ボード線図 - 豊橋技術科学大学機械工学系

1/22
ボード線図とナイキスト線図
ボード線図（折線近似，パラメータによる違い）
ボード線図とナイキスト線図
ステップ応答（パラメータによる違い）
ボード線図とステップ応答の関係
TUT, System & Control laboratory
今週の授業の目的
2/22
今週の大きな目的
パラメータによるボード線図の違いやステップ応答との関係
性を学ぶ．今週の授業内容は，パラメータの違いによる対象
の特性の違いや描写の異なるグラフの関係性を学ぶもので
ある．
 ボード線図の折線近似について学ぶ
 パラメータの違いによるボード線図の違いを学ぶ
 パラメータの違いによるステップ応答を学ぶ
 ボード線図とステップ応答の関係性を学ぶ
TUT, System & Control laboratory
3/22
１次遅れ要素・折線近似
１次遅れ要素G(s)=1/(1+Ts)などは折れ線で近似できる． wT≦1では
g(w)=0の直線で， wT>1ではg(w)=-20log10(wT)の直線で近似すれば，
ゲイン曲線の折線近似となる
折線の角にあたる角周波数を折点角周波数と呼び，この場合は1/T
rad/sである．
w=0における一定ゲインから3dBだけ下がった角周波数を帯域幅，
あるいはバンド幅と呼ぶ．
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4/22
ボード線図（１次遅れ要素・折線近似）
ゲイン[dB]
0
-3 dB
ゲインの傾き
-20 dB/dec
-20
近似無し
折れ線近似
-40
位相[deg]
0
近似無し
折れ線近似
-45
-90
0.01
-45[deg]
K
G (s) =
Ts  1
T =1
K =1
5/T rad/s
0.1
1
10
100
1/T rad/s
角周波数[rad/s]
T/5 rad/s
TUT, System & Control laboratory
5/22
ボード線図（１次遅れ要素・パラメータによる違い）
20
ゲイン[dB]
ゲイン[dB]
0
-20
T=0.1
T=1
T=10
T=0.1
T=1
T=10
-45
0.1
1
10
角周波数[rad/s]
100
位相[deg]
0
位相[deg]
-20
-40
K=0.1
K=1
K=10
-60
-40
-90
0.01
0
K=0.1
K=1
K=10
-45
-90
0.1
K =1
1
10
角周波数[rad/s]
100
T =1
K
G( s) =
Ts  1
TUT, System & Control laboratory
6/22
ボード線図（２次遅れ要素）
ゲイン[dB]
20
K
20 log dB
2
0
-20
ゲインの傾き
-40 dB/dec
-40
-60
Kw n
G(s) = 2
2
s  2wn s  wn
2
-80
位相[deg]
0
-90
-180
0.1
K =1
 = 0.1
-90[deg]
1
10
角周波数[rad/s]
wn = 1
100
wn rad/s
TUT, System & Control laboratory
K=0.1
K=1
K=5
-90
-180
0.1
1
10
角周波数[rad/s]
 = 0 .1
wn = 1
100
20
ゲイン[dB]
K=0.1
K=1
K=5
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
0
wn=0.1
wn=1
wn=10
wn=0.1
wn=1
wn=10
-90
-180
0.01
0.1
0
-20
-40
-60
1
10
角周波数[rad/s]
K =1
100
=0.1
=0.5
=1
=5
-80
0
位相[deg]
ゲイン[dB]
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
位相[deg]
位相[deg]
ゲイン[dB]
ボード線図（２次遅れ要素・パラメータによる違い）
7/22
=0.1
=0.5
=1
=5
-90
-180
0.1
1
10
角周波数[rad/s]
100
K =1
 = 0.1
Kwn
G( s) = 2
2
s  2wn s  wn
wn = 1
2
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ナイキスト線図
8/22
角周波数wを１つに定めると，周波数伝達関数G(jw)から複素平面
上の１点（Re[G(jw)]，Im[G(jw)]）が定まる．wを0からまで変化させ
たときの点G(jw)の軌跡のことをベクトル軌跡，それを図示した図面
をナイキスト線図という．ベクトル軌跡は，１枚のグラフに表わすこと
ができることから，システムの安定性の解析などによく用いられる．
ナイキスト線図は，ボード線図のゲイン曲線（ナイキスト線図上での
距離），位相曲線（ナイキスト線図上での角度）を組み合わせることで
描くこともできる．
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9/22
ナイキスト線図（１次遅れ要素）
0.5
Re + Im j
w=0
w=∞
0
0
q=-45 deg
1
実軸
-0.5
w=1/T
-1
虚軸
TUT, System & Control laboratory
ナイキスト線図（１次遅れ要素・パラメータによる違い）
10/22
0.5
0.5
0
0
0
0
-0.5
1
-0.5
T=0.1
T=1
T=10
-1
K =1
1
K=0.1
K=1
K=10
-1
5
拡大
0
0
10
-5
K
G( s) =
Ts  1
-10
T =1
K=0.1
K=1
K=10
TUT, System & Control laboratory
11/22
ナイキスト線図（２次遅れ要素）
Re + Im j
w=∞
-5
w=0
0
0
q=-90 deg
w=wn
-5
虚軸
実軸
5
Kw n
G(s) = 2
2
s  2wn s  wn
2
K =1
 = 0.1
wn = 1
TUT, System & Control laboratory
12/22
ナイキスト線図（２次遅れ要素・パラメータによる違い）
-40
-20
0
0
-10
-20
-30
-40
20
40
60
0
0
 = 0.1
10
-5
-5
-10
0
0
 = 0 .1
wn = 1
wn=0.1
wn=1
wn=10
-5
0
0
5
K=0.1
K=1
K=5
=0.1
=0.5
=1
=5
-5
拡大
-1
5
K =1
K=0.1
K=1
K=5
拡大
-10
0
0
-5
拡大
1
-1
K=0.1
K=1
K=5
0
0
1
=0.1
=0.5
=1
=5
-1
Kwn
G( s) = 2
2
s  2wn s  wn
2
K =1
wn = 1
TUT, System & Control laboratory
13/22
ステップ応答（１次遅れ要素）
0.95K
1
出力
0.632K
0.8
0.6
K
G (s) =
Ts  1
T =1
0.4
0.2
0
0
2
4
6
時間[秒]
8
10
K =1
3T 秒のときに0.95Kに到達
T 秒のときに0.632Kに到達
TUT, System & Control laboratory
14/22
ステップ応答（１次遅れ要素・パラメータによる違い）
1
1
0.8
出力
0.6
0.4
K=0.1
K=1
K=10
0.2
T=0.1
T=1
T=10
0.2
0
0
0.6
0.4
2
4
6
時間[秒]
8
0
0
2
10
4
6
時間[秒]
8
10
拡大
K =1
10
8
出力
出力
0.8
6
4
G( s) =
K
Ts  1
K=0.1
K=1
K=10
2
0
0
2
4
6
時間[秒]
T =1
8
10
15/22
ステップ応答（２次遅れ要素）
Kw n
G(s) = 2
2
s  2wn s  wn
2
出力
1.5
1
K =1
 = 0.1
0.5
0
0
10
20
30
時間[秒]
40
50
wn = 1
TUT, System & Control laboratory
16/22
ステップ応答（２次遅れ要素・パラメータによる違い）
2
10
出力
出力
K=0.1
K=1
K=5
8
6
K =1
1
4
2
0
0
 = 0.1
wn=0.1
wn=1
wn=10
10
20
30
時間[秒]
40
0
0
50
10
20
30
時間[秒]
40
50
拡大
2
2
K =1
1
出力
出力
K=0.1
K=1
K=5
0
0
10
20
30
時間[秒]
 = 0 .1
wn = 1
40
1
wn = 1
=0.1
=0.5
=1
=5
50
0
0
10
20
30
時間[秒]
40
50
Kwn
G( s) = 2
2
s  2wn s  wn
2
17/22
１次遅れ要素のボード線図とステップ応答の関係（１）
1
-20
0.8
T=0.1
T=1
T=10
出力
ゲイン[dB]
0
-40
0.4
位相[deg]
0
T=0.1
T=1
T=10
-45
-90
0.01
0.6
0.1
10
1
角周波数[rad/s]
K
Ts  1
K =1
T=0.1
T=1
T=10
0.2
0
0
2
4
6
時間[秒]
8
10
100
G( s) =
TUT, System & Control laboratory
18/22
１次遅れ要素のボード線図とステップ応答の関係（２）
20
0
0.8
-20
-40
出力
ゲイン[dB]
1
K=0.1
K=1
K=10
K=0.1
K=1
K=10
0.4
0.2
-60
0
0
K=0.1
K=1
K=10
2
4
6
時間[秒]
8
10
拡大
-45
10
8
-90
0.1
1
10
角周波数[rad/s]
K
G( s) =
Ts  1
T =1
100
出力
位相[deg]
0.6
6
4
K=0.1
K=1
K=10
2
0
0
2
4
6
時間[秒]
8
10
TUT, System & Control laboratory
19/22
10
K=0.1
K=1
K=5
8
出力
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
K=0.1
K=1
K=5
6
4
2
0
0
K=0.1
K=1
K=5
10
20
30
時間[秒]
40
50
拡大
-90
2
K=0.1
K=1
K=5
-180
0.1
1
10
角周波数[rad/s]
Kw n
2
s 2  2wn s  wn
2
G(s) =
 = 0 .1
wn = 1
100
出力
位相[deg]
ゲイン[dB]
２次遅れ要素のボード線図とステップ応答の関係（１）
1
0
0
10
20
30
時間[秒]
40
50
TUT, System & Control laboratory
20/22
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120
0
Kw n
G (s) = 2
2
s  2wn s  wn
2
wn=0.1
wn=1
wn=10
2
wn=0.1
wn=1
wn=10
-90
-180
0.01
K =1
 = 0 .1
出力
位相[deg]
ゲイン[dB]
２次遅れ要素のボード線図とステップ応答の関係（２）
1
wn=0.1
wn=1
wn=10
0.1
1
10
角周波数[rad/s]
100
0
0
10
20
30
時間[秒]
40
50
TUT, System & Control laboratory
21/22
２次遅れ要素のボード線図とステップ応答の関係（３）
Kw n
G(s) = 2
2
s  2wn s  wn
2
0
-20
-40
-60
位相[deg]
-80
0
2
=0.1
=0.5
=1
=5
-90
-180
0.1
K =1
wn = 1
=0.1
=0.5
=1
=5
出力
ゲイン[dB]
20
1
=0.1
=0.5
=1
=5
1
10
角周波数[rad/s]
100
0
0
10
20
30
時間[秒]
40
50
TUT, System & Control laboratory
22/22
課題
下記のボード線図を描け．
(a)
(b)
(c)
1  20s
G (s) =
1  10s
1  2s
G(s) =
1  10s
G( s) =
5
1  10s 1  2s 
TUT, System & Control laboratory

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