大気の熱力学 • 乾燥大気 • 湿潤大気 大気の熱力学（1） ［熱力学第1法則:the 1st law of thermodynamics］ • ⊿U（内部エネルギー増加）＋⊿W（外へする仕事） ＝ δQ（加熱量） 理想気体(ideal gas)を考える。 単位質量(unit mass) を考える。 cv dT pdv q cv 定積比熱 v 1 q 加熱量 比容 大気の熱力学（1-2） 断熱であれば (adiabatic condition) cv dT pdv 0 pv RT （１） この状態方程式の全微分を取ると dp v p dv RdT cv dT RdT vdp 0 cv R c p RT c p dT dp 0 p c p dT Rdp T p 熱力学の式（１）を書き換える 定積比熱＋Ｒ＝定圧比熱 右辺＝ｄＱ を考えるとよい） 状態方程式から 大気の熱力学（1－3） cpdT Rd p T p dT R dp 2 dp T cp p 7 p In teg ra te p R co n st R 2 0.2 8 6.. cp 7 T cp T p 断熱膨張、断熱圧縮 T co n st As P decreases p T decreases 大気の熱力学（1－3） cpdT Rd p T p 外から熱を加えずに、気圧(p)が変われば、 dT R dp 2 dp 気温はp^0.286に比例して変わる。 T cp p 7 p 空気が断熱的に運動するとき、 In teg ra te 気圧が下がれば（上空にいけば）、気温は下がる。 c p気圧が上がれば（下方にいけば）、気温は上がる。 T p R co n st R 2 0.2 8 6.. cp 7 T p 断熱膨張、断熱圧縮 T co n st As P decreases p T decreases 大気の熱力学（１－４） • ２原子分子の定積比熱 (Cv) は５/２ R。［n f ½ R] R 2 5 0.286..(cv R) cp 7 2 Tp const p0 T p 大気の熱力学（２） ［温位(potential temperature)] • 断熱過程では 温位は保存する。 Under adiabatic process, θ is conserved. • Ｐの気圧でTの温度 の空気を断熱的に P0（基準気圧：通常 1000hPa)へもって くればθ の温度に なる。 At p=p0, T=θ. p0 T p 温度・温位の緯度・高度分布（１月） 対流圏では 上空ほど 気温は下がる T decreases with height 温位は上がる θ increases with height 中緯度で 温位面は 傾斜している 乾燥断熱減率 dry adiabatic lapse rate • 空気塊を断熱的に持ち上げたときの温度変化（高さ とともに温位一定）を考える。 Suppose that air is lifted adiabatically. • 乾燥してるとき、高度増加にともなう気温減少率（－ ｄT/ｄｚ）を乾燥断熱減率という。 dT g 1 d 9.8Kkm dz c p 乾燥断熱減率の導出 • 断熱条件での熱力学第１法則から Cv dT + p dv = 0 (v=１/ρ :比容） Cv dT + d (pv) – v dp = 0 (Cv+R) dT － v dp = 0 Cp dT – 1/ρdp = 0 両辺を dz で割る。 Cp dT/dz – 1/ρ dp/dz = 0 静力学平衡の式を用いて、 Cp dT/dz ＋ g = 0 ー dT/dz = g/Cp 水蒸気量の表し方－いろいろ(1) Expression of atmospheric water vapor • 混合比 (mixing ratio) ρwater-vapor ／ρdry-air 飽和混合比 混合比は保存する。 • 比湿 (specific humidity) ρwater-vapor／ρair 飽和比湿(saturated ..) esは気温のみの関数！ es is a function of T v w , d Rd M v 18.016 0.622, Rv M d 28.96 e e w 0.622 0.622 , pe p es es ws 0.622 0.622 , p es p Saturated vapor pressure over ice Saturated vapor pressure over water ニューステージ 新訂 地学図表 浜島書店 より 飽和混合比は温度とともに指数関数的に増大 10度あがると ほぼ 2倍となる。 地表面 20 g/kg > 700hPa 8 g/kg > ［一般気象学第2版」（小倉義光）より 凝結熱(condensation heat) • 乾燥空気１kg の飽和した空気がTからT-ΔT へ冷却すると、飽和水蒸気混合比は、Wから W-ΔWへとかわる。 このとき、LΔWだけの熱を放出する。 Lは、凝結熱（蒸発熱）で、 2.50 ×106 J kg-1 • 空気が上昇し、p p-dp, T T-dT となれ ば、 W W-dW となり、 大気を LｄW 加熱する。 湿潤断熱減率 moist adiabatic lapse rate • 水蒸気で飽和した空気塊を断熱的に持ち上げたと きの温度変化を考える。 • そのとき、高度増加にともなう気温減少率 （－ｄT/ｄｚ）を湿潤断熱減率という。 • 凝結熱により乾燥の場合ほど気温は下がらない。 • 対流圏で、６～８K/km程度（温度による） • 標準大気の減率は 6.5 K/km。 水蒸気量の表し方－いろいろ(2) • 相対湿度 W／Ws x100 (%) relative humidity • 露点温度 (dew-point temperature; Td) 気温を下げたときに飽和に達する気温 • 露点差（湿数）：T－Td 小さければ湿っている 湿潤断熱減率 (moist adiabatic lapse rate) T 1 m d L ws z 1 C p T g m d 9.76103 K / m Cp エマグラム Emagram ［一般気象学第2版」（小倉義光）より 相当温位 θe （equivalent potential temperature） Lws e exp C T p ＊飽和しているとき：相当温位は保存する。 ＊未飽和のときは、持ち上げ凝結高度におけるT (Tc)を使う。混合比はその場所の混合比。そう定義 すれば、相当温位は偽断熱過程で飽和、未飽和に かかわらず、保存する。 LCL = 125(T-Td) ［一般気象学第2版」（小倉義光）より 乾燥大気の安定性(stability of dry air) dT d dz d stable ,.......... dz 0 stable d 0 stable dz d : stable ［一般気象学第2版」（小倉義光）より 湿潤大気の安定性(stability of moist air) Γm＜Γ＜Γd ［一般気象学第2版」（小倉義光）より Cloud top height Level of no-buoyancy Level of Free Convection Lifting Condensation Level temperature ［一般気象学第2版」（小倉義光）より ［気象がわかる数と式（二宮著）」より フェーン現象（Foehn） • 乾燥断熱減率 １０ K/km、 湿潤断熱減率 6 K/km とする。 • 風上で飽和しており、凝結した水分は降水として落ちるとする。 １８℃ １０００ｍ ２４℃ ２８℃ 乾燥静的エネルギー dry static energy ( s = CpT + gz) • 前頁の熱力学第1法則から断熱であれば、Ｓは保存 する。（ただし、静力学平衡を仮定している） 1st law of thermodynamics + hydrostatic balance s c pT gz ds c p dT gdz 0 • 上の式から乾燥断熱減率は求められる。 • CpT : Enthalpy (thermal energy under const. P) • ｇz： 位置のエネルギー（geopotential） s is conserved under adiabatic processes 湿潤静的エネルギー moist static energy ( h = s + Lw) • 偽断熱過程であれば、飽和でも未飽和でも保 存する。 h c pT gz Lw hs h s Lw ( saturated) * * dh c p dT gdz Ldws 0 • CpT : エンタルピー（顕熱のエネルギー） • ｇz： 位置のエネルギー（geopotential） • Lw: 潜熱のエネルギー (latent energy)
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