PPT - 石川顕一

統計数理（石川顕一）
統計数理
石川顕一
http://ishiken.free.fr/lecture.html
http://ocw.u-tokyo.ac.jp/course-list/engineering/statistics-mathematical-principle2005/index.html （昨年度のオープンコースウェア）
10/17
10/24
10/31
11/7
11/14
11/21
組み合わせと確率
確率変数と確率分布
代表的な確率分布
ランダムウォークと破産問題
ブラウン運動と拡散
雑音
No. 1
統計数理（石川顕一）
統計数理
石川顕一
11/14 ブラウン運動と拡散
• 自己相関関数
• ランジュバン方程式
No. 2
統計数理（石川顕一）
５−１ブラウン運動
•
イギリスの植物学者ブラウン（1827年）
– 水中の花粉の中の微粒子の運動を顕微鏡で観察し、不規則な運動をしているこ
とを発見。
ブラウン運動(Brownian motion)
周囲の環境の分子の熱運動の
影響によって生じる不規則な運
動
熱運動している溶媒分子か
らの衝突を受けて運動。
マクロな熱力学的記
述（拡散）
微粒子１個のレベルのブラウン
運動の力学的記述
ランジュバン方程式
No. 3
統計数理（石川顕一）
５−１ブラウン運動
自己相関関数
•
•
確率変数x(t)は、一般に時刻tとt+tとでは一般に異なる値x(t)およびx(t+t)を
取る。
– t → 0 : x(t)とx(t+t)は近い値
– t → 無限大 : x(t)とx(t+t)は完全に独立
連続する事象間の相関 → 時間間隔 t に依存
1
T  T
自己相関関数 G(t )  x(t)x(t  t )  lim

T
0
x(t)x(t  t )dt
時間平均

No. 4
統計数理（石川顕一）
４−３ランダムウォークと拡散
•
揺動散逸定理
散逸・輸送
（平衡状態での）ゆらぎ
ランダムウォークと拡散現象
 x2 
1
P(t,x) 
exp

4Dt
 4Dt 
l2
D
2t
x 2  2Dt
位置の分散
•

初期条件
– t = 0での濃度分布は？






 2x



ディラック(Dirac)のデルタ関数
P(t,x)dx  1
 x2 
1
(x)  lim
exp

t0
4Dt
 4Dt 
x  0  P(t  0,x)  0
x  0  P(t  0,x  0)  
x = 0に集中した分布
ランダムウォークは、１次元の拡散方程式

P
2P
D 2
t
x
P(t  0,x)  (x)
のモデルの１つ


No. 5
統計数理（石川顕一）
５−２ランジュバン方程式
•
溶媒中の微粒子の運動方程式
– 確率的な力を導入 → ランジュバン方程式
d 2x
m 2 F
dt
F  m
dx
 R(t)
dt
粘性抵抗力

du
m
F
dt
R(t)  0

F  mu  R(t)
R (t)R (t)  (t  t)
微粒子について平均

d
m
u  m u

dt


揺動力(random force)

• 異なる方向成分は無相関
• 時間が異なれば無相関
• 微粒子によっても異なる
No. 6
統計数理（石川顕一）
５−２ランジュバン方程式
•
拡散係数との関係
d 2x
dx
m 2  m  R(t)
dt
dt
x 成分のみを考える。

1  dx 
kT
m   
温度 T で、
2  dt 
2
2
d2x
dx
m 2  m  R(t)
dt
dt
両辺にxをかける。
2

mx
d x
dx

m

x
 xR(t)
2
dt
dt

時間平均または微粒子について平均


d2x
dx
m x 2  m x
dt
dt
2
dx 1 d x 
x 
dt 2 dt
2
2
d x2
1 d x
1
m
 kT   m
2
dt 2
2
dt
2
2
2
d 2 x 1 d x   dx 
x 2 
 
2
 dt 
dt
2 dt

No. 7
統計数理（石川顕一）
５−２ランジュバン方程式
•
拡散係数との関係
2
2
d x2
1 d x
1
m
 kT   m
2
dt 2
2
dt
1 df
1
m  kT   mf
2 dt
2

2kT
f
1 e  t 

m


t が十分大きければ

拡散方程式より
x
2
dt
df
2kT
 f 
0
dt
m

x2 
2kT
 t

t

e
1

2
m
10-13秒のオーダーで
減衰
2kT

t
m

x 2  2Dt

アインシュタインの関係式
(Einstein’s relation, 1905年)

f
d x2
kT
D
m
マクロな量の測定から
ボルツマン定数kを決定
できる。
No. 8
統計数理（石川顕一）
５−２ランジュバン方程式
•
まとめ：溶媒中の微粒子の運動方程式
– 確率的な力を導入 → ランジュバン方程式
d 2x
m 2 F
dt
F  m
dx
 R(t)
dt
粘性抵抗力

R(t)  0

2kT 2kT  t
x 
t  2 e 1
m
m
R (t)R (t)  (t  t)
2
10-13秒のオーダーで
減衰



• 異なる方向成分は無相関
• 時間が異なれば無相関
• 微粒子によっても異なる
2kT
t
m
t が十分大きければ
x2 
拡散方程式より
x  2Dt
2
揺動力(random force)
アインシュタインの関係式
(Einstein’s relation, 1905年)
D
kT
m

特殊相対性理論、光量子仮説も！


No. 9
統計数理（石川顕一）
５−３速度相関関数による表現
速度相関関数
 (t )  u(t1 )u(t2 )  u(t1 )u(t1  t )
たくさんの微粒子に関する平均
粒子の変位の２乗の平均

x 2  2Dt
t が十分大きいところで
1 2
x
t 2t
t
x   u(t)dt 
D  lim
0


を拡散定数の定義と考える。
1
D  lim
t 2t

t
0
dt1  dt2 u(t1 )u(t2 )
t
0
拡散係数は速度相関関数の時間積分によっ
て表される。

平衡状態では u(t1 )u(t2 ) は時間差のみの関数
1
t 2t
D  lim


t
0
 (t1  t2 )  u(t1 )u(t2 )
dt1  dt2 (t1  t2 )
t
0

No. 10
統計数理（石川顕一）
５−３速度相関関数による表現
1
t 2t
D  lim

t
0
dt1  dt2 (t1  t2 )
t
D  lim
t
0
 t
0 1 t  (t )dt
t
[証明]


t
0
dt1  dt1 (t1  t2 ) 
t
0





t
0
t
0
t
0
t
0
dt1  dt2 (t1  t2 ) 

t1
0
dt1  dt2 (t1  t2 ) 
t1
0
dt1  dt2 (t1
t1
0

t ) 
2
t
0
t
0
t
0
dt1  dt2 (t1  t2 )
t
t1
dt2  dt1 (t1  t2 )
t2
0
dt1  dt2 (t2  t1 )
t1
0
dt1  dt  (t )   (t )  2  dt1  dt (t )
t1
0
t
t1
0
0
 2  dt  dt1 (t )  2  (t  t ) (t )dt
t
t
t
0
t
0
 D  lim
t

 (t ) が減衰関数なら

D
 t
0 1 t  (t )dt

t


0
t  t1  t2
 (t )   (t )

 (t )dt
No. 11
統計数理（石川顕一）
５−３速度相関関数による表現
 (t )  u(t1 )u(t2 )  u(t1 )u(t1  t )
 (t ) が減衰関数なら
D


0
速度相関関数
 (t )dt


拡散係数は、速度相関関数を積分したもの

k T
 (t )  B e t / t c
m
D


アインシュタインの関係式
(Einstein’s relation, 1905年)

tc ：相関時間
kB T
tc
m
D
相関時間
抵抗係数
tc   1
kB T
m


No. 12

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