物理学と幾何学

Einsteinの夢
京都大学基礎物理学研究所
小玉英雄
一般相対性理論
重力 ⇒ 物質
物質 ⇒ 重力
黎明期 1905-1940
1905 特殊相対性理論
1915
1900 輻射の量子論
1905 光量子論
一般相対性理論
1916 Schwarzschild解
1917 静的Einstein宇宙解
1917 Weyl理論
de Sitter解(Λ)
1921 Friedmann解 (K)
1923 Birkhoffの定理
1932 Einstein-de Sitter解
1925 Pauliの排他原理
1924 Eddington-Finkelstein座標 1926 波動力学
1928 Dirac方程式
1929 場の量子論
1931 Chandrasekhar質量
統一場の理論
1932 中性子星の存在予言
1934 Tolman解 (P)
1933 Horizonの概念(Lemaitre)
1935 Robertson-Walker計量
1934 Tolman-Bondi解
1929 Hubbleの法則
(宇宙膨張)
1933 Coma銀河団の
ダークマター
1921 Kaluza-Klein理論
1939 一様星の重力崩壊

FRWモデル

Schwarzschildブラックホール
発展期 1946-1974
1946 Big-Bang理論
1948 くりこみ理論
RW宇宙の線形摂動論
1948 定常宇宙論
1957 Regge-Wheeler方程式
1957 元素の起源
1962 X線星の発見
1962 星の進化理論
1962 Landau-Lifshitzの公式
Newman-Penrose形式
1958 拘束系の正準理論
1960 ADM形式
1961 対称性の自発的破れ
1963 QSOの発見
1963 Kerr解
1965 CMBの発見
1965-70 特異点定理
クォークモデル
1967 WD方程式
1967 静的BHの一意性
Higgs機構
1968-70 Bianchi宇宙論
1968 Ernst理論
1967 電波Pulsarの発見
1969 膨張宇宙における
粒子生成
1970’s 宇宙の熱史,銀河
形成の研究
Harrison変換
1969 弱宇宙検閲仮説
1964 重力場のDirac量子化
1967 Weinberg-Salam理論
No-Go定理(Coleman-Mandula)
1968 Veneziano振幅
1970 Zerilli方程式
1972 定常回転BHの一意性
1973—1978 CygX1が有
力なブラックホール候補
となる
Teukolsky方程式
1973 BHの面積増大定理
BHエントロピー
1974 BHの蒸発
1973 QCD
Raychaudhuri方程式
強エネルギー条件
が満たされるとき,
• 重力は引力となる.
• 一旦収束し始めた非回転的光線束(時間的測地線束)は
有限時間内に「一点」に収束する.
Hawking-Penroseの特異点定理
 強エネルギー条件(+一般性条件)
 因果性条件
 強重力条件(捕捉的集合の存在)
の3つの条件が満たされるとき,無限に延長できない光的
ないし時間的測地線が存在する
(弱い)宇宙検閲仮説 [Penrose(1969)]
重力崩壊により作られる特異点はホライズンに隠される.
静的ブラックホールの一意性
漸近的に平坦で静的な正則電磁真空ブラックホール解は(ホライズンが非
縮退なら)球対称で,Reissner-Nordtrom解に限られる .
[Israel(1967), Bunting-Masood-ul-Alam(1987)]
定常回転ブラックホールの一意性
漸近的に平坦で定常な正則解析的電磁真空ブラックホール解は(ホライズ
ンが連結なら)軸対称で,Kerr-Newman解に限られる.
[Hawking, Carter(1972), Mazur(1982), Chrusciel(1996)]
⇒ 重力崩壊の終状態の予言可能性
転換期 1974-1989
1974 大統一理論
1970代後半—1980年代
ダークマターの観測
1978 Baryogenesis
1980’s 宇宙構造形成の組織的研
究(摂動論、N体計算)
1980 ゲージ不変摂動論
1981 インフレーションモデル
1982 新インフレーションモデル
量子ゆらぎからの構造形成
無からの宇宙創生
1983 宇宙の無境界波動関数
1977 EPIによるBH熱力学
1979 正エネルギー定理
(Schoen & Yau)
1980’s 解の変換論
1980 Freund-Rubinコンパクト
化
1982 荷電定常回転BHの一 1981 KK型超対称統一理論
意性
の分析
1983 正エネルギー定理
(Witten, Nester)
1984 超弦理論の誕生
1985 Calabi-Yauコンパクト化
1986 Myers-Perry解
1988 Baby universe model
1975 No-Go定理(HaagLopuszanski-Sohnius)
1978 D=11SUGRAモデル
カオス的インフレーション
1988 CfA survey
Wess-Zumonoモデル
1986 Ashtekar理論
1987 静的BHの一意性(PET
の利用)
1988 ループ量子重力
飛躍期? 1990-
1992 COBEによるCMB
非等方性の検出
1993 位相検閲定理
Gregory-Laflamme不安
定
1994 連星パルサー
PSR 1913+16の観測
1996 量子重力理論によ
るBHエントロピーの導出
(SST/D, LG)
1998 TeV重力理論
1999 RSブレインワール
ドモデル
2001 ブラックリング解
2002 高次元静的BHの一
意性
2005 Boomerang03
インフレーションの確認,
ダークエネルギー
M理論の超対称フラックス
コンパクト化
1997 AdS/CFT予想
2000 BWモデルの摂動
論
2003 WMAP
1996 Dブレイン、 F理論
Horava-Witten理論
1998 現在の宇宙の加
速膨張(IIa SNe)
1999 BOOMERANG
1995 双対性による超弦理
論の統合:M理論
2003 KKLT構成
KKLMMTモデル
2003 静的高次元ブラック
ホールの摂動論
2000 Landscape問題
2002 フラックスコンパクト
化によるモジュライ安定化
今後の課題


検証
天体物理
•
•
•
•

宇宙論
•
•
•
•

宇宙進化モデル: インフレーションモデルの確定
観測的宇宙論: ダークマターとダークエネルギー
宇宙の初期条件と初期進化
特異残留物の物理
数理
•
•
•
•

活動的天体(ブラックホールの物理): ジェット形成
重力崩壊(数値相対論)
重力波
重力レンズ
厳密解の構成
解の分類(ブラックホール)
時空の大域的構造
宇宙検閲仮説と時空特異点
原理的諸問題
•
統一理論,量子重力理論
Higher-Dimensional Unification
Standard model ⇒ (SO(10)) GUT: gauge-sector unification
hypercharge structure, αunification, neutrino mass
Baryon asymmetry, strong CP(Peccei-Quinn symmetry)
Standard model
GUT
Ref: Wilczek, F: in Physics in the 21st Century, eds. K.Kikkawa et al.(1997, World Scientific)
Coupling Constant Unification
Standard Model
MSSM
De Boer, W & Sander, C: PLB585, 276(2004)[hep-ph/0307049]
Higher-Dimensional Unification
Standard model ⇒ (SO(10)) GUT: gauge-sector unification
hypercharge structure, αunification, neutrino mass
Baryon asymmetry, strong CP(Peccei-Quinn symmetry)
GUT ⇒ SGUT: boson-fermion correspondence
Dark matter, Λ problem, hierarchy problem,α unification
Supersymmetry
Super-Poincare algebra
Boson ⇔ Fermion :
N=1 case:
Positivity of energy:
Boson-fermion cancellation:
(Massless) Supermultiplet
N=1:
N=2:
N=8:
Super-partners in SM
SUSY breaking
AdS-super algebra
Higher-Dimensional Unification
SGUT ⇒ Sugra GUT: inclusion of gravity
Flat inflaton potential
Sugra GUT ⇒ HD Sugra GUT: matter sector unification
Repetition of families, Cabibbo/neutrino mixing, CP violation
Incomplete (split) multiplets
Family Repetition
Standard Model
Higher-dimensional model
χのゼロモードの数 ⇒ familyの数
Triplet-Doublet Splitting
Baryon number violation by Higgs
Orbifold GUT (Kawamura model [2000])
Ref: Nilles, H.P.: hep-th/0410160
Higher-Dimensional Unification
HD Sugra GUT ⇒ Superstring/M theory
Consistency as a quantum theory, finite control parameters
No Λ freedom (M-theory)
Difficulties of SHD Theories
Choice of theory
M-theory or 10D superstring theories
Ambiguity due to duality and branes
Compactification
What determines the type of compacfication?
Moduli stabilisation
No-Go theorem against accelerating expansion
Identification of our four-dimensional universe
SUSY breaking
Mechanism
Control
Moduli
Torus compactification:
Effective action
We have to find a compactification in which all moduli are
stabilised at high energy scales, except for inflaton, and
allows for supersymmetric inflation.
Cf. KKLT(Warped compactification with flux),
Landscape problem
No-Go Theorem
For any (warped) compactification with a compact closed
internal space, if the strong energy condition holds in the full
theory and all moduli are stabilized, no stationary accelerating
expansion of the four-dimensional spacetime is allowed.

Proof
For the geometry
from the relation
for any time-like unit vector V on X, we obtain
Hence, if Y is a compact manifold without boundary,
is a smooth
function on Y, and the strong energy condition
is satisfied
in the (n+4)-dimensional theory, then the strong energy condition
is satisfied on X.
Summary



General relativity has played a leading role in cosmology and
astrophysics in these 90 years and produced new predictions, often
by interplays with developments in microscopic physics. Many of
them, although regarded as exotic at first, have been successfully
confirmed by observations.
Now, however, we are experiencing a new situation in which
observations precede theoretical predictions. In particular, the Dark
Energy/Cosmological Constant problem is clearly beyond the scope
of general relativity and can be resolved only by a unified theory of
matter and gravity.
Recent experimental and theoretical analyses of the standard
model for elementary particles as well as cosmological models also
strongly suggest that the matter sector and the gravity sector should
be unified, and it is highly likely that the unified theory is higherdimensional.


At present, we have a very strong candidate for a unified theory, i.e.
superstring/M-theory. However, it is still far from complete.
Furthermore, there are serious obstacles in constructing a realistic
universe model and low energy physics in term of them, such as the
moduli stabilisation problem, no-go theorem against accelerating
expansion of the universe and the SUSY-breaking mechanism
problem.
In addition to applications to cosmology and astrophysics, a huge
amount of investigations have been done concerning mathematical
aspects of general relativity. Thereby, various fascinating results
such as singularity theorems, black hole uniqueness theorems and
positive energy theorems have been obtained. Although they have
not produced any observable new prediction up to this point, they
have provoked various new theoretical developments such as black
hole thermodynamics and the cosmic censorship problem. In
higher-dimensional unified theory, such mathematical investigations
become richer and will have a crucial importance in getting
observable predictions.

From the history of the last century, we have learned that timeliness
is crucial for successful investigations. Now, it is time for you to bet
on whether
• Spacetime is really higher dimensional microscopically,
Or
• Spacetime is four-dimensional, and the apparent higherdimensionality of a unified theory is just of a mathematical nature.
I bet on the first, but the future is yours.