生体量子工学

統計数理（石川顕一）
統計数理
石川顕一
http://ishiken.free.fr/lecture.html
http://ocw.u-tokyo.ac.jp/course-list/engineering/statistics-mathematical-principle2005/index.html （昨年度のオープンコースウェア）
10/17
10/24
10/31
11/7
11/14
11/21
組み合わせと確率
確率変数と確率分布
代表的な確率分布
ランダムウォークと破産問題
ブラウン運動と拡散
雑音
No. 1
統計数理（石川顕一）
統計数理
石川顕一
11/21
雑音
• ウィーナー・ヒンチンの定理
• ナイキストの定理
No. 2
統計数理（石川顕一）
６−１ウィーナー・ヒンチンの定理
•
電気回路における雑音(noise)
– 揺動力(random force)を含むモデルで表される現象の例
↓
•
電気抵抗体の両端に発生する電圧 V(t)
– 理想的には V(t)=0
– 現実には、
内部にある伝導電子の熱雑音(thermal noise)
V(t)はゼロのまわりに揺らぐ（雑音）
雑音に、どのような周波数成分が含まれているかを考える。→ パワースペクトル
No. 3
統計数理（石川顕一）
６−１ウィーナー・ヒンチンの定理
•
パワースペクトル
– 雑音V(t)を長い時間Tにわたって観測。
1
T
振動数 f の最小単位
fn 
n
T
(n  1,2, )
V(t)はこれらの振動数成分の和に分解できる。
V (t)   ei 2 fn tVn


Vn 
n
1
T

T
0
ei2 fn tV(t)dt
フーリエ変換
• 一般に複素数 V n  Vn*


V(t) ランダム
Vn ランダム

Vn
2
の平均を考える。
振幅の絶対値の２乗→各振動成分の強度

No. 4
統計数理（石川顕一）
６−１ウィーナー・ヒンチンの定理
•
パワースペクトル
Vn
2
の平均を考える。
振幅の絶対値の２乗→各振動成分の強度

雑音のサンプルに
ついての平均
振動数の微少な幅 f の中に含まれる振幅の強度
パワースペクトル(power spectrum)

fn 



Vn
2
f  fn  f f
n
T
SV ( f )f  2
SV ( f )f  2

1 
f の幅に含まれる振動数の数は f    Tf
T 

2
2
2
ˆ
ˆ
SV ( f )f  2T V ( f ) f
SV ( f )  2T V ( f )
Vn
f  fn  f f



1
Vˆ ( f ) 
T

T
0

ei2 ftV(t)dt

No. 5
統計数理（石川顕一）
６−１ウィーナー・ヒンチンの定理
•
パワースペクトル
SV ( f )  2T Vˆ ( f )
SV ( f ) 

2
T

T
0
1
Vˆ ( f ) 
T
2
dt1  e
T
i2 f t1t2 
0

T
0
ei2 ftV(t)dt
V(t1 )V * (t2 ) dt2

雑音の時間相関関数
定常状態（平衡状態）

V(t1 )V * (t2 )  V t1  t2 
2
T
2

T
2

T
SV ( f ) 




T
0
T
0
T
0
dt1  e
T
i2 f t1t2 
0

dt1  e
t1
0
dt1  e
t1
0
V t1  t2 dt2
i 2 f t1t2 
V t1  t2   e
i 2 f t 2 t1 

V t2  t1  dt2
i2 f t1t2 
V t1  t2 dt2  c.c.
T 
T 
t 
t 
= 2  1 ei2 ftV t dt  c.c. = 4  1 Re ei2 ftV t dt
0 
0 
T 
T 
No. 6
統計数理（石川顕一）
６−１ウィーナー・ヒンチンの定理
•
パワースペクトル
T 

t 
SV ( f )  4  1 Re ei2 ftV t dt  4  Re ei2 ftV t dt
0 
0
T 
V t  が減衰関数

ウィーナー・ヒンチン(Wiener-Khintchine)の定理
• パワースペクトルは雑音の時間相関関数の積分(フーリエ変換)で表

される
SV ( f )  4  Re ei2 ftV t dt

0
•
白色雑音(white noise)

 (t)  2DV (t) 異なる時刻の雑音は全く相関がない
SV ( f )  4 DV
振動数に依存しない定数
白色雑音


No. 7
統計数理（石川顕一）
６−２ナイキストの定理
６−２ナイキストの定理
抵抗値Rの抵抗器の両端に現れる熱雑音のゆらぎのパワースペクトル強度が
SV ( f )  4 DV
の時、
RC回路
（白色雑音）
DV  Rk BT

dQ
Q V(t)


CR R
 dt
オームの法則
熱雑音による起電力

Qu
ブラウン運動
du
R(t)
 u 
dt
m


1

CR
No. 8

統計数理（石川顕一）
６−２ナイキストの定理
•
ナイキストの定理(Nyquist theorem)
dQ
Q V(t)


dt
CR R

 t  t V(t)
 t  t
Q(t)  Q(0)exp   
exp 
dt
 CR  0 R
 CR 

2
 2t   t V(t)
 t  t 
2
2
exp 
dt
Q(t) eq  Q(0) eq exp   0

 R
CR
CR  
 t  t Q(0)V(t)
exp 

 CR  0
R
 t V(t)
 t  t 
exp 
dt


 CR  
 0 R

2


2DV
R2
eq
1
 2
R
ゼロ
eq
eq
 t  t
exp 
dt
 CR 
 t  t1   t  t2 
dt
dt
exp
0 1 0 2  CR exp  CR V (t1 )V(t2 )
t
t
 2(t  t1 )  CDV 
 2t 
dt
exp


1
exp




0 1  CR  R 
 CR 

t

eq
(t1  t2 )  2DV (t1  t2 )
No. 9
統計数理（石川顕一）
６−２ナイキストの定理
•
ナイキストの定理(Nyquist theorem)
Q(t)
2
 Q(0)
2
eq
eq
 2t  CDV 
 2t 
exp 

1
exp



 CR  R 
 CR 


Q(t)

2
平衡状態では等しい

電荷によってコンデンサーに生じるエネルギー

eq
CDV
R
Q2
E
2C
このゆらぎの実現確率は、ボルツマン分布に従う。
 E 
 Q2 
Peq (Q)  exp 
 
 exp 
k
T
 B 
 2kBTC 
CDV
 CkBT
R


DV  Rk BT

Q2
eq
 CkBT
SV( f )  4Rk BT
ナイキストの定理
 熱雑音が巨視的な観測量で決まる。
No. 10
統計数理（石川顕一）
６−２ナイキストの定理
•
白色雑音(white noise)
 (t)  2DV (t)
SV ( f )  4 DV


•
異なる時刻の雑音は全く相関がない
一種の理想化
振動数に依存しない定数
ローレンツ型雑音
(t)  V 2 et / 
SV ( f )  V 2
揺らぎの時間相関関数に有限の時定数 
4
(2f )2 1
Lorentzian noise


No. 11

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