者 1 ab 3 2 a b c d e b a b cc c d d d ee e 3 c d e a b 2.無関係対象からの独立性 • • • • aとbに対する選好は不変 しかしボルダ法では a=11 b=10が a=8 b=10となり勝者が逆転 • a,bの対比較においてそれ以外の候補の 存在が影響を及ぼしてしまっている 次 3.戦略的操作可能性 投票者 1 a b c d 2 投票者 1 3 2 3 a b c d a ba b b ab c c c d d d a 3.戦略的操作可能性 • 投票者3がbを当選させるためにaを故意に 最下位へ • この結果 • 本来ならばaが選ばれるべきなのに「戦略 的操作」が功を奏しbが当選してしまう アロウの一般不可能性定理 アロウの一般不可能性定理 ケネス・アロウ ノーベル経済学受賞 完璧な社会的決定方式は理論的に存在し得ない アロウの一般不可能性定理 • 社会Sはn人の個人で構成されている • 選択肢の集合をXをし、 Xの要素をx,y,zなどの文字で表したとき • x≧iy 個人がxよりもyを好まない • x≧ｓy 社会Sがxよりもyを好まない • x＞y x≧yであってy≧xでないとき 個人、社会ともに首尾一貫した決定 を行うことを要求するもの • 公理1 弱順序公理 弱順序公理 全ての個人iに関して以下の条件が成立する • 反射率 x≧ix ∀x∈X • 推移率 x≧iy、y≧izならばx≧iz • 連結率 全てのiと全てのx,y∈Xに対して x≧iyまたはy≧ixの少なくとも一方が成立 • 社会Sの選好関係≧sも弱順序公理を満足 民主主義・自由主義の根幹に かかわるもの • 公理2 個人の選好の無制約性 • 公理3 パレート最適性 • 公理4 非独裁制 個人の選考の無制約性 • 社会の構成員は選択肢に関してどのよう な選考を持つことも許される ※ただし、公理１に矛盾しないこと 次 パレート最適性 • 全てのiに関してx≧iyが成立するならばx≧sy 次 非独裁制 • ある特定の構成員i*が存在して、 任意の選択肢対x,y∈Xに対しx≧i*yなら 他の構成員の選好に関わりなく 常にx≧syとなるようなことが あってはならない 公理5 無関係対象からの独立性 • ある選択肢を考慮の対象からはずしたとき 残りの選択肢集合に対する社会的選好は 不変である 定理1 アロウの一般不可能性定理 • 構成員が２人以上、 選択肢が３個以上の場合、 公理１～５を満たす社会的決定方式は 存在しない 次々とパラドクスの存在が明らかに • 定理2 戦略的操作の入らない決定方式は 独裁方式のみである 次々とパラドクスの存在が明らかに • 公理6 投票者の無名性 投票者は誰もが同一の扱いを受ける • 公理7 選択肢の中立性 名前の入れ替えによって結果に 違いが出ることはない 以上のことより 定理3 • 社会的決定方式が公理6,7および 公理1,4を満たすならば、 投票者の選好のいかんに関わりなく、 全ての選択肢を社会的に 同順序としなくてはならない 公理6,7の妥当性を認めると 「社会選好の推移率」と 「無関係対象からの独立性」は 両立し得ないことを示している 完全な投票方式が 存在し得ないことが 明らかになったところで 推奨銘柄の登場です 認定投票 投票者が好きなだけの数の候補者に投票し、 最高票を得た候補を選出する方法 単記投票/上位2者決戦方式と 比べた場合の長所 A 特定の候補(のみ)を強く支持する人は従来通り その候補に投票すればよい B 強く支持する候補がいない場合には、許容でき る候補の全員に投票すればよい C 特定の候補を強く支持しているが、その候補が 当選の見込みがない場合は、当選しそうな候補 の中でよりましな候補に投票することによって自 分の票を生かすことができる 単記投票/上位2者決戦方式と 比べた場合の長所 D ある特定の候補を忌避したいときは、そ の候補以外の全員に投票することによっ て意思表示が可能になる E B,C,Dにより、より多くの有権者が投票に 参加するものと考えられる F 候補が乱立した場合“最大の少数者グ ループ”によって支持された候補者が勝つ ことを防止できる。 単記投票/上位2者決戦方式と 比べた場合の長所 G 弱い候補に対する不当な評価を防止できる H 適正な候補が選ばれた場合、認定投票は単 記投票に比べて得票率が高くなるので、選挙 結果の正当性が増す 定理4 • 各投票者の選考が2分割(よい候補と悪い 候補の2種類しかいない場合)なら、認定投 票には戦略的操作は入らないまた、すべ ての2分割選好に対して戦略的操作が入ら ない投票方式は認定投票のみである。一 方、選好が3分割以上の場合には、戦略的 操作が入らない投票方式は存在しない 認定投票の短所 • 集計に手間がかかる • 1人の持つ票数が異なるのは公正さを欠く ↓ 1章で紹介 • 角のない八方美人的候補が選ばれやすい
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