富山大学知能情報工学科 「統計学」第4回 ホーエル『初等統計学』 第３章 確率（前半） 高 尚策 （コウ ショウサク） 准教授 Email: [email protected] 前回演習問題の答え • 課題１ （１）標本分散の変形： 1 1 2 2 2 ( X X ) ( X i i 2X i X X ) n 1 n 1 1 2 ( X i 2 X i X X 2 ) （２行目） n 1 1 2 2 ( X i 2 X X i nX ) （３行目） n 1 2 1 2 ( X 2 n X nX 2 ) （４行目） i n 1 1 2 ( X i nX 2 ) （５行目） n 1 1 1 2 { X n ( X i )2} i （６行目） n 1 n 1 1 2 { X i ( X i ) 2 } n 1 n 前回演習問題の答え （２）偏差平方和をnで割る場合の，分散の定義式の変形： （２行目） （３行目） （４行目） （５行目） 1 1 2 2 2 ( X X ) ( X 2 X X X ) i i i n n 1 2 ( X i 2 X i X X 2 ) n 1 2 2 ( X i 2 X X i nX ) n 2 1 2 ( X i 2nX nX 2 ) n 1 2 ( X i nX 2 ) n 1 2 X i X 2 n この式は，偏差平方和をn - 1で割る不偏分散を求めるときにも使うことができる．データ からこの式で分散を計算した後，その値をn倍して（これで，nで割る前に戻る），あらため てn - 1で割ればよい．「２乗の平均－平均の２乗」という式は覚えやすいので，これは有 用な計算方法である． 前回演習問題の答え 課題２ 章末問題２９のデータを用いて，度数分布表に 分類されたデータから分散の計算を行おう。 元の観測値 階級境界値と 階級の幅を設定する 度数分布表 最大値：31.6 最小値：7.6 階級境界値を設定する際の工夫： • 測定単位よりもひとつ下の桁で境界値を設定するのは、ちょうど境界値をとったデータ をどちらの階級に入れるか迷わないようにするための工夫である。 • 測定単位の桁で境界値を設定してもよい。 前回演習問題の答え 課題２ 章末問題２９のデータを用いて，度数分布表に 分類されたデータから分散の計算を行おう。 度数分布表 分類されたデータに対する分散の計算公式 1 k x xi f i n i 1 1 k 2 s ( x x ) fi i n 1 i 1 2 １．序節 統計の授業なのに確率？ • 統計的な問題に対する解は確率的な表現に よって与えられる． • 母集団から標本を無作為抽出すれば，標本 においてどのような統計量（平均，分散など） が得られるかは，確率的に決まる． – 第４章以降での基本的考え方 • 近年注目されているベイズ統計学は，第３章 で学習するベイズの定理が基本． 確率 P ある結果が必ず起きる … 確率 P = 1 決して起きない … 確率 P = 0 起きるか起きないか不確実 … 0 ＜ 確率 P ＜ 1 例：天気予報「明日雨が降る確率 30%」 P=0.3 意味：「明日雨が降る」という予想 それが当たる確率 P = 0.3 客観的側面 （頻度論） 同条件で何度も繰り返した時、その予想が当たって いる割合。（実際には同一条件の繰り返しは困難） 主観的側面 その予報の信頼度 学習目標 • 確率に関する概念を理解する． – – – – – – • • • • 試行 (trial) 標本空間 Ω (sample space) 事象 E (event) 単一事象 (simple event) 複合事象 (composite even) 事象演算 確率の公理 排反の概念と，加法定理を理解する． 条件つき確率と，乗法定理を理解する． 独立事象の概念を理解する． ２．標本空間 • 同一の条件のもとで繰り返し行うことのできる「実 験」を考える． – 例：コインを２回投げて，表および裏の系列を観察する． – 同一の条件のもとで繰り返されることが前提とされてい る実験や観察において，１つの事象を生起させる過程 を試行（trial）という．芝・渡部・石塚『統計用語辞典』（新曜社） – つまり、ある 1 回または 1 組の実験や現象。 – コインを２回投げる実験での，１回のコイン投げ． • 標本空間（ sample space）：実験における可能 な結果を表す点（「標本点」と呼ぶ）全体の集 合のこと． 「Ω」で表す. • 個々の可能な結果を単一事象（simple event） あるいは根元事象（original event）と呼ぶ． 「ei」で表す – 例：２回のコイン投げでの，表と裏の系列． – ややこしいことに，１回の試行の結果も事象と呼 ばれる．何を観察するかである． • Ω = { e1 , e2, … } • 例：１枚の硬貨を２回投げる実験において，可能な結 果は，HH, HT, TH, TT の４通り．これらの結果をそれぞ れひとつの点で表す． HH HT TH TT e1 e2 e3 e4 𝜴={HH, HT, TH, TT} ={e1, e2, e3, e4} 2つのサイコロの目の標本空間 • 例：2つのサイコロ … 6×6 = 36個の根元事象 ( 1, 6 ) ( 2, 6 ) ( 3, 6 ) ( 4, 6 ) ( 5, 6 ) ( 6, 6 ) ( 1, 5 ) ( 2, 5 ) ( 3, 5 ) ( 4, 5 ) ( 5, 5 ) ( 6, 5 ) ( 1, 4 ) ( 2, 4 ) ( 3, 4 ) ( 4, 4 ) ( 5, 4 ) ( 6, 4 ) ( 1, 3 ) ( 2, 3 ) ( 3, 3 ) ( 4, 3 ) ( 5, 3 ) ( 6, 3 ) ( 1, 2 ) ( 2, 2 ) ( 3, 2 ) ( 4, 2 ) ( 5, 2 ) ( 6, 2 ) ( 1, 1 ) ( 2, 1 ) ( 3, 1 ) ( 4, 1 ) ( 5, 1 ) ( 6, 1 ) • 確率の問題では，適切な標本空間を構成す ることが基本． – 可能な結果一覧を表現する． – １回の実験（試行）で，いずれかひとつの単一事 象だけが生じる． • 少し複雑な問題では，標本点を図示するのに， 樹形図（テキスト p.58，確率の木）を用いると よい．あとで具体例を示す． • ２回の試行の標本空間は，２次元で表現する こともできる． – 例：章末問題2 赤（R），黒（B），緑（G）球が １個ずつ入った箱から，２個 の球を取り出すときの標本空 間． （1度取り出した球は箱に戻さ ない） G B R R B G • 練習問題 黒球が2個、白球が1個入った箱がある。この箱か ら同時に2個の球を取り出す実験で、 （a）6個の標本点を用いる標本空間、 （ｂ）3個の標本点を用いる標本空間、をつくれ （答え） W B2 W B1 B B1 B2 （a） W B W （ｂ） ３．（単一）事象の確率 • 標本空間を構成したら，各点に確率（probability）を付与する． • 実験を繰り返したとき，全実験回数に対する，特定の単一事象 が生起した割合を考えることができる．これをその単一事象の相 対度数（relative frequency）と呼ぶ．すべての単一事象にわたっ て相対度数を合計すると１になる． • ある単一事象が生起する，経験的あるいは理論的な相対度数を， その単一事象の確率とする．標本点 e1 に付与された確率を P(e1) で表す． • 標本空間を構成する n 個の単一事象の生起頻度（相対度数）が すべて同じ（「同様に確からしい」）と考えられるならば， 1 P(ei ) n (i 1,2,, n) • 例：１枚の硬貨を２回投げる実験において， 起こりうる結果は，HH, HT, TH, TT の４通り．こ の実験を何度も繰り返し行えば，それぞれの 結果が生じる相対度数は ¼ となるだろう．そ こで，それぞれの事象に確率 ¼ を付与する． HH HT TH TT e1 e2 e3 e4 𝑃 𝑒1 = 1 4 𝑃 𝑒2 1 = 4 𝑃 𝑒3 = 1 4 𝑃 𝑒4 = 1 4 ４．複合事象の確率 • 単一事象の集まりを複合事象（composite event）と呼ぶ． • 複合事象 A がおこる確率は，A を構成している単一事象の確率 の和である．（テキストp.42） 例：硬貨を３枚投げた時，表が２回出る確率 P（A） を考える． 標本空間を構成する８つの単一事象のうち，これに該当する のは，HHT, HTH, THHの３つ．それぞれの単一事象の確率は 1/8 だから， HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT e1 e2 e3 e4 e5 1 1 1 3 P( A) 8 8 8 8 e6 e7 e8 • 事象(event) : 標本空間Ωの部分集合 例：サイコロ投げを考えよう．ただし， Ω ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}とする． このとき，サイコロを投げたときに偶数の目が出る事象Eとは，サ イコロ投げによって得られた結果（サイコロの目）(ei ) が， ei ∈ E＝{2, 4, 6}を満たすことをいう Ω • 事象の演算 E Ω Ω Ω E Ω E E E 𝐸∪𝐹 F𝐹 𝐸∩ 𝐸−𝐹 F F F （事象）例：「統計学」でどのような成績（評点）が得ら れるか，その確率的な情報も含めて議論をしたい． 情報科学類では「履修放棄（X）は評点には用いてはならな い」とされていることを反映させると， 標本空間Ω ＝{A+,A,B,C,D}となる． このとき，「統計学の単位が取れる」という事象Eは， E ={A+,A,B,C}と表すことができる． 「評点B以下は良い成績とはみなさない」という人で あれば，「良い成績で単位が取れる」という事象Fは， F = {A+, A}と表すことになる． • ２つの事象 E と Fが，一方が起これば他方は決して起こらないとい う性質をもつとき，これらの事象は互いに排反（mutually exclusive） であるという． つまり、E∩ 𝐹＝∅ 事象E = { e1 (E) , e2 (E), … } ⊂ Ω • 標本空間 Ω の任意の部分集合。 例：目の和が奇数 E = { (1, 2), (2,1), …, (5, 6) } 目の和が偶数 F={ (1, 1), (3,1), …, (6, 6) } EとFは互いに排反 2つのサイコロの目の標本空間 ( 1, 6 ) ( 2, 6 ) ( 3, 6 ) ( 4, 6 ) ( 5, 6 ) ( 6, 6 ) 事象 E の起きる 確率 P(E) = 事象 E を構成する各根元事象の確率の和 P(E) = P(e1 (E)) + P(e2 (E)) + … 例： 1/36 + … + 1/36 = 18/36 = 1/2 ( 1, 5 ) ( 2, 5 ) ( 3, 5 ) ( 4, 5 ) ( 5, 5 ) ( 6, 5 ) ( 1, 4 ) ( 2, 4 ) ( 3, 4 ) ( 4, 4 ) ( 5, 4 ) ( 6, 4 ) ( 1, 3 ) ( 2, 3 ) ( 3, 3 ) ( 4, 3 ) ( 5, 3 ) ( 6, 3 ) ( 1, 2 ) ( 2, 2 ) ( 3, 2 ) ( 4, 2 ) ( 5, 2 ) ( 6, 2 ) ( 1, 1 ) ( 2, 1 ) ( 3, 1 ) ( 4, 1 ) ( 5, 1 ) ( 6, 1 ) 確率の定義について (1) 数学的確率 ある試行において，同程度の確からしさで起こることが期待される 場合の数をN，そのうち，あることがらAが起こる場合の数をrとする とき， r/Nを「Aが起こる確率」という． 【前提】1．Nは有限確定 2．試行の結果として起こり得る各場合は，「同程度の確から しさ」を持つ 例１）「正しく作られたサイコロ」を振ったときに「１の目が出る確率 は1／6」である． 例2）成田からフランクフルトへ向かう直行便に乗ることになった．航空 機がハイジャックされることを恐れる人にとっては，自分が乗る便がハ イジャック「される」，「されない」の2通りの場合がある．だからとい って，「これから乗るフランクフルト行き直行便がハイジャックされる 確率は1/2である」といってよいだろうか？ 確率の定義について （2）統計的確率 n回の試行に対してAの起こる相対度数r/nを考える．nを 十分大きくしていくとき， r/nがほぼ一定値pに近づくな らば，pを「Aが起こる確率」という． 【前提】同一条件の下で，何度でも反復して「Aが起こる か否か」を試すことが許される （問題）1．どれくらいのnであれば「十分大きい」とい えるのだろうか？ 2．n → ∞ のとき，r/n → p となる保証はあるのだろうか？ （これについては，「大数の法則」で詳述する） 確率の公理（コルモゴロフ） [公理1] 任意の事象 E⊂Ω について 0 ≦ P(E) ≦ 1 （万が一、百万人に1人 → 値の標準化） [公理2] P(Ω) = 1 （必ず一つの根元事象が起きること ＝ 書き忘れている根元事象が無いこと） [公理3] ５．加法定理 • 加法定理（addition rule）：２つの事象 Aと B が 互いに排反ならば， 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵) 条件つき確率 • ある特定の事象 A1 が起きた時に，事象 A2 が 起こる条件つき確率（conditional probability ） を P(A2|A1) と表わす． • 標本空間を構成する単一事象の確率がすべ て等しいとき，事象 A1 に該当する単一事象 の数を n(A1) ，事象 A1 と A2 の両方に該当す る単一事象の数を n(A1 and A2) とすると， n( A1 and A2 ) P( A2 | A1 ) n( A1 ) 積事象の確率と乗法定理 • 確率 P(A1) と，条件つき確率 P(A2|A1)がわ かっているとき，積事象の確率 P(A1 ∩A2)を求 めることができる． • 乗法定理（multiplication rule）： 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃(𝐴1 ) × 𝑃(𝐴2 |𝐴1 ) A1 を時間的あるいは概念的に先行する事象にす ると考えやすい． 条件つき確率：例 箱の中から球を ひとつ取り出す 1 P(１番 |白玉) 3 １ ２ ２ １ ２ ２ ２ 1 P(１番 | 青玉) 4 もとの標本空間とは分母が異なる！ 例題 • １０本のくじのうち，３本があたりである．Ａさ んが最初にくじをひき，つぎにＢさんがくじを 引く．Ｂさんがあたりくじを引く確率はいくつか． 引いたくじは元には戻さないものとする． 例題の標本空間 １０本のくじのうち，３本があたりである．Ａさんが最初にくじをひき， つぎにＢさんがくじを引く． 引いたくじは元には戻さないものとする Ｂの結果 あたり ４つの事象は 互いに排反 はずれ Ａの結果 あたり はずれ • この例題で，１０本のくじすべてを区別した場 合は，90個の標本点を含む標本空間が構成 される． – 各標本点に付与される確率は 1/90 • ここで提示した標本空間は，90個の点を含む 標本空間において，区別しない点をまとめた ものと考えられる．（章末問題７参照） – それぞれの標本点に付与される確率は，まとめ られた点の数に対応する． 加法定理 3 2 7 3 3 P 10 9 10 9 10 「Ａあたり，Ｂあたり」 「Ａはずれ，Ｂあたり」 互いに排反 P（Bあたり|Aあたり）=2/9 P（Bあたり|Aはずれ）=3/9 条件つき確率 「Ａあたり，Ｂあたり」 「Ａはずれ，Ｂあたり」 3 2 7 3 3 P 10 9 10 9 10 加法定理 乗法定理 P（Bあたり） ＝P（Aあたり ∩ Bあたり） ＋ P（Aはずれ ∩ Bあたり） ＝ P（Aあたり）P（Bあたり｜Aあたり）＋P（Aはずれ）P（Bあたり｜Aはずれ） 樹形図（確率の木）での標本空間 3/10 7/10 2/9 Ｂあたり 7/9 Ｂはずれ 3/9 Ｂあたり 6/9 Ｂはずれ Ａあたり Ａはずれ 「合計が１」になっているのはどこ？ 樹形図 乗法定理 条件つき確率 2/9 3/10 7/10 Ａあたり 3/10 * 2/9 Ｂはずれ 3/10 * 7/9 3/9 Ｂあたり 7/10 * 3/9 6/9 Ｂはずれ 7/10 * 6/9 7/9 Ａはずれ Ｂあたり 「合計が１」になっているのはどこ？ 3 2 3 7 7 3 7 6 6 + 21 + 21 + 42 × + × + × + × = =1 10 9 10 9 10 9 10 9 90 樹形図の描き方 • 特定の場面で生じるすべての事象の枝を描く． – 枝分かれの繰り返しは時間順．あるいは考えや すさの順． – 次回学習するベイズの定理では，最初に「仮説」 で分岐させ，次に「データ」で分岐させる． • 記入するもの – 事象のラベル – その事象が生じる条件つき確率 独立な事象 • ２つの事象 A1，A2について，一方の事象の生 起が，もう一方の事象の生起に影響しないと き，これら２つの事象は独立（independent）で あるという． – 模擬試験の判定と，入試結果は独立ではない． – 入試の朝にコインを投げる．コインの裏表と，入 試結果は独立である． 「確率論」と「力学」は一般には異なる学問体系に属する科目 である．両科目に対する学生の嗜好や興味を持つ（持たない） 理由も同一ではないのがふつうであろう．したがって，「確率論」 の試験で優秀な成績をおさめることが，「力学」の試験で優秀 な成績をおさめることを意味することはない．すなわち，「確率 論」でよい成績を修めることと，「力学」でよい成績を修めること は，独立事象であると考えてもよい． 「確率論」を担当しているＩ教授が茶目っ気を起こして，今年の 「確率論」の試験問題は，今年度の「力学」の講義内容に即した 応用問題の文脈で作成してみようと考えたなら，話は別である． そのような「確率論」の試験問題は，「力学」が得意な学生にとっ ては願ってもないものであろう．試験後に成績を調べたとき，ま だ「確率論」の成績が入力されていないものの「力学」の評点が 「A」となっていることが確認できれば，やがて「確率論」の評点欄 に「A」が記載される可能性は高いと期待できよう．すなわち，「確 率論」で好成績を修めることと，「力学」で好成績を修めることが 独立事象であるとは考えにくい． 独立な事象の乗法定理 • ２つの事象が独立ならば，条件つき確率を考 えるときでも，条件を考慮する必要がない． 𝑃 𝐴2 𝐴1 = 𝑃(𝐴2 ) • 独立な事象の乗法定理 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 𝑃(𝐴2 ) 排反と独立 • 事象の排反と独立を混同しないように！ – 排反：２つの事象が同時には生じないこと – 独立：一方の事象の生起が，もう一方の事象の 生起に影響しない（情報を与えない）こと． • ２つの事象 A,B が排反ならば，これら２つの 事象は独立ではない． – A が生じたという情報が，B の生起に関する情報 を与えている．A と B が排反ならば，P(B|A)= 0 で ある．P(B)≠ 0 ならば，P(B|A) ≠ P(B)． 補足：確率の性質 確率の性質： 証明（１） 確率の性質： 証明（２） 演習課題 課題1： （事象の演算に関する） A,B,Cを三つの事象とする．次の各場合を表す式を書け． 例）Aだけが起こる． 答え）A ∩ 𝐵ｃ ∩ 𝐶 ｃ 説明）Aは起きるが、B,Cは起きないから １ ）A,Bが起きるがCは起こらない． ２ ）少なくとも一つが起こる． ３ ）少なくとも二つが起こる． ４ ）一つだけが起こる． ５ ）二つ起こるが三つともは起こらない． 演習課題 課題２： （条件つき確率に関する） A君は一目惚れの彼女に熱烈な手紙を出したが遂に返事は こなかった．ただし出した先は,私信を検閲することで悪 名高い女子寮である。このとき,検閲に引っかかって彼女 の手に渡らない確率は３０％,彼女がそれを見て好意を抱 いてくれても羞恥心から返事を書かない確率は７０％,見 ても一笑してくずかごに投げ込む確率は５０％だとする． A君には何％の割合で望みが残されているだろうか． 名前と学籍番号をご記入のうえ、解答用紙（A4）を提出する。 提出先：工学部大学院棟７階 締め切り時間： NO.７７０８室のドアのポストに入れてください 来週月曜日（５月１８日） 午後５時まで
© Copyright 2024 ExpyDoc
