2001年度 経済統計処理講義内容

第6章 連立方程式モデル
ー 計量経済学 ー
第1節 連立方程式モデル
1 連立方程式モデル -構造方程式-
2 誘導型方程式
第2節 連立方程式モデルの問題点(1)-一致性の問題-
1 連立方程式モデルの問題点
2 問題の解決への準備 -操作変数法-
3 問題の解決 -2段階最小2乗法-
第3節 識別問題
1
2
4
3
識別問題
需要-供給モデルでの例
過剰識別
識別のための条件
第4節 間接最小2乗法
1 間接最小2乗法
第5節 予測とシミュレーション
1 モデルのテスト
2 経済の予測(1) -線形モデルのケース-
3 経済の予測(2) -非線形モデルのケース-
第1節 連立方程式モデル
1 連立方程式モデル-構造方程式-
• これまでは単一方程式モデルについて考察してきた。しかし、経済変数
どうしは実際には複雑に影響しあっていて、単一の方程式だけではその
状態を十分に記述することができないことがある。そのような場合に、複
数の方程式を連立させる、連立方程式モデル(または同時方程式モデ
ル)によって記述することがある。
• 簡単な連立方程式モデルとして、リンゴの市場について次のようなモデ
ルを考える。
簡単な連立方程式モデルとして、リンゴの市場について次のようなモ
デルを考える。
P
D
需要関数: Qt = a + bPt + ut
供給関数: Qt = c + dPt + vt
S
Pt: t期のリンゴの価格
Qt: t期のリンゴの数量
Q
• このモデルでリンゴの価格Ptと数量Qtはモデルの内部の相互依存関
係によってその値が決まる変数で、内生変数といわれる。
• 一方、このモデルが考えられる以前にその値が決まる変数は先決変
数といわれる。先決変数には、消費者の所得などモデルの外部でそ
の値が決まる外生変数と、1期前のリンゴの価格などといった内生変
数のラグつきの値である先決内生変数が含まれる。
経済変数
内生変数
先決変数
先決内生変数
外生変数
2 誘導型方程式
需要関数と供給関数の2つの方程式は、リンゴの市場についての構造
をそのまま記述したものであり、構造方程式(または構造型)とよばれ
る。
それに対し、この構造方程式を内生変数について解いたものを誘導
型方程式(または誘導型)という。
リンゴの市場のモデルの誘導型は
c  a vt  ut

bd bd
bc  ad bvt  dut
Qt 

bd
bd
Pt 
となる。しかし、このモデルには
① 一致性が失われる
② 識別不能
という2つの問題がある。
第2節 連立方程式モデルの問題点
ー 一致性の問題 ー
1 連立方程式モデルの問題点
リンゴの市場のモデルの誘導型において、
P 
c a v u

b d
b d
より、Ptとutの間には相関関係が存在する。構造型をみると、
Q  a  bP  u
であるので、説明変数と撹乱項の間に相関があることになる。このような場
合、最小2乗推定値は一致性を満たさなくなる。
† 撹乱項の標準的な仮定において、「撹乱項と説明変数は無相関」ということを入
れることがある。
ただし、説明変数が確率変数ではないとすれば、この仮定は自動的に成り立っ
ている。
2 問題の解決への準備 -操作変数法-
説明変数と撹乱項の間に相関があり、最小2乗法による推定値が一
致性を持たない場合、操作変数法が用いられる。なお、この方法は単
一方程式モデルでも用いられる方法である。
+ Wt
モデルを
Y  a  bX
u
とし、Xtとutとの間に相関があったとする。このとき操作変数Wtを考え
る。ただし、Wtは次のような性質を持つ。
① Wtとutの無相関(厳密にはデータ数が増えると無相関になる)
② WtとXtは相関がある
操作変数を用いて求めたパラメータ推定値は次のようになる。
bˆ 
 (Y  Y )(W  W )
 ( X  X )(W  W )
i
i
aˆ  Y  bˆX
i
i
3 問題の解決 -2段階最小2乗法-
操作変数としてXiの理論値 X̂ i を用いることが考えられる。これが2段
階最小2乗法である。
具体的には次のようになる。
<第1ステップ>
構造型から誘導型を求め、構造型の中で説明変数になっているパラ
メータを最小2乗法で推定する。
そして推定結果から理論値を計算する。
<第2ステップ>
構造型に求めた理論値を代入し、最小2乗法でパラメータを推定する。
※ なお、操作変数として理論値を用いる場合、
bˆ 
 (Y  Y )(X̂  Xˆ )   (Y  Y )(X̂  Xˆ )
 ( X  X )(X̂  Xˆ )
 (X̂  Xˆ )
i
i
i
i
2
i
i
となり、第2ステップは通常の最小2乗法となる。
i
第3節 識別問題
1 識別問題
先にみたリンゴの市場のモデルの誘導型は、右辺に変数が含まれず、パ
ラメータを推定することが不可能である。このようなモデルは識別不能なモ
デルといわれる。
一方、誘導型のパラメータ推定値が、構造型のパラメータに1対1で対応し
ているような状態は適度に識別された状態といわれる。
また、誘導型のパラメータ推定値から、構造型のパラメータが重複して計
算されてしまうような状態は過剰識別の状態といわれる。
2 需要-供給モデルでの例
<モデルA>
構造型
需要関数: Q  a  bP  u
供給関数: Q  c  dP v
誘導型
c a v u

b d b d
bc  ad bv  du
Q 

b d
b d
P 
→ 識別不能
<モデルB>
需要関数に所得Ytを、供給関数に流通にかかる日数Ztを入れる。
構造型
需要関数: Qt  a  bPt  eYt  ut
供給関数: Qt  c  dPt  fZt  vt
誘導型
v  ut
ca
e
f

Yt 
Zt  t
bd bd
bd
bd
bv  dut
bc  ad
de
bf
Qt 

Yt 
Zt  t
bd
bd
bd
bd
Pt 
ここで、誘導型のパラメータを次のようにおく。
vt  ut
bd
bv  dut
Qt   4   5Yt   6 Z t  t
bd
Pt   1   2Yt   3 Z t 
すると、
 3 4   1 6
3

b 6
3
    1 5
c 3 4
2

d 5
2
    2 6
e 3 5
3
    3 5
f  2 6
2
a
となり、誘導型で求めたパラメータ推定値が構造型に1対1対応している。
→ 適度に識別
<モデルC>
モデルBからZtを除いたもの。
構造型
需要関数: Qt  a  bPt  eYt  ut
供給関数: Qt  c  dPt  vt
誘導型
v  ut
ca
e

Yt  t
bd bd
bd
bv  dut
bc  ad
de
Qt 

Yt  t
bd
bd
bd
Pt 
ここでモデルBと同じように、誘導型のパラメータを次のようにおく。
vt  ut
bd
bv  dut
Qt   4   5Yt   6 Z t  t
bd
Pt   1   2Yt   3 Z t 
ただし、π3=0、π6=0である。
すると、
 3 4   1 6
3

b 6
3
    1 5
c 3 4
2

d 5
2
    2 6
e 3 5
3
    3 5
f  2 6
2
a
となり、
需要関数 → 識別不能
供給関数 → 適度に識別
となる。
特定できない
特定できない
c 
d 
 1 5
2
5
2
特定できない
0
4 過剰識別
モデルCの需要関数に、資産Wtを加えたもの。
構造型
需要関数: Qt  a  bPt  eYt  gWt  ut
供給関数: Qt  c  dPt  vt
誘導型
v  ut
ca
e
g

Yt 
Wt  t
bd bd
bd
bd
bv  dut
bc  ad
de
dg
Qt 

Yt 
Wt  t
bd
bd
bd
bd
Pt 
ここで、誘導型のパラメータを次のようにおく。
vt  ut
bd
bv  dut
Qt   4   5Yt   6Wt  t
bd
Pt   1   2Yt   3Wt 
すると、
5
2

d  6
3
d 
と、dについて2つの解が出てしまう。また、
c   4  1d
となり、cとdの解は2つになってしまう。よって、供給関数は過剰識別で
ある。
一方、需要関数は解くことができない。識別不能である。
需要関数 → 識別不能
供給関数 → 過剰識別
3 識別のための必要条件
識別のための必要条件をまとめると次のようになる。
A: 推定したい式に含まれないモデル内の先決変数の数
B: 推定したい式に含まれる内生変数の数
とすると、
A<B - 1 … 識別不能
A=B - 1 … 適度に識別
A>B - 1 … 過剰識別
※ 識別可能性は構造型の個々の方程式について考慮される。
第4節 間接最小2乗法
1 間接最小2乗法
2段階最小2乗法 → 適度に識別または過剰識別の時に利用可能
適度に識別可能な場合、誘導型モデルを最小2乗法によって推定し、その
パラメータ推定値から構造型のパラメータ推定値を求めることができる。こ
の手法を間接最小2乗法という。
※ 誘導型では、説明変数と撹乱項の間の相関はない。
第5節 予測とシミュレーション
1 モデルのテスト
構造型のパラメータが推定されたら、モデルの妥当性を検証するために次
の2つのテストが行われる。
(1)トータルテスト
推定した構造方程式から誘導型を導き、その右辺に実績値を代入して左
辺の内生変数の理論値を求め、その実績値と比較する。
(2)ファイナルテスト
誘導型の右辺にも、モデル内で求められた理論値(前期までの実績値から
計算された値)を代入し、左辺の理論値と実績値を比較する。
これらのテストによってモデルの妥当性が検証される
次のようなモデルを考える。
Y C  I
C  a  bY  cC

u
Ct: 消費(内生変数)
Yt: 国民所得(内生変数)
It: 投資(外生変数)
Ct-1: 1期前の消費(先決内生変数)
このモデルの誘導型は次のようになる。
a
1
c

It 
Ct 1
1 b 1 b
1 b
a
b
c
Ct 

It 
Ct 1
1 b 1 b
1 b
Yt 
(1)トータルテスト
ItとCt-1に実績値を入れ、YtとCtの値を求める。それを実際の値と比べ
る。
(2)ファイナルテスト
ItとCt-1の最初の期に実績値を入れ、Ct-1にはモデルの中で求められた
値を逐次入れていく。それを実際の値と比べる。
2 経済の予測(1)-線形モデルのケースー
先ほどのモデルのパラメータが次のようになっていたとしよう。
Yt  Ct  I t
Ct  0.5Yt  0.5Ct 1
このとき、誘導型は次のようになる。
Yt  2 I t  Ct 1
Ct  I t  Ct 1
この誘導型にCt-1の初期値を30、Itは来年が10で、毎年1ずつ増加と
想定したものが表6-4である。
3 経済の予測(2)-非線形モデルのケースー
非線型モデルの場合はより複雑で、くり返し計算が収束するまでおこ
なう。(詳細は省略)
連立方程式モデルの分析手順のまとめ
① モデルの識別可能性を識別条件でチェック → a) 識別不能
b) 適度に識別
c) 過剰識別
② b),c)の場合、構造型から誘導型を求める。
③ 2段階最小2乗法(2SLS)によって構造型のパラメータを推定(適度に識
別されている場合は間接最小2乗法でも可)
④ 推定されたモデルをトータルテスト、ファイナルテストで検証