1．はじめに制御理論 - Mathematical Informatics 5th

SICEシステム工学部会研究会
ロバスト制御とその新解法：
確率的解法と確定的解法
東京大学数理情報学専攻大石泰章
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~oishi/
2006年1月18日
参考：数理計画法アプローチで新地平を拓く制御
理論，計測と制御，2005年8月号．
目次
１．なぜロバスト性か
 タワークレーン
 マイクロフォンアレイ
２．最適化とロバスト最適化  定式化
３．非線形構造を考えたロバスト最適化
（１）確定的方法
（２）確率的方法
 本題
４．展望とまとめ
2
１．なぜロバスト性か
タワークレーンの振動抑制制御
3
 モデル化［高木・西村 98］
h

L, W


w
   1 m,    45 で線形化
 状態フィードバックで安定化
→ 最適化に基づく設計 
時間 [s]
4
 パラメータが変わると…


(, )  (1 m, 45)
(, 0 )  (0.5 m, 40)
(0.5 m, 50)
(1.5 m, 40)
(1.5 m, 50)
0
時間 [s]
時間 [s]
 ロバストな設計


h

L, W


w
5
マイクロフォンアレイの設計
音波

w20

周波数固定

w1 w0 w1
w20
マイクロフォン
  を最小化するように w を設計
ゲイン
1

0 10 40


90
6
cf. [Ben-Tal & Nemirovski 02]
 結果
ゲイン
w に  0.5% 誤差
w 誤差なし


 ロバストな設計
ゲイン
w 誤差なし
w20


w1 w0 w1

w に  0.5% 誤差

w20

7
ここまでのまとめ
現実の対象
タワークレーン
マイクロフォンアレイ
抽象的方法論
最適化
最適解
不確かさ
パラメータの変化，実装時の誤差，環境の変化，
経年変化，モデル化誤差，…
どうするか？
 対象固有の解決法
 方法論を拡充 → ロバスト最適化
8
目次
１．なぜロバスト性か
２．最適化とロバスト最適化
３．非線形構造を考えたロバスト最適化
（１）確定的方法
（２）確率的方法
４．展望とまとめ
9
２．最適化とロバスト最適化
タワークレーン
h


L, W

 ブーム角  で線形化


d
dt 


    0
   0
  ag ( W2  w)
   L cos 0
 ag ( W2  w)


   

0
0
agw cos 0
L
ag ( W3  w )


A
w
a  1/(W3  w sin 2 0 )
1 0 
0 1 

0 0 

0 0 
    0 
   0 
   a cos  (h  h0 )
   L 0 
2
a
cos


      

B
u10
最適化に基づく設計 [Boyd et al. 94]
 制御対象 (t )  A (t )  Bu (t )
 制御則 u (t )  K (t )
設計
 最適化問題
最小化 a
 性能指標
条件
F ( L, Y , a)  O  行列不等式
１次関数
 最適化アプローチ
 極配置
 H  ノルム
 H 2 ノルム
制御器 K  LY 1 が
性能 a を達成
11
問題点


d
dt 


a  1/(W3  w sin 2 0 )
    0
   0
  ag ( W2  w)
   L cos 0
 ag ( W2  w)


   
0
0
agw cos 0
L
ag ( W3  w )


1 0 
0 1 

0 0 

0 0 
    0 
   0 
   a cos  (h  h0 )
   L 0 
a cos2  



    
 パラメータ  (,  0 ) に依存
最小化 a
条件
F ( L, Y , a)  O
h

L, W


w
F ( L, Y , a;  )  O
 一つの のみ考えてもダメ
12
ロバスト最適化 [Ben-Tal & Nemirovski 02]
最小化 a
条件
F ( L, Y , a;  )  O,  
制御器 K  LY 1 は，
すべての   に関して
性能 a を達成
50


40
0.5 m  1.5 m
13
最小化 a
条件
F ( L, Y , a;  )  O,  
問題点
a  1/(W3  w sin 2 0 )


d
dt 


    0
   0
  ag ( W2  w)
   L cos 0
 ag ( W2  w)


   
0
0
agw cos 0
L
ag ( W3  w )


1 0 
0 1 

0 0 

0 0 
    0 
   0 
   a cos  (h  h0 )
   L 0 
a cos2  



    
   (,  ) に非線形に依存  難しい
 従来法：非線形構造を無視  保守的すぎて失敗
 本発表：非線形構造を考えたロバスト最適化
14
マイクロフォンアレイ
ゲイン

w20

w1 w0 w1
1


w20
0
10 40
 最適化に基づく設計
最小化 
条件
F ( w,  )  O


90
 ロバスト最適化
最小化 
条件
F ( w,  ; )  O,  
  への依存性  対称なら線形，非対称なら非線形
[Ben-Tal & Nemirovski 01]
15
目次
１．なぜロバスト性か
２．最適化とロバスト最適化
３．非線形構造を考えたロバスト最適化
（１）確定的方法
（２）確率的方法
４．展望とまとめ
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３．非線形構造を考えたロバスト最適化
最小化 a
条件
F ( L, Y , a;  )  O,  
 一般化
最小化 c T x
条件 F ( x, )  O,  
 L
c T  [0 0 1], x : Y 
 
 a 
1次多項式
F ( x,  )  O
x
F ( x,  2  )  O
F ( x,  3 )  O
17
3.1. 確定的方法
概要
最小化 c T x
条件 F ( x, )  O,   
 条件を十分条件で置き換える
 ギャップ小 → 良い近似
真の最小値
T
c x
近似最小値
x
十分条件
F ( x, )  O,  
[佐々木・小原・増淵 01]
 先行研究  代数的
 近似誤差の評価なし [Scherer 05]
[Scherer & Hol 05]
 本研究  幾何的
[江本・大石 05]
 近似誤差の評価あり [Oishi 05]
 計算量逓減
18
十分条件の構成
最小化 c T x
条件 F ( x, )  O,  
F ( x, )  F00 ( x)  F10 ( x)  F01 ( x)   F11 ( x)1 2
 [ F00 ( x) F10 ( x) F01 ( x) F11 ( x)]  I 
 
 1 
  2 
   
 1 2 

  1

 かけて
H ( )    2
I

 零になる行列
  2
I 

 の１次関数
19
 このとき
F ( x, )  O,  
  F00  F00T

T
F
10

 F01T

T
F

11
F10
F01
F11 

  WH (  )  H (  )T W T  O,


( 4)
G (x)  (3)


G ( x)  WH ( ( 2 )     ( 2 ) T W T  O,
G ( x)  WH ( ( 3)     ( 3) T W T  O,
G ( x)  WH ( ( 4 )     ( 4 ) T W T  O

 (1)

( 2)
)   について凸結合により
G( x)  WH ( )  H ( )T W T  O  I   F ( x, )  O
[ I I ]
I
 
20
最小化 c T x
条件 G ( x)  WH (  )  H (  )T W T  O,
G ( x)  WH (  2  )  H (  2  )T W T  O,
G ( x)  WH (  3  )  H (  3  )T W T  O,
G ( x)  WH (  4  )  H (  4  )T W T  O
近似最小値
真の最小値
cT x
x
十分条件
F ( x, )  O,  
 十分条件なので近似最小値  真の最小値も
 分割細かく → 近似誤差小
どのくらい？
cf. 代数的方法

21
最小化 c T x
条件 G ( x)  WH (  )  H (  )T W T  O,
G ( x)  WH (  2  )  H (  2  )T W T  O,

 (1)  ( 2 )
 有効な制約  等号が成り立つ制約
 最大有効半径

定理１適当な仮定のもとで
g (M  p )2
近似誤差 
（最大有効半径）
2
 最大有効半径小 → 近似誤差小
 効率的な分割法
 大切な領域がわかる
cf. 代数的方法

22
問題点
最小化 c T x
条件 G ( x)  WH (  )  H (  )T W T  O,
G ( x)  WH (  2  )  H (  2  )T W T  O,

 (1)  ( 2 )

 計算量  の次元の指数関数
23
目次
１．なぜロバスト性か
２．最適化とロバスト最適化
３．非線形構造を考えたロバスト最適化
（１）確定的方法
（２）確率的方法
４．展望とまとめ
24
3.2. 確率的方法
概要
 確定的方法  計算量大
 ランダム抽出の利用
最小化 c T x
条件 F ( x, )  O,  
F ( x, (i ) )  O, i  1, , N
置き換える
 (i )

ランダム抽出
最適解の質の評価が本質的
 基本原理 [Polyak & Tempo 01][Calafiore & Polyak 01]
 停止則導入 [Oishi 04]
25
基礎技術：x の確率的評価
 ランダム抽出した 10000 個の で F ( x, )  O
→ 何が言える？
 もし
99.9% 未満


確率  (0.999)10000  0.0001
F ( x,   O F ( x,   O
「99.99% 以上の信頼度で，
F ( x,   O なる の割合は 99.9% 以上」
 条件 F ( x,   O,    が扱える
抽出数は  の次元と無関係
26
算法（概略のみ）
最小化 c T x
条件 F ( x, )  O,  
 a に関する２分法
「c T x  a かつ
F ( x, )  O,   
なる x は存在するか？」
a
a
a
x あり
a
x なし
  を１個ランダムに抽出
T
c
 x  a かつ F ( x, )  O かをチェック
不成立なら x を逐次更新

 適当な停止則
27
 解の質は確率的
「1   以上の信頼度で，F ( x, )  O なる の割合は1   以上．
x の集合のうち割合  を除いて最適．」
定理２先の算法は，
高々以下の数だけ  を抽出して終了
  2 m  2 
1 
1 1
抽出数  m   ln
 ln
 ln

6 
1  
 

m  log 2 [(a  a) / atol ],   2(n  1) ln (1/  )
 終了することを保証
 計算量を評価   の次元の多項式
cf. 確定的方法
 信頼度  より，精度  が高価
28
目次
１．なぜロバスト性か
２．最適化とロバスト最適化
３．非線形構造を考えたロバスト最適化
（１）確定的方法
（２）確率的方法
４．展望とまとめ
29
展望：非線形最適化
最大化
条件
 最小化
条件
q( )  多項式
p
  [0, 1]
x
q( )  x,   [0, 1] p
(0.8, 0.2) , (0.2, 0.8)
極大値18.2
x
q ( )
(0.8, 0.8)
極大値 12.8
[0, 1]2
(0.2, 0.2)
最大値 23.6
近似最小値 23.6
 真の最小値
30
まとめ
 ロバストな設計の必要性
 ロバスト最適化
 確定的方法
 十分条件で置換（内側から近似）
 解は確定的
 計算量大
 確率的方法
 必要条件で置換（外側から近似）
 解は確率的
 計算量小
31
参考文献
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Algorithms, and Engineering Applications. Philadelphia, USA: SIAM, 2001.
A. Ben-Tal and A. Nemirovski, “Robust optimization: methodology and applications,”
Mathematical Programming, ser. B, vol. 92, pp. 453-480, 2002.
S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, and V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in
System and Control Theory. Philadelphia, USA: SIAM, 1994.
G. Calafiore and B. T. Polyak, “Stochastic algorithms for exact and approximate
feasibility of robust LMIs,” IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 46, no. 11,
pp. 1755-1759, 2001.
江本・大石，“有理式で表される不確かさを持つ制御系の解析と設計法,” 計
測自動制御学会論文集，vol. 41, no. 4, pp. 314-321, 2005.
Y. Oishi, “Implementation of a randomized algorithm for solving parameter-dependent
linear matrix inequalities,” in Proceedings of the 2004 IEEE Conference on Control
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32
Y. Oishi, “A region-dividing approach to robust semidefinite programming and its
error bound,” 第34回計測自動制御学会制御理論シンポジウム予稿集，大阪，
2005年10-11月，pp. 317-324.
B. T. Polyak and R. Tempo, “Probabilistic robust design with linear quadratic
regulators,” Systems & Control Letters, vol. 43, no. 5, pp. 343-353, 2001.
佐々木・小原・増淵，“多次元パラメータ依存行列不等式の可解性と数値解
について,” 第30回計測自動制御学会制御理論シンポジウム予稿集，別府，
2001年11月，pp. 133-136.
C. W. Scherer, “Relaxations for robust linear matrix inequality problems with
verifications for exactness,” SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol.
27, no. 2, pp. 365-395, 2005.
C. W. Scherer and C. W. J. Hol, “Matrix sum-of-squares relaxations for robust
semidefinite programs,” Mathematical Programming, accepted for publication.
高木・西村, “タワークレーンの吊り荷ロープ長変動を考慮したゲインスケ
ジュールド制御,” 日本機械学会論文集 (C編), vol. 64, no. 626, pp. 3805-3812,
1998.
33

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