電気回路学Ⅱ コミュニケーションネットワークコース 5セメ 山田 博仁 講義日程と内容 日程 (回目) 山 田 大 寺 先 生 講義内容 教科書の章との対応 1) 2) 4/10 (第1回) RL, RC回路の過渡現象 2.1, 2.2 4/17 (第2回) RLC回路の過渡現象 2.3, 2.4 4/24 (第3回) ラプラス変換 5.1, 5.2 5/1 (第4回) 過渡現象とラプラス変換 6.1~6.2 5/8 (第5回) 過渡現象とラプラス変換の続きと演習 6.3 5/15 (第6回) 過渡関数波、周期波、時間域・周波数域解析 5.3~5.5, 7.1 5/22 (第7回) 微分、積分回路、二次系の伝達特性 7.2~7.4 5/29 (第8回) RLC回路、インパルス・ステップ・任意波形応答 7.5, 7.7~7.9 6/5 (第9回) フーリエ変換 4.1, 4.2 6/12 (第10回) フーリエ変換、信号波解析 4.3 6/19 (第11回) フーリエ変換と演習 4.5 6/26 (第12回) 歪波交流 3.1, 3.2 7/3 (第13回) 歪波交流回路の計算と演習 3.4 7/10 (第14回) まとめと演習 8/1(木)5講時 定期試験 101講義室(CSコースと合同) RC微分回路 RC微分回路 C e(t) R vR この方形パルスを分解して、t = 0 に生起する大きさ E0 のステップ関数と t = a に生起する大きさ −E0 の ステップ関数を重ねたものとすれば、 (a) E0 0 t a と表される。 E0 q(0) i1 (t ) e , t 0, RC R t t 0 – E0 e(t ) E0u1 (t ) E0u1 (t a) E0u1 (t ) を印加したとき R に流れる電流 i1(t) は、 E0 0 図(a)に示すRC直列回路を電圧源 e(t) で励振し、 応答として抵抗 R の両端の電圧 vR をとるものとす る。また励振 e(t) は図(b)に示すような方形パルス であり、時刻 t = 0 に生起し、t = a で消滅する大き さ E0 の電圧であるものとする。 a t (b) である。 −∞ < t < 0 の範囲で印加電圧 e(t) = 0 で あれば、C に蓄えられている電荷は 0、即ち q(0) = 0 であるとしてよい。 RC微分回路 RC微分回路 一方、 E0u1 (t a) を印加したときの電流 i2(t) は、時間を t → t − a に置き換えて、 かつ E0 に負号を付けて、 E i2 (t ) 0 e R t a , t 0 と表される。 よって、R の両端の電圧 vR(t) = Ri(t) は、 t Ri1 (t ) E0 e , 0 t a a t vR (t ) Ri1 (t ) i2 (t ) E0 1 e e a t これを図示すると以下のようになる。 で与えられる。 RC微分回路 図において、正の部分の面積と負の部分の面積が等しく、 a a t 0 E0e dt a E0 1 e e dt E0 1 e 従って、vR(t) の平均値すなわち直流分は 0 である。つまり、C は直流分を遮断する。 a t 電圧 vR(t) の波形は、時定数 τ = RC と印加パルスの時間幅 a との関係により、異なる ものとなる。つまり、τ >> a ならば、入力形波にほぼ等しい波形となるが、逆に τ << a ならば、入力波形を微分したような波形となる。従って、後者の場合を RC微分回路と 呼んでいる。 1 RC直列回路の式 Ri (t ) i (t )dt e(t ) の両辺を t について微分し、両辺に C を C 乗じて、RC = τ が考えている時間スケール t に対して非常に小さいとすれば、 de (t ) de (t ) i (t ) C と近似できるから、 vR (t ) Ri (t ) RC dt dt 即ち、入力電圧波形 e(t) の微分にほぼ比例した出力電圧波形 vR(t) が得られる。 微分回路は一般に、方形波から鋭いパルスを作るのに使われるので、ピーキング回 路(peaking circuit)とも呼ばれる。 RC積分回路 RC積分回路 RC直列回路において、方形波の入力電圧 e(t) に 対して、出力として C の両端の電圧 vC(t) をとるこ とにする。このとき、0 < t < a に対しては、 R e(t) C vC E0 q(0) i1 (t ) e , RC R t で q(0) = 0 としたものより、 vC1 1 C E0 また一方 a < t に対しては、 i2 (t ) e R を vC1 に重ねることにより、 t E0 1 e , 0 t a vC (t ) a t E 1 e e a t 0 t i (t )dt 0 t a 1 として、 より得られる vC2 と求められる。 1 t i2 (t )dt a C RC積分回路 RC積分回路 vC(t) を図示すると以下のようになる。 vC(t) が直流成分を含むことは明らかである。 vC(t) は、τ << a のときは図(c)のように入力波形 e(t) と殆ど同じ波形となり、逆に τ >> a のときは図(a)のような波形となる。後者のような場合を RC積分回路と呼ぶ。 1 Ri ( t ) i (t )dt e(t ) の両辺を各々 R で割ってから積分し、 RC直列回路の式 C 1 q(t ) 1 1 RC が非常に大きいとすれば、 i (t ) dt e(t )dt vC (t ) i (t )dt e(t )dt R C C CR 即ち、入力電圧波形 e(t) の積分にほぼ比例した出力電圧波形 vC(t) が得られる。 積分回路は検波や整流などに使われる。 (a) (b) (c) 伝達関数の周波数特性 伝達関数の周波数特性 RC微分および積分回路の励振 e(t) と応答 vR(t) あるいは vC(t) の間の関係は、 それらのラプラス変換 E(s), VR(s) あるいは VC(s) の間の関係で表現すれば、初 期条件 q(0) = 0 として、 1 V ( s) V ( s) R H R ( s) R , H C ( s) C sC E ( s) R 1 E ( s) R 1 sC sC これら伝達関数において、s → jω として振幅特性を調べてみると、 H R ( j ) R 1 R jC 1 1 1 jCR 1 1 1 j 1 1 1 1 1 1 1 jC H C ( j ) 2 1 1 jCR 1 j 1 R jC 2 となる。 高域通過回路と低域通過回路 これらの特性を ω に対して描くと、下図のようになる。 図(a)では、ω = 0 で |HR| = 0、 ω = 1/τ で |HR| = 1/√2、 ω = ∞ で |HR| = 1 となっている。 従って、0 < ω < 1/τ の周波数領域は減衰域(stop band)、 1/τ < ω < ∞ の周波数領域 は通過域(pass band)と呼ぶ。このように、低い周波数域が減衰域、高い周波数域が 通過域となる回路を、高域通過形回路と呼ぶ。一方図(b)では逆に、 ω = 0 で |HC| = 1、 ω = ∞ で |HC| = 0 となっているから、低域通過形回路である。 高域通過回路と低域通過回路 このような周波数特性をもつ回路に、広いスペクトル成分をもつ電気信号、例えば 方形波パルスのような信号波形を入力すれば、出力信号のスペクトルは入力信号 とは異なったものとなる。例えば高域通過形回路では、ゆっくり変化する振動成分 は除去され、出力波形は鋭い形となり、また逆に低域通過形回路では、速い変化 をする振動成分が除去されて、出力波形は鈍い形となる。 H R ( s) VR ( s) R において、時定数 τ = RC が 1(秒) よりも非常に小さければ、 E ( s) R 1 sC VR (s) sE(s) となり、入力 E(s) に s を乗じた形となる。 vR (t ) RC de (t ) de (t ) と比較すると分かるように、時間領域では(初期条件を 無視しての)時間微分に他ならない。 dt dt 積分回路については、 H C ( s ) 1 sC VC ( s ) E ( s) R 1 sC の τ = RC が 1(秒) よりも非常に 大きいとして、 VC (s) E(s) / s となって、入力 E(s) を s で割る形となり、時間領域での積分に 他ならない。 RL微分回路と積分回路 RL微分回路 電圧 e(t) が、時間幅 a, 高さ E0 の方形パルスで あるときの、RL直列回路の応答を考える。電圧は、 vR R e(t) e(t ) E0u1 (t ) E0u1 (t a) L vL と表されるから、 ラプラス変換は、表5.2(2)に変位定理を適用して、 E £e(t ) 0 1 e as である。 s (a) このような入力に対して、出力としてコイル L の両端の電圧 vL(t) をとることにする。 回路方程式 e(t ) Ri (t ) L di (t ) をラプラス変換すると、 dt E0 1 e as RI ( s) LsI ( s) i (0) s 初期条件 i(0) = 0 と置いて、 E0 1 e as E0 1 e as E0 1 e as I ( s) R sR sL 1 sL s sL s L ただし、 L R RL微分回路と積分回路 従って、ラプラス逆変換を求めると、 as 1 1 E0 1 e 1 E0 £ i (t ) £ I ( s ) £ sL s 1 L as 1 E 1 e 1 0 £1 1 e as L 1 s s 1 s s E0 1 1 1 1 1 1 as 1 1 as £ £ e £ e £ 1 1 L s s s s E 0 R t t a u ( t ) e u ( t ) u ( t a ) e u ( t a ) 1 1 1 1 E 0 R t 1 e t a u1 (t ) 1 e u1 (t a ) となる。 RL微分回路と積分回路 従って、コイル L の両端の電圧 vL(t) は、 t t a di(t ) L 1 1 vL (t ) L E0 e u1 (t ) e u1 (t a) dt R t a t E0 e u1 (t ) e u1 (t a) となり、これを図示すると以下の波形となる。 この波形は、前回出てきたRC微分回路の vR(t) と同じ形を しているため、τ << a の場合、微分回路になる。 この回路の伝達関数 HL(s) は、 VL ( s) sLI ( s) E0 1 e as H L ( s) E ( s) E (s) 1 s s E0 1 e as 1 s s 従って、s → jω と置いて、 j VL ( j ) j H L ( j ) e 2 , tan1 2 E ( j ) j 1 1 2 RL微分回路と積分回路 従って、高域通過形回路であることが分かり、振幅特性 |VL/E| および位相角 (π/2 ‒ θ) の特性の概略を下図に示す。 RL積分回路 一方、出力として抵抗 R の両端の電圧 vR(t) をとると、 t vR (t ) Ri(t ) E0 1 e t a u1 (t ) 1 e u1 (t a ) となり、これを図示すると右のような波形となる。 上式は、RC積分回路の vC(t) と一致するから、 τ >> a の場合、積分回路になる。 RL微分回路と積分回路 伝達関数 HR(s) は、 VR ( s) RI ( s) E0 1 e as H R ( s) R E ( s) E ( s) 1 sL s 従って、s → jω と置いて、 H R ( j ) VL ( j ) 1 1 E ( j ) j 1 1 1 2 e j , 2 ( tan1 ) となる。振幅特性 |VR/E| および 位相特性 θ を右図に示す。低 域通過形回路であることが分か る。 R 1 1 1 E0 1 e as s L s1 s1 二次系の伝達関数 二次系の伝達関数 RLC直列回路などでは、その伝達関数 H(s) が、 02 H ( s) 2 s 20 s 02 のような形をとることがある。即ち、伝達関数の分母が s に関する2次の多項式となり、 ζ, ω0 は共に実定数である。そのような系を総称して二次系と呼んでいる。ω0 は共振 角周波数(natural frequency)、 ζ は減衰率(damping factor)と呼ばれている。また、 分子の係数 ω02 は、H(0) = 1 となるよう規格化したものである。 二次系を単位ステップで励振したときの応答 v0(t) (ステップ応答)は、全ての初期条件 を 0 と仮定して、t > 0 について、 2 2 1, v0 (t ) 1 e sinh 10t cosh 10t 2 1 1, v0 (t ) 1 e 0t 1 0t 0t 1, v0 (t ) 1 e と得られる。 0t 2 2 sin 10t cos 10t 2 1 二次系の伝達関数 v0(t) の時間変化 ‒40dB/dec |H(jω)| の振幅特性
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