システムのモデリング

第2週：システムのモデリング
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制御とモデリングの関係
モデリングとは
制御におけるモデリングの重要性
プロセスモデル
電気モデル
機械モデル
線形と非線形
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今週の授業の目的
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今週の大きな目的
モデリングの概念，重要性を学ぶ．また，例題から実対象
のモデリング，モデリングにおける数式について学ぶ．今週
の授業内容は，実対象から数学モデルを導出する際に利用
できる．
 モデリングの概念を理解する
 モデリングの重要性を知る
 プロセスモデルの一例を学ぶ
 電気モデルの一例を学ぶ
 機械モデルの一例を学ぶ
 線形，非線形について学ぶ
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制御とモデリングの関係
ねらいをみつける
現象をみる
モデリング
現象を解析する（計測）
因果関係をとらえる
ねらいに対して，制御できるか？
制御のコンセプト（アイデア）
制御設計（制御理論）
インプリメンテーション（アルゴリズム，プログラミング，実装化）
制御
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モデリングとは
現象の時間的変化を表現する方程式（微分方程式）をその現象
の数学モデルと呼ぶ．また，数学モデルをつくることをモデリング
という．
モデリングとは一般に考察対象の現象に応じて，質量保存則，エ
ネルギー保存則などの保存則を用いて，状態の変化を微分方程
式によって表現すること．
例えば，バネkに力Fを加えたときの変位xは
F=kx
であり，これはモデリングの一例である．また，一般的な用途とし
ては，下記のような入力xと出力f(x)の関係を明らかにして，利用
することである．
x
f(x)
f(・)
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制御におけるモデリングの重要性（１）
プラントPに入力rを入力したときの出力yは次の式，次の図である．
y=P・r
r
P
y
プラント
上記の関係で出力を目標の値にしたいとき，出力の値を確認しな
がら入力を調整しなければならない．
例：出力yの値を1にしたい．このとき入力r=1として，y=2であった．
また，入力r=2としたときは，y=4であった．これよりプラントP=2と
推測でき，入力r=0.5とすれば出力y=1を得るはず．
（実験値によるモデリングの一例）
他の出力値にしたいとき，同様の計算が必要となり，入力rを逆算
する形となる．
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制御におけるモデリングの重要性（２）
そこでコントローラ（フィードフォワードコントローラ）Cを用いる．こ
れによって y=r という関係になり，目標の出力を得る．
r
C(=P-1)
P
コントローラ
プラント
y
コントローラCがプラントPの逆数であることから，入力値を出力と
して得ることができる．プラントPを求めておけば，出力yを目標の
値にすることが容易となる．
→プラントを求めることは制御にとって非常に重要である．
もし，モデリングしたプラントPが誤差を含んでいたら？
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制御におけるモデリングの重要性（３）
r
C(=P-1)
P+DP
コントローラ
プラント
y
y  ( P  DP)  C  r
 ( P  DP)  P 1  r
 ( I  DP  P 1 )  r
誤差
目標値に対して DP・P-1・r ずれた値を得る．
モデリングでプラントPをうまく得られる場合もあるが，モデル化誤
差DPを含む場合もある．モデル化誤差を有する場合，ここで示し
ているフィードフォワードコントローラでは出力yを目標値にできな
い．
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制御におけるモデリングの重要性（４）
そこでフィードバックコントローラCを用いる．
y
r
C ( P  DP)
r
C ( P  DP)  1
C
P+DP
コントローラ
プラント
y
フィードバックコントローラCをうまく設計すれば，出力yを目標値に
することができる．（詳細，設計の仕方は制御工学設計論）
ただし，うまいコントローラを作るためにはモデリングにより求めた
プラントPが必要．
→モデリングは制御にとって非常に重要である．
物理現象から数式モデルを作るモデリングについて授業を行う．
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プロセスモデル
qi(t)
h(t)
C
A
qo(t)
水槽の断面積
： C[m2]
給水量変化
： qi(t)[m3/s]
流出量変化
： qo(t)[m3/s]
流出口断面積
： A[m2]
水位
： h(t)[m]
Δt時間の水位変化をとΔhすると，
CDh(t )  {qi (t )  qo (t )}Dt
C
dh(t )
 qi (t )  qo (t )
dt
一方，水槽の流出量変化qo(t)は，水力学の法則から
qo (t )  k h(t )
ただし，kは出口の形状係数．
1
 v  2 gh
2
qo (t )  Av  A 2 gh  k h(t )
2
ベルヌーイの法則より gh  v
よって，
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電気モデル（１）
抵抗，コイル，コンデンサが電源と直列に接続された電気回路のモデリングを
考える．
抵抗値Rの抵抗，静電容量Cのコンデンサ，インダクタンスLのコイルと電圧Eの
電源からなるRLC回路に電流Iが流れているシステムとする．
I
R
L
C
E
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電気モデル（２）
電気回路のモデリングにおいて，次の条件が必要である．
１）電流Iと電荷Qには I  Q の関係がある．
２）抵抗Rに電流Iが流れるとき， V  RI  RQ の電圧降下が生じる．
３）コンデンサC前後電圧差をVとすると，コンデンサには電荷Q=CVが蓄えられ
る．したがって，V=Q/C．
４）コイルに流れる電流をIとすると，コイルの前後において V  LI  LQ の電圧
降下を生じる．
５）キルヒホッフの法則：ある時刻における，ある閉回路まわりの電圧降下の代
数和は０である．
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電気モデル（３）
時計回りの閉回路を考え，１）～４）と５）のキルヒホッフの法則を用いると次式
が得られる．
(t )  RQ (t )  1 Q(t )  E
LQ
C
４）
２）
３）
５）
初期時刻t=0における電荷Qは0，電流 I  Q も0とすると，次の初期条件が得ら
れる．
Q(0)  Q (0)  0
これらのモデリング，初期条件を用いることで，RLC回路の電流の時間的変化
や，各素子における電圧の時間的変化を数式から求めることができる．
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機械モデル（１）
バネとダンパによって指示された質量に外力が作用するバネ・マス・ダンパの
場合のモデリングを考える（下図）．これは自動車のショックアブソーバの単純
モデルに相当するものである．
ここでバネのバネ係数はk，ダンパの粘性減衰係数はc，質量の重さはm，外力
はf(t)，静止位置からの質量の変位はx(t)である．外力，変位は上向きを正とす
る．
x(t)
f(t)
m
c
k
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機械モデル（２）
質量mの物体に力Fが作用したときの力方向の加速度をaとすると，ニュートン
の運動法則より，次式を得る．
F=ma
ダンパによる速度 x (t ) に比例した下向きの減衰力 cx(t ) とバネの伸びx(t)に比
例した下向きの力kx(t)が生じる．
これらをまとめた
a  x(t )
F  f (t )  cx (t )  kx(t )
をニュートンの運動法則に代入することで，次のバネ・マス・ダンパの数学モデ
ルを得る．
mx(t )  cx (t )  kx(t )  f (t )
初期変位をx0，初速度をx1とすると，次の初期条件が得られる．
x(0)  x0 , x (0)  x1
車体重量，バネ，ダンパ，外力の組み合わせを変化させて，モデリング，初期
条件に適用することで，車体の揺れの挙動を求めることができる．
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線形と非線形
線形性： f (x  y)  f ( x)  f ( y) が成立する関係
例１
f ( X )  aX
f (x  y )  a(x  y )
 ax  ay
 f ( x )   f ( y )
例２
線形
f (X )  X 2
f (x  y )  (x  y ) 2
 a 2 x 2   2 y 2  2xy
f ( x)  f ( y )  ax 2  y 2
 f (x  y)  f ( x)  f ( y)
非線形
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