情報通信システム（1） 2005年4月19日火曜日

情報通信システム（10）
http://www10.plala.or.jp/katofmly/chiba-u/
2015年7月7日火曜日
午後4時10分～5時40分
NTT-IT Corp.
加藤洋一
千葉大学 10- 2
伝送における信号処理
• 各種「フィルタ」が使われている
– 例：QAMの復号にLPF(低域通過フィルタ)を用いる
• 伝送路や無線伝送での「波形のくずれ」を補正する
– 適応的な処理にはディジタル処理が適している
（適応的な処理：状況に合わせ、処理内容を変えること）
• その他、様々な場面で信号処理技術が使われてい
る
• 信号処理のほとんどをディジタル計算で行う方法が
現代の主流となっている
千葉大学 10- 3
QAM（前回の講義より）でのLPFの利用
g (t )  Ax(t ) cos(2f c t )  y (t ) sin(2f c t )
Ax(t ) Ax(t ) cos(4f c t ) Ay(t ) sin(4f c t )
g (t ) cos(2f c t ) 


2
2
2
Ay(t ) Ax(t ) sin(4f c t ) Ay(t ) cos(4f c t )
g (t ) sin(2f c t ) 


2
2
2
x(t)
f
Cos(2πfct)
LPF
90度移相器
y(t)
Cos(2πfct)
伝送路
g(t)
90度移相器 Sin(2πfct)
LPF
送信側
x(t)
キャリヤ発信器
キャリヤ発信器
Sin(2πfct)
LPF
受信側
y(t)
千葉大学 10- 4
ディジタル信号処理による伝送処理
x(t)
LPF
Cos(2πfct)
Cos(2πfct)
キャリヤ発信器
キャリヤ発信器
Sin(2πfct)
x(t)
伝送路
90度移相器
g(t)
90度移相器 Sin(2πfct)
y(t)
LPF
受信側
送信側
ディジタル演算で
処理を行う
y(t)
D/A変換
伝送路
A/D変換
ディジタル演算で
処理を行う
アナログ信号
伝送装置：実はD/A変換、A/D変換のついたコンピューターのようなもの
千葉大学 10- 5
ディジタル信号処理の基本（のひとつ）：ｚ変換
あるサンプル信号列を xn とする。サンプル間隔を T 

デルタ関数を用いて、 x(t )   xn  (t 
n 0

X(f ) 
 x(t )e


 
 j 2ft
n
dt    xn  (t 
)e  j 2ft dt
2 fm
 n 0
  xn  (t )e
 n 0
n
) と表せる。 x(t )のフーリエ変換は、
2 fm
 
 j 2f ( t  
n
)
2 fm

( t  t 

dt     (t )e  j 2ft  dt  xn e

1
とする。
2 fm
n
)
2 fm
 j 2f
n
2 fm
n 0
復習：サンプル値列を時間に関する連続関数と見る時の手法


1
 xn e
2 fm n 0
 j 2
n
f
2 fm
 (t )  , t  0
 0, otherwise
xn

  (t )dt 
t


1
( T )
2 fm
n
T=1/2fm
x(t )   xn (t 
)
2 fm
n 0
積分ができるようになる
fmは、信号xに含まれる最大周波数
千葉大学 10- 6
z変換

（前頁より）
n
 j 2
f
1 
 j 2ft
2 fm
x(t )のフーリエ変換は、 X ( f )   x(t )e
dt 
xn e

2 fm n 0

さて、下記の Ckを計算すると、
fm
Ck 
 X ( f )e
j 2
k
f
2 fm
 fm
 j 2
f
1
1
2 fm
e
df 
f

2 fm  fm
2 fm
fm
(n  k )
1
e

2 fm  fm

k
fm
nk
nk
fm
(n  k )
n
 j 2
f j 2
f
 j 2
f
1 
1 
2 fm
2 fm
2 fm
df  
xn e
e
df 
xn  e
df


2 fm n 0
2 fm n 0  fm
 fm
fm
nk
 j 2
f
2 fm
fm
1
即ち、
xn  e

2 fm n 0  fm
 j 2
df 
nk
f
2 fm
fm
 fm
1
fm
nk
 j 2
f
2 fm
1
e
2 fm  j 2 n  k
2 fm
fm
df  xk なので、
 j 2

 fm
 X ( f )e
 fm
nk
2
j 2
1 e
e
2 fm  j 2 n  k
2 fm
j 2
k
f
2 fm
nk
2
df  xk となる。
0
千葉大学 10- 7
ｚ変換
まとめると、以下の変
換対が得られる。
n
 j 2
f

1 
2 fm
xn e
X ( f ) 

2
fm

n 0
n

fm
j 2
f
2
fm
 x  X ( f )e
df
 n fm

上記で、 z  e

j
1
f
fm
X ( z )   xn z ,
n
n 0
dz
1 j
 j
e
df
fm
X ( f )は周期関数で、 xnは離散値であることに注意。
1
f
fm
とおき、 X ( z )  2 fm X ( f )とすると、
fm
1
n
xn 
X
(
z
)
z
df

2 fm  fm
 j
1
fm 1
z なので、 df 
z dzとなる。
fm
j
また、 fが  fmから fmへ変化するとき、
zは  1( e  j )から  1( e j )まで虚数平面上の単位円
を正方向に一回りする。従って、
fm
1
1
n
xn 
X
(
z
)
z
df

2 fm fm
2 j
n 1
 X ( z ) z dz
j
pi
pi/2
-pi
-pi/2
0
ｚ変換
ここまでをまとめた以
下の変換対を z変換対という。


n
X
(
z
)

x
z

n

n 0

1
n 1
 xn 
X
(
z
)
z
dz


2 j
ところで、
千葉大学 10- 8
z変換
逆z変換
xnはサンプル値列であるが、これを kサンプルだけ遅らせた
系列xm  xn  kの z変換は、

X m ( z )   xn  k z
n 0
n

  xl z
l 0
n  k  l, n  l  k
(l  k )

  xl z l z  k  X ( z ) z  k となる。このことか
l 0
ら、 z空間では信号の1サンプル分の遅延が z 1に対応していることが
分かる。
千葉大学 10- 9
各種変換の関係
t
フーリエ級数
f
周波数領域では離散的
時間関数は周期的
t
フーリエ変換
f
周波数領域でも連続
時間関数には周期はない
離散フーリエ変換
t
時間関数は離散的かつ周期的
Ｚ変換
t
時間関数は離散的
f
周波数領域でも離散的かつ周期的
z
周波数領域（z領域）では連続で周期的
千葉大学 10- 10
ディジタル線形システム
入力信号
xn
an
cn
Aan
Aan +Bcn
線形システム
線形システム
線形システム
yn
出力信号
bn
dn
のとき
線形システム
線形システム
Abn
Abn +Bdn
A,B は定数、an, bn, cn, dnは標本値列
線形システムとは、重ねあわせが成り立つシステム
（例えば、信号値の自乗が出力されるようなシステムは線形システムではない）
千葉大学 10- 11
（有限）インパルス応答
xn
線形システム
yn
m個の標本
線形システム
1
n
大きさ１のインパルス
x0 ,x1,…xn-1=0
xn=1
xn+1 ,xn+2,…=0
n, n+1, n+2,…n+m-1
インパルス応答
y0 ,y1,y2,…yn-1=0
yn ,yn+1,…yn+m-1= 何らかの値
yn+m ,yn+m+1, …=0
千葉大学 10- 12
インパルス応答の重ね合わせ
xnだけ値を
持ち、その
他は０
xn
xnに対するイ
インパルス応答
ンパルス応答
n
xn+1だけ
値を持ち、
その他は０
＋
xn+1
インパルス応答
xn+1に対するイ
ンパルス応答
n+1
xn+2だけ
値を持ち、
その他は０
＋
n+2
インパルス応答
ンパルス応答
xn+2
:
標本値列
（上記の和）
xn+2に対するイ
:
線形システム
＋
：
=
出力信号
（線形システムの定義から）線形システムは、その特性をインパルス応答で表すことができる
千葉大学 10- 13
インパルス応答の重ね合わせ
システムのインパルス応答を h0 , h1 ,...hm 1 , 入力信号をxn ,
出力信号をynとすると、
y0  h0 x0
y1  h1 x0  h0 x1
y2  h2 x0  h1 x1  h0 x2
:
ym 1  hm 1 x0  hm  2 x1  ...  h1 xm  2  h0 xm 1
ym  hm 1 x1  hm  2 x2  ...  h1 xm 1  h0 xm
この形の積和計算を
「畳み込み」という
ym 1  hm 1 x2  hm  2 x3  ...  h1 xm  h0 xm 1
:
m 1
yn  hm 1 xn  m  hm  2 xn  m 1  ...  h1 xn 1  h0 xn   hk xn  k
k 0
線形システムの出力信号は、入力信号とシステムのイン
パルス応答の畳み込みで計算できる。
千葉大学 10- 14
畳み込みのｚ変換
X ( z )   xn z  n , Y ( z )   yn z  n , H ( z )   hn z  n , とすると、
n
n
n
X ( z ) H ( z )  ( x0  x1 z 1  x2 z  2 .... xn z  n  ....)(h0  h1 z 1  h2 z  2 .... hm 1 z  m 1 )
 x0 h0  x0 h1 z 1  x0 h2 z  2 .... x0 hm 1 z  m 1 
x1h0 z 1  x1h1 z  2  x1h2 z 3 .... x1hm 1 z  m 
x2 h0 z  2  x2 h1 z 3  x2 h2 z  4 .... x2 hm 1 z  m 1 
:
 xn  m 1hm 1 z  n 
z-n の項をまとめる
:
xn  2 h0 z  n  2  xn  2 h1 z  n 1  xn  2 h2 z  n .... xn  2 hm 1 z  n  m 3 
xn 1h0 z  n 1  xn 1h1 z  n  xn 1h2 z  n 1.... xn 1hm 1 z  n  m  2 
xn h0 z  n  xn h1 z  n 1  xn h2 z  n  2 .... xn hm 1 z  n  m 1 
:

n
m 1
h x
k 0
k
nk
z  n   yn z  n  Y ( z )
n
千葉大学 10- 15
線形システムの入出力の関係
xn
yn
線形システム
1
大きさ１のインパルス
h0,h1,h2,…,hm-1
m 1
yn   hk xn  k
システムの出力信号は、入力信号と
k 0
システムのインパルス応答の畳み込みで表される。
X ( z )   xn z  n , Y ( z )   yn z  n , H ( z )   hn z  n , とすると、
n
Y ( z)  X ( z)H ( z)
n
n
z領域では、畳み込みは積になる。
千葉大学 10- 16
線形システムの周波数応答
入力信号を周波数 f の複素サイン波、 xn  e
ze
j
1
f
fm
Y ( z)  X ( z)H ( z)   e
j 2
n 0
1
f
fm
Y (e
j
H (e
)  H (e
1
f
fm
n
f
2 fm
とする。
であるので、

j
j 2
j
1
f
fm
n
f
2 fm

z n H ( z )   e
j 2
n
f
2 fm
 j 2
e
n
f
2 fm
H ( z)  H ( z)
n 0
) を得る。即ち、システ
ムの周波数特性は、
)で与えられる。
離散系で周波数領域での設計を行いたいときは、z変換が便利。それは、
z領域では、システムの特性が掛け算で表されるから（前頁）。
線形システム１
H1(z)
線形システム２
H2(z)
=
合成線形システム
H(z)=H1(z) H2(z)
千葉大学 10- 17
ディジタルフィルタの設計
• 一般的に用いられるフィルタは、以下の通り
– 低域通過フィルタ（LPF）
– 高域通過フィルタ（HPF）
– 帯域通過フィルタ（BPF）
– 帯域阻止フィルタ（BEF）
fc
fc1
fc
HPF
fc1 fc2
fc2
f
f
f
f
LPF
振幅
振幅
振幅
振幅
BPF
BEF
千葉大学 10- 18
ディジタルフィルタ実現の要素
4
y n   a n xn  k
k 0
xn
Z-1
Z-1
a
Z-1
１サンプル時間の遅延定数倍
（乗算器）
（メモリに相当）
Z-1
加算（加算器）
Z-1
a4
a3
a2
a1
a0
畳み込み計算をハードウェアで実現するときの例
yn
千葉大学 10- 19
有限インパルス応答を持つシステムによるLPF設計
周波数領域での所望の特性をH(f) とすると、そのインパルス応答は、 H(f)
の逆フーリエ変換で表される。LPFの場合は、以下のようになる。
 1,
H( f )  
0,
f cn
f  f cn
f  f cn
j 2ft f cn
e
h(t )   e j 2ft df 
j 2t
 f cn
n
sin(2f cn
)
2 fm
hn 
,
n

2 fm
 f cn
e j 2f cnt  e  j 2f cnt sin(2f cnt )


j 2t
t
標本化したインパルス応答
通過帯域をfc、サンプリング周波数をfsとすると、正規化されたカットオフ
周波数fcnは、fcn=fc/(fs/2)=2fc/fsとなる。
インパルスは無限に続くが、窓関数をかけた後、適宜打ち切る。
ハニング窓を適用。タップ数121。LPF適用の例。（filter_wave.py）
千葉大学 10- 20
無限インパルス応答を持つシステム
Sec =
k=
b1 =
b2 =
a0 =
a1 =
a2 =
2
1.761357052297812e-02
-1.323580935213300e+00
5.122725454736700e-01
1.821866103905567e+00
8.078787271241630e-01
1.821866103905567e+00
k=
b1 =
b2 =
a0 =
a1 =
a2 =
1.000000000000000e+00
-1.376862841003691e+00
8.504565141695815e-01
1.075818447198837e+00
-1.075682460775599e+00
1.075818447198837e+00
フィルタの種類 : LPF
フィルタの特性 : エリプティック
フィルタの次数 : 4
セクション数 : 2
サンプリング周波数 : 44100 [Hz]
パスバンド周波数 : 5000 [Hz]
ストップバンド周波数 : 7000 [Hz]
パスバンド端減衰量 : 0.5 [dB]
ストップバンド端減衰量 : 35 [dB]
石川高専山田洋士研究室ホームページ
Digital Filter Design Servicesより
千葉大学 10- 21
電話線（加入者線）の特性（前回の講義より）
出展：
http://www.orixrentec.co.jp/t
msite/know/know_adsl50.ht
ml
出展：
http://www.ese.yamanashi.
ac.jp/~itoyo/lecture/networ
k/network08/index08.htm
4Kmの線路の場合。
（山梨大学伊藤洋先生の
ページより）
千葉大学 10- 22
波形のくずれ
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
0.5
1
1.5
2
+
0.5
1
1.5
2
+
0.5
1
1.5
2
=
0.5
-1
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-3
1
1.5
2
1
伝送路の周波数特性
f
0
2
4
6
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
0.5
1
1.5
2
+
0.5
1
1.5
2
+
0.5
1
1.5
2
=
0.5
-1
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-3
1
1.5
2
波形が崩れている
千葉大学 10- 23
伝送のモデル
元信号をxn , 伝送路を線形システムとみなしたときの
インパルス応答を hn , 伝送路上で信号に付加された
雑音nnとすると、受信信号
ynは
yn   hk xn  k  nn
k 0
と表すことができる。
加法性雑音
伝送装置
(送信側)
xn
伝送路
（線形システムとみなす）
インパルス応答
hn
nn
yn
伝送装置
(受信側)
千葉大学 10- 24
等化
加法性雑音
xn
伝送路
（線形システムとみなす）
インパルス応答
hn
nn
yn
等化器
インパルス応答
xnの推定値を x nを以下のように置くこ
xn
ck
とにする。
m 1
x n   ck y n  k
k 0
ここで、評価関数 E   ( x n  xn ) 2を最小にするような
n
求めれば、伝送路の影響を補正することができる。
ckを
千葉大学 10- 25
適応アルゴリズム：最急降下法
あるパラメータ c1、c2があり、ある評価関数Eはc1とc2の関数、即ち E(c1,c2)
と表される。ここで、c1とc2を徐々に変化させて、 E(c1,c2)が最小となるように
c1とc2を調整したい。
c2
E(c1,c2)の等高線
低い
c1とc2の第２回調整後
c1とc2の第一回調整後
初期値
c1
ここで、 E (c1, c 2)で表されるおわん型の最大傾斜方向は、
E (c1, c 2) E (c1, c 2)
,
)というベクトルで与えられる。そこで、
c1
c 2
E (c1, c 2)
E (c1, c 2)
c1を c1  
, c2を c 2  
と修正すれば、 E (c1, c 2)
c1
c 2
の値を小さくすることができる (をうまい値にとること
が必要)。
(
千葉大学 10- 26
最急降下法の具体的なアルゴリズム（自乗誤差評価）
m 1
yn   hk xn k  nn ,
k 0
l 1
x n   ck yn  k , en  x n  xn
k 0
E   en   ( x n  xn ) ,
2
n
2
自乗誤差評価
n
E
 xn
 2  ( x n  xn )
 2 en yn  k
ck
ck
n
n
普通は未知
xn
加法性雑音
伝送路
（線形システムとみなす）
インパルス応答
hn
未知
未知
nn
yn
xn
等化器
インパルス応答
ck
千葉大学 10- 27
最急降下法の具体的なアルゴリズム
未知
普通は未知
xn
加法性雑音
hn
未知
nn
ck
yn
伝送路
（線形システムとみなす）
等化器
トレーニングシーケンス
en  x n  xn
E   en
Ckを適宜決める
最初に、規定のxnを送る
2
n
E
 2 en yn  k
ck
n
E
ck  ck  
ck
xn
ckを最急降下
法で修正する
ynとckからxnを計算
xnが既知なので、enが計算できる
NO
Eは十分小さいか？
YES
最適なCkが定まる（トレーニング終了）
千葉大学 10- 28
最急降下法の具体的なアルゴリズム
未知
普通は未知
xn
加法性雑音
hn
未知
nn
yn
伝送路
（線形システムとみなす）
E   en
ck
等化器
xn
通常シーケンス
2
n
E
 2 en yn  k
ck
n
E
ck  ck  
ck
この方法で、伝送路の特性が少々変化
しても常に最適なckを得ることができる。
次の信号を受信する
xn=xnとしてenを計算
Ckを最急降下法で修正する
YES
Eは十分小さいか？
NO
トレーニングをやり直し
千葉大学 10- 29
等化の実験（トレーニング部のみ）
xn
hn
伝送路
（線形システムとみなす）
nn
yn
ck
等化器
xn
xnを-1から1の一様ランダムな数とする。データ数32768。
hnを[0.05, 0.05, 0.15, 0.5, 0.15, 0.05, 0.05]とする。
nnを-0.03から0.03までの一様なランダムの数とする。
ckのタップ数9、初期値[0,0,0,0,1,0,0,0,0]とする。
ファイル名は、equalization.pyです。
千葉大学 10- 30
等化の実験
評価関数の値（受信信号の評価関数と等化信号の評価関数の比）
1
'eql_4.dat'
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
20
40
60
80
100
繰り返し回数
繰り返し計算をすることで、評価関数の値がさがる。
千葉大学 10- 31
等化の実験
110
'rnd_org.dat'
'rnd_rcv.dat'
'rnd_eql.dat'
100
90
入力信号（Xn）
80
70
60
等化出力（Xn）
50
40
30
受信信号(Yn)
20
10
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
周波数スペクトル
・入力信号は「一様ランダム信号」であるため、ほぼフラットな周波数特性を持つ
・受信信号は、高域でかなり減衰を受けている
・等化後の信号は、低域から中域へは補正がうまく聞いているが、高域の補正は
いまひとつである。これは、加えた雑音の影響であろう（雑音の大きさを変えるな
どして実験すれば明確になる）。
千葉大学 10- 32
伝送におけるディジタル信号処理
• 本講義では、ディジタル伝送に用いられている
ディジタル信号処理について学習した
• 身近で高度なディジタル信号処理が使われてい
る領域は、以下のとおり
– ADSLなどの加入者電話線での高速ディジタル伝送
– CATVなどでの高速ディジタル伝送
– 携帯端末での高速ディジタル伝送
– iPodなどのMP3機器
• 「DSP」というディジタル信号処理に適したLSIを
利用してこれらを実現する場合もある

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