スライド 1 - Hydraulic Research Laboratory

３－２跳水の水理と不連続急拡・急縮水路の流れ
Text3.6(上)p91-100
(1) 跳水の水理
① 跳水現象
落差工
床固工
•射流から常流への遷移過程において生ずる。
•流線の不連続が起きる。したがって、流速、水深、エネルギー水頭の不連続
が生じている。ただし、流量、運動量の連続性は一般に維持されている。
•フルード数(Fr)によってタイプが分かれる。
豊平川と札幌市
落差工
落差工
複断面
交互砂州
落差工
Flood of Aug. 5, 1981
Triangle-shape surface waves
Calculated water surface profile
(a)波状跳水(Undular Jump)
Fr=1.0～1.7
水面がわずかに乱れて波状を呈する。エネルギー損失はほとんどない。
(b) 弱跳水(Weak Jump)
Fr=1.7～2.5
表面に水平軸をもつ流速の小さな渦が形成される。下流の水面は静穏
(c) 動揺跳水(Oscillating Jump) Fr=2.5～4.5
流入ジェットが間欠的に水路底に沿って流れたり、表面に沿って
流れたり時間的に変動。このため大きな波動が下流に伝わる。
(ｄ)定常跳水(Steady Jump)
Fr=4.5～9.0
安定しており、下流水面は比較的静穏
(e) 強跳水(Strong Jump)
Fr=9.0～
内部における激しい渦動のため波動が下流に伝播する。
(2) 跳水水深
h1
h2
v1
連続式
運動量式
(比力式)
v2
q  h1v1  h2v2
2
2
q
1 2 q
1 2
 h1 
 h2
gh1 2
gh2 2
v12
q2
 3  Fr12
gh1 gh1
とおくと運動量式は
3
h
1 2
1 2
2 1
2 2
Fr1
 h2  Fr1 h1  h1
h2 / h1  X とおくと、
h2 2
2
1 2
両辺を h1 で割ると
2
2
 h2 
2 h1
2 Fr1
    2 Fr12  1
h2  h1 
1
2 Fr
 X 2  2 Fr12  1
X
X 3  2Fr12 X  X  2Fr12  0
2
1
X ( X 1)( X 1)  2Fr12 ( X 1)  0
X ( X 2 1)  2Fr12 ( X 1)  0
( X  1)  X ( X  1)  2 Fr12   0
X  1 すなわち h2  h1
 X ( X  1)  2Fr12  0

X 2  X  2Fr12  0

1
X  1  8Fr12  1
2
h2 1

h1 2

は意味を持たない
X 0

8Fr12  1  1
なので
h1 と h2
を共役水深という。
重要
(3) 跳水によるエネルギー損失
q2 1 2 q2 1 2
 h2 
 h1
gh2 2
gh1 2
運動量保存
（比力保存）
q2
q2
2  h2 
 h1 E
2
2 gh2
2 gh1
エネルギー保存
（比エネルギー）
2
2
q
q
2  h2 
 h1  E
2
2 gh2
2 gh1
q2 1
1
E  h1  h2 
( 2  2)
2 g h1 h2
損失エネルギー
q 2 h2 2  h12
 h1  h2 
2 g (h1h2 )2

q 2 h2  h1 
 q 2 h2  h1 
 (h1  h2 ) 1 
 (h1  h2 ) 1 

2
 2 gh1h2 h1h2 
 2 g (h1h2 ) 
q2
q 2 h12 1 v12 h1
1 2
 3  h1  Fr1
1
2 gh1h2
2 gh1 h2 2 gh1 h2
2
2
 Fr
2
1
1

8


8 Fr12  1  1

8 Fr12  1  1

8 Fr12  1  1
h1

 Fr12

h1
8 Fr12  1  1
h1
2
8 Fr1  1  1
11
1 
2
8Fr12  1  1 h1  
8Fr1  1   1 h1
4 2
2 

1  h2
 h2  h1 
1  h2  h1 
1
   1 h1  
h1　 
h1


4  h1
4  h1 
4  h1 

1
  h2  h1 
4

8Fr12  1  1
h2
h1
 h1  h2 h2  h1 

q 2 h2  h1 
E  (h1  h2 ) 1 

  (h1  h2 ) 1 
4
h1h2 

 2 gh1h2 h1h2 
2
2
3





h

h
4
h
h

h

h
h1  h2 
  1 2 
 1 2  1 2 

 (h1  h2 ) 
 
  (h1  h2 ) 
4h1h2
4h1h2



 4h1h2 



h12  2h1h2  h22  (h12  2h1h2  h22 )  (h1  h2 )2
h2  h1 

E 
3
重要エネルギー損失を共役水深で表現
4h1h2
h2  h1　ゆえに
E  0
【問題１】
h1  0.4m
h2
v1  0.4m/s
(1) 共役水深
h2はいくらか？
(2) この跳水による損失はいくらか？
v2
(2) 断面急拡・急縮水路における流れ
急拡
急縮
急拡
急縮
1
2
J
v2
v1
h2
h1
長方形断面
底面水平
の急拡幅水路
B2
B1
J
1
2
2
1

(
Av
) z
h
開水路の運動量方程式
  cos 
0
gA x
x
x
z
cos   1,
 0, A  Bh
x
1 ( Bhv 2 )
h
 Bh  0
g x
x
なので、
不連続部分をはさんで1～2で積分する
1
1 ( Bhv )
1 h2
dx   B
dx  0 h

1
g 1 x
2 x
1
2
2
2
1
1 h
2
 Bhv    B
dx  0
1
1
g
2

x
1
2
ここで
J
2
2
2
h2
hJ
J
2
1 h
1 h
1 h2
1 2 B x dx  1 2 B x dx  J 2 B x dx
2
2
J
2
2
1
h
1
h
1
1
2 J
2 2
 B1 
dx  B2 
dx  B1  h   B2  h 
1
J
2
2
2 1 x
2 J x
1
1
2
2
2
2



 B1  hJ  h1   B2  h2  hJ  hJ  h1 とみられるので
2
2
1
 0  B2  h2 2  h12 
2
J
2
2
2
1
1
2
2
( B2 h2v2  B1h1v1 )  B2 (h2 2  h12 )  0
g
2
B1h1
v1
B2h2v2  B1h1v1  Q なので v2 
B2 h2
( B1h1 )2 2
1
1
2
2
2
B
h
v

B
h
v

B
(
h

h
 2 2
1 1 1 
2
2
1 )0
2 1
g
( B2 h2 )
 2

1  B1h1
1
2
2
2

1
B
h
v

B
(
h

h

 111
2
2
1 )0
g  B2 h2 
2
 B1h1
 v12 1 B2  h2 2 
 1


 1  1  0
 B2 h2  gh1 2 B1  h1

B1h12 で割って
B2
 ,
B1
2
1
h2
v
 X ,  Fr12
h1
gh1
とおいて
 1
 2 1
2
 1 Fr1   ( X  1)  0

2
 X 
整理して、
2 2 
2
2
X   Fr1  1 X  2 Fr1  0



3
X
に関する、３次方程式
３つの根のうち、実数、正の
各自調べること。
【試験に出します】
３次方程式の根の公式
【Cardanoの公式】
より、
X
h2
を決定する。
h1
３－３検査断面による運動方程式の誘導
Text 3.6 (上)p91～100
【１】基礎方程式の積分によらずに、直接運動量の出入差と外力の関係式を
たてるほうが簡単な場合も多い。
(1) 跳水問題
1
検査断面
2
h2 v2
h1　v1
不連続部分を囲んで検査断面を設ける。
  v2 h2  v2
圧力差（外力の合計）は
流入運動量は    v h  v
1 1
1
1
1
2
2
差   q(v  v ) 

gh


gh
1
2
2
1
流出運動量は 
2
2
1
1
2
 qv2   gh2   qv1   gh12
2
2
q
q
h1
h2
2
2
q
1 2 q
1 2
 h2 
 h1
gh2 2
gh1 2
比力保存の式に一致する。
以下は解法は同じ。
軸方向を正に
とる。
このように
流出運動量－流入運動量＝検査面の表面に働く外力の合計
によって、内部が分からなくても解くことが出来る。
（２）急拡問題
1
2
P2
P1
v2 , h2 , B2
v1 , h1 , B1
1
2
流出運動量－流入運動量＝外力（圧力）
v2  B2h2v2  v1  B1h1v1 
1
1
 gh12 B2   gh2 2 B2
2
2
1
B2 h2 v2  B h v   B2 (h12  h2 2 )
2
2
2
1 1 1
以下同様
【2】運動量の適用がふさわしいのは、
1. 流線の不連続部分が存在する場合
2. 外力評価が明瞭な場合、または、作用力を求めたい場合
3. 損失評価が難しい場合
これに対して、ベルヌイの式を用いた方が良いのは、
1. 流線が連続している場合
2. 外力評価が難しい場合
3. 損失評価が明瞭な場合、または損失を求めたい場合
【問題】ゲートから流出する流れの単位幅流量を求めよ。
検査断面
流線は連続
外力評価は不明瞭な所あり
H
v
h
???
ベルヌイの式を用いると
もし、運動量式を用いると、
2
v
H 0  h
2g
2
1 q
H  h
 
2g  h 
q  2g (H  h)  h
1
2
1
2
???
1
2
2
 vh  v  0   gH 2   g ( H  h) 2   gh
q2 1
   g H 2  H 2  2 Hh  h2  h2 
h 2
1
  g 2( H  h)h
q2  g ( H  h)h2
2
合わないのは外力評価が不十分なため
q  g (H  h)  h
３－４射流水路の衝撃波
【１】Mach 角について
フルード数
v
Fr 
gh
静水 v
0
流速
水面波の伝播速度
では
c  gh
v
c
ct  gh  t
常流では
v
c
限界流では
Fr  1  v  c
v
c
Fr  1  v  c
射流では
Fr  1  v  c
v
c

vt
ct
ct c
1
sin  
 
vt v Fr

1
v
Fr 

sin 
gh
gh
v
sin 

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