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第７課原子、分子のエネルギー準位
平成１６年１１月２９日
講義のファイルは
http//www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
に置いてあります。質問は
[email protected]
レポート提出は出題の次の授業が原則ですが、それ以降でも構いま
せん。単位が欲しい人は５つ以上のレポートを提出して下さい。とにか
く全部のレポートを頑張って出した人には良い点が与えられます。
Ｍ２、Ｂ４で単位認定を急ぐ人は申し出て下さい。
７．１．電子配列
(configuration)
原子内の電子を、いくつかの量子数で指定する。
n：主量子数 (principal quantum number)
l：方位量子数 (azymuthal quantum number)
ｍ：磁気量子数 (magnetic quantum number)
主量子数は殻（shell)と、例えばＫ－シェル、呼ばれることもある。
主量子数ｎ
方位量子数ｌ
１（Ｋ）
０（ｓ）
２（Ｌ）
０（ｓ）
３（Ｍ）
１（ｐ）
０（ｓ）
１（ｐ）
磁気量子数ｍ
０
０
－１
０
１
０
－１
０
１
スピン
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
３（Ｍ）（続き）
主量子数ｎ
この先は、
２（ｄ）
方位量子数ｌ
n=4(N), 5(O),6(P)…
磁気量子数ｍ
－２
－１
０
１
２
スピン
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
↑↓
同じｎでも、ｌ小（遠心力ポテンシャル低い）では中心付近にたまるので
他の電子の遮蔽効果が弱くなり、エネルギーレベルが下がる。
-⇒ ｎ＋ｌ（エル）がレベルの目安。
（ｎｌ）レベルをエネルギーの低い順にならべると、
nl
1s
2s
2p
3s
3p
4s
3d
4p
5s
n+l
1
2
3
3
4
4
5
5
5
4d …….
………..
実際、原子の基底状態の電子配列は上の式に従って決まっている。
H
He
1s
(1s)2
Li
Be
(1s)22s
B
(1s)2(2s)2
C
N
(1s)2(2s)22p (1s)2(2s)2(2p) 2 (1s)2(2s)2(2p) 3
O
F
Ne
(1s)2(2s)2(2p) 4 (1s)2(2s)2(2p) 5 (1s)2(2s)2(2p) 6
（続き）
Na
（下線のあるＣｒとＣｕのところで飛びがある）
Mg
..(2p) 6(3s) ..(2p) 6(3s)2
Al
Si
P
S
Cl
Ar
….(3s)23p ….. (3s)2(3p) 2 ….. (3s)2(3p) 3 ….. (3s)2(3p) 4 ….. (3s)2(3p) 5 ….. (3s)2(3p) 6
K
Ca
…(3p) 64s
…(3p) 6 (4s)2
Sc
Ti
V
Cr
Mn
…(3p) 63d(4s)2 …(3p) 6 (3d)2 (4s)2 …(3p) 6 (3d)3 (4s)2 …(3p) 6 (3d)5 4s …(3p) 6 (3d)5 (4s)2
Fe
Co
Ni
Cu
…(3p) 6 (3d)6 (4s)2 …(3p) 6 (3d)7 (4s)2 …(3p) 6 (3d)8 (4s)2 …(3p) 6 (3d)10 4s
Zn
…(3p) 6 (3d)10 4s
７．2．項 (term), 準位 (level), 状態 (state),
スペクトル線 (line)、multiplet
ｋ個の電子を持つ原子では、まずｋ個の電子状態のセットを指定する。これが、
電子配列である。そのｋ個の状態から作られる合成角運動量をＬ、Ｓとした時に、
共通のＬとＳを持つ状態の組を項(term)と呼ぶ。
総角運動量Ｊは、ＬとＳのベクトル合成Ｌ＋Ｓである。一般には原子のエネル
ギー準位はＪの値により分裂する。これを、準位（level）と呼ぶ。
最後に、ＪのＺ成分Ｍまで指定すると原子の量子状態は完全にきまる。これを
状態（state）と呼ぶ。
名前
量子数
状態数
電子配列 ( configuration)
(n1l1) (n2l2)………(nklk)
項 ( term )
(n1l1) (n2l2)………(nklk) SL
準位 (level)
(n1l1) (n2l2)………(nklk) SLJ
2J+1
状態 ( state)
(n1l1) (n2l2)………(nklk) SLJM
1
Ｓ＝ s1＋ s2＋ s3 ＋ ……… ＋ sk
Ｊ＝Ｓ＋Ｌ、
Ｍ＝MＪ
(2S+1)(2L+1)
Ｌ＝ l1＋ l2＋ l3 ＋ ………. ＋ lk
項（term）
準位（level）
multiplet
状態（state）
line
合成軌道角運動量Ｌ＝∑ｌの名前は、
Ｌ＝
１
２
３
４
Ｓ
Ｐ
Ｄ
Ｆ
スペクトル線 (line)
準位(level)間の遷移
multiplet
項(term)間の遷移の全体
項 (Term)
最外殻の電子は通常共通の主量子数を持っている。殻のエネルギー準位
は、 L=Σlによって分裂する。これを項 (term) と呼ぶ。
項は(n1l1) (n2l2)………(nklk) SL で指定される。
多電子系： L=Σl, S=Σs, J=L+S (LS結合)
g L・Ｓ(ＬＳ相互作用 )  (2S+1) 準位
S<Lの場合
(2L+1) 準位
S>Lの場合
項の決定法:
通常、内側の殻（shell）はＬ＝０，Ｓ＝０の状態で閉じている。最も外側の殻に属
する電子だけでＬとＳを決める。その電子は同じ（ｎ、ｌ）を持つかどうかで扱いが
少し異なる。
例１ｐ電子(l=1)＋ｄ電子(l=2)
２つの軌道角運動量ｌが異なる（不等価電子）ので
L=１＋２  L=3 (F), 2（Ｄ）, 1（Ｐ）
S= 1/2+1/2  S = 1, 0
2S+1L
= 1P, 1D, 1F, 3P, 3D, 3F (ＳとＬの任意の組み合わせ）
例２２個のｐ電子（ｌ＝１）
等価電子[ 同じ(n,l) ]にはパウリ排他率の考慮が必要。
２つのｐ電子は同じｍｌ（＝１，０、－１）とｍｓ（＝1/2、－1/2）
を持つことが出来ない。
まず、可能な組み合わせを↑(ms=+1/2), ↓(ms= - 1/2) を使い、表にする。
+1
↑↓
↑
↑
↓
↓
↑
↑
↓
↓
ml
0
‐1
↑
↓
↑
↓
↑
↓
↑
↓
↑↓
↑
↑
↓
↓
↑
↓
↑
↓
↑↓
Σ ml =ML
２
1
1
1
1
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
-1
-2
Σms=MS
０
1
0
0
-1
1
0
0
-1
0
1
0
0
-1
-0
( ml ms)
( 1, 1/2) ( 1, －1/2)
( 1, 1/2) ( 0, 1/2)
( 1, 1/2) ( 0, －1/2)
( 1, －1/2) ( 0, 1/2)
( 1, －1/2) ( 0, －1/2)
( 1, 1/2) (－1 , 1/2)
( 1, 1/2) (－1 , －1/2)
(1, －1/2) (－1 , 1/2)
(1, －1/2) (－1 , －1/2)
(0, 1/2) ( 0, －1/2)
( 0, 1/2) (－1, 1/2)
( 0, 1/2) (－1, － 1/2)
( 0, －1/2) (－1, 1/2)
( 0, －1/2) (－1, －1/2)
(－1, 1/2) (－1, － 1/2)
前頁の表から、ｐ電子2個には計15個の独立な状態があることが判る。Ｌ，Ｓの固有
関数も計１５個で、前頁15個関数の一次結合で表わされる。
Σ ml =MLの列を見ると、最大が２で、そのMS＝０である。これじさあいは、Ｌ＝２、Ｓ＝
０の状態が出来ていることを意味する。（Ｌ＝１，０から、 ML ＝２は生じないし、Ｌ＝３
が出来れば、 ML＝３があるはず。）そこで、Ｌ＝２，Ｓ＝０状態に寄与し得る関数に○
をつける。実際にはＭｓ＝０で、ＭＬ＝２，１，０、－１、－２を一つずつ選ぶ。
+1
↑↓
↑
↑
↓
↓
↑
↑
↓
↓
ml
0
‐1
↑
↓
↑
↓
↑
↓
↑
↓
↑↓
↑
↑
↓
↓
↑
↓
↑
↓
↑↓
Σ ml =ML
２
1
1
1
1
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
-1
-2
Σms=MS
０
1
0
0
-1
1
0
0
-1
0
1
0
0
-1
-0
○
×
○
×
×
×
○
×
×
△
×
○
×
×
○
1D
(L=２､ S=0)
3P (L=1, S=1)
1S
(L=0, S=0)
ところで、( ml ms)＝ ( 1, 1/2) ( 1, －1/2) は（Ｌ、Ｓ）の固有関数でもあるので、
（Ｌ，Ｓ）の次の固有関数を作る際にはこれはもう使えない。残った中で(ＭＬ, ＭS)
の最大値を探すと、 (ＭＬ, ＭS) ＝（１，１）があるので、Ｌ＝１，Ｓ＝１状態がある
ことが判る。そこで (ＭＬ, ＭS) ＝(1,1) (1,0) (1,-1) (0,1) (0,0) (0,-1) (-1,1) (-1,0) (-1,-1)
となる( ml ms)９組に×印をつける。
最後には(ＭＬ, ＭS) ＝（０，０）が一組だけ残る。したがって、これはＬ＝０，Ｓ
＝０を表わすと考える。
このようにして、２個の等価ｐ電子からは（Ｌ，Ｓ）＝(2，０）、（１，
１）、（０，０）の項が出来ることが分かった。（２，１）や（１，０）
はできない。
項は
２Ｓ＋１Ｌ
（Ｌ，Ｓ）
２Ｓ＋１Ｌ
という形で表記する。
（２，０）（１，１）（０，０）
１Ｄ
３Ｐ
１Ｓ
各項はさらに、Ｊ＝Ｌ＋Ｓにしたがって分裂する。
である。
準位（level）
項(term)は異なるＪ毎に準位 (level) へと分裂する。前の例で、
1D
項(Ｌ＝２，Ｓ＝０)は、Ｊ＝Ｌ＋Ｓ＝２＋０＝２のみだが、
3P項(Ｌ＝１，Ｓ＝１)は、Ｊ＝Ｌ＋Ｓ＝１＋１＝２，１，０が
存在する。
準位は、Ｓ，Ｌ，Ｊが指定され、２Ｓ＋１ＬＪの形で表記される。
従って、2個の等価ｐ電子の系から生じる準位は、
電子配列
(configuration)
項
準位
状態
(term)
(level)
(state)
1S
(2p)2
1D
1D
3P
1S
JM=0
0
1D
２
3P
２
3P
１
3P
０
JM=2,1,0,-1,-2
JM=2,1,0,-1,-2
JM=1,0,-1
JM=0
項(term) がＪの違いで準位(level)へと分裂することを
微細構造 ( fine structure) と呼ぶ。
また、２準位以上を多重項と呼ぶ。
Ｓ状態ではＬＳ結合Ｊ＝０なので、微細構造はない。
７．３．エネルギー準位と天体スペクトル線
（i）水素原子
p
水素原子のエネルギー準位Ｅ
2πp a=nh
：量子条件
K=p2/2m=e2/2(4πεｏ)a
a
：ビリアル
 p2/m=(nh/2π)2 /(a2m) =e2/ (4πεｏ) a
1  2 2 m e2


a  n h  4
1
e2
m e4
1
h L
E


2
2
24  a
24 2  n
n2
詳しい値は以下のように与えられる。



h L  2  1
3 


E
1


n  J  1 4n 
n2 



2


( hνL =13.6 eV )
左の式にはＬもＳも入っていない。
従って、水素原子には項による準
位の分裂がない。主量子数で決ま
る殻（shell）から、項を飛ばして、い
きなりＪによる分裂、微細構造、に
なるという特殊な構造を示す。
水素のエネルギー準位
殻（shell）
項(term)
２Ｄ
２Ｐ
２Ｓ
ｎ＝３（Ｍ殻）
2D
5/2
2D
(3s), (3p), (3d)
ｎ＝２（Ｌ殻）
２Ｐ
3/2
2P
2P
1/2
2S
2P
3/2
3/2
1/2
２Ｓ
(2s), (2p)
ｎ＝１（Ｋ殻）
準位(level)
２Ｓ
2P
2S
(１s)
項が分裂していない
のが珍しい
1/2
2S
1/2
1/2
微細構造
Ｌが違うから違う項
に属す。普通はＪが
同じでも準位は違う。
水素は特別。
水素のスペクトル線
水素のエネルギー準位
自由
バルマー系列(Balmer)
H α： n=3  n=2
電子
n= 2
β： n=4  n=2
Hα Hβ Ｈγ
hνL =13.6 eV
γ ： n=5  n=2
ライマン系列(Lyman)
n= 1
Lyα LyβLyγ
Lyman α： n=2  n=1
β： n=3  n=1
γ ： n=4  n=1
ｎ１
Ｌｙｍａｎ
ｎ２
ｎ３
ＢａｌｍｅｒＰａｓｃｈｅｎ
ｎ４
Ｂｒａｃｋｅｔｔ
ライマンα線
Lyα （ライマンアルファ線）：H （水素原子）
2ｐ 2P３/2
1215.668 A
2ｐ 2P1/2
1215.674 A
１ｓ 2S1/2
2ｓ
2S
1/2
Two Photon
A(2S)=8.23/s
共鳴線( resonance line)の最初の例。
共鳴線＝基底状態 ――＞遷移可能な第１励起状態。
通常最も強い。A(2P)=4.7 108 / sec で短時間で放出される。
吸収もされやすく,したがって、高温ガス星雲内ではLyαフォトンは１Ｓ
状態のＨ原子により、散乱を受けながら拡散していく。
(ii) ｓ型原子
アルカリ金属、Li, Na, K, Sc,..、のように閉殻の外にｓ電子が１つ付加。
電離エネルギーが低い。
存在比は小さいが、電離しやすいので、Te < ５000 K (Ｋ型より晩期 ) では
ＫとNa が電子の主な供給源である。
電離エネルギー
Eion(eV)
30
Li(2s)
5.4
25
Na(3s)
5.1
K (4s)
4.3
Rb(5s)
4.2
Cs (6s)
3.9
He
電離エネルギー
元素
Ne
20
Ar
15
H
10
B
5
Na Al
Li
K
0
0
5
10
15
原子番号
20
25
30
（ｓ）型例１：Ｎａ
(1s)2(2s)2(2p) 6 (3s) 2S1/2
Ｎａ
基底状態
3s電子 ――＞ L=0, S=1/2, J=1/2  2S1/2
第１励起状態
3p電子 ――＞ L=1, S=1/2, J=1/2,  2P1/2
――＞ L=1, S=1/2, J=3/2,  2P3/2
(4s) 2S1/2
2P
項(term)
S=1/2, L=1
(3p) 2P3/ 2 準位 (level) S=1/2,L=1,J=3/2
g=4
(3p) 2P1/ 2 準位 (level) S=1/2,L=1,J=1/2
g=2
D line (multiplet)
2S
D1 line
5889 A
項(term)
S=1/2, L=0
(3s) 2S1/2準位 (level) S=1/2,L=0,J=1/2
D2 line
5895 A
g=2
（ｓ）型例２：ＣａＩＩ
Ca II 基底状態の電子配列は (1s)2(2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (4s) 2S
その上に、
(1s)2(2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (3d) 2D
と
(1s)2(2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (4s) 2P
がある。
(4p) 2P3/2
(4p) 2P1/2
CaII triplet
8498
8542
8662
3933
3968
Ｋ線
Ｈ線
(4s) 2S1/2
(3d) 2D5/2
(3d) 2D3/2
7291
7323
G型星吸収線
Mg ｂ
g
Hβ
Hγ
D
Hα
B
CaII
triplet
K, H
A
(iii)
（ｐ）２型
例１：ＮＩＩ
Ground -level = (1s)2(2s)2 (2p)2
(p)2 型なので、 1D, 3P, 1S 項 (term) が出来る。
NII
(2p)2
3P
1S
0
3070
5754
3062
1D
2
6583
6548
3P
2
3P
1
3P
0
22μ
76μ
（ｐ）２型例２：ＯＩＩＩ
(2p)2
1D, 3P, 1S
1S
0
2331
4363
2321
1D
2
5007
4959
3P
2
3P
1
3P
0
52μ
88μ
（ｐ）３型
例１：
OII
(2p)3
2P
1/2
2P
3/2
7319
7330
2D
3/2
2D
5/2
3728
7318
7329
3726
2470
4S
3/2
2470
（ｐ）３型例２：ＳＩＩ
SII (3p)3
2P
3/2
2P
1/2
10370
10336
A=0.08/s A=0.16/s
A=0.18/s
10286
A=0.13/s
2D
5/2
2D
3/2
6730
4S
10320
3/2
6716
4076
4068
A=0.09/s
A=0.22/s
問題７
平成1６年 1１月２９日
天文学部生はなるべく７－Ｂを選ぶよう。
問題７－Ａ
等価p電子が３個の場合に、 4S, 2P, 2D 項が現れることを示せ。やり方はｐ２の
場合に習えばよい。等価p電子が４個の場合、5個の場合はどうか？
問題７－Ｂ
電離領域での、エネルギー基底状態と励起状態との間の遷移を下図のように考
える。
数密度（ｃｍ－３）
統計重み
励起状態
Ｎ２
ｇ２
衝突励起
Ｎｅ・Ｎ１・Ｃ１２
衝突落下
自然放出
Ｎｅ・Ｎ２・Ｃ２１
Ｎ２・Ａ２１
Ｎ１
ｇ１
基底状態
すると、平衡の式は、Ｎｅ・Ｎ１・Ｃ１２＝Ｎｅ・Ｎ２・Ｃ２１＋Ｎ２・Ａ２１
N 2 N eC12
1


N1
A21 1  N eC21
A21
8.629 106 1, 2
 cm 3 s1 
C21 



g2
T1 2
8.629 106 1, 2
g
C12 

exp  E
 2 C21exp  E
kT
kT
g1
g1
T1 2




 cm 3 s1 


惑星状星雲やＨＩＩ領域からはＯＩＩの強い輝線が出る。禁制線[OII]3726と[OII]3729に
ついて上の数値をあたると、以下の通りである。また、電離領域の温度（電子の運動
温度）は多くの場合Ｔ＝８０００－１２０００Ｋである。
[OII]3726
準位２（上）
準位１（下）
２Ｄ
３/２
４Ｓ
３/２
[OII]3729
ｇ＝４
２Ｄ
５/２
ｇ＝６
ｇ＝４
４Ｓ
３/２
ｇ＝４
Ω（１，２）
０．５８８
０．８８２
Ａ２１（ｓ－１）
１．８×１０－４
４．２×１０－５
（１）輝線強度ＩはＮ２・Ａ２１・ｈνに比例すると考えて、2本の輝線の強度比
Ｒ＝( I3729 / I3726 ) をＮｅ（ｃｍ－３）の関数として表わせ。
（２）Ｎｅ０、Ｎｅ∞の時のＲを表わせ。その物理的な意味を考えよ。
（３）縦軸にＲ、横軸に log10 Ne (cm-3) をとってグラフにせよ。（１＜Ｎｅ＜１０５）
（４）下の表はＨＩＩ領域と惑星状星雲で観測されたライン強度比Ｒの値である。
各天体でＴ＝１００００Ｋと仮定して、グラフからＮｅ（ｃｍ－３）を求めよ。
（１－２桁程度でよい）
天体名
ＨＩＩ領域
ＮＧＣ１９７６Ａ
Ｒ
０．５０
Ｍ８（Ｈｏｕｒｇｌａｓｓ）０．６５
ＮＧＣ７０００
惑星状星雲
ＮＧＣ７０２７
１．３８
０．４８
ＮＧＣ３５８７
１．３４
ＩＣ４１８
０．３７

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