大気の熱力学(1) [熱力学第1法則]

大気の熱力学
• 乾燥大気
• 湿潤大気
大気の熱力学(1)
[熱力学第1法則:the 1st law of thermodynamics]
• ⊿U(内部エネルギー増加)+⊿W(外へする仕事)
= δQ(加熱量)
理想気体(ideal gas)を考える。
単位質量(unit mass) を考える。
cv dT  pdv  q
cv 
定積比熱
v 1
q 


加熱量
比容
大気の熱力学(1-2)
断熱であれば (adiabatic condition)
cv dT  pdv  0
pv  RT
(1)
この状態方程式の全微分を取ると
dp  v  p  dv  RdT
cv dT  RdT  vdp  0
cv  R  c p
RT
c p dT 
dp  0
p
c p dT
Rdp

T
p
熱力学の式(1)を書き換える
定積比熱+R=定圧比熱
右辺=dQ を考えるとよい)
状態方程式から
大気の熱力学(1-3)
cpdT
Rd p

T
p
dT
R dp
2 dp


T
cp p
7 p
In teg ra te
 p  R  co n st
R
2
 

 0.2 8 6..
cp
7
T
cp
T p

断熱膨張、断熱圧縮
T

 co n st As P decreases 

p
T decreases
大気の熱力学(1-3)
cpdT
Rd p

T
p
外から熱を加えずに、気圧(p)が変われば、
dT
R
dp
2 dp


気温はp^0.286に比例して変わる。
T
cp p
7 p
空気が断熱的に運動するとき、
In teg
ra te
気圧が下がれば(上空にいけば)、気温は下がる。
c p気圧が上がれば(下方にいけば)、気温は上がる。
T
 p  R  co n st
R
2
 

 0.2 8 6..
cp
7
T p

断熱膨張、断熱圧縮
T

 co n st As P decreases 

p
T decreases
大気の熱力学(1-4)
• 2原子分子の定積比熱 (Cv) は5/2 R。[n f ½ R]
R
2
5
 

 0.286..(cv  R)
cp
7
2
Tp

 const

 p0 

  T 

p


大気の熱力学(2)
[温位(potential temperature)]
• 断熱過程では
温位は保存する。
Under adiabatic process,
θ is conserved.
• Pの気圧でTの温度
の空気を断熱的に
P0(基準気圧:通常
1000hPa)へもって
くればθ の温度に
なる。 At p=p0, T=θ.

 p0 
  T  
 p
温度・温位の緯度・高度分布(1月)
対流圏では
上空ほど
気温は下がる
T decreases
with height
温位は上がる
θ increases
with height
中緯度で
温位面は
傾斜している
乾燥断熱減率
dry adiabatic lapse rate
• 空気塊を断熱的に持ち上げたときの温度変化(高さ
とともに温位一定)を考える。
Suppose that air is lifted adiabatically.
• 乾燥してるとき、高度増加にともなう気温減少率(-
dT/dz)を乾燥断熱減率という。
dT g
1
d  

 9.8Kkm
dz c p
乾燥断熱減率の導出
• 断熱条件での熱力学第1法則から
Cv dT + p dv = 0 (v=1/ρ :比容)
Cv dT + d (pv) – v dp = 0
(Cv+R) dT - v dp = 0
Cp dT – 1/ρdp = 0
両辺を dz で割る。
Cp dT/dz – 1/ρ dp/dz = 0
静力学平衡の式を用いて、
Cp dT/dz + g = 0
ー dT/dz = g/Cp
水蒸気量の表し方-いろいろ(1)
Expression of atmospheric water vapor
• 混合比 (mixing ratio)
ρwater-vapor /ρdry-air
飽和混合比
混合比は保存する。
• 比湿 (specific
humidity)
ρwater-vapor/ρair
飽和比湿(saturated ..)
esは気温のみの関数!
es is a function of T
v
w
,
d
Rd M v 18.016


 0.622,
Rv M d
28.96
e
e
w  0.622
 0.622 ,
pe
p
es
es
ws  0.622
 0.622 ,
p  es
p
Saturated vapor pressure over ice
Saturated vapor pressure over water
ニューステージ 新訂 地学図表 浜島書店 より
飽和混合比は温度とともに指数関数的に増大
10度あがると ほぼ
2倍となる。
地表面
20 g/kg >
700hPa
8 g/kg
>
[一般気象学第2版」(小倉義光)より
凝結熱(condensation heat)
• 乾燥空気1kg の飽和した空気がTからT-ΔT
へ冷却すると、飽和水蒸気混合比は、Wから
W-ΔWへとかわる。
このとき、LΔWだけの熱を放出する。
Lは、凝結熱(蒸発熱)で、
2.50 ×106 J kg-1
• 空気が上昇し、p  p-dp, T  T-dT となれ
ば、 W  W-dW となり、 大気を LdW
加熱する。
湿潤断熱減率
moist adiabatic lapse rate
• 水蒸気で飽和した空気塊を断熱的に持ち上げたと
きの温度変化を考える。
• そのとき、高度増加にともなう気温減少率
(-dT/dz)を湿潤断熱減率という。
• 凝結熱により乾燥の場合ほど気温は下がらない。
• 対流圏で、6~8K/km程度(温度による)
• 標準大気の減率は 6.5 K/km。
水蒸気量の表し方-いろいろ(2)
• 相対湿度 W/Ws x100 (%)
relative humidity
• 露点温度 (dew-point temperature; Td)
気温を下げたときに飽和に達する気温
• 露点差(湿数):T-Td
小さければ湿っている
湿潤断熱減率 (moist adiabatic lapse rate)
T
1
m  
 d
L ws
z
1
C p T
g
m  d 
 9.76103 K / m
Cp
エマグラム
Emagram
[一般気象学第2版」(小倉義光)より
相当温位 θe
(equivalent potential temperature)
 Lws 

 e   exp

C
T
 p 
*飽和しているとき:相当温位は保存する。
*未飽和のときは、持ち上げ凝結高度におけるT
(Tc)を使う。混合比はその場所の混合比。そう定義
すれば、相当温位は偽断熱過程で飽和、未飽和に
かかわらず、保存する。
LCL = 125(T-Td)
[一般気象学第2版」(小倉義光)より

乾燥大気の安定性(stability of dry air)
dT
d
dz
   d  stable ,..........
dz
 0  stable
d
 0  stable
dz
  d : stable
[一般気象学第2版」(小倉義光)より
湿潤大気の安定性(stability of moist air)
Γm<Γ<Γd
[一般気象学第2版」(小倉義光)より
Cloud top
height
Level of no-buoyancy
Level of Free Convection
Lifting Condensation Level
temperature
[一般気象学第2版」(小倉義光)より
[気象がわかる数と式(二宮著)」より
フェーン現象(Foehn)
• 乾燥断熱減率 10 K/km、 湿潤断熱減率 6 K/km とする。
• 風上で飽和しており、凝結した水分は降水として落ちるとする。
18℃
1000m
24℃
28℃
乾燥静的エネルギー
dry static energy ( s = CpT + gz)
• 前頁の熱力学第1法則から断熱であれば、Sは保存
する。(ただし、静力学平衡を仮定している)
1st law of thermodynamics + hydrostatic balance
s  c pT  gz
ds  c p dT  gdz  0
• 上の式から乾燥断熱減率は求められる。
• CpT : Enthalpy (thermal energy under const. P)
• gz: 位置のエネルギー(geopotential)
s is conserved under adiabatic processes
湿潤静的エネルギー
moist static energy ( h = s + Lw)
• 偽断熱過程であれば、飽和でも未飽和でも保
存する。
h  c pT  gz  Lw
hs  h  s  Lw ( saturated)
*
*
dh  c p dT  gdz  Ldws  0
• CpT : エンタルピー(顕熱のエネルギー)
• gz: 位置のエネルギー(geopotential)
• Lw: 潜熱のエネルギー (latent energy)