プラズマ基礎数学（電磁気学）

2007.05.01-02
Maxwell Equations in Plasma
0. Self consistent field in plasma
１．Physical meaning of Maxwell equations
2. Derivation of Maxwell eqs.
1
電磁場と荷電粒子、荷電流体
• 単一粒子、流体の電磁場中での運動




P  qE  qv  B
qは電荷(-e,+Ze)、vは粒子（電子、イオン）の速度


 
  
dVe
e
 pe     e  e ne (E  Ve  B)
dt


 
  
dVi
i
 p i     i  Ze ni (E  Vi  B)
dt
Ve,iは（電子、イオン）流体の巨視的流れ、enは電荷密度
電荷をもつ粒子、流体には電磁力が作用する。プラズマ全体の流体運動
は２式を足し合わせたものである。
2
電磁場中の分布関数の発展方程式





fe  
e    
 v e   fe 
(E  v e  B)   vfe   v  v
t
me

fi  
Ze    
 v i   fi 
(E  v i  B)   vfi   v  v
t
mi
ここで、E,Bは外部から与えられた電磁場。右辺は衝突項であり、
速度空間の流れのdivergenceとして与えられる。
もし外部電磁場が無いとすると左辺の第３項をなくすことができる。
外部からの電磁場は衝突による流れには寄与せず“外場”の元での
位相空間の運動を支配する。
3
衝突とEntropy S増大
dS
 f  3 3
   lnf  dr dv （配布資料を参照のこと）
dt
 t 

 
fi
Ze    
  v i   fi 
(E  v i  B)   vfi   v  v
t
mi


分布関数の時間変化は
１）確定的な外場における運動による変化
２）ランダムな衝突による時間変化
によってもたらされている。
従って、エントロピーの時間変化も両者の寄与があるはず。
dS dS
dS


dt dt motion dt collision
4
外場の元での確定的な運動の寄与



 
fi
Ze    
  v i   fi 
(E  v i  B)   vfi   v  v
t
mi


  
dS
Ze      3 3
   lnf   v i   f i 
(E  v i  B)   vf i dr dv
dt motion
mi




 
1st :   lnf v i   f i dr 3dv 3


 
 fi   3 3
  v i    f i ln  dr dv
 e 


 fi  
3
  dv v i   dS f i ln  

 e 

空間微分の項の寄与は０
0
5


  
dS
Ze      3 3
   lnf i   v i   f i 
(E  v i  B )   v f i dr dv
dt motion
mi


 
2n d :   lnf F   v f i dr 3dv 3




  
 fi   3 3
  F   v  f i ln  dr dv
 e 

 
 fi  
3
  dr v i   dS v  f i ln  

 e 

0
速度空間における勾配の項の寄与も０
結論として、外場の元での確定的な運動あるいは自由運動は
エントロピー増大には寄与しない
6
ランダムな衝突がエントロピーを増大させる
• プラズマにおける衝突を
大多数の微小角散乱 b~lDebye>>Lp-p
中くらいの散乱
b＜lDebye
希な大角散乱
b~Lp-p
と分類すると
•すべての散乱がエントロピー増大に寄与？
•プラズマ自身が作る電磁場の効果は？
7
プラズマ中のプラズマが作る電場
• 自分の作る電場＋全員が寄与して遮蔽電場を作る
小角散乱はどれを変化させるのか？
その他の散乱はどれを変化両者を変化させるのか？
~
E  E  E
電場は
１）粒子間距離より遙かに長くデバイ長以下程度の平均場
（これはすべての粒子の協同効果として創世されたもの）
と
２）粒子のランダムな運動、即ち“衝突”を」引き起こす
揺らぎ成分である。
8
プラズマ自身の作る平均電場の記述
（無衝突、且つ外場は無いとする）


dfi f i  
Ze  

 v i   fi 
 E   v f i  0
dt t
mi
 E     

 1
3
3
 
Z
e
f
(
r
,
v
,
t
)
dv

e
f
(
r
,
v
,
t
)
dv
i i
i e


4


0

  netch arg e 
 
4 0




ここで、<>は巨視的な平均場に対応した、平均ポテンシャル、
平均電荷密度であり、分布関数と密接に結びついた量である。9
プラズマ自身の作る平均磁場の記述
（無衝突、且つ外場は無いとする）




dfi f i  
Ze 

 v i   fi 
v i   B   vf i  0
dt t
mi



  B    j 

 3

 j  e  Z i f i (r , v , t ) v i dv   f e (r , v , t ) v edv 3


 Ze ni  Vi  e ne  Ve 


ここで、<>は巨視的な平均場に対応した、平均電流密度、
10
平均drift速度であり、分布関数と密接に結びついた量である。
プラズマの協同効果による平均場は
エントロピーの増大に寄与しない



  3 3
  

dS
Ze 
   lnf i   v i   f i 
( E   v i   B )   v f i dr dv
dt motion
mi


 
2n d :   lnf F   v f i dr 3dv 3




  
 f 
  F   v  f i ln i  dr 3dv 3
 e 

 
 fi  
3
  dr v i   dS v  f i ln  

 e 

0
プラズマ粒子の協同効果で産み出され、lDの規模で平均される平均
場（自己無撞着場self-consistent field）は外場同様エントロピーの増
大を引き起こさない。したがって、collisionless-小角散乱による分
11
布関数の時間発展はそれ自身では統計力学平均値に近づかない。
Maxwell eqs.の物理的意味と表現 I)
Newton eq. は質点（その性質は質量を持つ、あるいは
電荷を持つ等）の運動を記述する。
光速で運動する光子の巨視的記述にはどうするか？その
導出に先立ってベクトルの意味を考察する。
Maxwell eqs.
D  
B  0
例）
非圧縮性流体（圧縮、膨張しない流体）の定義
V  0
12
 
P  0
 
P  0
Divergence
２次元(x,y)平面で任意のベクトルXを考え、
１） divergenceが０
２） divergenceが０でない
３） divergenceが正、あるいは負でない
にベクトルがどのような特徴があるかを考える。
 

１） P(x, y)  y i  xj
 
P  ?
Vectorの図
2)
 

P(x, y)  xi  y j
 
P  ?
Vectorの図
13
 

P(x, y)  y i  xj
 

  P   y   x   0
x
y
湧き出しなし
 

P(x, y)  xi  y j
 

  P  x   y   2
x
y
Ｐは湧き出している
14
3次元で積分表示を行えば？
 
D  
 


D
dV


dV


 
 D  dS  Q

D

次元：電束密度 D [C/m2]、Q[C]
Q
電束密度の表面積分は
電気力線の総和即ち電荷の総
和
に等しい
15
3次元で積分表示を行えばＩＩ？
 
B  0
 


B
dV

0

 
 B  dS  0

B
次元：磁束密度
０

Vs /m2
Tesla
磁力線の湧き出しは無く、
磁束密度の表面積分は０に等しい。
即ち、閉じた領域内に“磁荷”に相当する
ものは存在しない。
16
 
 P  0
Rotation
 
 P  0
 

P(x, y)  y i  xj
 

P(x, y)  xi  y j

 Px Py  
k  2
  P( x, y )  

z
 y x 

 Px Py  
k  0
  P( x, y )  

z
 y x 
Z軸の周りの反時計方向の回転 vectorPは原点から放射状に
を表している。
外に向かって出ており、回転
していない。
17
Vector 公式と物理概念
１） Fを任意のスカラー関数として、
 
   
答えは何か？またその理由は？
２）Ａを任意のベクトルとして、


  
  A 
答えは何か？またその理由は？
18
Maxwell eqs. 物理的意味(II)

 B
E 
 0,
t

 D 
H 
j
t
Eの次元,単位は？
V/m: 力学的な力 N/C
Bの次元,単位は？
Vs/m2:
Dの次元,単位は？
Hの次元,単位は？
jの次元,単位は？
C/m2=As/m2:
A/m:
A/m2= C/s/m2 :
19

 B
E 
0
t
 
  E のベクトル方向は？

 B  

    E  t   dS
    
  Edl 
B  dS

t
 [ V / m ][m ]  [ Vs / m 2 ][m 2 ][s 1 ]


0
電気力線に回転を与えるのは磁束密度の時間変化
“回転した電気力線”は“発散のない磁力線”の時間変化
20

 D 
H 
j
t

 D 
H 
j
t
磁場の回転は面を横切る電荷あるいは
電束密度の時間変化によってもたらされる。

 D   

    H  t  j   dS
 
    
  H dl 
D  dS   j  dS

t
 
  F
  H dl 
  j  dS
t
 [ A / m][m]  [C / m 2 ][m 2 ][s 1 ]  [ A / m 2 ][m 2 ]
0


磁力線の回転は電荷の時間変化と電荷の流れによって
21
与えられる。

 D 
H 
j
t
電荷の連続の式
記述されるベクトルの“発散的性質”を調べる


  
  H  0






D  j
t

 e

 j
t

 e

   eV
t
 
磁力線の回転は電荷の時間変化と電荷の巨視的流れVによって
22
与えられる。
Maxwell eq. の導出
• 粒子の運動
Lagrange eq. (Newton eq.)
L=T(v2)-U(r)
粒子の性質は質量m
最小作用(Js)の変分原理
• 場と粒子の相互作用（粒子と粒子の相互作用）
Lagrange eq.(Maxwell eq.)
相互作用に関して粒子の性質は電荷e で表現
• 場の記述
Lagrange eq.(Maxwell eq.)
粒子の軌道は固定場のポテンシャル変分
Landau 場の古典論 3章、４章参照
23
4元位置ベクトル： r

r (r1 , r2 , r3 )
空間成分
r4  ict
時間成分
C: light velocity
相対論に拡張した作用S[Js]の表現とLagrange
2
v
2
Sparticle   Ldt    mc 1    dt  mc ds
c
t1
t1
a
t2
t2
b
2
2
v
mv


L particle  mc2 1     mc2 
2
c
24
場の性質：４元ポテンシャル A

A ( A1 , A 2 , A 3 )
A 0  i
空間成分
時間成分
粒子と場の相互作用は粒子の性質 e と場の性質A を用いて
1
 dx i 
Sparticlefield   eAi 
dt
c t1
 dt 
t2
e  

   A  vdt  edt 
c

t1 
i  1,2,3,4
t2
注：作用の次元を確かめよ
25
粒子と場の相互作用
b
b
1
Sparticle  Sparticlefield  mc ds   eAi dx i
ca
a


2

e 


v
2
   - mc 1     A  v  e dt
c
c

t1 


t2


v
e


2
 mc 1     A  v  e
c c
2
L p  L p f
ここでVは４元速度ベクトルの空間成分
26
場と粒子の相互作用の作用積分
（ただし、粒子の運動は固定されている。）
1
1  

i
Sparticlefield    A  j dt  dt    2  A i j dVdt
c
c

t1 
t2
場のＬａｇｒａｎｇｅ => 場のエネルギーの次元
•重ね合わせが可能
•スカラー量
E
DE
D(C / m )  (J / m / C) 
(J / m 3 )
2
2
2
L field  


1 2
2
E  H dV
8
こうして、場の作用は
Sfield  



1 2
2
E  H dVdt
8
27
Maxwell eq. の導出（Ｉ）
Lagrange eqが相対論や電磁場との相互作用においても正当で
ある（こうしたときの運動も作用を最小にする）と考える。
d  L  L
     0
dt  v   r
1st
term
2
 


d  L  d   
v
e
  

2


m
c
1


A
 
  


dt  v  dt  v 
 c   c 

 







d
mv
e 
 
 A
2
dt 
c 
v
 
 1  

c
 


28
 
L e   
   A  v  e
r c
2nd term
ベクトル公式
   



  
          
(a  b)  a   b  b   a  b    a  a    b

を利用すると、第１項はｖとｒは独立変数であることを考慮して

  

 
 
L e   
   A  v   e
r c


           
  
 ( A  v)  A   v  v   A  v    A  A    v
     
 v  A  v  A
 


e    e  
 v   A  v    A  e
c
c
29

1st term
d  L  d
 
dt  v  dt

mv
e d 

A
2
c dt
v
1  
c


dA A   
ここで

 v  A
dt
t
2nd term
L e    e   
  v   A  v    A  e
r c
c

 


を使うと

結局, 場における粒子の運動方程式は

 
d
e     e A
 v    A  
 e 
2
dt
c
c

t


v
 
1  
c
注：右辺の次元を確かめよ

mv


30

  e  
 e A
d
 
 e   v    A
2
dt
c

t
c


v
 
1  
c
 e 
 eE  v  H
c

ここで以下の場の強さを導入した

 1 A  
E  
  
 c t

  
H  A

mv


注：次元を確かめよ
31


 1 A  
E  
  
 c t

  
H  A
この２つの式とベクトル恒等式を用いてMaxwell eq.を求める
 

 
1   A
1 H
E  

c t
c t
 
H  0
ベクトル恒等式
 
    0
  
 A  0


32
積分表現Ｉ
 

 
1   A
1 H
E  

c t  c t
  
  1 H 
1  


d
S



E


d
S


  c t    c t  dS H
 
1
 d l  E   c t
起電力

 
 dS H

磁束の時間微分に負の符号
をつけたもの
33
積分表現ＩＩ
 
H  0


 
 
 dV   H   dS  H  0
即ち、任意の閉曲面を通る
磁束は０である。
あるいは磁荷というものは
存在しない。
34
電荷の連続の式
粒子質量、粒子密度の保存則は以下のようであった。



   v 
t
ここで、電荷の保存も同様に考えると
m  mn  e  en
 


 
 e
    e V    j
t
即ち Maxwell eq. は巨視的
物理量の保存則の基礎としても
用いることができる
注) 積分形で表現せよ
注２) jを分布関数を用いて表現せよ
35
場の方程式の導出（ＩＩ）
場と粒子の相互作用の作用Sp-fと自由運動の作用Spの合計の
作用の変分が０で有ることから粒子の運動方程式を決定した。
この過程で、粒子に作用する相互作用の源である場を記述する
Maxwell eq.の第１の組が導かれた。
場の方程式を決定するには、場自身の作用Sfを決定する必要
があり、それに粒子の運動を固定した場の相互作用Sp-fを加えて
場のLagrangeを導き、粒子の軌道の変分の代わりに、場のポテ
ンシャルの変分に対して作用が0という要請から場の方程式を決
定する。
Lfield  Lfield  Lpfieled
A
36
点荷の集合系と場の相互作用
1
S
   e A dx
c
b
particlefield
i
i
a
t2
 
t1
L p f   
e  

 A  v  e dt
c

e  

 A  v  e 
c

点電荷の系から、分布電荷とその運動が電流を形成している系へ拡張
し、相互作用密度の空間積分の表現へと書き改める。
37
1  

S particlefield    dV  A  j   dt
c

t1
t2
1   1
0
   dV  A  j  A 0 j dt
c
c

t1
t2
1

c
 

t2

i
A i j dVdt
t1



i
A   , A , Ai   ,A
38
場のＬａｇｒａｎｇｅ => 場のエネルギーの次元
•重ね合わせが可能
•スカラー量
Ｅ
D
電気力線とは単位長さあたり
1
E E/2のエネルギーを蓄えている
2
電場の持つエネルギー密度
Q

 

E
DE
2
D(C / m )  ( J / m / C) 
(J / m3 )
2
2
L fieldE  
 
1 2
E dV
8
39
注）ここではGauss 単位を用いている
場のＬａｇｒａｎｇｅ => 場のエネルギーの次元
•重ね合わせが可能
•スカラー量
Ｅ
D
電気力線とは単位長さあたり
1
E E/2のエネルギーを蓄えている
2
電場の持つエネルギー密度
Q

 

E
DE
2
D(C / m )  ( J / m / C) 
(J / m3 )
2
2
L fieldE  
 
1 2
E dV
8
40
注）ここではGauss 単位を用いている
場のＬａｇｒａｎｇｅ => 場のエネルギーの次元
•重ね合わせが可能
•スカラー量

 

H
BH
2
B( Vs / m )  ( J / m / Vs) 
( J / m3 )
2
2
B
磁力線の有するエネルギー密度は
L field H
 
1
1 1 ij
2

H 
F Fij
8
4 2
F=(E,H)
ここで、Fは電磁場に関する４元テンソル表現とする
こうして、場の作用は3次元表現を書けるとする。
Sfield  



1 2
2
E  H dVdt
8
41
Contravariant E-M tensor
 0  Ex  Ey  Ez 


0
 Hz Hy 
 Ex
ik
F 

Ey Hz
0
Hx


 Ez  Hy Hx

0 

 

  ik
 
Fik  E, H , F   E, H

42
Covariant E-M tensor
 0

  Ex
Fik  
 Ey

  Ez

Ex
Ey
Ez 

0
 Hz Hy 
Hz
0
Hx 


 Hy Hx
0 
du i e ik
mc
 F uk
ds c





i
dx  1
v

i
u 

,
2
2 
ds
v
v
 1 

c
1

c2
c2 

 

  ik
 
Fik  E, H , F   E, H
43

Sfield  


1 2
E  H 2 dVdt
8

電磁場を４元ポテンシャルを用いて以下の４元テンソル
 

  ik
 
A k A i
Fik 
 k F  E, H , F   E, H
i
ik
x
x
現わすことにすると、作用は
Sfield   

1
Fik Fik dVdt
16 
と書ける。
44

場の方程式IIの導出
1
i
S   2  A i j dVdt  
c

1
ik
Fik F dVdt
16 
この変分を調べるが、電流は粒子の運動が与えられているとして、
場のポテンシャルのみを変化させる。 A
1
1
i
ik
S   2  A i j dVdt   
Fik F dVdt
c
8
ik
ik
Fik F  F Fik （この関係を利用する）
A k A i

つぎの電磁場テンソルの変分 Fik 
i
k
x
x
から
45
1
1
i
ik
S    A i j dVdt  
Fik F dVdt
c
8
1
1 ik  A k A i 
i
   A i j dVdt  
F 

dVdt
i
k 
c
8
x 
 x
1

c
1

c


c ik A i c ik A i 

i
F

F
dVdt
A i j 
k
k 
8
x
8
x 

I,kを入れ替え ik
F  F ki の関係を使う
c ik A i 

i
F
dVdt
A i j 
k 
4
x 

46
ここで、空間全体を考慮しているので、座標の無限遠では
ポテンシャルは０とする。ただし、時間積分の２点ではポテンシャルの
変分は０である。
1
S  
c

c ik A i 

i
F
dVdt
A i j 
k 
4
x 



1
ik
F A i dS k d
A i dVdt 


4

1
F ik 
 
A i dVdt  0
k 
c
x 
ik
c F
i


j
即ち場の方程式は
k
47
4 x
1

c
i c
j 
4

i c
j 
4

F
k
x
ik
c F
i
 j
k
4 x
ik
 0  Ex  Ey  Ez 


0
 Hz Hy 
 Ex
Fik  
Ey Hz
0
Hx 


 Ez  Hy Hx
0 


j  (c, j)
i
以上より、２組の方程式が得られる。

  1 E 4 
 H 

j
c t
c
 
  E  4
注）これらの式の次元を確かめよ
48
積分表現ＩＩＩ

  
  1 E 4  
d
S



H

d
S


j


  c t c 

  4   1 E  
 H  d l  c  dS  4 t  j
任意の閉曲
線の回りの
磁場の循環
注）次元を考えよ
閉曲線で囲まれた面を通過する
変位電流と真電流の総和に
4/cを掛けたもの
49
積分表現ＩＶ
 
   EdV   4dV
 
 E  dS 4 dV  4Q
任意の閉曲
面を通過する
全電束
閉曲面で囲まれた体積中の
総電荷に4を掛けたもの
注）次元を考えよ
50
レポート課題
１） Maxwell 応力について述べよ。（定義、導出等々）
２）磁場強度１Ｔに相当する圧力を求めよ。また大気中の絶縁破壊
電圧10kV/cmに相当する圧力を求めよ
51
ここまで学習した内容
場を含めた巨視的物理量の保存則
磁場閉じ込め
粒子、電荷、運動量、エネルギー方程式
不安定性
Fokker Planck eq.
Boltzmann eq.
衝突と
平衡
微視的運動方程式
速度空間の拡散
Plasma自身が
作る自己無撞着場
クーロン小角散乱
粒子と場の相互作用
粒子の運動方程式
場の方程式
52

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