第６章連立方程式モデルｰ計量経済学ｰ第1節連立方程式モデル１連立方程式モデル－構造方程式－２誘導型方程式第2節連立方程式モデルの問題点（１）－一致性の問題－１連立方程式モデルの問題点２問題の解決への準備－操作変数法－３問題の解決－2段階最小2乗法－第3節識別問題１２４３識別問題需要－供給モデルでの例過剰識別識別のための条件第4節間接最小2乗法１間接最小2乗法第5節予測とシミュレーション１モデルのテスト２経済の予測（１）－線形モデルのケース－３経済の予測（２）－非線形モデルのケース－第1節連立方程式モデル１連立方程式モデル－構造方程式－ • これまでは単一方程式モデルについて考察してきた。しかし、経済変数どうしは実際には複雑に影響しあっていて、単一の方程式だけではその状態を十分に記述することができないことがある。そのような場合に、複数の方程式を連立させる、連立方程式モデル（または同時方程式モデル）によって記述することがある。 • 簡単な連立方程式モデルとして、リンゴの市場について次のようなモデルを考える。簡単な連立方程式モデルとして、リンゴの市場について次のようなモデルを考える。 P D 需要関数： Qt = a + bPt + ut 供給関数： Qt = c + dPt + vt S Pt： t期のリンゴの価格 Qt： t期のリンゴの数量 Q • このモデルでリンゴの価格Ptと数量Qtはモデルの内部の相互依存関係によってその値が決まる変数で、内生変数といわれる。 • 一方、このモデルが考えられる以前にその値が決まる変数は先決変数といわれる。先決変数には、消費者の所得などモデルの外部でその値が決まる外生変数と、1期前のリンゴの価格などといった内生変数のラグつきの値である先決内生変数が含まれる。経済変数内生変数先決変数先決内生変数外生変数２誘導型方程式需要関数と供給関数の2つの方程式は、リンゴの市場についての構造をそのまま記述したものであり、構造方程式（または構造型）とよばれる。それに対し、この構造方程式を内生変数について解いたものを誘導型方程式（または誘導型）という。リンゴの市場のモデルの誘導型は c  a vt  ut  bd bd bc  ad bvt  dut Qt   bd bd Pt  となる。しかし、このモデルには ① 一致性が失われる ② 識別不能という2つの問題がある。第2節連立方程式モデルの問題点ｰ一致性の問題ｰ１連立方程式モデルの問題点リンゴの市場のモデルの誘導型において、 P  c a v u  b d b d より、Ptとutの間には相関関係が存在する。構造型をみると、 Q  a  bP  u であるので、説明変数と撹乱項の間に相関があることになる。このような場合、最小2乗推定値は一致性を満たさなくなる。 † 撹乱項の標準的な仮定において、「撹乱項と説明変数は無相関」ということを入れることがある。ただし、説明変数が確率変数ではないとすれば、この仮定は自動的に成り立っている。２問題の解決への準備－操作変数法－説明変数と撹乱項の間に相関があり、最小2乗法による推定値が一致性を持たない場合、操作変数法が用いられる。なお、この方法は単一方程式モデルでも用いられる方法である。 + Wt モデルを Y  a  bX u とし、Xtとutとの間に相関があったとする。このとき操作変数Wtを考える。ただし、Wtは次のような性質を持つ。 ① Wtとutの無相関（厳密にはデータ数が増えると無相関になる） ② WtとXtは相関がある操作変数を用いて求めたパラメータ推定値は次のようになる。 bˆ   (Y  Y )(W  W )  ( X  X )(W  W ) i i aˆ  Y  bˆX i i ３問題の解決－2段階最小2乗法－操作変数としてXiの理論値 X̂ i を用いることが考えられる。これが2段階最小2乗法である。具体的には次のようになる。＜第1ステップ＞構造型から誘導型を求め、構造型の中で説明変数になっているパラメータを最小2乗法で推定する。そして推定結果から理論値を計算する。＜第2ステップ＞構造型に求めた理論値を代入し、最小2乗法でパラメータを推定する。 ※ なお、操作変数として理論値を用いる場合、 bˆ   (Y  Y )(X̂  Xˆ )   (Y  Y )(X̂  Xˆ )  ( X  X )(X̂  Xˆ )  (X̂  Xˆ ) i i i i 2 i i となり、第2ステップは通常の最小2乗法となる。 i 第3節識別問題１識別問題先にみたリンゴの市場のモデルの誘導型は、右辺に変数が含まれず、パラメータを推定することが不可能である。このようなモデルは識別不能なモデルといわれる。一方、誘導型のパラメータ推定値が、構造型のパラメータに1対1で対応しているような状態は適度に識別された状態といわれる。また、誘導型のパラメータ推定値から、構造型のパラメータが重複して計算されてしまうような状態は過剰識別の状態といわれる。２需要－供給モデルでの例＜モデルA＞構造型需要関数： Q  a  bP  u 供給関数： Q  c  dP v 誘導型 c a v u  b d b d bc  ad bv  du Q   b d b d P  → 識別不能＜モデルB＞需要関数に所得Ytを、供給関数に流通にかかる日数Ztを入れる。構造型需要関数： Qt  a  bPt  eYt  ut 供給関数： Qt  c  dPt  fZt  vt 誘導型 v  ut ca e f  Yt  Zt  t bd bd bd bd bv  dut bc  ad de bf Qt   Yt  Zt  t bd bd bd bd Pt  ここで、誘導型のパラメータを次のようにおく。 vt  ut bd bv  dut Qt   4   5Yt   6 Z t  t bd Pt   1   2Yt   3 Z t  すると、  3 4   1 6 3  b 6 3     1 5 c 3 4 2  d 5 2     2 6 e 3 5 3     3 5 f  2 6 2 a となり、誘導型で求めたパラメータ推定値が構造型に1対1対応している。 → 適度に識別＜モデルC＞モデルBからZtを除いたもの。構造型需要関数： Qt  a  bPt  eYt  ut 供給関数： Qt  c  dPt  vt 誘導型 v  ut ca e  Yt  t bd bd bd bv  dut bc  ad de Qt   Yt  t bd bd bd Pt  ここでモデルBと同じように、誘導型のパラメータを次のようにおく。 vt  ut bd bv  dut Qt   4   5Yt   6 Z t  t bd Pt   1   2Yt   3 Z t  ただし、π3=0、π6=0である。すると、  3 4   1 6 3  b 6 3     1 5 c 3 4 2  d 5 2     2 6 e 3 5 3     3 5 f  2 6 2 a となり、需要関数 → 識別不能供給関数 → 適度に識別となる。特定できない特定できない c  d   1 5 2 5 2 特定できない 0 ４過剰識別モデルCの需要関数に、資産Wtを加えたもの。構造型需要関数： Qt  a  bPt  eYt  gWt  ut 供給関数： Qt  c  dPt  vt 誘導型 v  ut ca e g  Yt  Wt  t bd bd bd bd bv  dut bc  ad de dg Qt   Yt  Wt  t bd bd bd bd Pt  ここで、誘導型のパラメータを次のようにおく。 vt  ut bd bv  dut Qt   4   5Yt   6Wt  t bd Pt   1   2Yt   3Wt  すると、 5 2  d  6 3 d  と、dについて2つの解が出てしまう。また、 c   4  1d となり、cとdの解は2つになってしまう。よって、供給関数は過剰識別である。一方、需要関数は解くことができない。識別不能である。需要関数 → 識別不能供給関数 → 過剰識別３識別のための必要条件識別のための必要条件をまとめると次のようになる。 A: 推定したい式に含まれないモデル内の先決変数の数 B: 推定したい式に含まれる内生変数の数とすると、 A＜B - 1 … 識別不能 A＝B - 1 … 適度に識別 A＞B - 1 … 過剰識別 ※ 識別可能性は構造型の個々の方程式について考慮される。第4節間接最小2乗法１間接最小2乗法 2段階最小2乗法 → 適度に識別または過剰識別の時に利用可能適度に識別可能な場合、誘導型モデルを最小2乗法によって推定し、そのパラメータ推定値から構造型のパラメータ推定値を求めることができる。この手法を間接最小2乗法という。 ※ 誘導型では、説明変数と撹乱項の間の相関はない。第5節予測とシミュレーション１モデルのテスト構造型のパラメータが推定されたら、モデルの妥当性を検証するために次の2つのテストが行われる。（１）トータルテスト推定した構造方程式から誘導型を導き、その右辺に実績値を代入して左辺の内生変数の理論値を求め、その実績値と比較する。（２）ファイナルテスト誘導型の右辺にも、モデル内で求められた理論値（前期までの実績値から計算された値）を代入し、左辺の理論値と実績値を比較する。これらのテストによってモデルの妥当性が検証される次のようなモデルを考える。 Y C  I C  a  bY  cC  u Ct：消費（内生変数） Yt：国民所得（内生変数） It：投資（外生変数） Ct-1： 1期前の消費（先決内生変数）このモデルの誘導型は次のようになる。 a 1 c  It  Ct 1 1 b 1 b 1 b a b c Ct   It  Ct 1 1 b 1 b 1 b Yt  （１）トータルテスト ItとCt-1に実績値を入れ、YtとCtの値を求める。それを実際の値と比べる。（２）ファイナルテスト ItとCt-1の最初の期に実績値を入れ、Ct-1にはモデルの中で求められた値を逐次入れていく。それを実際の値と比べる。２経済の予測（１）－線形モデルのケースー先ほどのモデルのパラメータが次のようになっていたとしよう。 Yt  Ct  I t Ct  0.5Yt  0.5Ct 1 このとき、誘導型は次のようになる。 Yt  2 I t  Ct 1 Ct  I t  Ct 1 この誘導型にCt-1の初期値を30、Itは来年が10で、毎年1ずつ増加と想定したものが表6-4である。３経済の予測（２）－非線形モデルのケースー非線型モデルの場合はより複雑で、くり返し計算が収束するまでおこなう。（詳細は省略）連立方程式モデルの分析手順のまとめ ① モデルの識別可能性を識別条件でチェック → a) 識別不能 b) 適度に識別 c) 過剰識別 ② b),c)の場合、構造型から誘導型を求める。 ③ 2段階最小2乗法（2SLS）によって構造型のパラメータを推定(適度に識別されている場合は間接最小2乗法でも可) ④ 推定されたモデルをトータルテスト、ファイナルテストで検証