第12回 3次元の量子論

第12回３次元の量子論
2011
・矩形の箱に束縛された粒子
・量子力学の形式
今日の目標
１．矩形の箱に束縛された粒子のシュレディンガー方程式を
示せること
２．変数分離して3次元シュレーディンガー方程式が解けること
３．矩形箱内粒子の基底状態と励起状態を示せること
４．縮退の意味を説明できること
５．物理量の演算子を示せること
６．演算子の交換関係を示せること
タイトル
矩形箱の中に完全に束縛された粒子
V(x) = 0 ;0≦ x ≦ a, 0≦ y ≦ b, 0≦ z ≦ c
V(x) = ∞ ;その他の領域
z
c
a
b
y
x
h 2
－
2m ∇ + V(r)
矩形箱の中に完全に束縛された粒子
φ(r)
= Eφ(r)
解
i）箱の外
； V(r) = ∞
φ（r） = 0
∵粒子が存在しない
ii）箱の中； V(r) = 0
h2
2m
∂2
∂x2
2
∂
+
∂y2
座標毎に独立
h 2 ∂2X YZ
2m ∂x2
h 2 1 ∂2 X
2m X ∂x2
矩形箱の中に完全に束縛された粒子：解
2
∂
+
∂z2
φ（r） = Eφ（r）
φ（r） = X(x) Y(y) Z(z)
変数分離
h 2 ∂2Y ZX
h2
2m ∂y2
2m
XYZ
h 2 1 ∂2 Y
h2 1
2m Y ∂y2
2m Z
∂2 Z
∂z2
∂2 Z
∂z2
XY = EXYZ
=E
h 2 1 ∂2 X
2m X ∂x2
Ex
Ey
h 2 ∂2 X
2m ∂x2
= Ex X
h 2 ∂2 Y
2m ∂y2
= Ey Y
2
h 2 1 ∂2 Y
2m Y ∂y2
∂2 Z
h
2m ∂z2
= Ez Z
h 2 1 ∂2 Z
2m Z ∂z2
Ez
定
数
一次元の問題と同じ
2h 2
π
2
En =
n
2ma2
φn (x) =
矩形箱の中に完全に束縛された粒子：解
=E
√
2
a
nπ
sin a x
固有値
El =
固有関数
π2 h 2 l2
2Ma2
π2 h 2 n2
2Mc2
エネルギー
φm (y) = √
2
a
φl (x) =
2h 2
π
m2
Em =
2Mb2
En =
√
2
a
φn (z) =
√
2
a
sin
lπ
a x
sin
mπ
a y
sin
nπ
a z
E = Ex + Ey + Ez
2h 2
π
Elmn =
2M
量子数； l, m, n = 1,2,3,･･･
l2 + m2 + n2
a2
b2
c2
状態関数
φlmn (r) =
矩形箱の中に完全に束縛された粒子：解
√
8
abc
sin lπ
a
x sin mπ y
b
sin nπ z
c
エネルギー準位
基底状態
l=m=n=1
基底エネルギー
E111 =
π2 h 2
2M
φ111 (r) =
√
8
abc
1 + 1 + 1
a2
b2
c2
πx
sin a
πy
sin b
πz
sin c
励起状態
E211 =
π2 h 2
2M
φ211 (r) =
エネルギー準位
√
8
abc
4 + 1 + 1
a2
b2
c2
2πx
sin a
πy
sin b
πz
sin c
励起状態
E211 =
π2 h 2
2M
4 + 1 + 1
a2
b2
c2
φ211 (r) =
E121 =
π2 h 2
2M
E112 =
E221
E212
E122
.・
・
エネルギー順位
2πx
πy
sin a sin b
πz
sin c
1 + 4 + 1
a2
b2
c2
φ121 (r) =
π2 h 2
2M
√
8
abc
√
8
abc
πx
sin a
2πy
πz
sin b sin c
πx
sin a
πy
sin b
1 + 1 + 4
a2
b2
c2
φ112 (r) =
√
8
abc
2πz
sin c
E211 =
π2 h 2
2M
4
1
1
+
+
a2
b2
c2
E121 =
π2 h 2
2M
1 + 4 + 1
a2
b2
c2
E112 =
π2 h 2
2M
1 + 1 + 4
a2
b2
c2
a>b>cならば
E211 < E121 < E112 < ･･･
・････
第2励起エネルギー
第１励起エネルギー
エネルギー順位
縮退
a = b = c の時
2h 2
π
E211 =
2M
4 + 1 + 1
a2
a2
a2
E121 =
π2 h 2
2M
1 + 4 + 1
a2
a2
a2
E112 =
π2 h 2
2M
1 + 1 + 4
a2
a2
a2
∴ E211 = E121 = E112
φ211 (r) =
√
8
a3
φ121 (r) =
√
√
8
a3
φ112 (r) =
縮退
8
a3
=
π2 h 2
2M
6
a2
=
π2 h 2
2M
6
a2
=
π2 h 2
2M
6
a2
第１励起エネルギー；1つのエネルギー
2πx
πy
sin a sin a
πx
sin a
πx
sin a
πz
sin a
2πy
πz
sin a sin a
πy
2πz
sin a sin a
３つの状態
３重に縮退
形式Ⅱ：物理量と演算子
a)演算子
位置の演算子
＾x = x
運動量の演算子
∂
＾
p = -i h
∂x ,
∂
-i h ∂y ,
∂
-i h ∂z
エネルギーの演算子
∂
＾
E= ih
∂t
ハミルトニアン
2
h
H=2m
∂2
∂x2
2
∂
+
∂y2
2
∂
+
∂z2
+ V(r)
b)演算の順序
x＾Ψ（x,y,z） = xΨ（x,y,z）
p＾x Ψ（x,y,z）
∂
= -i h ∂x
∂Ψ
Ψ（x,y,z） = -i h ∂x
∂
＾
p＾x x＾Ψ（x,y,z） = px xΨ（x,y,z） = -i h ∂x （xΨ）
= -i h Ψ + x ∂Ψ
∂x
∂
∂Ψ
＾
＾
＾
x px Ψ（x,y,z） = x -i h
∂x Ψ（x,y,z） = -i h x ∂x
②－①
x＾ p＾x - p＾x x＾ Ψ = i hΨ
同様に
y＾ p＾y - p＾y y＾ Ψ = i hΨ
z＾ p＾z - p＾z z＾ Ψ = i hΨ
・・・①
・・・②
c)交換関係
( x＾ p＾x - p＾x x＾ ) = [ x＾ , p＾x ] = i h
交換子
交換関係
( y＾ p＾y - p＾y y＾ ) = [ y＾ , p＾y ] = i h
( z＾ p＾z - p＾z z＾ ) = [ z＾ , p＾z ] = i h
[xi , pj] = 0 (i ≠ j)
可換
非可換
不確定性原理
共役の関係
観測値が同時に決定可能
軌道角運動量
lˆ  yˆpˆ  zˆpˆ
x
z
lˆy  zˆpˆ x  xˆpˆ z
y
lˆz  xˆpˆ y  yˆpˆ x
lˆxlˆy   yˆpˆ z  zˆpˆ y zˆpˆ x  xˆpˆ z   yˆpˆ z zˆpˆ x  yˆpˆ z xˆpˆ z  zˆpˆ y zˆpˆ x  zˆpˆ y xˆpˆ z 
lˆy lˆx   zˆpˆ x  xˆpˆ z yˆpˆ z  zˆpˆ y   zˆpˆ x yˆpˆ z  zˆpˆ x zˆpˆ y  xˆpˆ z yˆpˆ z  xˆpˆ z zˆpˆ y 
lˆxlˆy   lˆy lˆx   yˆpˆ x  pˆ z zˆ  zˆpˆ z   xˆpˆ y zˆpˆ z  pˆ z zˆ 

-i h
lˆx lˆy  lˆy lˆx   i h xˆpˆ y  yˆ pˆ x    i h lˆz 
lˆz
lˆ lˆ  lˆ lˆ   lˆ , lˆ 
x y
y x
x
[l＾x , ＾ly] = i h ＾lz
ih
y
[l＾y , ＾lz] = i h ＾lx
＾l 2 = ＾l 2 + ＾l 2 + ＾l 2
x
y
z
[l＾ 2, ＾lx] = [l＾ 2, ＾ly] =
[l＾ 2, ＾lz] = 0
[l＾z , ＾lx] = i h ＾ly
d)エルミート（Hermite）演算子
∫ψ*Aψdτ = ∫(Aψ)*ψdτを満たす
物理量が実数
演算子Aをエルミート演算子と言う
A ：エルミート演算子
α： A の固有値
ψ：固有関数
固有方程式
Aψ = αψ
∫ψ*Aψdτ = ∫ψ*αψdτ = α∫ψ*ψdτ
∫(Aψ)*ψdτ = ∫(αψ)*ψdτ = α*∫ψ*ψdτ
∫ψ*Aψdτ = ∫(Aψ)*ψdτより
α = α*
：実数
A,B：エルミート演算子
[A,B]=AB-BA= 0 （交換可能な2つの演算子）ならば
交換子
１．ABもエルミートである
∫ψ*ABψdτ = ∫(ABψ)*ψdτ
２．A、Bに共通な固有関数が存在する
Aψ = αψ
Bψ = βψ
形式Ⅲ：物理量の観測
＾
与えられた系のハミルトニアン：H
＾の固有関数：Ψ
ハミルトニアン H
ある物理量の演算子：＾a
a＾ φn=anφn
Ψ=c1φ1+ c2φ2・・・・cnφn
演算子 a＾に対応する物理量の観測値を予想する計算
∫Ψ* ＾a Ψdτ
＾
<a> =
=
∫Ψ*Ψdτ
期待値
（平均値）
Σ|ci|2ai
Σ|ci|2
演習
１．辺a=1Å 、辺b=２Å 、辺c=3Åの直方体の箱の中に閉じ込
められた粒子がl=2,m=2,n=2の状態にあるとき、観測される
スペクトルの波長をすべて示しなさい。
２． lˆ は軌道角運動量の演算子である。＾l 2 = ＾lx 2 + ＾ly 2 + ＾lz 2 として
次の関係を証明しなさい。
2
2
[l＾ , ＾lx] = [l＾ 2, ＾ly] = [l＾ , ＾lz] = 0
レポート提出（手書き）
12月26日まで、数理科学研究室（5461、和田）
今日の用語
箱型ポテンシャル、変数分離、固有値、固有関数、量子数、
状態関数、基底状態、基底エネルギー、励起状態、縮退、
物理量、演算子、交換子、交換関係、可換、非可換、
軌道角運動量、エルミート演算子、固有方程式、ハミルトニアン
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