電気回路第1スライド12-1 電気回路第1 第12回 ー第5章交流回路ー 目次（クリックすると移動します。） ２RL回路 ３RL回路の計算 ４RC回路 ５RC回路の計算 ６RLC直列(共振）回路 ７RLC直列回路の計算 ８今日のまとめ RL回路の計算 電気回路第1 第12回 RL直列回路 のインピーダンス Z= R + jωL tanφ= 極座標表示 虚軸 jωL ー第5章交流回路ー Z φ R 0 RL回路 まず、インダクタンスを使った RL回路のところからまとめましょう。 ①RL回路(直列、並列とも）は、電圧の位相が進む。 ②RL回路は同相の抵抗と位相進むインダクタンス接続。 ③組み合わせるといくらか電圧が進む。 ④正弦波の足し算をやっても同様。 ωL R 実軸 R tanφ= RL並列回路 の ωL (ωL)2R ωLR2 Z= 2 +j 2 R + (ωL)2 R + (ωL)2 極座標表示 ωLR2 j 2 R + (ωL)2 Z(ωL) R 2 φ R2 + (ωL)2 0 電気回路第1スライド12-2-1 RL回路の計算 電気回路第1 第12回 RL直列回路 のインピーダンス Z= R + jωL tanφ= 極座標表示 虚軸 jωL ー第5章交流回路ー Z φ R 実軸 極座標表示 ωLR2 j 2 R + (ωL)2 0 RL回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路です。 ①RL回路(直列、並列とも）は、電圧の位相が進む。 ②RL回路は同相の抵抗と位相進むインダクタンス接続。 ③組み合わせるといくらか電圧が進む。 ④正弦波の足し算をやっても同様。 ωL R R tanφ= RL並列回路 の ωL (ωL)2R ωLR2 Z= 2 +j 2 R + (ωL)2 R + (ωL)2 Z(ωL) R 2 φ R2 + (ωL)2 0 電気回路第1スライド12-2-2 位相 合う 位相 進む RL回路の計算 電気回路第1 第12回 RL直列回路 のインピーダンス Z= R + jωL tanφ= 極座標表示 虚軸 jωL ー第5章交流回路ー ωL R Z φ R 実軸 R tanφ= RL並列回路 の ωL (ωL)2R ωLR2 Z= 2 +j 2 R + (ωL)2 R + (ωL)2 極座標表示 ωLR2 j 2 R + (ωL)2 0 RL回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路で、（電圧の位相が）進んでいる。 Z(ωL) R 2 φ R2 + (ωL)2 0 電気回路第1スライド12-2-3 位相 合う 位相 進む 組み合わせると 幾分、電圧が進む。 ①RL回路(直列、並列とも）は、電圧の位相が進む。 ②RL回路は同相の抵抗と位相進むインダクタンス接続。 ③組み合わせるといくらか電圧が進む。 ④正弦波の足し算をやっても同様。 RL回路の計算 電気回路第1 第12回 RL直列回路 のインピーダンス Z= R + jωL tanφ= 極座標表示 虚軸 jωL ー第5章交流回路ー ωL R Z φ R 実軸 R tanφ= RL並列回路 の ωL (ωL)2R ωLR2 Z= 2 +j 2 R + (ωL)2 R + (ωL)2 極座標表示 ωLR2 j 2 R + (ωL)2 0 RL回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路で、（電圧の位相が）進んでいる。 Z(ωL) R 2 φ R2 + (ωL)2 0 電気回路第1スライド12-2-4 位相 合う 位相 進む 正弦波の足し算（復習）や Z、Yの計算をすると、 直列回路 電圧、位相進みと同相の加算 組み合わせると 並列回路 電流、位相遅れと同相の加算 幾分、電圧が進む。 ①RL回路(直列、並列とも）は、電圧の位相が進む。 ②RL回路は同相の抵抗と位相進むインダクタンス接続。 ③組み合わせるといくらか電圧が進む。 ④正弦波の足し算をやっても同様。 RL回路 RC回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）進んでいる。 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 進む 正弦波の足し算（復習）をすると、 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相進みと同相の加算 並列回路 電流、位相遅れと同相の加算 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が進む。 位相 合う 位相 遅れ 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 電気回路第1スライド12-3-1 RL回路の計算 直列並列ともRL回路では、電圧の位相が進む ことを、（黒板も使って）計算しましたが、今度は 例のインピーダンスで示します。 ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RL直列回路では、インピーダンスR＋jωL。 ③極座標表示では右上を向く。 ④並列回路では、Zの逆数を足す。⑤逆数を取る。 ⑥複素共役を掛ける。⑦Zの実数部分。⑧Zの虚数部分。 ⑨極座標表示は直列回路同様。⑩数値を入れる。 ⑪位相差φは直列と並列で分子分母逆。 ？ ！ 「電流を出しなさい」と いう場合には 少しだけ、演習と… RL回路 RC回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）進んでいる。 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 進む 正弦波の足し算（復習）をすると、 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相進みと同相の加算 並列回路 電流、位相遅れと同相の加算 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が進む。 位相 合う 位相 遅れ 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 電気回路第1スライド12-3-2 RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス は、 Z = R + jωL 直列のため、各素子のZを加えて、 ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RL直列回路では、インピーダンスR＋jωL。 ③極座標表示では右上を向く。 ④並列回路では、Zの逆数を足す。⑤逆数を取る。 ⑥複素共役を掛ける。⑦Zの実数部分。⑧Zの虚数部分。 ⑨極座標表示は直列回路同様。⑩数値を入れる。 ⑪位相差φは直列と並列で分子分母逆。 ？ ！ 「電流を出しなさい」と いう場合には 少しだけ、演習と… RL回路 RC回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）進んでいる。 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 進む 正弦波の足し算（復習）をすると、 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相進みと同相の加算 並列回路 電流、位相遅れと同相の加算 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が進む。 位相 合う 位相 遅れ 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 電気回路第1スライド12-3-3 RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス Z= R + jωL 極座標表示 インダク 虚 タンスの 軸 抵抗の jωL でも を加えて、 Z R 実軸 0 ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RL直列回路では、インピーダンスR＋jωL。 ③極座標表示では右上を向く。 ④並列回路では、Zの逆数を足す。⑤逆数を取る。 ⑥複素共役を掛ける。⑦Zの実数部分。⑧Zの虚数部分。 ⑨極座標表示は直列回路同様。⑩数値を入れる。 ⑪位相差φは直列と並列で分子分母逆。 ？ ！ 「電流を出しなさい」と いう場合には 少しだけ、演習と… RL回路 RC回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）進んでいる。 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 進む 正弦波の足し算（復習）をすると、 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相進みと同相の加算 並列回路 電流、位相遅れと同相の加算 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が進む。 Z= 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 一方、 RL並列回路 では、 簡単のため 並列のときは 図を回転して 逆数の和なので、 R + jωL 極座標表示 虚 軸 位相 遅れ 電気回路第1スライド12-3-4 RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス 位相 合う Z jωL R 1 1 1 = + R jωL となります。 Z 実軸 0 ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RL直列回路では、インピーダンスR＋jωL。 ③極座標表示では右上を向く。 ④並列回路では、Zの逆数を足す。⑤逆数を取る。 ⑥複素共役を掛ける。⑦Zの実数部分。⑧Zの虚数部分。 ⑨極座標表示は直列回路同様。⑩数値を入れる。 ⑪位相差φは直列と並列で分子分母逆。 ？ ！ 「電流を出しなさい」と いう場合には 少しだけ、演習と… RL回路 RC回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）進んでいる。 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 進む 正弦波の足し算（復習）をすると、 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相進みと同相の加算 並列回路 電流、位相遅れと同相の加算 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が進む。 Z= 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 RL並列回路 では、 並列のときは 逆数の和なので、 R + jωL 極座標表示 虚 軸 位相 遅れ 電気回路第1スライド12-3-5 RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス 位相 合う Z jωL R 実軸 0 ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RL直列回路では、インピーダンスR＋jωL。 ③極座標表示では右上を向く。 ④並列回路では、Zの逆数を足す。⑤逆数を取る。 ⑥複素共役を掛ける。⑦Zの実数部分。⑧Zの虚数部分。 ⑨極座標表示は直列回路同様。⑩数値を入れる。 ⑪位相差φは直列と並列で分子分母逆。 1 1 1 = + R jωL となりますが、 Z －1 jωL jωLR +jωL R1 1 R + Z が欲しいので逆数を取ると、 + = R × jωLR R + jωL jωL [ ] ？ ！ 「電流を出しなさい」と いう場合には 少しだけ、演習と… RL回路 RC回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）進んでいる。 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 進む 正弦波の足し算（復習）をすると、 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相進みと同相の加算 並列回路 電流、位相遅れと同相の加算 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が進む。 Z= 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 RL並列回路 では、 並列のときは 逆数の和なので、 R + jωL 極座標表示 虚 軸 位相 遅れ 電気回路第1スライド12-3-6 RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス 位相 合う Z jωL R 実軸 0 ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RL直列回路では、インピーダンスR＋jωL。 ③極座標表示では右上を向く。 ④並列回路では、Zの逆数を足す。⑤逆数を取る。 ⑥複素共役を掛ける。⑦Zの実数部分。⑧Zの虚数部分。 ⑨極座標表示は直列回路同様。⑩数値を入れる。 ⑪位相差φは直列と並列で分子分母逆。 1 1 1 = + R jωL となりますが、 Z 2+ (R －1 jωLR (ωL) RjωL) 1jωLR 1 －2複素共役を Z = + 2 掛けて、 jωL + (ωL) ( RRR+2 jωL )(R － jωL) [ ] ？ ！ 「電流を出しなさい」と いう場合には 少しだけ、演習と… RL回路 RC回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）進んでいる。 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 進む 正弦波の足し算（復習）をすると、 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相進みと同相の加算 並列回路 電流、位相遅れと同相の加算 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が進む。 Z= R + jωL 極座標表示 虚 軸 Z jωL R 実軸 0 ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RL直列回路では、インピーダンスR＋jωL。 ③極座標表示では右上を向く。 ④並列回路では、Zの逆数を足す。⑤逆数を取る。 ⑥複素共役を掛ける。⑦Zの実数部分。⑧Zの虚数部分。 ⑨極座標表示は直列回路同様。⑩数値を入れる。 ⑪位相差φは直列と並列で分子分母逆。 位相 遅れ 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 電気回路第1スライド12-3-7 RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス 位相 合う のインピーダンス RL並列回路 では、 2R (ωL) Z= 2 並列のときは R + (ωL)2 逆数の和なので、 1 1 1 = + 実数部分が R jωL Z 2 jωLR + (ωL) 1 1 2R－1 Z = + で RR2 + (ωL) jωL2 [ ] ？ ！ 「電流を出しなさい」と いう場合には 少しだけ、演習と… RL回路 RC回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）進んでいる。 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 進む 正弦波の足し算（復習）をすると、 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相進みと同相の加算 並列回路 電流、位相遅れと同相の加算 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が進む。 Z= R + jωL 極座標表示 虚 軸 Z jωL R 実軸 0 ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RL直列回路では、インピーダンスR＋jωL。 ③極座標表示では右上を向く。 ④並列回路では、Zの逆数を足す。⑤逆数を取る。 ⑥複素共役を掛ける。⑦Zの実数部分。⑧Zの虚数部分。 ⑨極座標表示は直列回路同様。⑩数値を入れる。 ⑪位相差φは直列と並列で分子分母逆。 位相 遅れ 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 電気回路第1スライド12-3-8 RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス 位相 合う RL並列回路 のインピーダンス 22R 2 (ωL) ωLR Z = 22 +j 2 R ++ (ωL)22 R + + (ωL)2 虚数部分が 実数部分が なので、 色だけ揃えて、 2 2 jωLR + (ωL) 1 1 22R－1 Z = + で RR22 + (ωL) jωL22 [ ] ？ ！ 「電流を出しなさい」と いう場合には 少しだけ、演習と… RL回路 RC回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）進んでいる。 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 進む 正弦波の足し算（復習）をすると、 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相進みと同相の加算 並列回路 電流、位相遅れと同相の加算 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が進む。 Z= 位相 遅れ 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 電気回路第1スライド12-3-9 RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス 位相 合う RL並列回路 のインピーダンス 2R 2 (ωL) ωLR Z= 2 +j 2 R + (ωL)2 R + (ωL)2 R + jωL 極座標表示 極座標表示 極座標表示 極座標表示 極座標表示 極座標表示 極座標表示 虚 虚 虚 虚 虚 実部、虚部ともプラスの式で、 虚 虚jωLjωL jωL jωL jωL jωL jωL 軸 軸 軸 軸 軸左のRL直列回路と似たZです。 軸色だけ揃えて、 軸 R 実軸 R 実軸R 実軸 R 実軸R 実軸R 実軸 R 実軸 極座標表示にはとりあえず左 0 0 0 0 0 0 のをコピーして 0 Z Z ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RL直列回路では、インピーダンスR＋jωL。 ③極座標表示では右上を向く。 ④並列回路では、Zの逆数を足す。⑤逆数を取る。 ⑥複素共役を掛ける。⑦Zの実数部分。⑧Zの虚数部分。 ⑨極座標表示は直列回路同様。⑩数値を入れる。 ⑪位相差φは直列と並列で分子分母逆。 Z Z Z Z Z ？ ！ 「電流を出しなさい」と いう場合には 少しだけ、演習と… RL回路 RC回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）進んでいる。 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 進む 正弦波の足し算（復習）をすると、 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相進みと同相の加算 並列回路 電流、位相遅れと同相の加算 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が進む。 Z= R + jωL 極座標表示 虚 軸 Z jωL R 実軸 0 ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RL直列回路では、インピーダンスR＋jωL。 ③極座標表示では右上を向く。 ④並列回路では、Zの逆数を足す。⑤逆数を取る。 ⑥複素共役を掛ける。⑦Zの実数部分。⑧Zの虚数部分。 ⑨極座標表示は直列回路同様。⑩数値を入れる。 ⑪位相差φは直列と並列で分子分母逆。 位相 遅れ 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 電気回路第1スライド12-3-10 RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス 位相 合う RL並列回路 のインピーダンス 2R 2 (ωL) ωLR Z= 2 +j 2 R + (ωL)2 R + (ωL)2 極座標表示 虚 ωLR2 j 2 軸 R + (ωL)2 Z jωL (ωL)2R R 2 + (ωL)2 R実軸 0 ？ ！ 「電流を出しなさい」と いう場合には 少しだけ、演習と… RL回路 RC回路 RL回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 インダクタンス （位相90°進んでいる） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）進んでいる。 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 進む 正弦波の足し算（復習）をすると、 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相進みと同相の加算 並列回路 電流、位相遅れと同相の加算 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が進む。 RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス 位相差を ωL Z = R + jωL tanφ= 比較して R 極座標表示 虚 軸 Z jωL φR 実軸 0 ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RL直列回路では、インピーダンスR＋jωL。 ③極座標表示では右上を向く。 ④並列回路では、Zの逆数を足す。⑤逆数を取る。 ⑥複素共役を掛ける。⑦Zの実数部分。⑧Zの虚数部分。 ⑨極座標表示は直列回路同様。⑩数値を入れる。 ⑪位相差φは直列と並列で分子分母逆。 位相 合う 位相 遅れ 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 電気回路第1スライド12-3-11 R tanφ= ωL RL並列回路 のインピーダンス 2R 2 (ωL) ωLR Z= 2 +j 2 R + (ωL)2 R + (ωL)2 極座標表示 虚 ωLR2 j 2 軸 R + (ωL)2 Z jωL (ωL)2R φR 2 + (ωL)2 R実軸 0 ？ ！ 「電流を出しなさい」と いう場合には 少しだけ、演習と… RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス Z= R + jωL tanφ= 極座標表示 虚軸 jωL Z φ R 0 ωL R 実軸 R tanφ= RL並列回路 の ωL (ωL)2R ωLR2 Z= 2 +j 2 R + (ωL)2 R + (ωL)2 極座標表示 ωLR2 j 2 R + (ωL)2 Z(ωL) R 2 φ R2 + (ωL)2 RC回路の計算 位相差φは、 RC直列回路 のインピーダンスは、 RC並列回路 tanφ＝－ωCR R ωCR2 位相差φは、 1 1 Z= －j 2 Z= R + 1+(ωCR) 1+(ωCR)2 tanφ＝－ ωCR jωC R 極座標表示 極座標表示 虚軸 虚軸 R 1+(ωCR)2 実軸 0 0 実軸 1 －φ －jωCR2 jωC 1+(ωCR)2 0 RC回路 次は、同じことをキャパシタンスの RC回路でやりましょう。 ①次はRC回路です。 ②同相の抵抗と電圧の遅れるキャパシタンスを接続。 ③組み合わせるといくらか電圧の位相が遅れる。 ④計算は直列だと電圧を並列だと電流を足すとよい。 Z Z 電気回路第1スライド12-4-1 RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス Z= R + jωL tanφ= 極座標表示 虚軸 jωL Z φ R 0 ωL R 実軸 R tanφ= RL並列回路 の ωL (ωL)2R ωLR2 Z= 2 +j 2 R + (ωL)2 R + (ωL)2 極座標表示 ωLR2 j 2 R + (ωL)2 Z(ωL) R 2 φ R2 + (ωL)2 RC回路の計算 位相差φは、 RC直列回路 のインピーダンスは、 RC並列回路 tanφ＝－ωCR R ωCR2 位相差φは、 1 1 Z= －j 2 Z= R + 1+(ωCR) 1+(ωCR)2 tanφ＝－ ωCR jωC R 極座標表示 極座標表示 虚軸 虚軸 R 1+(ωCR)2 実軸 0 0 実軸 1 －φ －jωCR2 jωC 1+(ωCR)2 0 RC回路 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路です。 ①次はRC回路です。 ②同相の抵抗と電圧の遅れるキャパシタンスを接続。 ③組み合わせるといくらか電圧の位相が遅れる。 ④計算は直列だと電圧を並列だと電流を足すとよい。 Z Z 電気回路第1スライド12-4-2 位相 合う 位相 遅れ RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス Z= R + jωL tanφ= 極座標表示 虚軸 jωL Z φ R 0 ωL R 実軸 R tanφ= RL並列回路 の ωL (ωL)2R ωLR2 Z= 2 +j 2 R + (ωL)2 R + (ωL)2 極座標表示 ωLR2 j 2 R + (ωL)2 Z(ωL) R 2 φ R2 + (ωL)2 RC回路の計算 位相差φは、 RC直列回路 のインピーダンスは、 RC並列回路 tanφ＝－ωCR R ωCR2 位相差φは、 1 1 Z= －j 2 Z= R + 1+(ωCR) 1+(ωCR)2 tanφ＝－ ωCR jωC R 極座標表示 極座標表示 虚軸 虚軸 R 1+(ωCR)2 実軸 0 0 実軸 1 －φ －jωCR2 jωC 1+(ωCR)2 0 RC回路 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、（電圧の位相が）遅れている。 Z Z 電気回路第1スライド12-4-3 位相 合う 位相 遅れ 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 ①次はRC回路です。 ②同相の抵抗と電圧の遅れるキャパシタンスを接続。 ③組み合わせるといくらか電圧の位相が遅れる。 ④計算は直列だと電圧を並列だと電流を足すとよい。 RL回路の計算 RL直列回路 のインピーダンス Z= R + jωL tanφ= 極座標表示 虚軸 jωL Z φ R 0 ωL R 実軸 R tanφ= RL並列回路 の ωL (ωL)2R ωLR2 Z= 2 +j 2 R + (ωL)2 R + (ωL)2 極座標表示 ωLR2 j 2 R + (ωL)2 Z(ωL) R 2 φ R2 + (ωL)2 RC回路の計算 位相差φは、 RC直列回路 のインピーダンスは、 RC並列回路 tanφ＝－ωCR R ωCR2 位相差φは、 1 1 Z= －j 2 Z= R + 1+(ωCR) 1+(ωCR)2 tanφ＝－ ωCR jωC R 極座標表示 極座標表示 虚軸 虚軸 R 1+(ωCR)2 実軸 0 0 実軸 1 －φ －jωCR2 jωC 1+(ωCR)2 0 RC回路 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、（電圧の位相が）遅れている。 Z Z 電気回路第1スライド12-4-4 位相 合う 位相 遅れ 正弦波の足し算（復習）などをすると、 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 ①次はRC回路です。 ②同相の抵抗と電圧の遅れるキャパシタンスを接続。 ③組み合わせるといくらか電圧の位相が遅れる。 ④計算は直列だと電圧を並列だと電流を足すとよい。 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 RC回路 RLC直列（共振）回路 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 遅れ 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 RLC直列回路は、抵抗（位相が合っている）と、 インダクタンス（位相が進んでいる）とキャパシ タンス（位相が遅れている）を接続した回路で、 全体の位相は進んだり、遅れたりもするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） 位相 合う LとCにかかる 電圧が相殺さ れてゼロにな る。（抵抗のみ） 電気回路第1スライド12-5-1 RC回路の計算 今度は、RC回路では、電圧の位相が遅れる ことを例のインピーダンスで示します。 ①RC回路では電圧の位相が遅れます。 ②RC直列回路では、Z = R + 1/jωC。 ③図示し。位相差φはマイナス。 ④RC並列回路では、Zは大変。 ⑤しかし、電圧の位相は遅れる。 ？ ！ 省いた途中の計算など はここに示しました。 少しだけ、演習と… RC回路 RLC直列（共振）回路 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 遅れ 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 RLC直列回路は、抵抗（位相が合っている）と、 インダクタンス（位相が進んでいる）とキャパシ タンス（位相が遅れている）を接続した回路で、 全体の位相は進んだり、遅れたりもするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） 位相 合う LとCにかかる 電圧が相殺さ れてゼロにな る。（抵抗のみ） 電気回路第1スライド12-5-2 RC回路の計算 RC直列回路 のインピーダンスは、 Z= R + 1 jωC ①RC回路では電圧の位相が遅れます。 ②RC直列回路では、Z = R + 1/jωC。 ③図示し。位相差φはマイナス。 ④RC並列回路では、Zは大変。 ⑤しかし、電圧の位相は遅れる。 ？ ！ 省いた途中の計算など はここに示しました。 少しだけ、演習と… RC回路 RLC直列（共振）回路 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 遅れ 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 RLC直列回路は、抵抗（位相が合っている）と、 インダクタンス（位相が進んでいる）とキャパシ タンス（位相が遅れている）を接続した回路で、 全体の位相は進んだり、遅れたりもするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） 位相 合う LとCにかかる 電圧が相殺さ れてゼロにな る。（抵抗のみ） 電気回路第1スライド12-5-3 RC回路の計算 RC直列回路 のインピーダンスは、 位相差φは、 1 1 Z= R + tanφ＝－ ωCR jωC 極座標表示 虚軸 R 実軸 0 1 図に示すと、 φ jωC Z ①RC回路では電圧の位相が遅れます。 ②RC直列回路では、Z = R + 1/jωC。 ③図示し。位相差φはマイナス。 ④RC並列回路では、Zは大変。 ⑤しかし、電圧の位相は遅れる。 ？ ！ 省いた途中の計算など はここに示しました。 少しだけ、演習と… RC回路 RLC直列（共振）回路 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 遅れ 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 RLC直列回路は、抵抗（位相が合っている）と、 インダクタンス（位相が進んでいる）とキャパシ タンス（位相が遅れている）を接続した回路で、 全体の位相は進んだり、遅れたりもするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） 位相 合う LとCにかかる 電圧が相殺さ れてゼロにな る。（抵抗のみ） 電気回路第1スライド12-5-4 RC回路の計算 RC直列回路 のインピーダンスは、 RC並列回路 のインピーダンスは、 R ωCR2 位相差φは、 1 1 Z= －j Z= R + 1+(ωCR)2 1+(ωCR)2 tanφ＝－ ωCR jωC 極座標表示 虚軸 R 実軸 1 1 0 = + jωC より、 （中略） 1 Z R φ jωC Z ①RC回路では電圧の位相が遅れます。 ②RC直列回路では、Z = R + 1/jωC。 ③図示し。位相差φはマイナス。 ④RC並列回路では、Zは大変。 ⑤しかし、電圧の位相は遅れる。 ？ ！ 省いた途中の計算など はここに示しました。 少しだけ、演習と… RC回路 RLC直列（共振）回路 RC回路は、 抵抗 （位相が合っている） と、 キャパシタンス （位相90°遅れている） を 接続した回路で、 （電圧の位相が）遅れている。 位相 合う 位相 遅れ 正弦波の足し算（復習）をすると、 直列回路 電圧、位相遅れと同相の加算 並列回路 電流、位相進みと同相の加算 組み合わせると 幾分、電圧が遅れる。 RLC直列回路は、抵抗（位相が合っている）と、 インダクタンス（位相が進んでいる）とキャパシ タンス（位相が遅れている）を接続した回路で、 全体の位相は進んだり、遅れたりもするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） 位相 合う LとCにかかる 電圧が相殺さ れてゼロにな る。（抵抗のみ） 電気回路第1スライド12-5-5 RC回路の計算 位相差φは、 RC直列回路 のインピーダンスは、 RC並列回路 tanφ＝－ωCR R ωCR2 位相差φは、 1 1 Z= －j Z= R + 1+(ωCR)2 1+(ωCR)2 tanφ＝－ ωCR 極座標表示 jωC 極座標表示 R 虚軸 虚軸 R 1+(ωCR)2実軸 0 0 実軸 こちらも図で、 1 φ －φ －jωCR2 2 jωC 1+(ωCR) Z ①RC回路では電圧の位相が遅れます。 ②RC直列回路では、Z = R + 1/jωC。 ③図示し。位相差φはマイナス。 ④RC並列回路では、Zは大変。 ⑤しかし、電圧の位相は遅れる。 Z ？ ！ 省いた途中の計算など はここに示しました。 少しだけ、演習と… RC回路の計算 位相差φは、 RC直列回路 のインピーダンスは、 RC並列回路 tanφ＝－ωCR R ωCR2 位相差φは、 1 1 Z= －j 2 Z= R + 1+(ωCR) 1+(ωCR)2 tanφ＝－ ωCR jωC R 極座標表示 極座標表示 虚軸 虚軸 R 1+(ωCR)2 実軸 0 0 実軸 1 －φ －jωCR2 jωC 1+(ωCR)2 Z Z RLC直列回路の計算 もちろんその大きさは、 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 1 2 i Z= R + j ωL ー │Z│= R2 + ωL ｰ ωC ωC 1 R j[ ωL－ωC ] 共振角周波数 e 虚 1 L 軸 のとき、電流は ω= √LC 0 │E│ R 最大値 │I│= となる。 C R 実軸 0 RLC直列（共振）回路 ] [ ] Z 電気回路第1スライド12-6-1 最後に、RLC直列回路についても、 その使い道も含めて考えておきましょう。 ①RLC直列回路について考える。 ②抵抗と ③インダクタンスと ④キャパシタンスを接続した回路。 ⑤Lが効いたり（位相が進む）、Cが効いたりする。 ⑥ωがルートLC分の１のときLとCの電圧が相殺される。 ⑦電流が一杯流れ共振と呼ばれる。 [ RC回路の計算 位相差φは、 RC直列回路 のインピーダンスは、 RC並列回路 tanφ＝－ωCR R ωCR2 位相差φは、 1 1 Z= －j 2 Z= R + 1+(ωCR) 1+(ωCR)2 tanφ＝－ ωCR jωC R 極座標表示 極座標表示 虚軸 虚軸 R 1+(ωCR)2 実軸 0 0 実軸 1 －φ －jωCR2 jωC 1+(ωCR)2 Z Z RLC直列回路の計算 もちろんその大きさは、 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 1 2 i Z= R + j ωL ー │Z│= R2 + ωL ｰ ωC ωC 1 R j[ ωL－ωC ] 共振角周波数 e 虚 1 L 軸 のとき、電流は ω= √LC 0 │E│ R 最大値 │I│= となる。 C R 実軸 0 RLC直列（共振）回路 RLC直列回路は、 抵抗（位相が合っている） と、 ①RLC直列回路について考える。 ②抵抗と ③インダクタンスと ④キャパシタンスを接続した回路。 ⑤Lが効いたり（位相が進む）、Cが効いたりする。 ⑥ωがルートLC分の１のときLとCの電圧が相殺される。 ⑦電流が一杯流れ共振と呼ばれる。 ] [ [ ] Z 電気回路第1スライド12-6-2 位相 合う RC回路の計算 位相差φは、 RC直列回路 のインピーダンスは、 RC並列回路 tanφ＝－ωCR R ωCR2 位相差φは、 1 1 Z= －j 2 Z= R + 1+(ωCR) 1+(ωCR)2 tanφ＝－ ωCR jωC R 極座標表示 極座標表示 虚軸 虚軸 R 1+(ωCR)2 実軸 0 0 実軸 1 －φ －jωCR2 jωC 1+(ωCR)2 Z Z RLC直列回路の計算 もちろんその大きさは、 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 1 2 i Z= R + j ωL ー │Z│= R2 + ωL ｰ ωC ωC 1 R j[ ωL－ωC ] 共振角周波数 e 虚 1 L 軸 のとき、電流は ω= √LC 0 │E│ R 最大値 │I│= となる。 C R 実軸 0 RLC直列（共振）回路 RLC直列回路は、 抵抗（位相が合っている） と、 インダクタンス（位相が進んでいる） と ] [ [ Z 電気回路第1スライド12-6-3 位相 合う 位相 進む ①RLC直列回路について考える。 ②抵抗と ③インダクタンスと ④キャパシタンスを接続した回路。 ⑤Lが効いたり（位相が進む）、Cが効いたりする。 ⑥ωがルートLC分の１のときLとCの電圧が相殺される。 ⑦電流が一杯流れ共振と呼ばれる。 ] RC回路の計算 位相差φは、 RC直列回路 のインピーダンスは、 RC並列回路 tanφ＝－ωCR R ωCR2 位相差φは、 1 1 Z= －j 2 Z= R + 1+(ωCR) 1+(ωCR)2 tanφ＝－ ωCR jωC R 極座標表示 極座標表示 虚軸 虚軸 R 1+(ωCR)2 実軸 0 0 実軸 1 －φ －jωCR2 jωC 1+(ωCR)2 Z Z RLC直列回路の計算 もちろんその大きさは、 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 1 2 i Z= R + j ωL ー │Z│= R2 + ωL ｰ ωC ωC 1 R j[ ωL－ωC ] 共振角周波数 e 虚 1 L 軸 のとき、電流は ω= √LC 0 │E│ R 最大値 │I│= となる。 C R 実軸 0 ] [ RLC直列（共振）回路 RLC直列回路は、 抵抗（位相が合っている） と、 インダクタンス（位相が進んでいる） と キャパシ タンス （位相が遅れている） を 接続した回路です。 [ Z 電気回路第1スライド12-6-4 位相 合う 位相 進む 位相 遅れ ①RLC直列回路について考える。 ②抵抗と ③インダクタンスと ④キャパシタンスを接続した回路。 ⑤Lが効いたり（位相が進む）、Cが効いたりする。 ⑥ωがルートLC分の１のときLとCの電圧が相殺される。 ⑦電流が一杯流れ共振と呼ばれる。 ] RC回路の計算 位相差φは、 RC直列回路 のインピーダンスは、 RC並列回路 tanφ＝－ωCR R ωCR2 位相差φは、 1 1 Z= －j 2 Z= R + 1+(ωCR) 1+(ωCR)2 tanφ＝－ ωCR jωC R 極座標表示 極座標表示 虚軸 虚軸 R 1+(ωCR)2 実軸 0 0 実軸 1 －φ －jωCR2 jωC 1+(ωCR)2 Z Z RLC直列回路の計算 もちろんその大きさは、 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 1 2 i Z= R + j ωL ー │Z│= R2 + ωL ｰ ωC ωC 1 R j[ ωL－ωC ] 共振角周波数 e 虚 1 L 軸 のとき、電流は ω= √LC 0 │E│ R 最大値 │I│= となる。 C R 実軸 0 RLC直列（共振）回路 ] [ [ ] Z 電気回路第1スライド12-6-5 位相 RLC直列回路は、 抵抗（位相が合っている） と、 合う インダクタンス（位相が進んでいる） と キャパシ 位相 タンス （位相が遅れている） を 接続した回路で、 ωが小さい場合など、 進む Lは効かない。 全体の位相は 進んだり、 遅れたり もする。 ωが大きい場合など、 位相 Cは効かない。 遅れ ①RLC直列回路について考える。 ②抵抗と ③インダクタンスと ④キャパシタンスを接続した回路。 ⑤Lが効いたり（位相が進む）、Cが効いたりする。 ⑥ωがルートLC分の１のときLとCの電圧が相殺される。 ⑦電流が一杯流れ共振と呼ばれる。 RC回路の計算 位相差φは、 RC直列回路 のインピーダンスは、 RC並列回路 tanφ＝－ωCR R ωCR2 位相差φは、 1 1 Z= －j 2 Z= R + 1+(ωCR) 1+(ωCR)2 tanφ＝－ ωCR jωC R 極座標表示 極座標表示 虚軸 虚軸 R 1+(ωCR)2 実軸 0 0 実軸 1 －φ －jωCR2 jωC 1+(ωCR)2 Z Z RLC直列回路の計算 もちろんその大きさは、 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 1 2 i Z= R + j ωL ー │Z│= R2 + ωL ｰ ωC ωC 1 R j[ ωL－ωC ] 共振角周波数 e 虚 1 L 軸 のとき、電流は ω= √LC 0 │E│ R 最大値 │I│= となる。 C R 実軸 0 RLC直列（共振）回路 RLC直列回路は、 抵抗（位相が合っている） と、 インダクタンス（位相が進んでいる） と キャパシ タンス （位相が遅れている） を 接続した回路で、 全体の位相は 進んだり、 遅れたり もするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ①RLC直列回路について考える。 ②抵抗と ③インダクタンスと ④キャパシタンスを接続した回路。 ⑤Lが効いたり（位相が進む）、Cが効いたりする。 ⑥ωがルートLC分の１のときLとCの電圧が相殺される。 ⑦電流が一杯流れ共振と呼ばれる。 ] [ [ ] Z 電気回路第1スライド12-6-6 位相 合う 位相 LとCにかかる 進む 電圧が相殺さ れてゼロにな 位相 る。（抵抗のみ） 遅れ RC回路の計算 位相差φは、 RC直列回路 のインピーダンスは、 RC並列回路 tanφ＝－ωCR R ωCR2 位相差φは、 1 1 Z= －j 2 Z= R + 1+(ωCR) 1+(ωCR)2 tanφ＝－ ωCR jωC R 極座標表示 極座標表示 虚軸 虚軸 R 1+(ωCR)2 実軸 0 0 実軸 1 －φ －jωCR2 jωC 1+(ωCR)2 Z Z RLC直列回路の計算 もちろんその大きさは、 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 1 2 i Z= R + j ωL ー │Z│= R2 + ωL ｰ ωC ωC 1 R j[ ωL－ωC ] 共振角周波数 e 虚 1 L 軸 のとき、電流は ω= √LC 0 │E│ R 最大値 │I│= となる。 C R 実軸 0 RLC直列（共振）回路 RLC直列回路は、 抵抗（位相が合っている） と、 インダクタンス（位相が進んでいる） と キャパシ タンス （位相が遅れている） を 接続した回路で、 全体の位相は 進んだり、 遅れたり もするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） ①RLC直列回路について考える。 ②抵抗と ③インダクタンスと ④キャパシタンスを接続した回路。 ⑤Lが効いたり（位相が進む）、Cが効いたりする。 ⑥ωがルートLC分の１のときLとCの電圧が相殺される。 ⑦電流が一杯流れ共振と呼ばれる。 ] [ [ ] Z 電気回路第1スライド12-6-7 位相 合う 位相 LとCにかかる 進む 電圧が相殺さ れてゼロにな 位相 る。（抵抗のみ） 遅れ RLC直列（共振）回路 RLC直列回路は、抵抗（位相が合っている）と、 インダクタンス（位相が進んでいる）とキャパシ タンス（位相が遅れている）を接続した回路で、 全体の位相は進んだり、遅れたりもするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） 位相 合う LとCにかかる 電圧が相殺さ れてゼロにな る。（抵抗のみ） 今日のまとめ RL回路 インピーダンスの虚数部分が正（斜め 上向き）で、 電圧の位相が進む。 RC回路 インピーダンスの虚数部分が負（斜め 下向き）で、 電圧の位相が遅れる。 RLC直列回路の計算 RLC直列共振回路 1 √LC のとき、電流は │I│= │E│ R 共振角周波数 ω0= 電気回路第1スライド12-7-1 今度はこのRLC直列回路の インピーダンスから共振する 角周波数ω0 を出します。 ①RLC回路のインピーダンスを出す。 ②抵抗と、インダクタンスとキャパシタンスを全部足す。 ③虚数部をまとめる。 ④極座標表示する。 ⑤Zの大きさは実部の二乗と虚部の二乗のルート。 ⑥虚数部分を取り出す。 ⑦虚部がゼロで電流最大。 ⑧ルートLC分の1で共振。 ！ RLC直列共振回路の 共振の強さ、Q値での 評価について。 RLC直列（共振）回路 RLC直列回路は、抵抗（位相が合っている）と、 インダクタンス（位相が進んでいる）とキャパシ タンス（位相が遅れている）を接続した回路で、 全体の位相は進んだり、遅れたりもするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） 今日のまとめ 位相 合う RL回路 インピーダンスの虚数部分が正（斜め 上向き）で、 電圧の位相が進む。 LとCにかかる 電圧が相殺さ れてゼロにな る。（抵抗のみ） RC回路 インピーダンスの虚数部分が負（斜め 下向き）で、 電圧の位相が遅れる。 RLC直列回路の計算 e RLC直列回路 のインピーダンスは 1 i R + jωL+ jωC R 抵抗のR L C RLC直列共振回路 1 √LC のとき、電流は │I│= │E│ R 共振角周波数 ω0= 電気回路第1スライド12-7-2 と加えたものです。 インダクタンスのjωL キャパシタンスの ①RLC回路のインピーダンスを出す。 ②抵抗と、インダクタンスとキャパシタンスを全部足す。 ③虚数部をまとめる。 ④極座標表示する。 ⑤Zの大きさは実部の二乗と虚部の二乗のルート。 ⑥虚数部分を取り出す。 ⑦虚部がゼロで電流最大。 ⑧ルートLC分の1で共振。 1 jωC ！ RLC直列共振回路の 共振の強さ、Q値での 評価について。 RLC直列（共振）回路 RLC直列回路は、抵抗（位相が合っている）と、 インダクタンス（位相が進んでいる）とキャパシ タンス（位相が遅れている）を接続した回路で、 全体の位相は進んだり、遅れたりもするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） 位相 合う LとCにかかる 電圧が相殺さ れてゼロにな る。（抵抗のみ） 今日のまとめ RL回路 インピーダンスの虚数部分が正（斜め 上向き）で、 電圧の位相が進む。 RC回路 インピーダンスの虚数部分が負（斜め 下向き）で、 電圧の位相が遅れる。 [ e R L 1 √LC のとき、電流は │I│= │E│ R 共振角周波数 ω0= 電気回路第1スライド12-7-3 RLC直列回路の計算 RLC直列回路 のインピーダンスは 11 i j ωL ー Z= R + jωL+ ωC jωC RLC直列共振回路 ] 虚数部分をまとめて と加えたものですが、 （1/j は－j なので） C ①RLC回路のインピーダンスを出す。 ②抵抗と、インダクタンスとキャパシタンスを全部足す。 ③虚数部をまとめる。 ④極座標表示する。 ⑤Zの大きさは実部の二乗と虚部の二乗のルート。 ⑥虚数部分を取り出す。 ⑦虚部がゼロで電流最大。 ⑧ルートLC分の1で共振。 ！ RLC直列共振回路の 共振の強さ、Q値での 評価について。 RLC直列（共振）回路 RLC直列回路は、抵抗（位相が合っている）と、 インダクタンス（位相が進んでいる）とキャパシ タンス（位相が遅れている）を接続した回路で、 全体の位相は進んだり、遅れたりもするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） 今日のまとめ 位相 合う LとCにかかる 電圧が相殺さ れてゼロにな る。（抵抗のみ） RL回路 インピーダンスの虚数部分が正（斜め 上向き）で、 電圧の位相が進む。 RC回路 インピーダンスの虚数部分が負（斜め 下向き）で、 電圧の位相が遅れる。 [ e L 虚 軸 1 √LC のとき、電流は │I│= │E│ R 共振角周波数 ω0= 電気回路第1スライド12-7-4 RLC直列回路の計算 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 i Z= R + j ωL ー ωC 1 j[ ωL － ωC ] R RLC直列共振回路 ] 図示すると Z R C 0 実軸 ①RLC回路のインピーダンスを出す。 ②抵抗と、インダクタンスとキャパシタンスを全部足す。 ③虚数部をまとめる。 ④極座標表示する。 ⑤Zの大きさは実部の二乗と虚部の二乗のルート。 ⑥虚数部分を取り出す。 ⑦虚部がゼロで電流最大。 ⑧ルートLC分の1で共振。 ！ RLC直列共振回路の 共振の強さ、Q値での 評価について。 RLC直列（共振）回路 RLC直列回路は、抵抗（位相が合っている）と、 インダクタンス（位相が進んでいる）とキャパシ タンス（位相が遅れている）を接続した回路で、 全体の位相は進んだり、遅れたりもするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） 今日のまとめ 位相 合う LとCにかかる 電圧が相殺さ れてゼロにな る。（抵抗のみ） RL回路 インピーダンスの虚数部分が正（斜め 上向き）で、 電圧の位相が進む。 RC回路 インピーダンスの虚数部分が負（斜め 下向き）で、 電圧の位相が遅れる。 [ e L 虚 軸 Z R C 0 1 √LC のとき、電流は │I│= │E│ R 共振角周波数 ω0= 電気回路第1スライド12-7-5 RLC直列回路の計算 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 i Z= R + j ωL ー ωC 1 j[ ωL － ωC ] R RLC直列共振回路 もちろんその大きさは、 ] │Z│= 1 ωC となって、電流の実効値は、 │E│ │I│= │Z│ です。 [ R2 + ωL ｰ 実軸 ①RLC回路のインピーダンスを出す。 ②抵抗と、インダクタンスとキャパシタンスを全部足す。 ③虚数部をまとめる。 ④極座標表示する。 ⑤Zの大きさは実部の二乗と虚部の二乗のルート。 ⑥虚数部分を取り出す。 ⑦虚部がゼロで電流最大。 ⑧ルートLC分の1で共振。 ！ RLC直列共振回路の 共振の強さ、Q値での 評価について。 2 ] RLC直列（共振）回路 RLC直列回路は、抵抗（位相が合っている）と、 インダクタンス（位相が進んでいる）とキャパシ タンス（位相が遅れている）を接続した回路で、 全体の位相は進んだり、遅れたりもするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） 今日のまとめ 位相 合う LとCにかかる 電圧が相殺さ れてゼロにな る。（抵抗のみ） RL回路 インピーダンスの虚数部分が正（斜め 上向き）で、 電圧の位相が進む。 RC回路 インピーダンスの虚数部分が負（斜め 下向き）で、 電圧の位相が遅れる。 [ e L 虚 軸 Z R C 0 実軸 ①RLC回路のインピーダンスを出す。 ②抵抗と、インダクタンスとキャパシタンスを全部足す。 ③虚数部をまとめる。 ④極座標表示する。 ⑤Zの大きさは実部の二乗と虚部の二乗のルート。 ⑥虚数部分を取り出す。 ⑦虚部がゼロで電流最大。 ⑧ルートLC分の1で共振。 1 √LC のとき、電流は │I│= │E│ R 共振角周波数 ω0= 電気回路第1スライド12-7-6 RLC直列回路の計算 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 i Z= R + j ωL ー ωC 1 j[ ωL － ωC ] R RLC直列共振回路 もちろんその大きさは、 ] │Z│= 1 2 ωC となって、電流の実効値は、 │E│ │I│= │Z│ ですから、 インピーダンスの虚数部分、リ アクタンスが0の時電流最大。 [ R2 + ωL ｰ ！ RLC直列共振回路の 共振の強さ、Q値での 評価について。 ] RLC直列（共振）回路 RLC直列回路は、抵抗（位相が合っている）と、 インダクタンス（位相が進んでいる）とキャパシ タンス（位相が遅れている）を接続した回路で、 全体の位相は進んだり、遅れたりもするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） 今日のまとめ 位相 合う LとCにかかる 電圧が相殺さ れてゼロにな る。（抵抗のみ） RL回路 インピーダンスの虚数部分が正（斜め 上向き）で、 電圧の位相が進む。 RC回路 インピーダンスの虚数部分が負（斜め 下向き）で、 電圧の位相が遅れる。 [ e L 虚 軸 Z R C 0 実軸 ①RLC回路のインピーダンスを出す。 ②抵抗と、インダクタンスとキャパシタンスを全部足す。 ③虚数部をまとめる。 ④極座標表示する。 ⑤Zの大きさは実部の二乗と虚部の二乗のルート。 ⑥虚数部分を取り出す。 ⑦虚部がゼロで電流最大。 ⑧ルートLC分の1で共振。 1 √LC のとき、電流は │I│= │E│ R 共振角周波数 ω0= 電気回路第1スライド12-7-7 RLC直列回路の計算 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 i Z= R + j ωL ー ωC 1 j[ ωL － ωC ] R RLC直列共振回路 もちろんその大きさは、 ] │Z│= [ ωL ー 2 R2 + ωL ｰ 1 ωC 1 ωC = 0 より 1 ωL= ω2LC= 1 ωC インピーダンスの虚数部分、リ アクタンスが0の時電流最大。 [ ] ！ RLC直列共振回路の 共振の強さ、Q値での 評価について。 ] RLC直列（共振）回路 RLC直列回路は、抵抗（位相が合っている）と、 インダクタンス（位相が進んでいる）とキャパシ タンス（位相が遅れている）を接続した回路で、 全体の位相は進んだり、遅れたりもするが、 1 ω＝ のとき │Z│が最小になる。 √LC ⇒ 電流が多く流れる。 （共振と呼ぼう。） 今日のまとめ 位相 合う LとCにかかる 電圧が相殺さ れてゼロにな る。（抵抗のみ） RL回路 インピーダンスの虚数部分が正（斜め 上向き）で、 電圧の位相が進む。 RC回路 インピーダンスの虚数部分が負（斜め 下向き）で、 電圧の位相が遅れる。 [ e L 虚 軸 Z R C 0 実軸 ①RLC回路のインピーダンスを出す。 ②抵抗と、インダクタンスとキャパシタンスを全部足す。 ③虚数部をまとめる。 ④極座標表示する。 ⑤Zの大きさは実部の二乗と虚部の二乗のルート。 ⑥虚数部分を取り出す。 ⑦虚部がゼロで電流最大。 ⑧ルートLC分の1で共振。 1 √LC のとき、電流は │I│= │E│ R 共振角周波数 ω0= 電気回路第1スライド12-7-8 RLC直列回路の計算 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 i Z= R + j ωL ー ωC 1 j[ ωL － ωC ] R RLC直列共振回路 もちろんその大きさは、 ] │Z│= R + [ωL ｰ ωC1 ] 1 ωL ー [ = 0 より ] ωC 共振角周波数 2 2 1 のとき、電流は 0 √LC │E│ 最大値 │I│= R となる。 ω= ！ RLC直列共振回路の 共振の強さ、Q値での 評価について。 RLC直列回路の計算 もちろんその大きさは、 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 1 2 i Z= R + j ωL ー │Z│= R2 + ωL ｰ ωC ωC 1 R j[ ωL－ωC ] 共振角周波数 e 虚 1 L 軸 のとき、電流は ω= √LC 0 │E│ R 最大値 │I│= となる。 C R 実軸 0 ] [ [ ] スライドを終了します。 Z 電気回路第1スライド12-8-1 今日のまとめ RL回路 では、 インピーダンスの虚数部分が正（斜 め上向き）で、電圧の位相が進む。 ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RC回路では位相が遅れる。 ③直列共振回路は、ルートLC分の１で共振。 ？ ！ はじめに戻ります。 次回までの演習課題 です。 RLC直列回路の計算 もちろんその大きさは、 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 1 2 i Z= R + j ωL ー │Z│= R2 + ωL ｰ ωC ωC 1 R j[ ωL－ωC ] 共振角周波数 e 虚 1 L 軸 のとき、電流は ω= √LC 0 │E│ R 最大値 │I│= となる。 C R 実軸 0 ] [ [ ] スライドを終了します。 Z 電気回路第1スライド12-8-2 今日のまとめ RL回路 インピーダンスの虚数部分が正（斜 め上向き）で、電圧の位相が進む。 RC回路 では、 インピーダンスの虚数部分が負（斜 め下向き）で、電圧の位相が遅れる。 ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RC回路では位相が遅れる。 ③直列共振回路は、ルートLC分の１で共振。 ？ ！ はじめに戻ります。 次回までの演習課題 です。 RLC直列回路の計算 もちろんその大きさは、 RLC直列回路 のインピーダンスは 1 1 2 i Z= R + j ωL ー │Z│= R2 + ωL ｰ ωC ωC 1 R j[ ωL－ωC ] 共振角周波数 e 虚 1 L 軸 のとき、電流は ω= √LC 0 │E│ R 最大値 │I│= となる。 C R 実軸 0 ] [ [ ] スライドを終了します。 Z 電気回路第1スライド12-8-3 今日のまとめ RL回路 インピーダンスの虚数部分が正（斜 め上向き）で、電圧の位相が進む。 RC回路 インピーダンスの虚数部分が負（斜 め下向き）で、電圧の位相が遅れる。 ①RL回路では電圧の位相が進む。 ②RC回路では位相が遅れる。 ③直列共振回路は、ルートLC分の１で共振。 RLC直列共振回路 では、 1 共振角周波数 ω0= √LC のとき、電流は │I│= │E│ R ？ ！ はじめに戻ります。 次回までの演習課題 です。 電気回路第1スライド付録 補足1：電流の計算について たとえば、『電圧100V（実効値です、とくに断らな い場合は。）、R＝20Ω、ωL＝20Ωの直列回路で電 流値を求めなさい。』といったケースでは、インピー ダンスは、 Z ＝R＋jωL ① とすぐに求められますが、これから電流の大きさを、 │I│=│E│÷│Z│ ② 2 2 =100÷√(20 +20 ）＝100÷20√２＝5/√2 と求め、位相差を、 φ = tan-1(ωL/R) ③ -1 =tan (20/20)= π/4 (=45°） と求めて、複素表示したければ、 I = │I│ε－jφ ④ －jπ/4 =2.5√2ε としてもOKです。電圧の位相が進むとき、電流の 位相が遅れますので、④式中のマイナスは忘れて はなりません。 もちろん、アドミッタンスYやZ分の1 を実際に計算してもかまいません。 以降は前々回の補足説明スライド をjωLに書きなおしたものです。 虚 軸 抵抗の接続のときは、単にRとかR分の１で十分で したね。でもこれが複素数となると話が少し複雑に なりまして、逆数もそう簡単なことではなくなりまし た。 定義より、 Y ＝1/Z ＝1/（R+jωL） ⑤ ですが、言わずと知れたZの複素共役、R－jωLを 分子分母に掛けますね。 Y ＝（R－jωL）/（R+jωL）（R－jωL） ＝（R－jωL）/[R2＋（ωL）]2 ⑥ となりました。もちろん、実部、虚部を分けて書くと、 Y＝R/[R2＋（ωL）]2＋j（－ωL）/[R2＋（ωL）]2 ⑦ となります。ですが、むしろ⑥の表現にご注意くだ さい。1/[R2＋（ωL）]2はもちろんただの実数の比例 係数ですから、YはZ複素共役の数倍というもので す。（方向が変わらないということ。） Z Φ 実軸 －Φ ０ Y Zの複素共役 !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 補足2：RC回路の計算について まず、インピーダンスZではなく、アドミッタンスY が Y = 1/Z = 1/R + jωC とでますが、これで十分な問題であったり、理解 できたりする場合は、このまま、 2 1 2 Y C j R 1 tan1 CR とでも変形すると電流の位相が進むことも、電圧 が遅れることもわかります。 インピーダンスZをつくりたい向きには、 Z 1/ Y 1 j C R R 1 jCR R 1 jCR 1 jCR 1 jCR R 1 jCR 2 1 CR RC並列回路について 1 1 jCR R 1 R jCR 2 2 2 1 CR 1 CR となって、スライド中の式までいけました。もちろ ん│Z│と位相差φを求めると、 R Z j 2 1 CR 1 2 tan1 CR R となりますから、同じ 位相差にもなります し、最初の式の関係 も満たしますね。 1 tan1 CR !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 補足3：ωの計算について !! わかったら（でなくっても） ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 発展1：前回からの演習の解答 （１）複素電圧 1＋j、複素電力 1－j のとき、複素電力を求めなさい。 （答）複素電力は、EI = (1＋j)×(1－j) = (1－j)×(1－j) = 1－2j + j2= －2j （2）複素電圧 1＋ √3 j、複素電流 √3＋j のとき、複素電力と力率、位相差を求めなさい。 （答）複素電力は、EI = (1＋ √3 j)×( √3＋j) = (1－ √ 3 j)×( √3＋j)= √3－2j－ √3 j2= 2 √3－2j 力率は、Pの実部÷Pの大きさとして 位相差は tan-1 2 2 √3 2 √3 √（2 √3 ）2＋22 = √3 2 = 30° （3）複素電圧5εjπ/2、複素電流5εjπ/6 のとき複素電力と力率を求めなさい。 （答）複素電力は、EI = 5εjπ/2×5εjπ/6 = 5ε－jπ/2×5εjπ/6 = 5×5ε－jπ/2 + jπ/6 = 25ε－jπ/3 1 力率は、cos(－π/3） = 2 !! ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 発展2：抵抗とインダクタンスの接続の演習 （１） まず、抵抗 1 [Ω] とインダクタンス √3 j [Ω] を直列接続した回路に E = ２εjπ/4 を加えると電流は いくらか。 1 [Ω] √3 j [Ω] （答）インピーダンスは1+√3j＝2εjπ/3となります。IはE/Zより I＝２εjπ/4/2εjπ/3＝2/2×ε（jπ/4ーjπ/3）＝εーjπ/12 （2） 抵抗 1 [Ω]とインダクタンス 1 [mH]を並列につないで、ω=1000 [rad/s]（すなわち2π分の１キロヘル ツ）の交流を加えたとき電圧と電流の位相はどうなるだろうか。 1 [Ω] （答）右のように1とjの並列 接続ですね。アドミッタンス だと、1+j=√2εjπ/4となります から、電流がπ/４進み電圧 がπ/４遅れます。 1 [mH] 1 j （3） 抵抗RとjωLの並列回路と、同じインピーダンスのRL直列回路のRとLはいくらか。 R （答）並列回路のインピーダンスは、 (ωL)2R jωL R2 + 抵抗 (ωL)2 ωLR2 + j 2 R + (ωL)2 (ωL)2R R2 + (ωL)2 と ですから、 LR2 R2 + (ωL)2 なるインダク タンスを直列接続すると同じインピーダンスです。ただし、 全部ωの関数なので、周波数が変わると一致しません。 !! ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 発展3：抵抗とキャパシタンスの接続の演習 （１） まず、抵抗 1 [Ω] とキャパシタンス 1 [μF] を直列接続した回路に周波数 1 [MHz] の交流電圧 E = 0.1εjπ/4を加えると電流はいくらか。 1 [Ω] 1 [μF] －j/2π[Ω] （答）インピーダンスは1+1/（j×2π×106×10－6）＝1－j/2π ＝(1＋1/4π2）1/2ε－φただしφ＝tan-1(1/2π)です。 電流はもちろん、電流はZで割って、0.1εjπ/4÷[(1＋1/4π2）1/2ε－φ] ＝0.1(1＋1/4π2）－1/2εj（π/4＋φ）ただしφ＝tan-1(1/2π) となります。 （2） RC並列回路で電圧の位相を電流の位相より60°遅らせたい。RとCの間の関係を求めよ。 R C （答）アドミッタンスは、1/R＋jωC＝□εjφ ただし、 φ＝tan-1ωCRとなります。φ＝60°とすると ωCR＝tan60°＝√3となるため、答は、ωCR＝√3 となり ます。参考までに、直列回路だったらωCR＝1/√3 となり ますね。 !! ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 発展4： Q値の計算 インピー リアク ダンス タンス ωLは 電 Imax に対して 共振の鋭さは通常は高さが半分となる ここでは、電流が最大値の 1 ωLと1/ωCは、 に書き とω で をプロ 0 図で説明すると 流 は、 ωL ー と直線で │Z│ と半値になる ルート2分の１倍となるωを I ωＣ 換えて 最小値 電 max っとす は両者を 増加するが、 ωが書ける。 求めます。 ω √２ 1、ω2とすると 流 ると、 抵抗 R 加えて R │I│max ω －ω ＝ ですが、 │I│= となるとき 周波数 がここ 2 1 L √2 ω1 ω0 ω－1 0 2 周波数ω ω 電流はその とすると 0の何倍かで評価して、 │Z│=√2 R だから、 は を横軸に ω ω10L 2 0 ωC 1 この長さ(半値幅)で評価します。 逆数に比例するので、 2 RLC直列回路の共振曲線 Q = = = R = と定義すると、 ωL ｰ ω2－ω1 となる。 ずっとマイナス。 R ωC ω CR [ ] 0 ？ !! ω1などの計算について ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。 電気回路第1スライド付録 発展5： 次回までの演習問題 （１）インピーダンスが 1＋j である回路（と角周波数）を１つ挙げなさい。 （２）アドミッタンスが 1＋ √ 3j である回路（と角周波数）を１つ挙げなさい。 （３）1 [Ω] の抵抗と 1 [mH] のインダクタンスを接続した。この場合に直列接続と並列接続が 同じインピーダンスとなるωを求めなさい。 !! ここをクリックしてもとの スライドに帰りましょう。
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