情報通信システム(10) http://www10.plala.or.jp/katofmly/chiba-u/ 2015年7月7日 火曜日 午後4時10分~5時40分 NTT-IT Corp. 加藤 洋一 千葉大学 10- 2 伝送における信号処理 • 各種「フィルタ」が使われている – 例:QAMの復号にLPF(低域通過フィルタ)を用いる • 伝送路や無線伝送での「波形のくずれ」を補正する – 適応的な処理にはディジタル処理が適している (適応的な処理:状況に合わせ、処理内容を変えること) • その他、様々な場面で信号処理技術が使われてい る • 信号処理のほとんどをディジタル計算で行う方法が 現代の主流となっている 千葉大学 10- 3 QAM(前回の講義より)でのLPFの利用 g (t ) Ax(t ) cos(2f c t ) y (t ) sin(2f c t ) Ax(t ) Ax(t ) cos(4f c t ) Ay(t ) sin(4f c t ) g (t ) cos(2f c t ) 2 2 2 Ay(t ) Ax(t ) sin(4f c t ) Ay(t ) cos(4f c t ) g (t ) sin(2f c t ) 2 2 2 x(t) f Cos(2πfct) LPF 90度移相器 y(t) Cos(2πfct) 伝送路 g(t) 90度移相器 Sin(2πfct) LPF 送信側 x(t) キャリヤ発信器 キャリヤ発信器 Sin(2πfct) LPF 受信側 y(t) 千葉大学 10- 4 ディジタル信号処理による伝送処理 x(t) LPF Cos(2πfct) Cos(2πfct) キャリヤ発信器 キャリヤ発信器 Sin(2πfct) x(t) 伝送路 90度移相器 g(t) 90度移相器 Sin(2πfct) y(t) LPF 受信側 送信側 ディジタル演算で 処理を行う y(t) D/A変換 伝送路 A/D変換 ディジタル演算で 処理を行う アナログ信号 伝送装置:実はD/A変換、A/D変換のついたコンピューターのようなもの 千葉大学 10- 5 ディジタル信号処理の基本(のひとつ):z変換 あるサンプル信号列を xn とする。サンプル間隔 を T デルタ関数を用いて、 x(t ) xn (t n 0 X(f ) x(t )e j 2ft n dt xn (t )e j 2ft dt 2 fm n 0 xn (t )e n 0 n ) と表せる。 x(t )のフーリエ変換は、 2 fm j 2f ( t n ) 2 fm ( t t dt (t )e j 2ft dt xn e 1 とする。 2 fm n ) 2 fm j 2f n 2 fm n 0 復習:サンプル値列を時間に関する連続関数と見る時の手法 1 xn e 2 fm n 0 j 2 n f 2 fm (t ) , t 0 0, otherwise xn (t )dt t 1 ( T ) 2 fm n T=1/2fm x(t ) xn (t ) 2 fm n 0 積分ができるようになる fmは、信号xに含まれる最大周波数 千葉大学 10- 6 z変換 (前頁より) n j 2 f 1 j 2ft 2 fm x(t )のフーリエ変換は、 X ( f ) x(t )e dt xn e 2 fm n 0 さて、下記の Ckを計算すると、 fm Ck X ( f )e j 2 k f 2 fm fm j 2 f 1 1 2 fm e df f 2 fm fm 2 fm fm (n k ) 1 e 2 fm fm k fm nk nk fm (n k ) n j 2 f j 2 f j 2 f 1 1 2 fm 2 fm 2 fm df xn e e df xn e df 2 fm n 0 2 fm n 0 fm fm fm nk j 2 f 2 fm fm 1 即ち、 xn e 2 fm n 0 fm j 2 df nk f 2 fm fm fm 1 fm nk j 2 f 2 fm 1 e 2 fm j 2 n k 2 fm fm df xk なので、 j 2 fm X ( f )e fm nk 2 j 2 1 e e 2 fm j 2 n k 2 fm j 2 k f 2 fm nk 2 df xk となる。 0 千葉大学 10- 7 z変換 まとめると、以下の変 換対が得られる。 n j 2 f 1 2 fm xn e X ( f ) 2 fm n 0 n fm j 2 f 2 fm x X ( f )e df n fm 上記で、 z e j 1 f fm X ( z ) xn z , n n 0 dz 1 j j e df fm X ( f )は周期関数で、 xnは離散値であることに 注意。 1 f fm とおき、 X ( z ) 2 fm X ( f )とすると、 fm 1 n xn X ( z ) z df 2 fm fm j 1 fm 1 z なので、 df z dzとなる。 fm j また、 fが fmから fmへ変化するとき、 zは 1( e j )から 1( e j )まで虚数平面上の単位 円 を正方向に一回りする 。従って、 fm 1 1 n xn X ( z ) z df 2 fm fm 2 j n 1 X ( z ) z dz j pi pi/2 -pi -pi/2 0 z変換 ここまでをまとめた以 下の変換対を z変換対という。 n X ( z ) x z n n 0 1 n 1 xn X ( z ) z dz 2 j ところで、 千葉大学 10- 8 z変換 逆z変換 xnはサンプル値列である が、これを kサンプルだけ遅らせた 系列xm xn kの z変換は、 X m ( z ) xn k z n 0 n xl z l 0 n k l, n l k (l k ) xl z l z k X ( z ) z k となる。このことか l 0 ら、 z空間では信号の1サンプル分の遅延が z 1に対応していることが 分かる。 千葉大学 10- 9 各種変換の関係 t フーリエ級数 f 周波数領域では離散的 時間関数は周期的 t フーリエ変換 f 周波数領域でも連続 時間関数には周期はない 離散フーリエ変換 t 時間関数は離散的かつ周期的 Z変換 t 時間関数は離散的 f 周波数領域でも離散的かつ周期的 z 周波数領域(z領域)では連続で周期的 千葉大学 10- 10 ディジタル線形システム 入力信号 xn an cn Aan Aan +Bcn 線形システム 線形システム 線形システム yn 出力信号 bn dn のとき 線形システム 線形システム Abn Abn +Bdn A,B は定数、an, bn, cn, dnは標本値列 線形システムとは、重ねあわせが成り立つシステム (例えば、信号値の自乗が出力されるようなシステムは線形システムではない) 千葉大学 10- 11 (有限)インパルス応答 xn 線形システム yn m個の標本 線形システム 1 n 大きさ1のインパルス x0 ,x1,…xn-1=0 xn=1 xn+1 ,xn+2,…=0 n, n+1, n+2,…n+m-1 インパルス応答 y0 ,y1,y2,…yn-1=0 yn ,yn+1,…yn+m-1= 何らかの値 yn+m ,yn+m+1, …=0 千葉大学 10- 12 インパルス応答の重ね合わせ xnだけ値を 持ち、その 他は0 xn xnに対するイ インパルス応答 ンパルス応答 n xn+1だけ 値を持ち、 その他は0 + xn+1 インパルス応答 xn+1に対するイ ンパルス応答 n+1 xn+2だけ 値を持ち、 その他は0 + n+2 インパルス応答 ンパルス応答 xn+2 : 標本値列 (上記の和) xn+2に対するイ : 線形システム + : = 出力信号 (線形システムの定義から)線形システムは、その特性をインパルス応答で表すことができる 千葉大学 10- 13 インパルス応答の重ね合わせ システムのインパルス 応答を h0 , h1 ,...hm 1 , 入力信号をxn , 出力信号をynとすると、 y0 h0 x0 y1 h1 x0 h0 x1 y2 h2 x0 h1 x1 h0 x2 : ym 1 hm 1 x0 hm 2 x1 ... h1 xm 2 h0 xm 1 ym hm 1 x1 hm 2 x2 ... h1 xm 1 h0 xm この形の積和計算を 「畳み込み」という ym 1 hm 1 x2 hm 2 x3 ... h1 xm h0 xm 1 : m 1 yn hm 1 xn m hm 2 xn m 1 ... h1 xn 1 h0 xn hk xn k k 0 線形システムの出力信号は、入力信号とシステムのイン パルス応答の畳み込みで計算できる。 千葉大学 10- 14 畳み込みのz変換 X ( z ) xn z n , Y ( z ) yn z n , H ( z ) hn z n , とすると、 n n n X ( z ) H ( z ) ( x0 x1 z 1 x2 z 2 .... xn z n ....)(h0 h1 z 1 h2 z 2 .... hm 1 z m 1 ) x0 h0 x0 h1 z 1 x0 h2 z 2 .... x0 hm 1 z m 1 x1h0 z 1 x1h1 z 2 x1h2 z 3 .... x1hm 1 z m x2 h0 z 2 x2 h1 z 3 x2 h2 z 4 .... x2 hm 1 z m 1 : xn m 1hm 1 z n z-n の項をまとめる : xn 2 h0 z n 2 xn 2 h1 z n 1 xn 2 h2 z n .... xn 2 hm 1 z n m 3 xn 1h0 z n 1 xn 1h1 z n xn 1h2 z n 1.... xn 1hm 1 z n m 2 xn h0 z n xn h1 z n 1 xn h2 z n 2 .... xn hm 1 z n m 1 : n m 1 h x k 0 k nk z n yn z n Y ( z ) n 千葉大学 10- 15 線形システムの入出力の関係 xn yn 線形システム 1 大きさ1のインパルス h0,h1,h2,…,hm-1 m 1 yn hk xn k システムの出力信号は 、入力信号と k 0 システムのインパルス 応答の畳み込みで表さ れる。 X ( z ) xn z n , Y ( z ) yn z n , H ( z ) hn z n , とすると、 n Y ( z) X ( z)H ( z) n n z領域では、畳み込みは 積になる。 千葉大学 10- 16 線形システムの周波数応答 入力信号を周波数 f の複素サイン波、 xn e ze j 1 f fm Y ( z) X ( z)H ( z) e j 2 n 0 1 f fm Y (e j H (e ) H (e 1 f fm n f 2 fm とする。 であるので、 j j 2 j 1 f fm n f 2 fm z n H ( z ) e j 2 n f 2 fm j 2 e n f 2 fm H ( z) H ( z) n 0 ) を得る。即ち、システ ムの周波数特性は、 )で与えられる。 離散系で周波数領域での設計を行いたいときは、z変換が便利。それは、 z領域では、システムの特性が掛け算で表されるから(前頁)。 線形システム1 H1(z) 線形システム2 H2(z) = 合成線形システム H(z)=H1(z) H2(z) 千葉大学 10- 17 ディジタルフィルタの設計 • 一般的に用いられるフィルタは、以下の通り – 低域通過フィルタ(LPF) – 高域通過フィルタ(HPF) – 帯域通過フィルタ(BPF) – 帯域阻止フィルタ(BEF) fc fc1 fc HPF fc1 fc2 fc2 f f f f LPF 振幅 振幅 振幅 振幅 BPF BEF 千葉大学 10- 18 ディジタルフィルタ実現の要素 4 y n a n xn k k 0 xn Z-1 Z-1 a Z-1 1サンプル時間の遅延 定数倍 (乗算器) (メモリに相当) Z-1 加算(加算器) Z-1 a4 a3 a2 a1 a0 畳み込み計算をハードウェアで実現するときの例 yn 千葉大学 10- 19 有限インパルス応答を持つシステムによるLPF設計 周波数領域での所望の特性をH(f) とすると、そのインパルス応答は、 H(f) の逆フーリエ変換で表される。LPFの場合は、以下のようになる。 1, H( f ) 0, f cn f f cn f f cn j 2ft f cn e h(t ) e j 2ft df j 2t f cn n sin(2f cn ) 2 fm hn , n 2 fm f cn e j 2f cnt e j 2f cnt sin(2f cnt ) j 2t t 標本化したインパルス 応答 通過帯域をfc、サンプリング周波数をfsとすると、正規化されたカットオフ 周波数fcnは、fcn=fc/(fs/2)=2fc/fsとなる。 インパルスは無限に続くが、窓関数をかけた後、適宜打ち切る。 ハニング窓を適用。タップ数121。LPF適用の例。(filter_wave.py) 千葉大学 10- 20 無限インパルス応答を持つシステム Sec = k= b1 = b2 = a0 = a1 = a2 = 2 1.761357052297812e-02 -1.323580935213300e+00 5.122725454736700e-01 1.821866103905567e+00 8.078787271241630e-01 1.821866103905567e+00 k= b1 = b2 = a0 = a1 = a2 = 1.000000000000000e+00 -1.376862841003691e+00 8.504565141695815e-01 1.075818447198837e+00 -1.075682460775599e+00 1.075818447198837e+00 フィルタの種類 : LPF フィルタの特性 : エリプティック フィルタの次数 : 4 セクション数 : 2 サンプリング周波数 : 44100 [Hz] パスバンド周波数 : 5000 [Hz] ストップバンド周波数 : 7000 [Hz] パスバンド端減衰量 : 0.5 [dB] ストップバンド端減衰量 : 35 [dB] 石川高専 山田洋士 研究室ホームページ Digital Filter Design Servicesより 千葉大学 10- 21 電話線(加入者線)の特性(前回の講義より) 出展: http://www.orixrentec.co.jp/t msite/know/know_adsl50.ht ml 出展: http://www.ese.yamanashi. ac.jp/~itoyo/lecture/networ k/network08/index08.htm 4Kmの線路の場合。 (山梨大学伊藤洋先生の ページより) 千葉大学 10- 22 波形のくずれ 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0.5 1 1.5 2 + 0.5 1 1.5 2 + 0.5 1 1.5 2 = 0.5 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 1 1.5 2 1 伝送路の周波数特性 f 0 2 4 6 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 0.5 1 1.5 2 + 0.5 1 1.5 2 + 0.5 1 1.5 2 = 0.5 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 1 1.5 2 波形が崩れている 千葉大学 10- 23 伝送のモデル 元信号をxn , 伝送路を線形システム とみなしたときの インパルス応答を hn , 伝送路上で信号に付加された 雑音nnとすると、受信信号 ynは yn hk xn k nn k 0 と表すことができる。 加法性雑音 伝送装置 (送信側) xn 伝送路 (線形システムとみなす) インパルス応答 hn nn yn 伝送装置 (受信側) 千葉大学 10- 24 等化 加法性雑音 xn 伝送路 (線形システムとみなす) インパルス応答 hn nn yn 等化器 インパルス応答 xnの推定値を x nを以下のように置くこ xn ck とにする。 m 1 x n ck y n k k 0 ここで、評価関数 E ( x n xn ) 2を最小にするような n 求めれば、伝送路の影 響を補正することがで きる。 ckを 千葉大学 10- 25 適応アルゴリズム:最急降下法 あるパラメータ c1、c2があり、ある評価関数Eはc1とc2の関数、即ち E(c1,c2) と表される。ここで、c1とc2を徐々に変化させて、 E(c1,c2)が最小となるように c1とc2を調整したい。 c2 E(c1,c2)の等高線 低い c1とc2の第2回調整後 c1とc2の第一回調整後 初期値 c1 ここで、 E (c1, c 2)で表されるおわん型の 最大傾斜方向は、 E (c1, c 2) E (c1, c 2) , )というベクトルで与え られる。そこで、 c1 c 2 E (c1, c 2) E (c1, c 2) c1を c1 , c2を c 2 と修正すれば、 E (c1, c 2) c1 c 2 の値を小さくすること ができる (をうまい値にとること が必要)。 ( 千葉大学 10- 26 最急降下法の具体的なアルゴリズム(自乗誤差評価) m 1 yn hk xn k nn , k 0 l 1 x n ck yn k , en x n xn k 0 E en ( x n xn ) , 2 n 2 自乗誤差評価 n E xn 2 ( x n xn ) 2 en yn k ck ck n n 普通は未知 xn 加法性雑音 伝送路 (線形システムとみなす) インパルス応答 hn 未知 未知 nn yn xn 等化器 インパルス応答 ck 千葉大学 10- 27 最急降下法の具体的なアルゴリズム 未知 普通は未知 xn 加法性雑音 hn 未知 nn ck yn 伝送路 (線形システムとみなす) 等化器 トレーニングシーケンス en x n xn E en Ckを適宜決める 最初に、規定のxnを送る 2 n E 2 en yn k ck n E ck ck ck xn ckを最急降下 法で修正する ynとckからxnを計算 xnが既知なので、enが計算できる NO Eは十分小さいか? YES 最適なCkが定まる(トレーニング終了) 千葉大学 10- 28 最急降下法の具体的なアルゴリズム 未知 普通は未知 xn 加法性雑音 hn 未知 nn yn 伝送路 (線形システムとみなす) E en ck 等化器 xn 通常シーケンス 2 n E 2 en yn k ck n E ck ck ck この方法で、伝送路の特性が少々変化 しても常に最適なckを得ることができる。 次の信号を受信する xn=xnとしてenを計算 Ckを最急降下法で修正する YES Eは十分小さいか? NO トレーニングをやり直し 千葉大学 10- 29 等化の実験(トレーニング部のみ) xn hn 伝送路 (線形システムとみなす) nn yn ck 等化器 xn xnを-1から1の一様ランダムな数とする。データ数32768。 hnを[0.05, 0.05, 0.15, 0.5, 0.15, 0.05, 0.05]とする。 nnを-0.03から0.03までの一様なランダムの数とする。 ckのタップ数9、初期値[0,0,0,0,1,0,0,0,0]とする。 ファイル名は、equalization.pyです。 千葉大学 10- 30 等化の実験 評価関数の値(受信信号の評価関数と等化信号の評価関数の比) 1 'eql_4.dat' 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 20 40 60 80 100 繰り返し回数 繰り返し計算をすることで、評価関数の値がさがる。 千葉大学 10- 31 等化の実験 110 'rnd_org.dat' 'rnd_rcv.dat' 'rnd_eql.dat' 100 90 入力信号(Xn) 80 70 60 等化出力(Xn) 50 40 30 受信信号(Yn) 20 10 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 周波数スペクトル ・入力信号は「一様ランダム信号」であるため、ほぼフラットな周波数特性を持つ ・受信信号は、高域でかなり減衰を受けている ・等化後の信号は、低域から中域へは補正がうまく聞いているが、高域の補正は いまひとつである。これは、加えた雑音の影響であろう(雑音の大きさを変えるな どして実験すれば明確になる)。 千葉大学 10- 32 伝送におけるディジタル信号処理 • 本講義では、ディジタル伝送に用いられている ディジタル信号処理について学習した • 身近で高度なディジタル信号処理が使われてい る領域は、以下のとおり – ADSLなどの加入者電話線での高速ディジタル伝送 – CATVなどでの高速ディジタル伝送 – 携帯端末での高速ディジタル伝送 – iPodなどのMP3機器 • 「DSP」というディジタル信号処理に適したLSIを 利用してこれらを実現する場合もある
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