2011年1月28日第4章空間解析 8. 空間補間（応用）井上亮 [email protected] 地理情報科学教育用スライド ©井上亮ここで学ぶこと • 空間補間（空間内挿） – 最近隣の観測点の値を利用した補間 – 近隣の観測点の値の平均を利用した補間 • 近隣点の観測値の単純平均 • 三角網分割(Triangulation)を用いた加重平均 • 逆距離による加重平均（IDW） – 放射基底関数(Radial-basis function)を利用した補間・スプライン補間 – バリオグラムを利用した補間（クリギング）について学びます．地理情報科学教育用スライド ©井上亮空間補間とは限られた地点（観測点）において観測された空間的事象の値から，観測されていない任意地点（補間点）における値を推定すること．（例）アメダスの気温から，自宅の気温を知りたい．観測点A 18℃ ?℃ 観測点C 19℃ 観測点B 20℃ 地理情報科学教育用スライド ©井上亮観測点D 22℃ 空間補間を行う上での前提前提空間補間を行う対象の空間情報には，空間的自己相関が存在する → 「距離の近い点は，類似性が高い」より近い点における情報が空間補間を行う時により参考になる地理情報科学教育用スライド ©井上亮最近隣点データを利用した空間補間最近隣点法：最も近い観測点の値を用いて補間点における補間値とする方法． 4章3の「ボロノイ分割」を活用して領域分割しておけば，簡単に任意地点の補間値を知ることができる．観測点B: zb 観測点A: za za zb zc 観測点C: zc zd 観測点D: zd 地理情報科学教育用スライド ©井上亮最近隣点データを利用した空間補間 <性質> ボロノイ領域の境界で補間値は不連続．この辺りでは (za+ zc)/2 ぐらいが補間値として自然では? za zb zc zd 複数の観測点の情報を平均して空間補間したほうがよいだろう．地理情報科学教育用スライド ©井上亮近隣点の単純平均 • n番目までの近隣観測点の平均値で空間補間例えば，2番目に近い点までの情報を用いるとすると… 最も近い点 B 2番目に近い点 A B B-A A-B B-D A B-C A-C C-A C D-B C-B D C-D D-C 地理情報科学教育用スライド ©井上亮近隣点の単純平均 <性質> 観測点の近傍の補間点でも観測値と異なる値になってしまう． →単純平均による内挿には限界 (za+ zb)/2 (zb+ zc)/2 A B (zb+ zd)/2 (za+ zc)/2 (zc+ zd)/2 C 地理情報科学教育用スライド ©井上亮 D 三角網分割を用いた加重平均 • 補間点の”近隣”の3観測点を用いて線形補間．観測点を母点として作成された不整形三角網(TIN: Triangular Irregular Network)で領域を分割，三角形毎に異なる線形の式で補間する． 1 B zb α A za 補間値 z*=za+α (zb-za)+β(zc-za) β 1 C zc D zd 地理情報科学教育用スライド ©井上亮三角網分割を用いた加重平均空間補間を行うのに，どちらの三角網がふさわしいか? B zb A za C zc B zb A za D zd • 三角網は最小角最大の基準で作られた Delaunay三角形分割で作成地理情報科学教育用スライド ©井上亮 C zc D zd 三角網分割を用いた加重平均補間点の座標(x, y)→補間値 z*を求める補間点を含む三角形頂点座標(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 頂点での値 z1, z2, z3 頂点と補間点が(x, y, z)空間において同一平面上にあることから x  x2 y  y2 z *  z 2 平面線形方程式 x0  x2 y0  y2 z0  z2  0 を解けばz*が求まる x1  x2 y1  y2 z1  z2 <性質> • 観測点では観測値に一致 • 三角形の境界部分でも連続 • 三角形毎に異なる線形式で補間するため，三角形の境界ではスムーズにならない（１階微分は不連続）地理情報科学教育用スライド ©井上亮逆距離を用いた加重平均逆距離加重平均法 (IDW: Inverse Distance Weighted Average) 補間点から観測点までの距離に関する重みを付けて，加重平均する方法． (例) 距離2の逆数で重み付け補間値z*= zada-2 +zbdb-2 +zcdc-2 +zddd-2 da-2 +db-2 +dc-2 +dd-2 B A db da dd dc C 観測点までの距離の逆数(逆距離)を重み付けした加重平均を用いることにより，近くの観測値を大きく評価した補間が可能． D 地理情報科学教育用スライド ©井上亮逆距離を用いた加重平均位置ベクトルsiの観測点iにおける観測値ziを用いて (ただしi=1…N) 位置ベクトルsの点の補間値 z*を求める N z*   w  d  s, si   zi i 1 N  w  d  s, s   i 1 i ただし， d  s, si  ：補間点と観測点kの距離 w  ：重みの関数通常 d  , e  d が用いられる <性質> • 観測点では観測値に一致 • 観測点以外では１階微分も連続 • 観測点では1階微分は不連続 • 適切な重みを定める基準が存在しない (距離減衰パラメータαの設定で補間値が大きく変わる) 地理情報科学教育用スライド ©井上亮放射基底関数を利用した補間放射基底関数(Radial-basis function)とは中心 c からのユークリッド距離のみに依存する関数   s, c     s  c  放射基底関数の足し合わせ N z  s     i  s  si i 1  で位置ベクトルsiの観測点iで得られた観測値ziを用いて表現し，観測点以外における補間値を算出する．放射基底関数の1つである，スプライン関数を使った補間法を紹介地理情報科学教育用スライド ©井上亮スプライン関数による補間「スプライン関数」とは連続条件を満たすように多項式を接続した区分多項式 m次のスプライン曲線は1, …, m-1次微分が連続であり観測点上のスプライン関数の値が観測点の値と等しいという特性 de Boorの方法矩形領域・格子上に配置された観測点におけるデータに対する双3次スプライン内挿地理情報科学教育用スライド ©井上亮スプライン関数による補間 yJ 矩形領域R: x0≦x≦xI; y0≦y≦yJ 格子点(xi, yj)の観測値 zij ＝f(xi, yj) (i = 0, 1,…, I; j = 0, 1,…, J) y0 x0 xI 格子点(xi, yj)の観測値 zij ＝f(xi, yj) 領域の境界点における法線方向の1次微分係数 pij = fx(xi, yj) (i = 0, I; j = 0, 1,…, J) qij = fy(xi, yj) (i = 0, 1,…, I; j = 0, J) 領域Rijの4頂点での2次微分係数 rij = fxy(xi, yj) (i = 0, I; j = 0, J) が与えられている時，これらを満たす双3次スプライン関数S(x, y)はただ一つだけ存在することが証明されている．地理情報科学教育用スライド ©井上亮スプライン関数による補間まずpij, qij, rijを2I + J - 5個の線形系によって決定 • j = 0, 1,…, J に関して  x  xi xi 1 pi 1, j  2  xi 1  xi  pij  xi pi 1, j  3  i 1  fi 1, j  fij   f  f  ij i1, j   x  x i 1  i  • j = 0, J に関して  x  xi xi 1ri 1, j  2  xi 1  xi  rij  xi ri 1, j  3  i 1  qi 1, j  qij   qij  qi 1, j   xi 1  xi  • i = 0, 1,…, I に関して  y j 1  y j y j 1qi , j 1  2  y j 1  y j  qij  y j qi , j 1  3  f  f  f  f  i, j 1 ij  y  ij i, j 1   y j  j 1 • i = 0, I に関して  y j 1  y j y j 1ri , j 1  2  y j 1  y j  rij  y j ri , j 1  3  p  p  p  p  i, j 1 ij  y  ij i, j 1   y j  j 1 地理情報科学教育用スライド ©井上亮スプライン関数による補間 yj 双3次スプライン多項式領域Rij yj-1 xi-1 Sij ( x, y)  xi 係数γij,mnは   x  x   y  y  3 m , n 0 m ij ,mn Γij  A(xi1)KijA(y j1) i 1 n j 1 で求められる xi 1  xi  xi 1 , yi 1  yi  yi 1  00  01   11 Γ ij   10  20  21   30  31  02  12  22  32  03  0 0 0   fi 1, j 1 qi 1, j 1  1 p  0  ri 1, j 1  13  1 0 0 i 1, j 1    , A ( h)  ,K  qi , j 1  3 / h 2 2 / h 3 / h 2 1/ h  ij  fi , j 1  23     2 2 2  ri , j 1  33  2 / h 1/ h  2 / h 1/ h  pi , j 1   補間点(x, y)の補間値z*の算出補間点が含まれる領域Rijを探してi, jを決定→z* = Sij(x, y) 地理情報科学教育用スライド ©井上亮 fi 1, j pi 1, j fi , j pi , j qi 1, j  ri 1, j  qi , j   ri , j  バリオグラムを利用（クリギング） • 空間的自己相関を距離の関数としてモデル化したバリオグラム（あるいは，コバリオグラム（共分散関数））を利用した空間補間法．(モデル化の前提は4章7を参照 ) • 基本的には観測点からの距離に応じて観測点の値を加重平均する方法．他の補間法に比べて，補間値の統計的な性質が明快，かつ，統計的に優れた性質を持つ． • 普遍クリギング(Universal kriging)を用いると観測値以外の属性情報を利用した空間補間が可能．地理情報科学教育用スライド ©井上亮普遍クリギングによる空間補間補間対象の変数を被説明変数，観測点の属性を説明変数とした線形回帰モデルをたてる．ただし，線形回帰モデルだけでは，補間対象の変数を十分に表現ができない． → 線形回帰モデルの攪乱項に空間的自己相関あり．（例）補間対象の変数：気温観測点の属性：標高考慮されていない要因：観測時の風向き，植生，土地被覆そこで，線形回帰モデルの攪乱項の空間的自己相関に対して二次定常性を仮定し，共分散関数を用いて構造化する．地理情報科学教育用スライド ©井上亮普遍クリギングによる空間補間観測点のモデル y = Xβ + u E  u   0, E  uu   V  C  0  C  d12   C  d21  C  0  V     C d  C d  n1 n2  C  d1n    C  d2n     C  0   y: 被説明変数ベクトル(内挿対象)，X: 説明変数行列， β: パラメータ，u: 攪乱項ベクトル，V: 攪乱項の分散共分散行列， C: 共分散関数，dij: 観測点ij間の距離一般化最小二乗法(GLS: Generalized Least Squares)より，パラメータの推定値は ˆβ   XV-1X1 XV-1y GLS 地理情報科学教育用スライド ©井上亮普遍クリギングによる空間補間補間点のモデル yi = xi β + ui E  ui   0, E ui2    i2 , E ui u   c c   C  di1  C  di 2  C  din   yi: 補間点の値（確率変数），xi: 補間点の説明変数ベクトル， ui:補間点の攪乱項，σi2: 攪乱項の分散， c:補間点と観測点の攪乱項の共分散ベクトルこのとき，補間点iの被説明変数の線形推定量 yˆ i  ay を求める．地理情報科学教育用スライド ©井上亮普遍クリギングによる空間補間望ましい補間値の推定量は，不偏性（期待値が真の値と等しい）を持ち，かつ，分散が最小 min  y2ˆi = E   yˆi  yi  yˆi  yi   s.t. E  yˆ  y   0 i i を解くと，補間値が得られる．  yˆi  xiβˆ GLS + cV-1 y  Xβˆ GLS  <性質> • Vやcで表される攪乱項の空間的自己相関の構造が真であれば，最良線形不偏予測量地理情報科学教育用スライド ©井上亮参考文献市田浩三 et al.：スプライン関数とその応用，教育出版， pp.62-74, 1979. 高阪宏行：地理情報技術ハンドブック, 朝倉書店, pp.27-58, 2002. 張長平：地理情報システムを用いた空間データ分析, 古今書院, pp.119-144, 2001. 間瀬茂・武田純：空間データモデリング, 共立出版, pp.135-166, 2001. Cressie, N. A. C.：Statistics for Spatial Data, John Wiley & Sons, pp.151-162, 1993. Weibel, R. et al.：GIS原典地理情報システムの原理と応用 [Ⅰ], 古今書院，pp.293-298, 1998. 地理情報科学教育用スライド ©井上亮