現代制御論平成19年度数理工学コース 3回生向山本裕 http://www-ics.acs.i.kyoto-u.ac.jp [email protected] 今年のテーマ制御は面白いどう面白いか？      いろいろなものが自在に動かせる物理世界と数理を結ぶものが見えてくるどこまで動かせるかが理論的に分かる理論が難しいがだから面白い－難しさを克服することによって表面的な現象の奥にあるものが見えてくる古典制御理論と現代制御理論古典制御理論     Watt→Maxwell→ Black, Bode, Nyquistの系譜周波数応答による特性の静的把握と設計法 Bode線図，Nyquist線図，．．．図式解法による直観的，経験的設計法現代制御理論  この講義のテーマ古典制御理論と現代制御理論II 現代制御理論      状態の概念と微分方程式より理論的かつ数学的にエレガント数学的理論により，より普遍的制御可能かそうでないか：定性的解答可能なとき，どの程度の性能が達成できるか？  定量的解答  最適化による理論的設計法：  ２次最適化レギュレータ  H1 最適化設計法この講義の計画導入：歴史，行列微分方程式のまとめ状態空間モデルの導入  概念と例，等価（同値）なモデル可制御性と可観測性，判定条件標準形極配置問題最適レギュレータの設計制御の歴史システムとは？入力 S 出力・チャンネル，変数間の相互作用・因果的な変化・ダイナミカルシステム制御とは何か，システムとは？システムとは？    複雑な要素の相互作用する全体ダイナミカルシステム：因果的な相互作用をする；ほとんどすべてのシステムはダイナミカル因果性：過去に依存して未来が定まる制御とは？    システムの状態，挙動を希望のものに近づけるいつでも出来るのか？でなければどのようなとき，どのようにして？ Watt→Maxwell→古典制御論 Watt：遠心調速器（Centrifugal Governor） Wattの蒸気機関の問題点比例制御のため，外乱，負荷変動があるとオフセット偏差が残る欠点これを取り除くため経験的に積分補償器を導入（PI制御）しかしこれによって閉ループ系の次数が増大 → ハンティングと呼ばれる不安定現象不安定現象の解析→ Maxwell “On Governors” 古典制御理論の成立 Maxwell: On Governors, 1868  制御系の安定性判別の方法を与えた Routh-Hurwitzによる一般化, 1895 20世紀    高速トラッキングとサーボ系電気工学と定常応答遠距離通信とフィードバックアンプ  Black: feedback amplifier  古典制御理論の形成  Nyquist, Bode ー Bell研その達成と問題点周波数領域における定常応答解析（交流理論） Fourier-Laplace 変換 Wiener filtering → Wiener-Hopfの積分方程式本質的に１入出力システムの解析     多入出力システムへの対応が不可能チャンネル相互の干渉の問題隠された不安定性の問題非定常過程への対応現代制御理論の成立 R. E. Kalman (1978) photo by Y. Yamamoto 現代制御理論の成立(cont’d) 状態空間モデルと現代制御理論の成立   Kalmanフィルタリング，Trans. ASME,１９５７ On the general theory of control systems, 1st IFAC Congress, Moscow, 1960 Despite the appearance and effective resolution of many new problems, our understanding of fundamental aspects of control has remained superficial. The only basic advance so far appears to be the theory of information created by Shannon. Our ultimate objective is to answer questions of the following type: What kind and how much information is needed to achieve a desired type of control? What intrinsic properties characterize a given unalterable plant as far as control is concerned? 1. 2. 3. 4. 5. 状態空間法の定式化可制御性，可観測性の概念最適レギュレータとフィルタリング制御と観測の双対性サンプル値による離散時間制御現代制御理論の成立とロバスト制御状態空間モデル d x(t )  F (t ) x(t )  G (t )u (t ) dt y (t )  H (t ) x(t ) システム＝ ( F (t ), G(t ), H (t )) 可制御か，可観測か－構造的関心 WienerフィルタとKalmanフィルタ Wienerフィルタ：伝達関数；時不変系；積分方程式による解  非定常過程へのむなしい拡張の試み Kalmanフィルタ：状態空間モデル；状態空間モデルによる解；非定常過程  可解性条件：可制御性，可観測性試行錯誤的な古典理論での制御系設計法から数理モデルを基礎とした設計への転換 Before 1960 one could speak of control theory as a field with a clear practical relevance, scattered results, little cohesion, and with a diffuse scientific and mathematical basis. By 1970 this had completely changed. In 1970 we could speak of a discipline. --- Jan C. Willems パラダイムの転換出力を整定する－古典制御状態を制御する－制御と観測の分離－２乗評価規範による分離原理 (separation principle) デッドビート制御における成果   サンプル点間応答に対する１つの回答 Kalman-Bertramによる0次ホールド等価離散時間モデル達成されたもの多変数制御系ラプラス変換から線形代数へ Lyapunovの安定論最適制御 Pontryagin, LaSalle, 変分法 LQG問題存在と一意性：可制御性と可観測性その特徴個別性より一般論代数的性格ー図式解法よりアルゴリズム Ad hoc な設計より系統的解析と最適化モデルベース設計 Trial and Errorより構造論 ) 理論の数学化，概念化その後：ロバスト制御の成立ーシステムの不確定性への対応すべてを完全にモデル化することは不可能不確定性の上界をモデルに取り込み，その族全体を制御するーG. Zames (1980) 不確定のもののうちの最悪性能（H∞ノルム）を最小にする（min-max問題） 1980－1987：完全な解答ーMatlabによる設計ソフトウェア制御で何が出来るのか実例 ALFLEX サンプル値制御によるディジタル信号処理１．サンプル値制御サンプル値制御＝ディジタル制御コントローラはディジタルー離散的に動作制御対象は連続時間で動作問題点多彩な制御動作が可能しかし連続時間と離散時間が混在 →モデルが極めて複雑連続時間ベースの性能は保証出来なかった１９５０年代以降の大きな問題であった普通に起こる例：サンプル点の間が暴れるサンプル点上では上のように整定している連続時間信号のリフティング f(t) f 0 ( ) f1 ( ) f 2 ( ) f 3 ( ) 関数の離散時間系列にするシステムのリフティング離散時間システム！新手法による成果：時間応答従来法新設計法その後の展開サンプル値制御系の設計CAD（MATLAB SDC ツールボックス日経2005年1月17日掲載ー次ページ）ー原，山本，藤岡新しいディジタル信号処理（音響，画像）への応用ー Part 2にて 2005年1月17日日本経済新聞 2005年01月17日 MATLABサードパーティー製品 Sampled-Data Control Toolbox 国内販売開始のお知らせ PDF版 (167KB) ～ディジタル補償器を用いたロバスト制御のための解析・設計ツール～サイバネットシステム株式会社（東証第一部、本社：東京、資本金：9億9500万円、代表取締役社長：井上惠久、以下“サイバネットシステム”）は、東京大学原教授、京都大学山本教授、藤岡助教授らで構成される開発グループ(以下“SDCグループ”(エスディーシー・グループ)）が開発した、Sampled-Data Control Toolbox（サンプルド-データコントロールツールボックス、以下“SDC Toolbox”(エスディーシーツールボックス))の国内販売を平成17年(2005年)3月1日より開始することをお知らせいたします。 SDC Toolboxは、汎用数値解析プログラムMATLAB(マットラブ)上で動作するサードパーティー製品のアドオンモジュールで、純粋な連続時間/離散時間系をその特別の場合として含むサンプル値制御系の解析・設計のためのアルゴリズムをMATLAB上で実現したソフトウェア製品となります。サンプル値制御とは、連続時間で動作する制御対象に対し、連続時間で動作するディジタル補償器（コントローラ）によって制御を行うものです。サイバネットシステムでは、産学連携プロジェクトとして、学術機関で培われた最先端のテクノロジーをソフトウェア製品として産業界へ展開するという形で、技術移転の支援に取り組んでいますが、このような形でサイバネットシステムの取り扱うMATLABのアドオンモジュールとして国内販売されるのはSDC Toolboxが国内初となります。２．ディジタル信号処理への応用ディジタル信号処理の課題サンプリングにより高周波（音なら高音；画像なら細部情報）が失われるサンプリング ! エイリアシング    サンプル点間情報が失われる（高周波と低周波が混同）最低周波（上図の緑のグラフ）のみで復元 →Shannon の定理現在のディジタル信号処理の基本原理ディジタル化→連続時間信号のサンプリング 0 h 2h 3h 4h 5h 6h 7h このままでは音は聞えない 0 h 2h 3h 4h 5h 6h 7h アホナーロルグド信回号路にを戻通すして 0 h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 古いＣＤプレーヤーオーバーサンプルＤＡ変換器 0 h 2h 3h 4h 5h 6h 新しいＣＤプレーヤー 7h 0 h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 0 h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 高音が聞こえない？サンプル値制御理論の適用サンプル値制御理論によりサンプル点間の高周波情報を最適復元細部情報の回復ディジタルズームへの適用例原画像（これを２倍にズーム）バイキュービックフィルタ（従来法）による２倍ズームサンプル値制御による２倍ズーム音響処理への応用サンプル値制御を用いることにより，失われた高域補正が出来る三洋電機にてMD（ミニディスクプレーヤ）， MP3，携帯電話などにて商品化；ICチップ出荷中松下へのOEM出荷 MD向け高域補正効果の一例（周波数スペクトル）三洋電機 LSIチップ製品化 MDLP4(66kbps) サンプル値制御フィルタ処理後原音の周波数スペクトルをできるだけ忠実に補間高域をより原音らしく忠実に補間 •JPOP系の音楽（現在は宇多田ひかる、SMAP、平井堅などで実験）には非常に効果的（広がりが出る、打楽器の抜けが良くなるなど） •今回行った2種類のスピーカ両方で効果が確認された。これまでに300万石（MP3，携帯電話用）出荷三洋電機提供民生用ICチップ組み込み松下電器ホームページ http://panasonic.jp/pmd/mj500/index.html より(10月1日発売) まとめいずれも商品化に結びついている理論から発展したまったく新しい技術であり，それが製品の形をとったことに意義がある