スライド 1

行列式と連立方程式
2008年作成
担当：本間聡
連絡先 Email: [email protected]
行列（matrix）と行列式（determinant）

例）

行列（matrix）
 a11

 a21
a
 31
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
掛ける方向
 a11

 a21
a
 31
a12
a22
a32
a13  b1   a11b1  a12b2  a13b3 
  

a23  b2    a21b1  a22b2  a23b3 
a33  b3   a31b1  a32b2  a33b3 
行列式(determinant)
例）
赤の矢印で書けた値は正、青の矢印で掛けた値は負にして足す
Ax
Bx
Ay
 Ax B y  Ay Bx
By
Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz 
Cx
Cy
Cz
Ax By C z  Ay Bz C x  Az Bx C y
 Ax Bz C y  Ay Bx C z  Az B y C x
行列式とベクトルの外積の計算

ベクトルの外積
A  Ax i  Ay j  Az k
A  B  ( Ay Bz  Az By )i  ( Az Bx  Ax Bz ) j
B  Bx i  B y j  Bz k
i
j
A  B  Ax
Bx
Ay
By
 ( Ax By  Ay Bx )k
k
i Ay Bz  j Az Bx  k Ax B y
Az 
 i Az B y  j Ax Bz  k Ay Bx
Bz


A B
y
z
 Az B y i   Az Bx  Ax Bz  j
 Ax B y  Ay Bx k
Ay
Az
By
Bz
i
Az
Ax
Bz
Bx
j
Ax
Ay
Bx
By
j
行列式の特徴

行と列を入れ替えても値は変わらない
i
Ax
j
k
Ay
Az
Bx
i Ay Bz  Ax B y k  Bx j Az
By 
 i B y Az  Ax j Bz  Bx Ay k
Bz

A B
y
z
 Az B y i   Az Bx  Ax Bz  j
 Ax B y  Ay Bx k
Ay

By
Az
Az
i
Bz
Bz
i
 Ax
Bx
j
Ay
By
k
Az
Bz
Ax
Ax
j
Bx
Bx
Ay
j
By
行列式の特徴２

同じ行もしくは同じ列がある場合、行列式は0と
なる。
Ax
Ax
Bx
Ay
Ay
By 
Az
Az
Bz
Ax Ay Bz  Ax B y Az  Bx Ay Az
 Ax B y Az  Ax Ay Bz  Bx Ay Az
0
行列式と連立方程式１

以下の連立方程式を解きなさい
a11 x1  a12 x2  b1
・・・(1)
a21 x1  a22 x2  b2
・・・(2)
行列で書くと
 a11 a12  x1   b1 

    
 a21 a22  x2   b2 
まず、x2を消して
式(1)×a22
a22 a11 x1  a22 a12 x2  a22b1
式(2)×a12
a12 a21 x1  a12 a22 x2  a12b2
引き算
a22a11  a12a21 x1  a22b1  a12b2
したがって
a22b1  a12b2
x1 
a22 a11  a12 a21
同様に
a11b2  a21b2
x2 
a22 a11  a12 a21
行列式と連立方程式2

先の結果より
a22b1  a12b2
x1 
a22 a11  a12 a21
a11b2  a21b2
x2 
a22 a11  a12 a21
行列式を使って表現すると
b1 a12
b2 a22
x1 
a11 a12
a21 a22
a11 b1
a21 b2
x2 
a11 a12
a21 a22
行列式と連立方程式3

これまでの結果をまとめると
 a11 a12  x1   b1 

    
 a21 a22  x2   b2 
上記のの行列で表現される連立方程式のx1およびx2の解は
b1 a12
b2 a22
x1 
a11 a12
a21 a22
a11 b1
a21 b2
x2 
a11 a12
a21 a22
練習問題

以下の連立方程式を解き、xおよびIを求めなさい
(1)
5 x1  3x2  25
2 x1  5 x2  29
(２)
 R1  R2

 R1
 R2  I a  V 
    
R3  I b  V 
行列式と連立方程式4

先と同様に3行3列の行列で表現される方程式も計算
することができる
行列で書くと
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1
・・・(1)
a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 ・・・(2)
a31 x1  a32 x2  a33 x3  b3
手順： a23×式(1)－a13×式(2)
a33×式(2)－a23×式(3)
・・・(3)
 a11

 a21
a
 31
a12
a22
a32
a13  x1   b1 
   
a23  x2    b2 
a33  x3   b3 
・・・(4)
・・・(5) を計算して、両辺を引く（x3の項を消す）。
同様に、式(4),(5)より、x2の項を消す。
行列式と連立方程式5
a11a23  a21a13 x1  a12 a23  a22 a13 x2  b1a23  b2a13
a21a33  a31a23 x1  a22 a33  a32 a23 x2  b2a33  b3a23
式（４）に
式（５）に
・・・（４）
・・・（５）
a22 a33  a32 a23 を掛け
a12 a23  a22 a13 を掛け、両辺を引く
a11a23  a21a13 a22 a33  a32 a23   a21a33  a31a23 a12 a23  a22 a13 x1
 a22 a33  a32 a23 b1a23  b2 a13   a12 a23  a22 a13 b2 a33  b3a23 
整理すると
a12 a23b3  a22b1a33  b2 a13a32  b1a23a32  b2 a12 a33  a22 a13b3
x1 
a11a22 a33  a21a32 a13  a31a12 a23  a11a32 a23  a21a12 a33  a31a22 a13
行列式と連立方程式5
 a11

 a21
a
 31
a12
a22
a32
a13  x1   b1 
   
a23  x2    b2 
a33  x3   b3 
同様に
クラーメルの公式
a11
で与えられる方程式のx1の解は
b1
a12
a13
b2
a22
a23
x2 
b3 a32 a33
x1 
a11 a12 a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
x3 
b1
a13
a21 b2
a23
a31 b3
a33
det A
a11
a12
b1
a21
a22
b2
a31
a32
b3
det A

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