プラズマ工学 九州工業大学電気工学科 趙孟佑 No.2 ~プラズマ振動〜 〜温度と分布関数〜 1 プラズマ振動 • プラズマ中では電子とイオンは自由に動ける • しかし、外部から電界をかけない限り、完全に分離することは できない • 少し離れると、プラスとマイナスの電荷が引きあって、それ以 上引き離さないようにする。 – つかず、離れずの関係 • 電子とイオンは重さが全然違う 電子はイオンの1800分の1かそれ以下の質量しかない • 電子は行き過ぎて、結局イオンの廻りをいったりきたりする 2 プラズマ振動 x e e e e i i i i i i i i ei ei ei ei ei ei ei ei i i i i i i i i e e e e i i i i e e e e e e e e i i i i e e e e i i i i σ = E eo enx = E eo 反発力 n:電子密度 E:電界 2 d x=m 2 eE dt 2 e e e e e e e e 2 d x = - e ne x me 2 eo dt 単振動の式。角周波数は 2 w pe = nee e o me 3 Charge density Electric potential QuickTimeýDz É rÉfÉ IêLí£É vÉ çÉOÉâÉÄ Ç™Ç±ÇÃÉs ÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇÇ• ÅB QuickTimeýDz É rÉfÉ IêLí£É vÉ çÉOÉâÉÄ Ç™Ç±ÇÃÉsÉNÉ`ÉÉǾå©ÇÈǞǽDžÇÕïKóvÇÇ• ÅB negative (more electrons) zero positive (more ions) 4 速度空間 uz軸 dz z軸 y軸 dx dy duz uy軸 dux duy ux軸 x軸 • 空間内の領域xからx+dx,yからy+dy,zからz+dzの中 にある粒子を考える • 赤い箱の中から、ランダムに粒子を取りだした粒子の 速度が、ux+dux,uy+duy,uz+duzの範囲内にある確率を 調べる 5 速度分布関数 uz軸 dz z軸 y軸 dx dy duz uy軸 dux duy ux軸 x軸 • 赤い箱の中の粒子の個数 n(x, y, z)dxdxdz • nは粒子の数密度（単位体積あたりの個数） 6 速度分布関数 uz軸 dz z軸 y軸 dx dy duz uy軸 dux duy ux軸 x軸 • 赤い箱の中にあって、且つ青い箱の中にある粒子の個数 n(x, y, z)dxdxdzF(ux ,uy ,uz )duxduyduz 青い箱の中にある確率 7 速度分布関数 uz軸 dz z軸 y軸 dx dy duz uy軸 dux duy ux軸 x軸 • ある点x,y,zで青い箱で定義される速度範囲の中の速度をもっ た粒子の密度は n(x, y, z)F(ux ,uy ,uz )dux duyduz • F(ux,uy,uz)を規格化した速度分布関数という 8 規格化した速度分布関数 • F(ux,uy,uz)duxduyduzは速度が青い箱で定義される速度範囲の 中の速度をもつ確率なので、全ての速度の組み合わせを足す と1になる • F(ux,uy,uz)をux,uy,uzのそれぞれ−∞から＋∞まで積分すると1に なる - - - F(ux ,uy ,uz )dux duy duz = 1 uxに関しての積分 uｙに関しての積分 uｚに関しての積分 9 速度分布関数 • 密度nと規格化した速度分布関数Fの積を速度分布関数という f (x, y, z,ux ,uy ,uz ) = n(x, y, z)F(ux ,uy ,uz ) • f(x,y,z,ux,uy,uz)は6変数の関数。もし、時間で変化するなら時間 tも入れた、7変数の関数となる f (x, y, z,ux ,uy ,uz )dux duyduz 空間内の位置x,y,zで速度が速度が、ux+dux,uy+duy,uz+duzの 範囲内にある粒子の数密度（単位体積あたりの個数） 10 熱平衡(thermal equilibrium)状態 • ある系（粒子の集まった領域のようなもの）が 全て同じ温度を有しており、周辺と同じ温度を もっている • 熱力学的平衡（thermodynamic equilibrium) – ある系に働いている力がつりあっている – 温度が等しい – 化学状態がある状態を保っている 11 マクスウェル分布 • 平衡状態にある粒子（気体及びプラズマ）の規格化し た速度分布関数は以下の式で表される F(u x ,u y ,u z ) = Fx (u x ) Fy (u y ) Fz (u z ) m Fx (u x ) = 2 T 1/2 m Fy (u y ) = 2 T 1/2 m Fz (u z ) = 2 T 1/2 mu 2x exp 2 T mu 2y exp 2 T mu z2 exp 2 T κはボルツマン定数、mは粒子の質量 = 1.38 10-23 (J / K),me = 9.1110-31(kg),mp = 1.67 10-27 (kg) 陽子 電子 12 マクスウェル分布 • Fx,Fy,Fzはそれぞれx方向、y方向、z方向の速度の規 格化した分布関数 • Fx(ux)duxがuxからux+duxの間の速度をもつ確率を表 す。 • よって、全てのケースを足す（積分する）と、1になる F (u )du x x =1 y =1 z =1 x - F (u )du y y - F (u )du z - z 13 マクスウェル分布 F (u ) x x F (0) x m Fx (u x ) = 2 T 1/2 mu 2x exp 2 T F (0)/e x - 2 T m 0 2 T m u x 熱速度 • 温度Tは分布関数の幅を決める 14 マクスウェル分布 • マクスウェル分布をした速度分布関数は以下 の式で書ける f (x, y, z,u x ,u y ,uz ) = = nF(u x ,u y ,uz ) nFx (u x ) Fy (u y ) Fz (uz ) m = n 2 T = 3/2 m u 2 u y2 u 2 x z exp 2 T m n 2 T 3/2 mu 2 exp 2 T ここでuは粒子のスピード u = u 2x uy2 u 2z 15 マクスウェル分布 • 極座標形式ではマクスウェル分布をした速度 分布関数は以下の式で書ける f (x, y, z,u x ,u y ,uz )du x du y duz = uz軸 m = n 2 T 3/2 mu 2 exp du x du y duz 2 T m = n 2 T 3/2 mu 2 u exp sin d d du 2 T 2 速度空間の 体積 u sin d duz uy軸 dux duy ux軸 uz軸 ud u y軸 Φ du u θ uu sin 軸 x 2つの速度空間での体積は同じものに相当 16 極座標でのマクスウェル分布 uz ux uy • 中心からの距離（スピードuに相当）だけに依存 • 遠くに行くほど、存在確率は低くなる 17 極座標でのマクスウェル分布 uz uy ux • 方向は問わずに、スピードがuからu+duの間にある粒子の確率 m 4 2 T 3/2 2 mu u 2 exp du 2 T 18 極座標でのマクスウェル分布 • 方向は問わずに、スピードがuからu+duの間にある粒子の確率 m g(u)du = 4 2 T g(u) 3/2 mu 2 u exp du 2 T 2 最大値 2 T m u 19 速度分布関数の積分 • 速度分布関数をあらゆる可能な速度範囲で積 分すると、密度n(x,y,z)になる - - - f (x, y, z,ux ,uy ,uz )dux duy duz 2 2 2 3/2 m u u u m y x z = n exp du x du y duz 2 T 2 T - - - 3/2 m u 2 u y2 u 2 m x z = n exp du du x y du z - - 2 T - 2 T 3/2 mu 2y mu 2z mu 2x m = n exp - 2 T dux - exp - 2 T duy - exp - 2 T duz 2 T - =n 20 速度分布関数の積分 • 速度分布関数をあらゆる可能な速度範囲で積 分すると、密度n(x,y,z)になる - - - f (x, y, z,ux ,uy ,uz )dux duy duz 3/2 2 mu 2 m 2 = n sin d d du u exp 2 T 0 0 0 2 T 3/2 2 2 mu 2 m = n u exp sin d d du 2 T 0 0 0 2 T 3/2 2 2 mu 2 m = n sin d d u exp du 2 T 0 2 T 0 0 =n 21 平均量 • 粒子のもつある値aの平均の量<a>は、以下の式で計 算する 1 a = af (x, y, z,ux ,u y ,uz )dux du y duz n - - - • 平均量<a>は、場所(x,y,z)の関数 a = ux a=u 1 a = mu 2 2 a = Vx (x, y, z) a = V(x, y, z) a = e(x, y, z) 密度 x方向平均速度 平均スピード 平均エネルギー 22 平均量 • マクスウェル分布をしていると、x,y,z方向の平均速度 はゼロ 1 u = u f (x, y, z,u ,u ,u )du du du n x - m = 2 T - 3/2 x - x y z x y z mu 2y mu 2z mu 2x u x exp du x exp - 2 T du y exp - 2 T duz 2 T - - - =0 平均スピードは 1 u = uf (x, y, z,u x ,u y ,uz )du x du y duz n - - - m = 2 T = 8 T m 3/2 2 3 mu 2 sin d d u exp - 2 T du 0 0 0 23 平均量 • 速度の2乗の平均は 1 2 u = u f (x, y, z,u x ,u y ,uz )du x du y duz n - - - 2 m = 2 T = 3/2 2 4 mu 2 sin d d u exp - 2 T du 0 0 0 3 T m 24 流束（flux:フラックス） • ある単位面積を単位時間あたりに横切る粒子の個数 • 単位は個/m2/s uz x +xの方向にこの面を 横切る粒子の流束 ux 25 この球のux>0の部分だけに相当 uy 流束（flux:フラックス） • ある単位面積を単位時間あたりに横切る粒子の個数 • 単位は個/m2/s • +x方向のフラックス - - 0 ux f (x, y, z,ux ,uy ,uz )dux duy duz 3/2 mu 2y mu 2z mu 2x m = n u exp du x exp - 2 T du y exp - 2 T duz 2 T 0 x 2 T - - m = n 2 T T = n 2 m 1/2 mu 2x u x exp du x 2 T 0 1/2 = 1 nu 4 -x方向にも同じフラックスがあるので、正味の行き来はゼロ 但し、一方に壁があると、壁に入射する流束は上の式になる 26 様々な速度 • マクスウェル分布における4つのスピードまた は速度 T 2 T • 熱速度 または m m • 最頻スピード(Most-probable-speed) • 平均スピード 8 T m • 二乗平均スピード 3 T m 2 T m 27 圧力 • 単位時間に単位面積中に入射する運動量 -ux ux 一個あたり2muxの運動量を 壁に与える x uxで壁に入射した粒子が-uxで跳ね返ると仮定する 2 1/2 mu m 2 x p = 2mu x u x f (x, y, z,u x ,u y ,uz )du x du y duz = n du x 2m u x exp 2 T 2 T 0 - - 0 = n T 壁が単位面積あたり受ける力=圧力 28 圧力 • プラズマの世界では圧力は p = n T • パスカル – 1Pa=1N/m2 1気圧=760mmHg=760Torr=1.01x105Pa • 数密度nは p n= T 29
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