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数楽（微分方程式を使おう！）
～第２章１階微分方程式～
平成１９年９月５日
技術１課佐藤強
第２章
１階微分方程式
まずは、小手調べ
次の微分方程式を解け。
dy
k
dt
微分方程式を解くとは、未知関数の具体的
な形を式の変形と積分によって求める作業
答えは
dy
 dt dt   kdt
y  kt  C（ Cは積分定数）
第２章
１階微分方程式
先週のおさらい（重要）
微分方程式とは、未知数ではなく未知関数y(t)の
微分を含んだ条件式です。dy/dt=k もまた微分方
程式なのです。なぜなら、これは未知関数y(t)の
微分を含んだ条件式だからです。この微分方程式
が意味するところは「y(t)を微分すると、dy/dtは定数
になるよ」という条件なのです。
第２章
１階微分方程式（等加速度運動）
問題１（等加速度運動）
ある高さから静止している物体を初速度0で落下
させるとき、この物体の t 秒後の速度を求めなさい。
ただし、空気抵抗は無視します。
解法ステップその１
速度に関する微分方程式を作る。
解法ステップその２
その微分方程式の一般解を求める。
解法ステップその３
初期条件を与え、特殊解を求める。それが求める答え！
第２章
１階微分方程式（等加速度運動）
解法ステップその１
ニュートンの運動方程式 F=ma （あまりにも有名）と
地球上にある質量 m の物体は常に重力 –mg を
受けているところから、次の式を導きます。
dv
dv
F  ma
a
F m
dt
dt
一方、重力を受けていることから
dv
 mg m
dt
dv
 g
dt
第２章
１階微分方程式（等加速度運動）
解法ステップその２
速度 v に関する微分方程式の一般解を求める。
dv
 g
両辺を tで積分する。
dt
dv
 dt dt   ( g )dt
v   gt  C・・・これが一般解
第２章
１階微分方程式（等加速度運動）
解法ステップその３
この一般解から初期条件を代入して特殊解を求める。
物体ははじめ静止していたので、
t  0　のとき、
v0
v   gt  C　へ代入して、 C  0
 v   gt
第２章
１階微分方程式（人口予測）
問題２（人口予測）
ある都市の人口を予測してみようという試みです。
・人口が毎年何人増えるか（減るか）
・人口 y の時間変化、すなわち人数増し分を⊿y
・⊿yの増加が期間⊿t内に起きたなら人口変化率は⊿y/⊿t
・人口変化率（⊿y/⊿t）と人口の関係は？
・その時点での人口が多ければ、人口変化率も大きい
・人口変化率はその時点の人口に比例すると考えられる
第２章
１階微分方程式（人口予測）
数式に置き換えてみる！
⊿y
 定数  y
⊿t
ここで、⊿t→0として微分方程式に
dy
 ry
dt
これを解いてください
第２章
１階微分方程式（人口予測）
dy
 ryを tについて両辺を積分してみると、
dt
dy
 dt dt  r  ydt  C
左辺  y, 右辺  yを tで積分？？？
y  r  ydt  C
これ以上無理！？
第２章
１階微分方程式（人口予測）
ここでテクニック！変数分離法の登場！
dy
dy
 ry 
 rdt
dt
y
dy

rdt
y 
おもむろに積分！
これなら簡単！
第２章
１階微分方程式（人口予測）
左辺は
1
 y dy  loge y  C1
右辺は
r  dt  rt  C 2
loge y  rt  C  y  Ce rt
第２章
dy
 ry
dt
１階微分方程式（人口予測）
の正体は実は指数関数であった！
y  Ce
rt
は一般解ですから、
t  t0のとき y  y0として
特殊解を求めてください。
第２章
１階微分方程式（人口予測）
これが求める特殊解！
y  y0e
r (t t0 )
この解から何が読み取れますか？
第２章
１階微分方程式（人口予測）
一宮市の人口推移
年月日
人口
1999/3/31
361,495
2000/3/31
363,504
2001/3/31
365,683
2002/3/31
367,346
2003/3/31
368,424
2004/3/31
369,795
2005/3/31
372,058

t0  1999、 y0  361,495
363,504 361,495
r
 0.0055
363,504

2005年の人口を予測する
y  361,495e0.0055*(20051999 )  373,623
第２章
１階微分方程式（一般化）
一般化された１階線形微分方程式を解く！
dy
 ry  k
dt
解いてください！
上記のような微分方程式のことを非斉次式という。
【重要】
非斉次式の一般解は、斉次式の一般解および
非斉次式の特殊解の和で与えられる。
第２章
１階微分方程式（一般化）
斉次式の一般解は
dy
rt
 ry  y  Ce
dt
非斉次式の特殊解はどのように導くか？
特殊解ｙ１は
y1  C(t )e ・・・①
dy1
 C (t )e rt  C (t )re rt
dt
rt
 C (t )e rt  ry1
第２章
１階微分方程式（一般化）
求める式は
dy
 ry  k でした
dt
従って、
C (t )e rt  ry1  ry1  k
C (t )  ke  rt
k  rt
これを積分して、 C (t )   e
r
第２章
１階微分方程式（一般化）
これを①に代入して
この解法を
k  rt rt
k
y1   e e  
r
r
「定数変化法」という
これが、求める非斉次式の特殊解
従って、最終的に求める一般解は
k
y  Ce 
r
rt
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