第１1回授業(12/11)の学習目標         第８章分散分析 (ANOVA) の学習分散分析の例からその目的を理解する分散分析の各種のデザイン Fisher の実験計画法の３原則とは？作業仮説と帰無仮説の違い帰無仮説棄却の意味と多重比較とは？分散分析表とその作成方法完全無作為化デザインANOVA の検定方法と実習(実習の手前までで、終了）例1 睡眠遮断実験データ       睡眠遮断実験データ（Kirk, 1985) 要因ー睡眠遮断１要因要因の水準ー４ 12h, 24h, 36h, 48h の睡眠遮断条件サンプル数ー各水準に８名づつ無作為割り付け従属変数ー手先の鈍感さ完全無作為化法 1 2 3 4 5 6 7 8 12h 24h 36h 48h 3 4 7 7 6 5 8 8 7 9 ３４ 3 3 6 8 1 2 5 10 2 3 6 10 2 4 5 9 2 3 6 11 睡眠遮断実験の目的実験の目的は、「手先の敏捷さ（鈍感さ）は、睡眠遮断により影響を受ける（睡眠遮断の効果あり）」という作業仮説を検討することである。  そのためには、どのような手順でデータを収集する必要があるだろうか？  完全無作為化法とは？  完全無作為化法とは？  当該実験での主要な因子（要因）１つの各水準に対して、各被験者を無作為に割り付ける方法。うえの例では、睡眠遮断要因が主要な因子である。水準観測値Ａ１・・・Ａｐ均質な被験者集団完全無作為化法の特徴  完全無作為化法では、テキスト p.36 にあるように、次のような特徴を持つ：（１）反復各水準ごと、複数の被験者（標本）が割り付けられている。（２）無作為化被験者（標本）の、各水準への割り付けは無作為（randomize) になされている。実験計画におけるFisher の３原則テキスト p.36 の下方に書いたように、一般に実験計画法（狭義の分散分析）では、つぎの３つの原則が重要である：（１）反復同一水準には２回以上の標本が必要（２）無作為化標本の各水準への割付は、無作為化が必要（３）局所管理作業仮説と統計的仮説（帰無仮説）の違い実験の目的は、「手先の敏捷さ（鈍感さ）は、睡眠遮断により影響を受ける（睡眠遮断の効果がある）」という作業仮説を検討することである。  この場合の帰無仮説は、「手先の敏捷さ（鈍感さ）は、睡眠遮断により影響を受けない（睡眠遮断の効果はない）」というものである。  帰無仮説の棄却の意味帰無仮説「手先の敏捷さ（鈍感さ）は、睡眠遮断により影響を受けない（睡眠遮断の効果はない）」が棄却された時（否定された時）、  睡眠遮断の効果は（統計的に）有意であった、と言う。  このことは、手先の敏捷さ（鈍感さ）は、睡眠遮断により影響を受ける（睡眠遮断の効果がある）、ということである。また、このことは、うえの作業仮説が支持されたことを意味する。  睡眠遮断の効果が有意とは？ o ( 手先の鈍感度平均） o o １２ｈ４つの水準のどこかに平均値の差がある o ２４ｈ３６ｈ４８ｈ効果が有意な場合の多重比較うえの例のように、効果が統計的に有意な場合には、水準間のどこかに差があることになるので、  つぎに、どこに差があるかを統計的に検定することにより明らかにする必要がある。  この検定は、多重比較（multiple comparison) と呼ばれる（テキスト p.37 上部）。  標準的な分散分析表テキスト p.36 の表８．２変動因平方和自由度平均平方 F値要因名 SSA I-1 UA= UA/UE SSA /(I-1) 誤差 SSE N-I UE = SSE/(N-I) 計 SST N-1 ｐ値 p 例２ミラーリエル錯視実験データ        ミラーリエル錯視実験 (１８年度計量心理学演習受講者データ）要因ー斜線分の長さ要因数ー１要因の水準ー３サンプル数ー１２名従属変数ー錯視量（単位mm) １要因反復測定デザイン ANOVA 15mm 条件１２ . . . １２ 30mm 条件 45mm 条件 17.8 18.5 19.5 25.8 30.5 28.8 . . . . . . . . . 21.0 29.0 31.5 上記ミラーリエル錯視実験の目的ミラーリエル錯視における斜線分の長さの効果の有無を検討すること。  問題睡眠遮断実験とミラーリエル錯視実験の違いは？  ヒント => 両実験での一人の被験者が反応する条件（水準）は、それぞれ幾つか？  問題の解答上記ミラーリエル錯視実験では、睡眠遮断実験と異なり、同一被験者がすべての条件に反応させられている。  このようなデザインは、テキスト p.36 の中程に書いたように、反復測定分散分析（repeated measures ANOVA) と呼ばれる。  例３反応時間実験データ        反応時間実験データ（１８年度修士２年金田君データ） 1 要因ー反応形態と刺激の中立性要因数ー２ 2 要因の水準ー反応形態３、刺激の中立性２ … サンプル数ー２５名従属変数ー反応時間２要因反復測定デザイン 25 ANOVA A1 B1 A1 B2 A2 B1 A2 B2 A3 B1 A3 B2 240 218 437 439 485 567 197 195 267 382 366 363 … … … … … … 256 301 411 416 407 480 例３の反応時間実験の目的例３の反応時間実験の目的は、反応時間に影響を及ぼすと考えられる反応形態と刺激の中立性の２要因の（主）効果と、両要因の交互作用（からみの効果）の有無を検討することである。  すなわち、検討すべき効果は A, B, A×B の３種類である。  完全無作為化デザイン ANOVAの一般的計算手順（１）   テキスト p.36 の表8.2 の分散分析表を完成するには、一般にテキスト p.37 下方の (8.1)式から (8.3) 式の SST, SSA, SSE を計算しなければならない。ただし、SST の計算には、テキスト p.37 の末尾に記したように、 SST = SSA + SSE なる関係があることを利用し、(8.6) 式を用いればよい。完全無作為化デザイン ANOVAの一般的計算手順（２）  SST は、p.38 の (8.4) 式からつぎのように計算する： Ni I I Ni SST   yik2  N ( y  ) 2   yik2  K , i 1 k 1 I i 1 k 1 Ni 2  yik2  ( y112  y122    y12N1    y IN ), I i 1 k 1 2  y K  N ( y11  y12    y1N1    y IN I ) 2 N . 完全無作為化デザイン ANOVAの一般的計算手順（３）  一方、SSAは、p.38 の (8.5) 式からつぎのように計算する。 y1 , y2 ,, yI  は、各水準の総和である： I SS A   N i ( y i  ) 2  N ( y  ) 2  M  K , i 1 y12 y22 y I2 M    , N1 N 2 NI 2  y K   N ( y11  y12    y1N1    y IN I ) 2 N . 完全無作為化デザイン ANOVAの一般的計算手順（４）   最後に、SSEは、(8.6) 式を用いて計算すればよい。結局、SST、SSA、及びSSE を求めるには、テキスト p.38 の下方にある手順に従って、これらを求めればよい。完全無作為化デザイン ANOVA分散分析表の計算例（１）水準観測値標本数行合計（各水準の和） A1 47, 30, 85, 59, 15 5 y1•= 236 A2 79, 30, 44, 26, 57 5 y2•= 236 A3 48, 53, 35, 86, 63 5 y3•= 285 完全無作為化デザイン ANOVA分散分析表の計算例（２）   うえの計算例（１）で、既にデータの各水準の和を求めたので、順次 p.38 下方の計算手順に進む。２．データの総和と修正項は： y  (47  30  )  (79  30  )  (48  53  ),  y1  y2  y3  236 236 285  757. 2  2 y 757 573049 K    38203.27. N 555 15 完全無作為化デザイン ANOVA分散分析表の計算例（３）  3.データの各水準の和の二乗の計算と、それを各水準のサンプル数で割った値、及び M は、 2 1 2 2 2 I 2 2 2 y y y 236 236 285 M      , N1 N 2 NI 5 5 5  (2362  2362  2852 ) / 5,  (55696 55696 81225) / 5  38523.40. 完全無作為化デザイン ANOVA分散分析表の計算例（４）  ４．個々のデータの二乗値の計算と、その総和は、 I Ni 2 2 2 2 2 2 y  47  30  85  59  15  ik i 1 k 1  792  302  442  262  572  482  532  352  862  632  44745.00 完全無作為化デザイン ANOVA分散分析表の計算例（５）  ５．SST の計算は、 I Ni I Ni SST   yik2  N ( y  ) 2   yik2  K , i 1 k 1 i 1 k 1  44745.00  38203.27  6541.73  ６．SSAの計算は、 I SSA   N i ( y i ) 2  N ( y  ) 2  M  K , i 1  38523.40  38203.27  320.13 完全無作為化デザイン ANOVA分散分析表の計算例（６）  ７．SSE は、 SSE  SST  SSA  6541.73 320.13  6221.6  ８．表８．２の分散分析表の残りの部分は、 I  1  3  1  2, N  I  15  3  12 U A  SSA /( I  1)  320.13 / 2  160.07, U E  SSE /( N  I )  6221.6 / 12  518.47, F  U A / U E  160.07 / 518.47  0.31 帰無仮説と統計的検定  一般に CR-I デザインの帰無仮説は、 H 0 : 1  2    I  上の例での帰無仮説は、データが斜線分の角度要因で、３水準が 15°30°45°であるとすれば、 H0: 角度要因の効果はないあるいは、 H0 : 1  2  3 帰無仮説の検定    上記具体例での帰無仮説の検定には、帰無仮説のもとでは上記F値が２つの自由度 ν1=I-1=2、 ν2=NI=15-3=12 なる F 分布に従うことを用いて、岩原テキスト p.435- のF分布表で、対応する棄却点の値（５％有意水準では）を読み取ると、3.88 となるので、 F(2, 12)=0.31<3.88 から、上記帰無仮説は（５％水準で）採択される、と言える。言い換えれば、上の例からは斜線分の角度要因の効果はなかった、と言える。分散分析の実習  岩原テキストの各自の学籍番号に対応する位置から順に５個づつ合計１５個のデータを取り出し、斜線分の３水準の錯視量データと仮定して分散分析を行い、（斜線分の角度）要因の効果の有無を検定せよ。