第１４回スピン・角運動量・磁気モーメント・ Zeeman効果・ Stern-Gerlachの実験・電子のスピン・NMR ・パウリの排他原理今日の目標１．角運動量の一般的な定義が示せること２．磁気モーメントを説明できること３．ゼーマン効果を説明できること４．ステルン・ゲルラッハの実験を説明できること５．電子のスピンを説明できること６．NMRの原理を説明できること７．パウリの排他原理を交換対称性から理解すること角運動量の性質交換関係 [J＾x , ＾Jy] = i h J＾z [J＾y , ＾Jz] = i h J＾x 角運動量 [J＾z , ＾Jx] = i h J＾y J＾ 2 = ＾Jx2 + J＾y2 + ＾Jz2 ＾ 2, ＾Jz] = 0 [J 共通の固有関数が存在＾J2χjm = j(j+1) h2χjm ＾Jzχjm = m h χjm j = 0,1/2,1,3/2,2,・・・ m = -j,-j+1,・・・,0,・・・,j-1,j 角運動量の性質磁気モーメント磁気双極子 +qm 磁石磁気双極子モーメント μm＝ qml l －qm 電流が作る磁気モーメント半径aの円電流 N e S 軌道角運動量 L＝amev 磁気モーメント v I＝ -ev 2πa 磁気モーメント -eva μ＝IS ＝ 2 -e L μ＝ 2me Zeeman効果磁気双極子がΔθ傾いたとき磁荷がする仕事磁場B ΔW＝rΔθf＝rΔθFsinθ F θ μ -F 磁気双極子が磁場となす角がθになるまでの仕事 f W＝2rF（1-cosθ）＝lqmH（1-cosθ）＝μB （1-cosθ）磁場と双極子が直交した状態を基準にしたポテンシャル（Zeemanエネルギー） F＝qmH＝qmB/μ0 W－μB＝－μBcosθ VB＝－μ・B＝－μzB ZeemanエネルギーのHamiltonian eB L eB ∂ Hz ＝（－i h ） z ＝ 2me 2me ∂φ Zeeman効果 -eB L ＝－ z 2me HB=H+HZ H= h2 2 2me∇ + V(r) h2 2 2me∇ + V(r) Ψ(r) = EΨ(r) [H, HZ]= 0 HZΨ(r) = EZΨ(r) Hz ＝ eB L z 2me [H, HB]= 0 HBΨ(r) = EBΨ(r) EB = E + EZ Zeeman効果 eB m h Ez ＝ 2m e 磁気量子数 l,l-1,･･･,0,1,･･･,-l Stern-Gerlachの実験（1921） S 2l+1 m= l l-1 ： -(l-1) -l 磁束密度勾配 47Ag N 炉スリット磁石 V＝－μzB Fz＝－ ∂V ∂z Stern-Gerlachの実験＝μz ∂B ∂z スクリーン量子化なし軌道角運動量のみ電子のスピンを含む電子のスピンナトリウムD線（11Na） 1s22s22p63s1→ 1s22s22p63p1 電子（-(Z-1)e） +Ze 3p状態 -e 水素様原子励起状態：1s22s22p63p1 角運動量l=1→状態数3 588.995nm 589.592nm 3s状態電子は固有の角運動量をもっている外部磁場がない→lは縮退（Uhlenbeck & Goudsmit ２つのエネルギー状態を観測、1925年、仮説）スピン（spin） →別の角運動量s s= 1 2s+1=2 2 合成角運動量：j=l+s 電子のスピンスピン（spin）； s = (sx,sy,sz) ：角運動量の性質を満たす＾s2χs,ms（σ）= s(s+1) h2χs,ms （σ）＾szχs,ms （σ） = ms h χs,ms （σ） s = 1/2 ms = -1/2, 1/2 電子の磁気能率（磁気モーメント） -e ＾s μe ＝2 2me eB (L + 2s＾ ) Hz ＝ z z 2me 磁場中の原子 HB=H+HZ 電子のスピン縮退が解けるエネルギー：主量子数n、方位量子数l、磁気量子数m、スピンsに依存水素原子の固有関数 Ψn,l,m,s,ms(r,θ,φ,σ) = Rn,l(r)Ylm(θ,φ) χs,ms（σ） n = 1, 2, 3, … ：主量子数 l = 0, 1, 2, …, n-1 ：方位量子数 m = -l, -l+1, …., 0, 1, …, l ：磁気量子数 n l 1 0 2 0 1 3 0 1 2 4 0 ・ m 0 0 -1,0,1 0 -1,0,1 -2,-1,0,1,2 0 ・水素原子の固有関数 spin 状態名状態数縮退数 2 up/down 1s 2 // // 2s 2 8 // // 2p 6 // // 3s 2 18 // // 3p 6 // // 3d 10 // // 4s 2 // // ・・核磁気共鳴（NMR=Nuclear Magnetic Resonannce）陽子の磁気能率 eh μN ＝ 2mp μp＝gμN 内部構造のないスピン1/2の粒子ならば g＝2 測定ではg=2.792847337±0.000000029 ：陽子の内部構造が原因磁場B 周りの原子から受ける磁場ΔB V＝－μp ( B+ ΔB) COOH R=13C OH B+ ΔB B=0 B l=1 n=2 n=1 核磁気共鳴 l=0 hν l=0 ΔE=h（ν’-ν）ケミカルシフト hν’ ；化合物によって異なる同種粒子の交換対称性 1 1 or 2 1 or 2 1 2 2 1 2 1 2 古典粒子量子論的＊軌跡は確率的＊衝突後の粒子は区別がつかない同種粒子の交換対称性 2粒子の波動関数相互作用がない場合 z r1 r2 y ＾ = H 1 h 2 2m ∇1 + V(r1) ＾ = H 2 h 2 2m ∇2 + V(r2) ＾ =H ＾ +H ＾ H 1 2 ＾HΨ(r ,r ) = EΨ(r ,r ) 1 2 1 2 x ＾H ψ (r ) = ε ψ (r ) 1 α 1 α α 1 ＾H ψ (r ) = ε ψ (r ) 2 β 2 β β 2 同種粒子の交換対称性 Ψ(r1,r2) = ψα (r1) ψβ (r2) E = εα + εβ Ψ(r1,r2) = ψα (r1) ψβ (r2) 粒子の交換 Ψ’(r1,r2) = ψα (r2) ψβ (r1) ＾HΨ’(r ,r ) = EΨ’(r ,r ) 1 2 1 2 Ψ(r1,r2) = c1ψα (r1) ψβ (r2) ＋ c2ψα (r2) ψβ (r1) ＾HΨ(r ,r ) = EΨ(r ,r ) の解 1 2 1 も 2 規格化： ∫|Ψ(r1,r2) |2dτ = 1 |c1|2 + |c2|2 = 1 交換演算子；P PΨ(r1,r2) = Ψ’(r1,r2) = ψα (r2) ψβ (r1) P2Ψ(r1,r2) = PΨ’(r1,r2) = ψα (r1) ψβ (r2) = Ψ(r1,r2) P2 = 1 ∴ P = ±1 ；Pの固有値同種2粒子系の固有関数 Ψ(r1,r2) = 1 同種粒子の交換対称性 √2 ψα (r1) ψβ (r2) ± ψα (r2) ψβ (r1) Fermi-Dirac統計 Bose-Einstein統計粒子の交換に対して波動関数が対称粒子の交換に対して波動関数が反対称スピンが整数（s=1,2,・・・）スピンが半整数（s=1/2,3/2,・・・） PΨ(r1,r2 ,・・・,rn) = Ψ (r1,r2 ,・・・,rn) 光子、中間子ボーズ粒子（Boson）１つの状態にいくつでも粒子が入りうる PΨ(r1,r2 ,・・・,rn) = －Ψ (r1,r2 ,・・・,rn) 電子、陽子、中性子フェルミ粒子（Fermion）１つの状態には１つの粒子しか入れないパウリの排他原理同種粒子の交換対称性 2個のFermion Ψ(r1,r2) = 1 √2 ψα (r1) ψβ (r2) － ψα (r2) ψβ (r1) α＝βならば、 Ψ(r1,r2) = 0 Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r1) ψβ (r2) ψγ (r3) パリティー（偶奇性） 1 Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r1) ψβ (r3) ψγ (r2) P = (-1)1 = -1 Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r2) ψβ (r1) ψγ (r3) P = (-1)1 = -1 Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r2) ψβ (r3) ψγ (r1) P = (-1)2 = 1 Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r3) ψβ (r1) ψγ (r2) P = (-1)2 = 1 Ψ(r1,r2 ,r3) = ψα (r3) ψβ (r2) ψγ (r1) P = (-1)1 = -1 3個のFermion 同種粒子の交換対称性 Ψ(r1,r2 ,r3) = 1 √3! ψα (r1) ψβ (r2) ψγ (r3) - ψα (r1) ψβ (r3) ψγ (r2) - ψα (r2) ψβ (r1) ψγ (r3) + ψα (r2) ψβ (r3) ψγ (r1) + ψα (r3) ψβ (r1) ψγ (r2) - ψα (r3) ψβ (r2) ψγ (r1) ψα(r1) ψα(r2) ψα(r3) ψβ(r1) ψβ(r2) ψβ(r3) ψγ(r1) ψγ(r2) ψγ(r3) 同種粒子の交換対称性行列式 Slater行列式 Ψ(r1,r2 ,･･･,rZ) = 1 √Z! ψα(r1) ψα(r2) ・・ ψα(rZ) ψβ(r1) ψβ(r2) ・・ ψβ(rZ) ・・・・ ψζ(r1) ψζ(r2) ・・・・・・・・ ψζ(rZ) 状態の等しい行があるとき（1つの状態に2個の電子があるとしたとき） Ψ(r1,r2 ,･･･,rZ) = 0 同種粒子の交換対称性 1つの状態に2個の電子は入らない。 Pauliの排他原理今日の用語角運動量、交換関係、磁気双極子、磁気双極子モーメント、円電流、軌道角運動量、磁気モーメント、ゼーマン効果、ゼーマンエネルギー、磁気量子数、Stern-Gerlachの実験、電子のスピン、ナトリウムD線、合成角運動量、主量子数、方位量子数、スピン量子数、縮退数、核磁気共鳴、陽子の磁気能率、ケミカルシフト、交換対称性、交換演算子、 Bose-Einstein統計、Fermi-Dirac統計、ボーズ粒子、フェルミ粒子、パウリの排他原理、Slater行列戻る • 和田義親（[email protected]）へメール • 講義のページへ戻る • 和田のホームへ戻る • 明薬のホームへ戻る