1
A Note on Asymmetric Power Index
for Voting Games
University of Tokyo Tomomi Matsui
University of Tokyo Yoshikata Uehara
2
voting game
N={1,2,…,n}: set of players
v: 2N →R: characteristic function
(N,v): characteristic function game
voting game
(1) v: 2N →{0,1} (simple game),
(2) ∀S⊆∀T⊆N, v（S）≦v（T）.
game for analyzing (political) voting system
3
voting game
coalition: subset of players
(empty set is also called a coalition, here)
winning coalition: v(S)=1
losing coalition: v(S)=0
W: family of all the winning coalitions
L: family of all the losing coalitions
(clearly W ∪ L = 2N )
voting game:
G=(N,W): (players, winning coalitions)
∀S⊆∀T∈W, S∈W.
4
power index
power index: quantitative measure of power for
players of voting game
(symmetric) power index
Shapley-Shubik (1953,1954)
Banzhaf (1965)
Deegan-Packel (1978)
defined only by the characteristic function
Political voting system: each voter has his/her
own ideology
⇒ non-symmetry among voters
5
asymmetric index
asymmetric index
Shapley-Owen (1971)
Rapoport-Golan (1985)
Israeli Knesset
Frank-Shapley (1981)
U. S. Supreme Court
Rabinowitz-MacDonald (1986)
U. S. Presidential Elections
Ono-Muto (1997)
House of Councilors in Japan
introduce ideology (profile) space,
each player has a position in ideology space,
6
result
main result: asymmetric index for voting game
(1) without the definition of ideology space,
(2) use the profile of issue distribution
directly,
(3) generalization of Shapley-Shubik index,
and Deegan-Packel index,
(4) axiomatic characterization.
7
profile of issue distribution
profile of issue distribution:
characterize each issue by the coalition consists
of players (parties) who agree with the issue
issue distribution = probability distribution
defined on winning coalitions
(losing coalition = rejected issue
= issue blocked by complement coalition
= (winning) complement coalition)
Assumption: v(S)+v(N-S) ≧１
profile: p:W →[0,1]
satisfying {∑p(S)｜S∈W}=1
8
new index
E: winning coalition
G[E]=(N,W[E]) sub-game:
W[E]={F ⊆N｜F∩E ∈W}
φ[G’]：N→[0,1]：
Shapley-Shubik index of a voting game G’
φ[E]： N→[0,1]：
Shapley-Shubik index of the sub-game G[E]
new index:
η(G,p)={∑p(E) φ[E] ｜E∈W}
G=(N,W) : sub-game,
p:W →[0,1] : profile
9
explanation from game theoretical point of view
new index:
η(G,p)={∑p(E) φ[E] ｜E∈W}
G[E]=(N,W[E]) : sub-game,
p:W →[0,1] : profile
φ[E] :Shapley-Shubik index of sub-game
= imputation corresponding to Shapley value
∑p(E) φ[E] = ∑(probability) (imputation)
= (expectation of imputations w.r.t.
Shapley value and issue distribution)
10
special case
new index:
η(G,p)={∑p(E) φ[E] ｜E∈W}
Shapley-Shubik index:
profile p(F )=1 iff F =N
Deegan-Packel index:
profile p(F)=1/|Wmin| iff F is a minimal
winning coalition
Wmin : family of minimal winning coalitions
(p(F)= 0 (otherwise) )
11
Analysis of House of Councilors
in Japan
12
House of Councilors in Japan
House of Councilors in Japan (19891992)
6 (non-minor) parties
Liberal Democratic Party (LDP): 109
Social Democratic Party (SDPJ): 74
Komeito (Komei): 21
Japan Communist Party (JCP): 14
Democratic Socialist Party (DSP): 10
Rengo: 12
total: 240
13
profile of issue distribution
characterize issues by the coalition (8 issues)
House of Councilors in Japan （1989-1992）
party： LDP SDPJ Komei JCP DSP Rengo ：number
seats： 109 74
21
14
10 12
.
Y Y Y N Y Y ： 85
Y N N N N N ： 18
Y N
N N Y N ： 9
Y N Y N Y Y ： 6
N Y Y Y Y Y ： 6
Y N Y N Y N ： 5
Y N Y Y Y Y ： 3
Y Y Y N Y N ： 1
profiles of non-unanimous votes
14
weighted majority game
players: N ={1,2,…,n}
weighted majority game: [q; w1,w2,…,wn]
q: quota,
wi: voting weight (seats) of player (party) i
coalition S is winning ⇔ {∑ wi| i ∈S}≧q
Assumption:
(1/2) (w1+w2+・･･＋wn )<q≦ (w1+w2+・･･＋wn )
15
sub-games
profile of issue distribution
party： LDP SDPJ Komei JCP DSP Rengo ： number
seats： 109 74
21
14
10
12
.
Y
Y
Y
Y
N
N
Y N Y Y ： 85 (winning)
N
N
N N ： 18 (loosing)
・ ・ ・ ・ ・ ・ Y N ： 9 (loosing)
・・・・・・
generate sub-games （121=quota）
[ 121; 109, 74,
[ 121; 0, 74,
[ 121; 0, 74,
21, 0, 10, 12 ]
21, 14, 10, 12 ]
・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ]
・・・・・・
16
calculation of indices
generated sub-games （121=quota）
party： LDP SDPJ Komei JCP DSP Rengo ： number
seats： 109 74
21
14
10
12
.
[ 121; 109, 74, 21, 0, 10, 12 ] 85
[ 121; 0, 74, 21, 14, 10, 12 ] 18
[ 121; 0, 74, ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ] 9
・・・・・・
Shapley-Shubik index of each sub-game （issue
total=133）
(.75 .083 .083 0
0
(0 .025 .25 .25 0
(0 .025 ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0
＋
・・・・・・
(.550 .117 .145 .064 0
.083)×(85/133）
.25 )×(18/133）
.25 )×( 9/133)
.
.125)
17
comparison with other indices
party： LDP
seats: 109
S-S ：.564
Bz ：.844
D-P ：.333
S-O1：
S-O2：.155
O-M1:
O-M2: .632
O-M3: .639
O-M4: .707
O-M5: .511
M-U : .550
SDPJ Komei JCP
74
21 14
.117 .117 .067
.156 .156 .094
.117 .117 .144
.5
.032 .211 .144
.932
.292
.135 .180
.007 .105
.166 .202
.117 .145 .064
DSP
10
.067
.094
.144
.5
.458
.068
.068
.045
.135
.049
Rengo
12 .
.067
.094
.144
.
.045
.072 .
.125
18
Axiom(0)
Axiom1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
Axiom2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]]
→ η(G,pE)i = η(G,pE) j
Axiom3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE)
=η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE)
Axiom4 sum total of indices =1
Axiom5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
Axiom6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)
19
Axiom (1)
G=(N,v): voting game
profile p :
index： (η(G,p)1, η(G,p)2,...,η(G,p)n)
Axiom1 [∀F， v(F) = v(F+i)] → η(G,p)i = 0
（dummy player)
Axiom2 [i,j ∈E , [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]]
→ η(G,pE)i = η(G,pE) j
simple profile pE : [pE(F) =1 ⇔F=E ]
(symmetric player and simple profile)
20
Axiom(2)
Axiom1 (dummy player)
Axiom2 (symmetric players and simple profile)
Axiom3 ∀ E ∈W, η(G1, pE)+η(G2, pE)
=η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE)
(additivity of games with simple profile)
simple profile pE : [pE(F) =1 ⇔F=E ]
Axiom4 sum total of indices =1
Axiom5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
(linearity with respect to the profile)
21
Axiom(3)
Axiom1 (dummy player)
Axiom2 (symmetric players and simple profile)
Axiom3 (additivity of games with simple
profile)
Axiom4 sum total of indices =1
Axiom5 (linearity with respect to the profile)
Axiom6 ∀ E∈W,η(G, pE) =η(G [E ], pE)
(indices of simple profile game
= indices of simple profile sub-game
restricted to the corresponding coalition
= outsiders do not have any power)
simple profile pE : [pE(F) =1 ⇔F=E ]
22
Axiom(4)
Axiom1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
Axiom2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]]
→ η(G,pE)i = η(G,pE) j
Axiom3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE)
=η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE)
Axiom4 sum total of indices =1
Axiom5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
Axiom6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)
Theorem:
ηindex is characterized by the above axioms
23
Conclusion
propose asymmetric index
without definition of ideology space
generalization of S-S index and D-P index
analyze House of Councilors in Japan
our index is similar to O-M index
axiomatic characterization of our index
axioms for S-S index
+（Axiom5）linearity on profile
+（Axiom6）index for the case of simple profile
Axiom5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
Axiom6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)
24
END
25
イデオロギー空間
イデオロギー空間：
n次元ユークリッド空間.
各政党を点(n次元ベクトル）として配置する.
方法は後に述べる.
投票行動の近い政党は近い位置にある.
議案ベクトル(Rabinowitz-Macdonald)：
議案は1つの方向として与えられる.
B党
議案 j に反対 A党
C党
O
D党
議案 j に賛成
26
ピヴォット
議案ベクトルに沿った順に提携が形成される.
{C}, {C,B}, {C,B,D},{C,B,D,A}
敗北→ 敗北→ 勝利 → 勝利
D:ピヴォット
ピヴォット：敗北から勝利に変化させた政党
B党
議案 j に反対 A党
C党
O
D党
議案 j に賛成
27
非対称投票力指数の計算
非対称投票力指数の計算法
(Rabinowitz-Macdonald)
（1）投票行動表を用いて
政党をイデオロギー空間中に配置する
(2) 議案ベクトルを
適当な方法で確率的に発生させる
(3) 政党i の指数＝政党i がピヴォットとなる確率
を計算する
28
政党の配置と議案ベクトルの発生
(1) 投票行動表を用いて
政党をイデオロギー空間中に配置する
Rabinowitz-Macdonald：因子分析を用いる
Ono-Muto
：数量化III類を用いる
(2) 議案ベクトル（または点）の発生
Shapley：各方向が等確率で発生する
Rabinowitz-Macdonald：投票行動表の議案もイ
デオロギー空間中に方向として配置, 過去の
議案の非負結合ベクトルを等確率で発生
Ono-Muto：投票行動表の議案もイデオロギー空
間中に点として配置, 過去の議案数に比例して
発生
29
研究の動機
既往の方法：
投票行動表 → イデオロギー空間 →指数
本発表の方法：
投票行動表
→→→
指数
(1) 既往の方法：投票行動表から各政党のイデ
オロギー空間での配置を構築
(2) A党とB党が同じ投票行動を示す議案が多い
→A,B党は似たイデオロギーを持つ→指数
(3) 各議案の発生比率→各提携の発生確率
→(非対称)投票力指数
30
新しい指数(1)
投票行動表
政党： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 ： 議案数
議席： 109 74 21 14 10 12
.
Y N Y Y ： 85 (勝利)
N N N N ： 18 (敗北)
・ ・ ・ ・ ・ ・ Y N ： 9 (敗北)
・・・・・・
重み付き多数決ゲームを生成 （121=割当数）
Y
Y
Y
Y
N
N
[ 121; 109, 74, 21, 0, 10, 12 ]
[ 121; 0, 74, 21, 14, 10, 12 ]
[ 121; 0, 74, ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ]
・・・・・・
31
新しい指数(2)
重み付き多数決ゲームを生成
政党： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 ： 議案数
議席： 109 74 21 14 10 12
.
[ 121; 109, 74, 21, 0, 10, 12 ] 85
[ 121; 0, 74, 21, 14, 10, 12 ] 18
[ 121; 0, 74, ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ] 9
・・・・・・
Shapley-Shubik 指数を計算 （総議案数=133）
(.75 .083 .083 0
0 .083)×(85/133）
(0 .025 .25 .25 0 .25 )×(18/133）
(0 .025 ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0 .25 )×( 9/133)
＋
・・・・・・
.
(.550 .117 .145 .064 0 .125)
32
他の指数との比較
指数 ： 自民
109
S-S ：.564
Bz ：.844
D-P ：.333
S-O1：
S-O2：.155
O-M1:
O-M2: .632
O-M3: .639
O-M4: .707
O-M5: .511
M-U : .550
社会
74
.117
.156
.117
.032
.135
.007
.166
.117
公明
21
.117
.156
.117
.5
.211
.932
.292
.180
.105
.202
.145
共産
14
.067
.094
.144
民社
10
.067
.094
.144
.5
.144 .458
.068
.068
.045
.135
.049
.064
連合
12 .
.067
.094
.144
.
.045
.072 .
.125
33
他の指数との関係
他の指数を特殊ケースとして含む
Shapley-Shubik 指数
投票行動表
政党： A B C D E F ：議案数
議案： Y Y Y Y Y Y ： 1
Deegan-Packel 指数
投票行動表
政党 ： A B C D E F
議案1： Y Y N Y Y Y
議案2： Y Y Y N Y Y
議案3： Y Y Y Y N N
･･････
：議案数
： 1
： 1
全ての
： 1
極小勝利提携
34
公理系(0)
公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]]
→ η(G,pE)i = η(G,pE) j
公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE)
=η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE)
公理4 指数の総和=1
公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)
35
公理系(1)
データ：
G=[q；w1, w2,..., wn]： wi ：i の票数, q ：割当
数
v : 特性関数
プロフィール p :各勝利提携の発生確率
(発生確率の総和は1）
指数： (η(G,p)1, η(G,p)2,...,η(G,p)n)
公理1 [∀F， v(F) = v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]]
→ η(G,pE)i = η(G,pE) j
単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1
公理3 ・ ・ ・ ・
36
公理系(2)
単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1
公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]]
→ η(G,pE)i = η(G,pE) j
公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE)
=η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE)
公理4 指数の総和=1
公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
公理6 ･ ･ ･ ･
37
公理系(3)
公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]]
→ η(G,pE)i = η(G,pE) j
公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE)
=η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE)
公理4 指数の総和=1
公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)
v’：G [E ]の特性関数, v’（F)=1 ⇔ v(F∩E)=1
38
公理系(4)
公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0
公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]]
→ η(G,pE)i = η(G,pE) j
公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE)
=η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE)
公理4 指数の総和=1
公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)
定理：提案した指数は,
公理1～6で特徴付けられる.
39
まとめ
新たな指数の提案
イデオロギー空間の導入が不要
S-S指数, D-P指数 を特殊ケースとして含む
参議院のデータを用いた他の指数との比較
O-M指数と近い数値が得られた
（議案ベクトルの発生が偏っている場合に有効）
指数を特徴付ける公理系の証明
S-S指数の公理系
+（公理5）プロフィｰルに関する線形性
+（公理6）単純プロフィールを持つ際の仮定
公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’)
=λη(G, p)+ (1‐λ) η(G, p’)
公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)
40
おわり
41
他の指数との比較
指数 ： 自民
109
S-S ：.564
Bz ：.844
D-P ：.333
S-O1：
S-O2：.155
O-M1:
O-M2: .632
O-M3: .639
O-M4: .707
O-M5: .511
M-U : .550
社会
74
.117
.156
.117
.032
.135
.007
.166
.117
公明
21
.117
.156
.117
.5
.211
.932
.292
.180
.105
.202
.145
共産
14
.067
.094
.144
民社
10
.067
.094
.144
.5
.144 .458
.068
.068
.045
.135
.049
.064
連合
12 .
.067
.094
.144
.
.045
.072 .
.125
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