信号検出理論 - Sampei Lab.

適応信号処理技術
１．信号推定・判定の基礎
時系列信号
• 時系列とは
– 不規則に変動する物理過程の観測値を時間の
順に並べたもの
• 時系列の処理
– 予測
• 時系列における過去の観測値から将来の値を推定す
ること
– 推定
• 雑音に乱された受信信号系列から，その中に含まれ
る意味のある信号を抽出すること（フィルタリング）
– 波形の推定
– 送信データの推定（判定）
推定と判定
• 信号の推定（アナログ／ディジタル通信共通）
– 雑音に埋もれた信号の検出
– ひずみを受けた信号の補償
– Wienerフィルタ，Kalmanフィルタ
• 信号の判定（ディジタル通信固有）
– M源情報源（M個のシンボルで構成される情報源）
の判定
– ベイズの理論，最尤推定，MAP推定
線形自乗推定に基づく信号の推定
• 推定理論に適用されるシステム方程式が線形
• 雑音は白色・ガウス雑音
– 白色：電力スペクトル密度が一様
• 時系列データの変化の速度に関する規定
• 変動幅に関する情報は含まれない
– ガウス：電圧変動の確率密度関数がガウス分布
• 時系列データの変動幅に関する規定
• 時系列データの変化の速度に関する情報は含まれない
• 広義定常（平均と相関関数が時刻に無関係）
• 最小二乗規範
– 推定誤差の分散を最小化
最小自乗推定に基づく信号推定
【フィルタリング】
雑音 n(t)
信号 s(t)
＋
受信信号 y(t)
^
適応推定値 s(t)
フィルタ
推定誤差 e(t)
+
＋
-
参照信号（理想的にはs(t)）
【補償】
信号
s(t)
雑音 n(t)
ひずみ
の発生
（伝搬路）
h(t)
＋
受信信号 y(t)
^
ひずみ補償器推定値 s(t)
（フィルタ）
^
推定誤差 e(t)
h(t)
ひずみの推定
（伝搬路推定）
+
＋
-
参照信号
（理想的にはs(t)）
２．ベースバンド信号の取り扱い
について
複素信号表示（１）
ー送信信号（数式表現）ー
変調された信号：
sT (t )  A(t ) cos(2f c t   (t ))
 A(t ) cos (t ) cos 2f c t  A(t ) sin (t ) sin 2f c t
 z I (t ) cos 2f c t  zQ (t ) sin 2f c t
z(t )  z I (t )  j  zQ (t )
z (t )e j 2f ct  ( z I (t )  j  zQ (t ))(cos2f c t  j  sin 2f c t )
 ( z I (t ) cos 2f c t  zQ (t ) sin 2f c t )
 j  ( zQ (t ) cos 2f c t  z I (t ) sin 2f c t )
sT (t )  Re[z(t )e j 2f ct ]
複素信号表示（２）
ー送信信号（回路表現）ー
複素
送信信号
z(t)
z(t )e
j 2f ct
実際の送信信号
Re[ ]
sT (t )  Re[z(t )e j 2f ct ]
e j 2f c t
複素モデル
回路
zI(t)
sT (t )  z I (t ) cos 2f ct  zQ (t ) sin2f ct
cos 2f c t
/2
 sin 2f c t
zQ(t)
+
複素信号表示（３）
ー復調（回路表現）ー
z(t )e j 2f ct
複素
受信信号
z (t )
複素モデル
e  j 2f ct
回路
sT (t )
 z I (t ) cos 2f c t  zQ (t ) sin 2f c t
cos 2f c t
LPF
zI(t)
LPF
zQ(t)
/2
 sin 2f c t
等価低域系表現（信号波形）
a(t )  Re[u(t )e
j 2f ct

1
]  u(t )e j 2f ct  u* (t )e  j 2f ct
2

（フーリエ変換）
1 
A( f )   [u (t )e j 2f ct  u * (t )e  j 2f ct ]e  j 2ft dt
2 
1 
1  *
 j 2 ( f  f c ) t
  u (t )e
dt   u (t )e j 2 (  f  f c ) t dt
2 
2 
*
1 
1 
 j 2 ( f  f c ) t
 j 2 (  f  f c ) t
  u (t )e
dt   u (t )e
dt

2 
2  
1
1 *
 U ( f  f c )  U ( f  f c )
2
2
U(f)
A(f)
(1/2)U*(-f-fc)
(1/2)U(f-fc)
f
-fc
fc
f
等価低域系表現（伝送路特性）（１）
B(f)=U(f)H(f)
A(f) (1/2)B (f-f )
(1/2)B*(-f-fc)
c
=(1/2)U (f-fc)H (f-fc)
=(1/2)U*(-f-fc)H*(-f-fc)
f
-fc
1
1
A( f )  U ( f  f c )  U * ( f  f c )
2
2*
G( f )  H ( f  f c )  H (  f  f c ) ？


1
U ( f  f c )  U * ( f  f c ) H ( f  f c )  H * ( f  f c )
2
1
1
 U ( f  f c ) H ( f  f c )  U * ( f  f c ) H * ( f  f c )
2
2
1
1
 U ( f  f c ) H * ( f  f c )  U * ( f  f c ) H ( f  f c )
2
2
1
1
 U ( f  f c ) H ( f  f c )  U * ( f  f c ) H * ( f  f c )
2
2
A( f )G ( f ) 
f
fc

ゼロ
等価低域系表現（伝送路特性）（２）
G ( f )  H ( f  f c )  H * ( f  f c )


h(t )e  j 2 ( f  f c )t dt  








  h(t )e



h(t )e

 j 2 ( f  f c )t
j 2f c t
dt 
 h (t )e
*


h(t )e  j 2 (  f  f c )t dt




h* (t )e j 2 (  f  f c )t dt
 j 2f c t

*
e
 j 2ft
g (t )  2 Re h(t )e j 2f ct
dt 






2 Re h(t )e j 2f c t e  j 2ft dt
G( f )
G(f)
H(f)
H*(-f-fc)
f
-fc
H(f-fc)
fc
f
帯域系と等価低域系の関係
a(t )  Re[u(t )e j 2f ct ]
g (t )

 2 Re h(t )e j 2f ct

A( f )
 (1 / 2)U ( f  f c )
 (1 / 2)U * ( f  f c )
G( f )  H ( f  f c )
 H * ( f  f c )
q(t )  Re[v(t )e j 2f ct ]
Q( f )
 G ( f ) A( f )
1
1
 V ( f  f c )  V * ( f  f c )
2
2
【帯域系】
【等価低域系】
u (t )
h (t )
v(t )  h(t )  u (t )
V ( f )  H ( f )U ( f )
U( f )
H( f )
３．線形フィルタ理論
（アナログフィルタ）
線形フィルタ理論（アナログ表記）(1)
ーモデルー
s(t) + n(t)
h(t)
^
s(t)
y (t )  s(t )  n(t )
sˆ(t ) 



h(t   ) y( )d 



h( ) y(t   )d
【平均自乗誤差】
E[e 2 (t )]

2
 E ( s (t )  sˆ(t ))  E  s (t ) 



  
 E s (t )  2
2
 Rs (0)  2






h( ) y (t   )d 




h( ) E s (t ) y (t   )d 
h( ) Rsy ( )d 

 

 

 

 
2


h( )h(u ) E  y (t   ) y (t  u )ddu
h( )h(u ) R yy (u   )ddu
最小化
線形フィルタ理論（アナログ表記）(2)
ー直交原理（自乗平均誤差の最小化）ー
s(t)
e(t) =s(t)-ay(t)
a.y(t)
y(t)
【問題】 y(t)からs(t)を推定する
【手法】 y(t)をa倍してs(t)に近づける（aの最適化）
【判定基準】 |e(t)|2を最小化
|e(t)|2が最小となるのはay(t)とe(t)が直交する場合



y(t )e(t )dt 




y(t )[s(t )  aopt y(t )]dt 0
aopt   y(t )s(t )dt




2
y (t )dt
線形フィルタ理論（アナログ表記）(3)
ー最適線形フィルタの算出ー

2
2
E[e (t )]  E (s(t )  sˆ(t ))  E  s(t ) 




h( ) y(t   )d 




2
 の最小化

上式ではすべてのy(a) （-∞<a<∞）の値を活用してs(t)を推定
y(t-a)とe(t)が直交化

E[ y (t  a ) s (t ) 


h( ) y (t   )d ]  0




Wiener-Hopfの方程式
Rsy (a ) 



h( ) R yy (a   )d
線形フィルタ理論（アナログ表記）(4)
ー因果律ー
【因果律】
回路の出力は，信号が入力された後でないと発生しない
（負のインパルス応答は物理的にありえない）
h(t)
h(t)
+
遅延
（t0）
=
t
0
応答は
理論上
有限時間
（因果律は満足されない）
0
t0
t
現実
（因果律は満足される）
線形フィルタ理論（アナログ表記）(５)
ーWiener-Hopfの方程式の解ー
Rsy (a ) 



h( ) R yy (a   )d
y (t )  s(t )  n(t )
Rsy (a )  Ey(t  a )s(t )  E[s(t  a )s(t )]  E[n(t  a )s(t )]  Rs (a )
R yy (a )  E  y (t  a ) y (t )  E[s (t  a )  n(t  a ) ( s (t )  n(t ))]
 E[ s (t  a ) s (t )]  E[ s (t  a )n(t )]  E[n(t  a ) s (t )]  E[n(t  a )n(t )]
 Rs (a )  Rn (a )
S sy ( f )  H ( f )S y ( f )
Ss ( f )
Ss ( f )  Sn ( f )
Ss ( f )
1
H( f ) 

Ss ( f )  Sn ( f ) 1  Sn ( f ) Ss ( f )
４．ウィーナフィルタのディジタル
フィルタへの展開
線形フィルタ理論（ディジタル表記）（１）
ーディジタルフィルタの応答ー
時刻
入力
t=0
t = Dt
t = 2Dt
.
.
.
t = kDt
x(0)Dt
x(Dt)Dt
x(2Dt)Dt
.
.
.
x(kDt)Dt
（アナログフィルタ）
Dt→0, kDt→


y (t ) 




x( )h(t   )d
出力
.
.
.
t
x(kDt)Dt
x(kDt)Dth(t-kDt)
kDt
（ディジタルフィルタ）
t
h((n-k))
Dt=T, t = nT,

y(nT ) 
 x(kT )h((n  k ))T
k  
h( ) x(t   )d
x(t)
x(0)Dth(t)
x(Dt)Dth(t-Dt)
x(2Dt)Dth(t-2Dt)
yn 
x h
k nk
k  


h x
k nk
k  
kDt
t
線形フィルタ理論（ディジタル表記）（２）
ーディジタルフィルタの構成ー
・インパルス応答の応答時間を有限とする
・遅延を許容して負のインパルス応答を実現する
xn+N
h-N
xn+N-1
T
xn+1
T
h-N+1
h-1
フィルタ外
の現在
T
xn
h0
T
h1
+
xn-1
xn-(N-1)
T
hN-1
hN
x
Tap Vector
フィルタ遅延
が計算可能
N
yn 
xn-N Data Vector
n l hl
l  N
未来
現在
過去
(フィルタ内の時計）
線形フィルタ理論（ディジタル表記）（３）
ーディジタルフィルタのベクトル表記ー
Data Vector
x n  [ xn N , xn N 1 , ....., xn1 , xn , xn1 , ......, xn N ]T
Tap Vector
h n  [h N , h N 1 , ....., h1 , h0 , x1 , ......, xN ]T
フィルタ出力
y n  h T x n  xT h n
xn
フィルタ
hn
yn
線形フィルタ理論（ディジタル表記）（４）
ー適応フィルター
y n  s n  wn フィルタ
h
（最適フィルタ？）
sˆn  N
y n  [ yn N , yn N 1 , ....., yn1 , yn , yn1 , ......, yn N ]T
h n  [h N , h N 1 , ....., h1 , h0 , x1 , ......, xN ]T
sˆn  hTn y n
T
推定誤差 en  sn  sˆn  sn  h n y n
フィルタ出力
|e|2が最小となるようにhを設定
線形フィルタ理論（ディジタル表記）（５）
ー最適タップ利得の導出ー
  E[| en |2 ]  E[| sn  sˆn |2 ]  E[| sn  hTn y n |2 ]
 E[| sn |2 ]  hTn E[ sn* y n ]  E[ sn y nH ]h*n  hTn E[y n y nH ]h*n
 E[| sn |2 ]  hTn b n  b nH h*n  hTn R n h*n
R n  E[y n y nH ]
bn  E[sn*y n ]
h n  h opt
n  Dh とすると
T
T
T*
opt *
*
opt T
T
opt *
*
  E[| sn |2 ]  ((h opt
n )  Dh )b n  b n ((h n )  Dh )  ((h n )  Dh ) R n ((h n )  Dh )
T
T*
opt *
opt T
opt *
 E[| sn |2 ]  (h opt
n ) b n  b n (h n )  (h n ) R n (h n )
min
*
opt T
T*
T *
T
*
 DhT (R n (h opt
)

b
)

((
h
)
R

b
)(
D
h
)

D
h
R
D
h
n
n
n
n
n
n
*
R n (h opt
n )  bn  0
T
(h opt
n )
R n  bTn *
0
Non-negative
*
1
(h opt
)

R
n
n bn
線形フィルタ理論（ディジタル表記）（６）
ー適応フィルタアルゴリズム（最終形態）ー
y n  s n  wn フィルタ
h
（最適フィルタ？）
sˆn  N
y n  [ yn N , yn N 1 , ....., yn1 , yn , yn1 , ......, yn N ]T
h n  [h N , h N 1 , ....., h1 , h0 , h1 , ......, hN ]T
T
sˆn  (h opt
)
yn
n
*
1
(h opt
)

R
n
n bn
T*
opt H
sˆn  (h opt
)
y

(
h
n
n
n ) yn
1
h opt

R
n
n bn
ディジタル型Wiener-Hopfの方程式
５．広帯域伝送における周波数
選択性フェージングの影響
マルチパス伝搬路
反射
反射
基地局
回折
散乱
遅延波の影響
送信波形
1
0
1
1
時刻
遅延時間が
0.1ビット長の場合
直接波
遅延波
合成波
遅延時間が
１ビット長の場合
時刻
時刻
時刻
直接波
遅延波
合成波
時刻
時刻
時刻
周波数選択性フェージング伝送路モデル
ー送信機ー
送信シン
送信ベース
ボル系列送信フィルタバンド信号
cT(t)
z (t )
a (t )
送信信号
sT (t )  Re[z(t )e j 2f ct ]
e j 2f c t

a(t ) 
 a  (t  kT )
k
s
k  
z (t )  cT (t )  a(t )  a(t )  cT (t ) 


a 
k
k  




  a  (  kT )c

k
s
T (t
k  
 (  kTs )cT (t   )d 

a c
k T
k  
(t  kTs )
  )d
周波数選択性フェージング伝送路モデル
ー伝搬路ー
送信信号
伝搬路
cc (t )  2 Re[cB (t )e j 2f ct ]
sT (t )  Re[z(t )e j 2f ct ]
受信信号
sR (t )  Re[ z1 (t )e j 2f ct ]
等価低域系における処理により
z1 (t )  cB (t )  z (t )  (cB (t )  cT (t ))  a(t )
送信フィルタと伝搬路の
合成インパルス応答
周波数選択性フェージング伝送路モデル
ー受信機ー
受信信号
sR (t )  Re[ z1 (t )e j 2f ct ]
e
y1 (t )  z1 (t )e j 2fct e
受信ベース
y1(t) 受信フィルタバンド信号
cR(t)
y(t)
 j 2 ( f c  f off )t  j (t )
 j 2 ( f c  f off )t  j (t )
y (t )  z1 (t )  c R (t )e
 z1 (t )e
 j 2f off t  j (t )
 j 2f off t  j (t )
 (cT (t )  c B (t )  a(t ))  c R (t )e
 (cT (t )  (c B (t )e
 j 2f off t  j (t )
 j 2f off t  j (t )
)  c R (t ))  a(t ))
cT (t )  c g (t )  cR (t )
 (cT (t )  c g (t )  c R (t ))  a(t ))  c(t )  a(t )
周波数選択性フェージング下の伝送路モデル
a(t) 送信フィルタ
cT(t)
受信フィルタ y(t)
cR(t)
伝搬路
cB(t)
e
y (t )  c(t )  a(t )  a(t )  c(t ) 


a 
k
k  



 j 2 ( f c  f off )t  j (t )

  a  (  kT )c(t   )d

k
s
k  
 (  kTs )c(t   )d 

 a c(t  kT )
k
s
k  
総合インパルス応答に含まれるもの
・送受信フィルタの特性（伝搬路特性の分解能を決定）
・伝搬路そのものの特性
・検波による位相ひずみ
等化器は全てのひずみを一括して補償する技術
６．判定帰還型等化器
判定帰還型等化器
等化フィルタ部
FF (Feed Forward)フィルタ
yn+N-1
yn+1
yn
yn+N
T
T
T
h N F
h N F 1
h-1
h0
FB (Feedback)フィルタ
an  N B 1
a n 1
an  N B
T
T
h1
hN B 1
hN B
..
.
+
タップ利
得制御部
誤差
推定部
0
sn 
l  N F
en  an  sn  an  h nH1y n 硬判定器
既知信号an
y
ân
an
n l hl

NB
a
l 1
n l hl
等化メカニズム（１）
伝搬路特性（直接波＞遅延波）
c(t )   (t )  (1 / 2) (t  Ts )
受信信号
yn  an  (1 / 2)an 1
0
Ts
h0のタップ
(h0 = 1)
h0 yn = yn = an + (1/2)an-1
0
h1のタップ
(h1 = -(1/2)) 0
Ts
Ts
h1an 1  (1 / 2)an 1
他のタップはゼロ
等化出力
s n  h0 y n  h1a n 1
 a n  (1 / 2)a n 1  (1 / 2)a n 1  a n
等化メカニズム（２）
伝搬路特性（直接波＜遅延波）
c(t )  (1/ 2) (t )
  (t  Ts )
0 Ts
h-1のタップ
(h-1 = 1)
h-2のタップ
(h-2 = -(1/2))
yn  (1 / 2)an  an 1
h-1 yn+1 = yn+1 = (1/2)an+1 + an
-Ts 0
-2Ts -Ts
h-3のタップ
(h-3 = (1/4)) -3Ts -2Ts
等化出力
受信信号
h 2 y n  2  (1 / 2) y n  2
 (1 / 4)a n  2  (1 / 2)a n 1
h3 y n  3  (1 / 4) y n  3
 (1 / 8)a n  3  (1 / 4)a n  2
s n  h1 y n 1  h 2 y n  2  h3 y n 3
 an  (1 / 8)an 3
等化メカニズム（３）
• 直接波が強い→遅延波をキャンセル
• 遅延波が強い→直接波を抑圧
• 等化後の信号レベルが高くなるようにタップ
利得を設定すると，パスダイバーシチ効果が
得られる
最適タップ利得は？
（線形自乗推定）
カルマンアルゴリズム
T
y

[
y
,
y
,
.....,
y
,
y
,
a
,
......,
a
]
タップデータ n
n N F
n N F 1
n1
n
n1
n N B
タップ利得 h n  [h NF , h NF 1, ....., h1, h0 , h1, ......, hNB ]T
h n  [0, 0, 0, ......, 0, 1, 0, ......., 0]T
P0  I
【初期化】
sn  h nH1y n
en  an  sn  an  h nH1y n
【出力と推定
誤差の計算】
k n  Pn1y n (y nH Pn1y n   ) 1
h n  h n 1  en*k n
Pn  (Pn1  k n y nH Pn1 ) / 
【タップ利得
の更新】
nの更新
カルマンアルゴリズムとWiner-Hopfの方程式の関係
カルマンアルゴリズムにおける逐次更新式を変形すると，以下
の関係が得られる（説明略）
D. Godard, “Channel Equalization using a Kalman Algorithm for
Fast Data Transmission,” IBM J. Res. Develop., Vol. 18, No. 3,
pp. 267-273, May 1974.
1


n i
H
Pn     y i y i 
 i 1

1
 n n i

k n  Pn y n /     y i y iH  y n
 i 1

n

: 忘却係数



n i
H
hn    yiyi 
 i 1

n

1
 n n i * 
  ai y i 
 i 1


Wiener-Hopfの方程式
判定帰還型等化器の特徴
• 任意の変調方式に適用可能
– 演算量が変調多値数にほとんど依存しない
• 判定値に誤りがあると特性が劣化
– FBタップで遅延波が増幅される
• 伝搬路変動への追随性はλに依存する
７．フレーム化された信号に対す
るディジタル信号処理
連続信号と離散信号の関係 (1)
【アナログ信号】
Frequency
Time
【時間波形の離散化】
サンプル
間隔：Ts
fs = 1/Ts
....
....
Frequency
Time
【スペクトルの離散化】
f0 = 1/T0
T0
Time
Frequency
連続信号と離散信号の関係 (2)
【時間波形とスペクトル両者の離散化】
....
時間窓
t
....
周波数窓
f
FFTが対象とする時間領域
FFTが対象とする周波数領域
ディジタル信号処理をする上での前提条件
【時間波形】
・処理対象の波形は時間窓で抽出された波形
・抽出された波形は時間窓を周期とする周期関数
【スペクトル】
・処理対象は周波数窓で抽出される波形
・スペクトルは離散スペクトル
・スペクトル間隔は時間窓の逆数
・スペクトルは周波数上で繰り返される波形
・スペクトルの繰り返し周期はサンプル間隔の逆数
Cyclic Prefixの意義
－CPがない場合－
Previous
frame
直接波
遅延波1
遅延波2
0 Ts 2Ts
1-frame
FFT window
直接波 a-2 a-1 a0 a1 a2 . . . . . . .
an-2 an-1
遅延波1 a-2 a-1 a0 a1 . . . . . . .
遅延波2 a-2 an-1 a0 . . . . . . .
an-3 an-2
an-4 an-3
この部分に周期性がない
1-time slot進むごとにフレーム信
号を再定義し，最適フィルタを構
成しなければならない
Cyclic Prefixの意義
－CPがある場合－
1-frame
cyclic
prefix
直接波
遅延波1
遅延波2
0 Ts 2Ts
FFT window
直接波 an-2 an-1 a0 a1 a2 . . . . . . .
an-2 an-1
遅延波1 an-2 an-1 a0 a1 . . . . . . .
遅延波2 an-2 an-1 a0 . . . . . . .
an-3 an-2
an-4 an-3
この部分は（a0, a1, …, an-1）で
構成される
周期関数と見なせる
離散スペクトル（FFT）
Cyclic Prefixの意義
－フレーム信号の表現－
1-frame
cyclic
prefix
h0
直接波 h
1
遅延波1 h2
遅延波2
FFT window
h0 an-2 an-1 a0 a1 a2 . . . . . . .
an-2 an-1 a0 a1 . . . . . . .
h1
an-2 an-1
an-2 an-1 a0 . . . . . . .
an-4 an-3
h2
an-3 an-2
0 Ts 2Ts
 y0   h0
 y   h
y 1  1

 

 
 yn 1   hN 1
hN 1
h0
hN  2
h1   a0 
h2   a1 
    h 0
 
 
h0   an 
h1
h n 1  a  Ha
巡回行列の性質 (1)
 y0   h0
 y   h
y 1  1

 

 
y
 n 1   hN 1
hN 1
h0
hN  2
h1   a0 
h2   a1 
    h 0
 
 
h0   an 
H
 h0 
 h 
h0   1 




h
 N 1 
 hN 1 
 h 
h1   0 




h
 N 2 
 h1 
h 
….. h N 1   2 
 
 
 h0 
h1
h n 1  a  Ha
巡回行列の性質 (2)
【フーリエ変換行列】
 (W 0 )0

1  (W 1 )0
F
N 
 N 1 0
(W )
(W 0 )1
(W 0 ) N 1
周波数0の成分抽出用行ベクトル
周波数(1/N)の成分抽出用行ベクトル
 周波数(N-1/N)の成分抽出用行ベクトル

2
j
(W 1 ) N 1 
, W  e N ディジタル信号処理における

基本
周波数は規格化周波数
N 1 1
N 1 N 1 
(W )
(W )  周波数
に相当
ここは本来のDFTでは1/Nとなるが，このあとDFT
行列をユニタリ行列として利用するため，この係数
 N 1 0 j 
のみ，本来のDFTと異なるものを用いている
  (W ) h j 
(W 1 )1
 (W 0 )0

1  (W 1 )0
Fh 0 
N 
 N 1 0
(W )
 (W 0 )0

1  (W 1 )0
Fh1 
N 
 N 1 0
(W )
(W 0 )1
(W 1 )1
(W N 1 )1
(W 0 )1
(W 1 )1
(W N 1 )1
 j 0

 0 
(W 0 ) N 1   h0 
N 1


1 j




(W 1 ) N 1   h1 
1   (W ) h j 
1  1 


j 0





N
N 







(W N 1 ) N 1   hN 1 
 N 1

 N 1 
 (W N 1 ) j h 
j
 

j 0
 (W 0 ) 0 
(W 0 ) N 1   hN 1 




1
(W 1 ) N 1   h0 
1  (W )1 




N 
 N 1



(
W
)

(W N 1 ) N 1   hN  2 
N 1 

巡回行列の性質 (3)
 0 


1  1 
Fh 0 

N 


 N 1 
 (W 0 ) 0 


1
1  (W )1 
Fh1 

N 
 N 1

(
W
)

N 1 

…..
 (W 0 ) N 1  0 


1 N 1
1  (W ) 1 
Fh N 1 

N 
 N 1 N 1

(
W
)

N 1 

周波数特性における直線位相を表している
FH  F[h 0 h1
H  h0 h1
h N 1 ]   Fh 0
Fh1
h N 1 
 0
W 00
2 
W 11
 1   1
H
FHF  

 N 

N 1
 N 1 W  N 1
 diag   0 1
 N 1   Ξ
 0
W 00

W 11
1  1
Fh N 1  
N 

N 1

W
 N 1
 N 1
(W 0 ) N 1  0   (W * )00

(W 1 ) N 1 1   (W * )01


(W N 1 ) N 1  N 1  (W * )0( N 1)
非対角成分は0となることに注意
(W * )10
(W * )11
(W * )1( N 1)
(W 0 ) N 1  0 

(W 1 ) N 1 1 


(W N 1 ) N 1  N 1 
(W * )( N 1)0 

(W * )( N 1)1 


(W * )( N 1)( N 1) 
巡回行列の性質 (4)
 0   H 0 

 

1  1   H1 
Fh 0 

 

N 

 


H
 N 1   N 1 
 0

FHF H  


0
1
まとめ
フーリエ変換（DFT）
0 

 Ξ


 N 1 
F ΞF  H
H
これはhの固有
値分解に相当
FF H  F H F  I N （INはN行N列の単位行列）
Fはユニタリ行列
巡回シフト行列の固有値はh0の周波数成分
巡回シフト行列の固有ベクトルはFFTベクトル
巡回シフト行列の意義
• 巡回シフト行列は，受信信号がフレーム単位
で周期信号であることに対応
– フレーム信号が仮想的に周期的に繰り返される
• スペクトルは離散スペクトルとなる
• 巡回シフト行列の固有値展開
– 固有値は伝搬路ベクトルの周波数成分
– DFT行列は固有ベクトルを並べたもの
ガードインターバルの付加と
シンボル単位のIFFT処理
【送信処理】
OFDM信号
の発生
0
Δf
2Δf
3Δf
4Δf
5Δf
Δf
Frequency
OFDM信号スペクトル
ＣＰ
の挿入
・一部を見れば
擬似周期波形
・全体を見れば
干渉のあるラ CP
ンダム波形
Δf
有効シンボル長
OFDMシンボル長
Frequency
CP挿入後のスペクトル
OFDM送信機基本構成
デ－タ
符号化
S/P
シンボル生成部
IFFT
CP
挿入部
フレーム化
直交
変調
...
シンボル
時間波形成分
Frequency
スペクトル
シンボル
時間波形成分
Frequency
スペクトル
Time
フレーム
時間波形
Frequency
スペクトル
送信信号処理の数式表現
デ－タ
符号化
S/P
シンボル生成部
IFFT
sf  u
CP
挿入部
フレーム化
直交
変調
s  FNH s f
T
送信されるベースバンドシンボル系列：u  [u (0), u (1),..., u ( N  1)]
OFDMでは，uの各成分が各サブキャリアにマッピングされるので，
送信信号系列が離散スペクトルそのものを示す
s u
f
IFFT後の信号は，サイズNのDFT行列をFNで表す時，
s  FNH s f で与えられる．
受信処理時のCPの効果（確認）
【受信処理】
CP
直接波
遅延波
1OFDMシン
ボルの切出し
FFT Window
FFT
処理単位
FFT Window内には，同一のシンボルからの波形のみ存在
・FFTではWindowサイズの時間波形が繰り返されていると仮定
- 周期波形とみなされる→線スペクトル化，サブチャネルの直交化
各サブチャネルの中央のチャネル利得のみで特性が決まる
OFDM受信機基本構成
デ－タ
P/S
FFT
CP
除去
フレーム
分解
直交
復調
...
シンボル
時間波形成分
Frequency
スペクトル
シンボル
時間波形成分
Frequency
スペクトル
Time
フレーム
時間波形
Frequency
スペクトル
シングルキャリア伝送の送信機構成と数式表現
データ
符号化
S/P
シンボル生成部
BSG
Cyclic
prefix
付加
フレーム化
直交
変調
u
T
送信されるベースバンドシンボル系列：u  [u (0), u (1),..., u ( N  1)]
s f  FN s
送信信号の時系列とスペクトル： s  u
送信される
Tx時系列 Txスペクトル
ベースバンド信号
シングルキャリア
u
su
s f  FN s
OFDM
u
s  FNH s f
sf  u
OFDMにおけるフェージング対策
Δf
Frequency
送信信号スペクトル
データ
復号
周波数
選択性
フェージング
チャネル
パイロットシンボル
を用いた補償方式
各サブチャネルの
振幅・位相歪補償
（flat fading 対策）
Frequency
Frequency
受信信号スペクトル
CP除去
FFT窓
の適用
Frequency
受信信号スペクトル
周波数領域等化の構成
送信機
データ
S/P
BSG
フレーム化
Cyclic
prefix
付加
直交
変調
受信機
データ
復号
周波数領域
等化
Cyclic
prefix
削除
直交
復調
FFT/IFFT
送信信号
1
xn 
Nc
N c 1
X
ke
j 2kn / N c
受信信号
伝搬路
L 1
h(t ) 

L 1
hl  (t   l )
l 0
k 0
rn 
h x
l n l
l 0
L 1
zn 
FFT/IFFT
Xk 
N c 1
x e
n
n 0
 j 2kn / N c
FFT/IFFT
L 1
Hk 
h e
l
l 0
 n  zn  n
 j 2k l / N c
h x
l n l
l 0
Rk  H k X k   k  Z k   k
Zk  Hk X k
周波数領域等化器の構成
受信信号
周波数領域
離散フィルタ
{Wk}
Rk  H k X k   k
 Zk  k
ウェイト
（最小自乗規範）
制御部
誤差推定部
en  xˆ n  xn
1

Nc
N c 1
 (W R
k
k 0
k
 X k )e j 2kn / N c
Xˆ k  Wk Rk
1
xˆ n 
Nc

1
Nc
N c 1

Xˆ k e j 2kn / N c

Wk Rk e j 2kn / N c
k 0
N c 1
k 0
最小自乗規範に基づくウェイと制御アルゴリズム（１）
受信信号： Rk  H k X k   k  Z k   k
等化後の波形： Xˆ k  Wk Rk
等化後の自乗平均誤差
 N c 1

2
E[| en | ]  2 E 
| Wk R k  X k | 
N c  k  0



W k*
Wk 

1

1
2
N c 1
 W W E[| R
N c2 k  0
*
k
k
k

|2 ]  Wk* E[ Rk* X k ]  Wk E[ Rk X k* ]  E[| X k |2 ]
E[| e n | 2 ]  W k E[| R k | 2 ]  E[ R k* X k ]  0
E[ Rk* X k ]
E[| Rk |2 ]
E[( H k* X k*   *k ) X k ]
E[( H k* X k*
  *k )( H k X k
  k )]

H k* E[| X k |2 ]
| H k | E[| X k | ]  E[|  k | ]
2
2
2

H k*
| H k |2 1 /  k
最小自乗規範に基づくウェイと制御アルゴリズム（２）
等化出力と等化誤差
【等化出力】
Z k  Wk Rk

H k*
| H k | 1 /  k
2
(H k X k   k ) 
| H k |2
| H k | 1 /  k
2
Xk 
H k* k
| H k |2 1 /  k
E[| Rk |2 ]  E[| X k |2 ](| H k |2 1/  k )
E[ Rk* X k ]  H k* E[| X k | 2 ]
E[ Rk X k* ]  H k E[| X k | 2 ]
【等化誤差】
E[| e n | 2 ]


1
N c2
1
N c2
N c 1


| H k |2
Hk
H k*
2
*
*
2

E
[|
R
|
]

E
[
R
X
]

E
[
R
X
]

E
[|
X
|
k
k k
k k
k
2
2
 (| H | 2 1 /  ) 2

|
H
|

1
/

|
H
|

1
/

k
k
k
k
k
k
k 0 


N c 1

1/  k
1
2
E
[|
X
|
]

k
2
Nc
k 0 | H k | 1 /  k
N c 1
| H
k 0
1/  k
| 1 /  k
2
k
E[| X k | 2 ]
1

Nc
Nc
N c 1
| H
k 0
1/  k
| 1 /  k
2
k
 sk2
８．ビタビ復号
畳込み符号化と系列推定
• 符号化
– 畳込み符号化によって隣接するビット系列に一定の関係付
けをすることにより，ビット系列に一定の拘束を与える
– ビット系列の拘束により，発生し得ない系列が発生する
– 発生し得ない系列の存在により，符号語間の距離が拡大さ
れる（符号化利得の発生）
• 系列推定
– ビット系列をトレリス図で表される状態遷移系列に置換える
– 状態遷移系列の拘束を，状態間の状態遷移の有無で表す
– 最尤系列に基づいて送信された系列を推定する
畳込み符号化とトレリス図
状態（n）
an
c1n
00
+
T
T
+
n – 1 an
0 = 00 0
1
1 = 01 0
1
2 = 10 0
1
3 = 11 0
1
n
00
10
00
10
01
11
01
11
0 = 00

11
11
01
3 = 11 10
1 = 01
10
01
00
2 = 10
an = 0
状態に合状態遷移図 an = 1
流するパ (n – 1)
n
スの入力 0 00
0
11 11
ビットは
1
 00 10 1 時系列
同じ値
2 01 01 2 の概念
の導入
2回0が続
3
くと状態0 3 10
に至る
トレリス図
状態（n-1）
cn2
(c1n, c2n)
00
11
11
00
10
01
01
10
時系列の
概念なし
ビット系列と状態遷移系列
終端用ビット
送信ビット系列an:
1
0
1
1
0
11
11
1
0
0
10
00
2
01
01
3
符号語系列:
(c1n, cn2)
状態遷移系列：
11
0
10
2
01 01
00
1
2
3
11
1
0
最尤系列推定の原理（１）
p ( y | a0 ) 
1
2 

e
( y  a0 ) 2
2 2
p( y | a1 ) 
1
2 

e
( y  a1 ) 2
2 2
y
a 0 y1 a 1
ML推定
存在し得る系列{cn} = {c1, c2, …, cN}, cn  {a1 , a0 }の中で
 1
p({ yn } | {cn })  
 2 



N N
e

( yi ci ) 2
2 2
i 1
が最大となる系列{cn}を推定するアルゴリズム
最尤系列推定の原理（２）
 1
p({ y n } | {cn })  
 2 
 1
 
 2 



N N

i 1



N N
e

( yi  ci ) 2
2 2
i 1
 yi2
exp  
 2 2


 ci2
 exp  

 2 2


ciに無関係
N

i 1
{yn}と{cn}の
相関計算に
相当
N

i 1

 exp  yi ci 
2

2




定数
 y i ci 
exp  2  が最大の系列{cn}を推定
 2 
Turbo符号との
yi ci が最大の系列{cn}を推定
比較のポイント
最尤系列推定の問題点とビタビアルゴリズム
• 最尤系列推定
– Nビットの系列を推定する場合，候補となる系列の数は，
2N通り
– 推定するべきビット数が多くなると非現実的な候補系列数
となる
• ビタビアルゴリズムの特徴
– 生残りパスの選択
• 生き残らないパスの計算を行わない
（１つの状態に至るパスを１つに絞る）
• パス履歴の更新（ある状態に至る経路は１通りなので，その状態
遷移系列と入力ビット系列は１対１に対応
– 終端処理
• 送信データ系列の最後の(K – 1)ビットを0とすることで，最終状態
を状態0に持っていく
ビタビアルゴリズム（事前準備）
終端ビットに対応
10
00
01
受信符号 11
語系列： 1.2, 0.6 -0.3, 0.1 -0.8, -0.9 -0.4, 0.6 -0.2, 0.2 0.2, -0.1
0
1
2
3
ビタビアルゴリズム（第1段）
受信符号
語系列：
0

0
J ( 0 )  0
1.2, 0.6
BR( 00 , 10 )  1.2  (1)  0.6  (1)
-1, -1
1
J ( 11 )  0
J ( 01 )  0
2
2
J ( 0 )
BR( 00 ,  10 )
 0  1.2  (1)  0.6  (1)
3
J ( 03 )  0
J (10 )  J ( 00 )  BR( 00 , 10 )  1.8
J (12 )  J ( 00 )  BR( 00 , 12 )  1.8
J ( 13 )  0
ビタビアルゴリズム（第2段）
J ( 20 )  J ( 10 )  BR( 10 ,  20 )
受信符号語
J (10 )  1.8
0
1
J ( 12 )  J ( 12 )  BR( 12 ,  12 )
J ( 11 )  0
 1.8  (0.3)  (0.1)  1.4
J ( 22 )  J ( 10 )  BR( 10 ,  22 )
2
J ( 12 )  1.8
3
 1.8  (0.3)  (1)  (0.1)  (1)
-0.3, 0.1  1.6
-1, -1
J ( 13 )  0
 1.8  (0.3)  (0.1)  2.0
J ( 23 )  J ( 12 )  BR( 12 ,  23 )
 1.8  (0.3)  (0.1)  2.2
ビタビアルゴリズム（第3段）
ー生残りパスの処理ー
受信符号語
0
-0.8, -0.9
A1 -1, -1
-1.6
1
1.4
2
3
-2.0
2.2
生残りパス
A1: J ( 30 )  J ( 20 )  BR( 20 , 30 )  0.1
0.1 A2:J ( 0 )  J ( 1 )  BR( 1 , 0 )  0.3
3
2
2
3
1
2
2
A3:J ( 3 )  J ( 2 )  BR( 2 , 31 )  1.9
J ( 31 )  J ( 23 )  BR( 22 ,  31 )  2.1
A4:
2.1
A5:J ( 32 )  J ( 20 )  BR( 20 , 32 )  3.3
A6: J ( 32 )  J ( 12 )  BR( 12 , 32 )  3.1
3.1 A7:J ( 3 )  J ( 2 )  BR( 2 , 3 )  2.1
3
2
2
3
A8: J ( 33 )  J ( 23 )  BR( 23 , 33 )  2.3
1, -1 A8 2.3
ビタビアルゴリズム（第4段）
受信符号語
生き残らない
0
1
2
3
0.1
2.1
3.1
2.3
-0.4, 0.6
B1 -1, -1
0
0
0
0
J
(

)

J
(

)

BR
(

,

)  0.1
B1:
4
3
3
4
2.3
B2: J ( 40 )  J ( 31 )  BR( 31 , 40 )  2.3
B3: J ( 14 )  J ( 32 )  BR( 32 , 14 )  2.1
3.3 B4: J ( 14 )  J ( 33 )  BR( 33 , 14 )  3.3
B5: J ( 42 )  J ( 30 )  BR( 30 , 42 )  0.3
B6: J ( 42 )  J ( 31 )  BR( 31 , 42 )  1.9
1.9 B7: J ( 3 )  J ( 2 )  BR( 2 , 3 )  4.1
4
3
3
4
B8: J ( 43 )  J ( 33 )  BR( 33 , 43 )  1.3
1, -1 B8 4.1
ビタビアルゴリズム（第5段）
受信符号語
0
1
2
3
-0.2, 0.2
C1 -1, -1
0
0
0
0
C1:
J
(

)

J
(

)

BR
(

,

)  2.3
5
4
4
5
2.3
3.3
C2: J ( 50 )  J ( 14 )  BR( 14 , 50 )  3.3
C3: J ( 51 )  J ( 42 )  BR( 42 , 51 )  1.5
3.3
4.5 C4: J ( 51 )  J ( 43 )  BR( 43 , 51 )  4.5
1.9
4.1
終端ビットなので0のみのパスを考えればよい
ビタビアルゴリズム（第6段）
受信符号語
0
1
0.2, -0.1
D1: -1, -1
3.3
D1: J ( 50 )  J ( 40 )  BR( 40 , 50 )  3.2
D2: J ( 60 )  J ( 51 )  BR( 51 , 60 )  4.6
4.5
2
3
終端ビットなので0のみのパスを考えればよい
ビタビアルゴリズム
ー最終判定ー
0
1
2
3
送信ビット 0 2 1 2 3 1 0
1 1 0 0
判定結果：
1 0
ビタビアルゴリズムの特徴
• 各時刻における各状態のメトリックは，ブラン
チメトリックの累積値
– 各ビットの尤度情報は蓄積されない
– 系列全体の推定のみを行っている
– （iterativeではないので各ビットの尤度情報は不
要）
• 事前情報が活用できない場合の最適推定と
なっている
９．ビタビ等化器
ビタビ復号とビタビ等化
• ビタビ復号
– 送信機側で畳み込み符号化（Modulo 2の演算での畳込
み）された符号語系列を,最尤復号するアルゴリズム
– トレリス図における各ブランチの出力は,当該ブランチの
遷移に伴って発生する符号語に相当
• ビタビ等化
– 伝搬路が周波数選択性フェージングと見なせる場合,その
特性は複素インパルス応答（複素遅延プロファイル）で規
程する
– 符号語系列が複素遅延プロファイルによってアナログ的
に畳込み積分されたと見なす
– トレリス図における各ブランチの出力は、当該ブランチの
遷移に伴って発生する受信信号の推定値に相当する
• ビタビ復号とビタビ等化の相違点
– 各ブランチの出力
– ブランチメトリックの演算
– その他は全く同じ
ビタビ等化におけるトレリス遷移図（BPSK)
暗黙で（1, 0）→（1, -1）と変換する
入力
s(kT)
T
T
h0
1
0 = 00
(-1, -1)
状態
+
yk
受信信号,受信信号のレプリカとも,
送信系列とh(t) の畳込みで計算
状態s’： ( xˆ k 1 , xˆ k  2 )
状態遷移k(s’,s)を発生
させる符号語ビット： x̂k
k–1
k
-1.75
1 = 01
(-1, 1)
h2
0.25
h1
0.5
yk
2 = 10
(1, -1)
3 = 11
(1, 1)
1.75
状態遷移k(s’,s)に伴う出力：
yˆ k ( ks '1 , xˆ k ) 
2
 h xˆ
l k l
l 0
ブランチメトリックとメトリックの計算
ーまとめー
0
k
J k ( k0 )
1
J k ( 1k )
2
3
k+1
BR( k0 ,  k21 )
J k 1 ( k21 )
BR( 1k ,  k21 )

s'
s'
s
J k 1 ( ks 1 )  smin
J
(

)

BR
(

,

k
k
k
k 1
'
s
 k  k 1

BR( ks' ,  ks1 )  ( yk 1  yˆ k 1 ( ks' , xk 1 )) 2
受信信号
受信信号のレプリカ
１０．MAP推定
MAP推定の基本
受信信号yが得られたとき，送信された確率の高いシンボルを
送信されたシンボルと判定する推定方式
H1
基本ルール： p(a1 | y ) >
< p ( a0 | y ) p ( ai | y )
H0
等価
p ( y | a1 ) p ( a1 ) H1
>
< 1
p ( y | a0 ) p ( a0 ) H0
Turboアルゴリズム
で最も重要な意味を
持つ項
p ( y | a1 ) H
1
>
< 1
p ( y | a0 ) H0
p ( y | ai ) p ( ai )

p( y )
ベイズの定理
p ( a1 )
1
p (a0 )
ML推定
MAP推定における事前確率の意義
• 復号処理が１回のみの場合
– 事前確率は未知なので，p(a1)/p(a0)=1と仮定せざ
るを得ない
– MAPとMLは等価
• 復号処理をiterativeにする場合
– 1回目の処理ではp(a1)/p(a0)=1
– 2回目以降では，前回の試行によってp(a1)/p(a0)
は1ではなくなる
– MAPに基づくiterative処理が有利
Turboアルゴリズムの根拠
MAP推定に基づく復号
ー１つの復号器における処理ー
 p(ak  1 | y ) 
L(a k | y )  ln
 LLR（Log Likelihood Ratio）
 p (a k  1 | y ) 
1
 p (a k  1, y ) / p (y ) 
 p (a k  1, y )  H
>
 ln
  ln
 < 0
 p (a k  1, y ) / p (y ) 
 p (a k  1, y )  H0
y ：全受信系列{y1, y2, …, yN}
akの情報をできるだけ
多くの受信シンボルに
拡散することが推定効
果を高める
全受信系列から
akを推定する
RSC (Recursive Systematic
Coding）の適用
=
無限に近いインパルス
応答を有する符号化
MAP推定のための符号化器
ーRSC符号化器ー
cn1 = an
an
+
bn+2
T b T
n+1
bn
+
cn2
bn  2  an  bn 1  bn
(an  bn  bn 1  bn  2 )
cn2
 bn  2  bn 
bn 
1
z  z 1
z2 1
z  z 1
2
2
an
an
インパルス応
答時間を長く
する効果
FIR型符号化器とRSC型符号化器
【FIR型】
【RSC型】 1
cn = an
c2n – 1
+
an
T
T
an
+
cn1
cn2
= (1+z-1 + z-2)an
= (1 + z-2)an
(n – 1)
0 00
11 11
1
 00 10
2 01 01
3
10
n
0
1
2
3
+
bn+2
c2n
状態に合
流するパ
スの入力
ビットは
同じ値
2回0が続
くと状態0
に至る
T b T
n+1
bn
+
cn2
(n – 1)
0 00
11 11
1 00 10
201 01
3
10
n
0
1
状態に合
流するパ
スの入力
ビットは
異なる値
2 2回0が続い
3 ても状態0
に至らない
LLRの式変形（１）
p(ak  1, y ) 
 p( s
k 1
 s' , sk  s, y ) について
( s 's )
ak 1
p( sk 1  s' , sk  s, y )  p( sk 1  s' , sk  s, y j  k , y k , y j  k )
 p(y j  k | sk 1  s' , sk  s, y j  k , y k ) p( sk 1  s' , sk  s, y j  k , y k )
 p(y j  k | sk  s) p( y k , s k  s | sk 1  s' , y j  k ) p( sk 1  s' , y j  k )
 p(y j  k | sk  s) p( y k , s k  s | sk 1  s' ) p( sk 1  s' , y j  k )
 k (s )
 k (s' , s)
a k 1 ( s ' )
a k 1 ( s' ) : 時刻k-1以前で受信系列がyj<kであり，それによって
時刻k-1において状態s’に至る確率
 k ( s' , s) : 時刻k-1の状態がs’の時，時刻kで状態sに遷移する確率
 k (s) :
時刻kの状態がsの時，それ以降の受信系列がyj>kである
確率
LLRの変形（２）
a, , の物理的解釈
0
1
2
0
1
2
3
....
a k 1 ( s ' )
 k (s' , s)
k–1 k k+1
N–1 N
s’
....
....
s
3
yj<k
[y1, y2, …, yk – 1]
....
yk
 k (s )
yj>k
[yk + 1, yk + 2, …, yN ]
LLRの変形（３）
ー基本式ー


p( sk 1  s' , sk  s, y ) 
 s ' s

 ak 1

 p(ak  1, y ) 
L(ak | y )  ln

  ln
p( s k 1  s' , s k  s, y ) 
 p(ak  1, y ) 

 s ' s

 ak  1


a k 1 ( s ' ) k ( s' , s)  k ( s) 
 s ' s

 ak 1

 ln

a k 1 ( s' ) k ( s ' , s)  k ( s) 

 s ' s

 ak  1




ak – 1 (s’), k(s’, s), k(s)をどのように求めるか？
逐次更新型へ
LLRの変形（４）
ak–1(s’)の計算
a k ( s)  p( sk  s, y j  k 1 )  p( sk  s, y j  k , y k )

 p( s
k
周辺確率
all s '

 p( s
 s, sk 1  s' , y j  k , y k )
k
 s, y k | sk 1  s' , y j  k ) p( sk 1  s' , y j  k )
k
 s, y k | sk 1  s' ) p( sk 1  s' , y j  k )
all s '

 p( s
all s '


all s '
k ( s ' , s )a k 1 ( s ' )
a k ( s) 
LLRの変形（５）
 k (s' , s)a k 1 (s' ) の具体的計算

all s '
2(0,0) 3(0,0)

(0,0)
1
0
a2(0)
a1(0)
a0(0)=1
1
2
3
a2(1)
a1(2)
a3(0)
a1(0)=a0(0)1(0,0)= 1(0,0)
a1(2)=a0(0)1(0,2)= 1(0,2)
a2(0)=a1(0)2(0,0)
a2(1)=a1(2)2(2,1)
a3(0)=a2(0)3(0,0)
+a2(1)3(1,0)
LLRの計算（６）
ーk(s)の計算ー
 k 1 ( s ' )  p(y j  k 1 | s k 1  s ' ) 
 p(y
j  k 1 , s k
all s

 p( y , y
k
j k , sk
 s | s k 1  s ' )
周辺確率
 s | s k 1  s ' )
all s

 p( y , y
k
j  k , s k 1
 s ' , s k  s ) / p ( s k 1  s ' )
all s '

 p( y
j k
| s k 1  s ' , s k  s, y k ) p ( s k 1  s ' , s k  s, y k ) / p ( s k 1  s ' )
j k
| s k  s ) p ( y k , s k  s | s k 1  s ' )
all s '

 p(y
all s '


all s '
k ( s ) k ( s ' , s )
 k 1 (s' ) 

LLRの計算（７）
 k (s) k (s' , s) の具体的計算
all s '
N-2(0,0) N-1(0,0) N(0,0)
0
N-2(0) N-1(0)
N-3(0)
1
2
3
N-1(1)
N-2(2)
N(0)=1
終端されてい
ることが条件
N-1(0)=N(0)N(0,0)
N-1(1)=N(0)N(1,0)
N-2(0)=N-1(0)N-1(0,0)
N-2(2)=N-1(1)N-1(2,1)
N-3(0)=N-2(0)N-2(0,0)
+N-2(2)N-2(0,2)
LLRの計算（８）
終端について
N–2
0
1
2
3
N
N-2の状態から終端用ビット
（2ビット）を決定する
(N – 2)の状態
終端ビット
0
00
1
10
2
11
3
01
１１．Turboアルゴリズム
LLRの計算（９）
ー(s’, s)の計算ー
 k ( s' , s)  p( y k , sk  s | sk 1  s' )  p( y k , sk 1  s' , sk  s) / p( sk 1  s' )
 p( y k | sk 1  s' , sk  s) p( sk 1  s' , sk  s) / p( sk 1  s' )
符号語
を表す  p( y k | sk 1  s' , sk  s) p( sk  s | sk 1  s' )
 p( y k | sk 1  s' , sk  s) p(ak )
事前確率
2
p( y k | sk 1  s' , sk  s) 
2


l 1


l 1
 y l  rcl
1
exp  k 2 k

2
2 

 1
 
 2 
2


1
 exp 
 2 2


 r
 C exp 2


2

l 1
p( y kl | ckl )

2
  1

  2 
 
rは受信包絡線レベル


1
 exp 
 2 2


2

 r2
l 2
( y k ) exp 

 2 2
l 1


2


 Lc
l l 
y k ck  C exp

 2


2

l 1
y kl ckl





2
l 1
y kl

l 2
 rck



2



1
l 2
l l 

(ck ) exp
 ( 2r )
y k ck

 2 2

l 1
l 1



2


MLのブランチ
メトリックと同じ
LLRの計算（１０）
ー(s’, s)の意義ー
p(ak)が不明の場合は
 k (s' , s)
p(a1)=p(a0)=1/2なので
 p (y | s k 1  s ' , s k  s ) p (a k ) p(ak)の乗積は無意味
（iterativeで意味を持つ）
a
k 1 ( s' ) k ( s' , s)  k ( s)
の意義は？
s 's
ak 1
k(s)
ブランチにおける遷移確率に加えて，
ak-1(s’)
1) その遷移に至る確率 a k 1 ( s ' )
2) そこから終端の状態に至る確率  k (s )
を掛算することで，その遷移が発生する確率を算出
符号の拘束が効いてくる（符号系列が意味を持つ）
LLRの計算（１１）
p(ak)の取扱い
Turbo符号の復号においては，すべてLLRの計算で一貫性
を持たせたい（と，多分考えたはず）
p(ak)をL(ak)で
表すには？
p(ak  1) 
p(ak  1) 
 p(ak  1) 
 p(ak  1) 




L(ak )  ln

ln

 1  p(a  1) 
p
(
a


1
)
k
k




e L ( ak )
1  e L ( ak )
1
1  e L ( ak )


e L ( ak ) / 2
1  e L ( ak )
e L ( ak ) / 2
1  e L ( ak )
e L ( ak ) / 2  Deak L ( ak ) / 2
e  L ( ak ) / 2  Deak L ( ak ) / 2
p(ak )  Deak L(ak ) / 2 p(ak)をL(ak)で表す式
LLRの計算のまとめ(1)
伝搬路特性の測定受信信号系列
Lc
y
ブランチ情報事前情報
ck l ak
L(ak)
 Lc
 ak L(ak ) 
 k (s' , s)  CD exp
 exp
 2
2



a k ( s) 

k ( s' , s)a k 1 (s' )
2

ykl ckl
l 1
 k 1 (s' ) 
  (s)
k
all s
all s '


a k 1 ( s' ) k ( s' , s)  k ( s) 
 s ' s

 ak 1

L(ak | y )  ln

a k 1 ( s' ) k ( s' , s)  k ( s) 

 s 's

 ak  1






k ( s' , s)
LLRの計算のまとめ(2)
ーLLRの分母と分子の計算ー
k0 – 1

k
k0 – 1

k
k–1
0
1
1
1
2
2
2
3
3
ak = 1による遷移
状態遷移図


a k 1 ( s' ) k ( s' , s)  k ( s) 
 s ' s

 ak 1

L(ak | y )  ln

a k 1 ( s' ) k ( s' , s)  k ( s) 

 s 's

 ak  1


k
3
ak = – 1による遷移
Turbo符号のための符号器構成
1
ck
Component
Encoder (1)
変調器へ
Interleaver
２つの系列
のパリティ
ビット間の
相関を低く
するため
ck2
Multiplexer
1‘
ck
Component
Encoder (2)
2‘
ck
送信不要
+
T
+
T
Turbo復号のための準備（１）
ーk(s’, s)の変形ー
組織符号
 a k L( a k ) 
 Lc 1 1 
 Lc 2 2 
 k ( s' , s)  CD exp
y k ck  exp
y k ck 
 exp
2


 2

 2

 a k L( a k ) 
 Lc 1 
 CD exp
y k ak   k ( s ' , s )
 exp
2


 2

Turbo復号のための準備（２）
ーLLRの変形ー
L ( ak ) 1
Lc y1k


2
2
  a k 1 ( s ') k ( s ', s)  k ( s) 
a
(
s
')
e
e

(
s
',
s
)

(
s
)
  k 1

k
k
 s ' s

 sa'1s

ak 1
k
  ln 
L(ak | y )  ln 

L ( ak )
1
1

 Lc yk
  a k 1 ( s ') k ( s ', s)  k ( s) 


2
2
a
(
s
')
e
e

(
s
',
s
)

(
s
)

 s ' s

k 1
k
k


a

1
s
'

s
 k

 ak 1

  a k 1 ( s ')  k ( s ', s)  k ( s) 
1
 s ' s

 e Lc yk / 2 
 e L ( ak ) / 2 
a

1
  L(a )  L y1  L (a )
 ln   L ( ak ) / 2   ln   L y1 / 2   ln  k
k
c k
e
k


c k


e
a
(
s
')

(
s
',
s
)

(
s
)
 k 1 k


k
e

 s ' s

 ak 1

事前情報
チャネル
情報
外部情報
符号語の1ビット目が情報ビットに等し
いことを利用してチャネル情報を抽出
これがComponent decoder
で計算される
Component decoderの構成
逐次処理の中で変化がな
い値（累積してはいけない）
受信信号系列 y
y1k
Component
Decoder
y2k
L( a k | y )
L(ak)
（初期値は0）
 L(ak )  Lc y1k  Le (ak )
Turboアルゴリズ
ムではここが更新
される（累積しては
いけない）
L(ak|y)
-
外部情報
+ L (a )
e k
=L(ak|y)-L(ak)-Lcy1k
最終的な復号は
この値を用いる
逐次処理におけ
る不要な累積を
避けるため
Turbo復号器の構成
y1k
Le1 (ak)
y2k
Interleaver
Component L1(ak|y)
+
Decoder
(1)
1
L (ak)
Interleaver
Le2 (ak)
L2(ak)
2
De-interComponent L (ak|y)
+
leaver
Decoder (2)
y2k‘
y1k‘
外部情報を他の復号器の事前情報として入力
することの意義
• 外部情報はL(ak)と相関があるので， L(ak)の
代表値として利用可能である
• 他の復号器に供給される情報は，当該復号器
で生成される外部情報と相関の低い物理量か
ら算出されることが望ましい
– 符号化利得が高くなる
– 符号化時のインタリーバによって容易に実現可能
Turbo復号におけるiterationの効果
 k ( s' , s)
 p(yk| sk 1  s' , sk  s) p(ak )
p(ak ) 
e
L ( ak ) / 2
1  e L ( ak )
 a k L( a k ) 
exp

2


(k – 1)
ak-1(0)
k(s)
ak-1(s’)
k
k(0)
k(1)
k(2)
k(3)
L(ak|y)



a
(
s
'
)

(
s
'
,
s
)

(
s
)
k

1
k
k


s
'

s
 a 1

1

L(a k | y )  L(a k )  Lc y k  ln k

a k 1 ( s ' )  k ( s ' , s )  k ( s ) 
 s ' s

 a  1

k



信頼度が
改善する項
Component Encoderにおける終端処理
終端の目的：k(s)の逐次計算の際， N(0)=1として計算を開始
できるようにするため
N-2(0,0) N-1(0,0) N(0,0)
N-2(0) N-1(0)
N-3(0)
0
1
2
N(0)=1
N-1(1)
N-2(2)
3
Component Encoderの終端はどうする？
Turbo符号化器の終端処理
終端ビット
符号語（組織符号部）
(M bit)
符号語（パリティ部）
(M bit)
データ(M bit)
1
ck
Component
Encoder (1)
変調器へ
Interleaver
データ(M bit)
ck2
Multiplexer
1‘
ck
Component
Encoder (2)
ck2
‘
インタリーブ後
パリティ(M bit)
これを送
信しない
ため終端
できない
終端なし
Turbo復号器の終端処理
【Component Decoder (1)】
2
L(a k | y )
1
0
0


1
2
3



 ln
a k 1 ( s ' ) k ( s ' , s )  k ( s ) 
 s ' s

 a 1

 k





 ln
a k 1 ( s ' ) k ( s ' , s )  k ( s ) 
 s ' s

 a  1

 k

N N+1 N+2
N+2(0)=1
N+2(1)=0

N+2(2)=0
N+2(3)=0

【Component Decoder (2)】
2
1
0
0
N
N(0)=1
1
N(1)=1
2
N(2)=1
3
N(3)=1
ak(s’)の計算
k(s)の計算
Max-Log-MAPアルゴリズム







Ak ( s)  lna k ( s)   ln
a k 1 ( s' ) k ( s' , s)  ln
exp k 1 ( s' )  k ( s' , s )




 all s '

 all s '

 max  k 1 ( s ' )  k ( s ' , s)  近似による誤差（0.35 dB）


s'







 k 1 ( s' )  ln k 1 ( s ' )   ln
 k ( s) k ( s' , s)  ln
exp k ( s)  k ( s' , s)




all
s
all
s




 max  k ( s)  k ( s ' , s) 
近似による誤差（0.35 dB）


s'

 Lc
 a k L(a k ) 

k ( s ' , s )  ln( k ( s ' , s ))  ln CD exp
 exp
 2

2




ak L(ak ) Lc
ˆ
C

2
2
2

l 1
2

y kl ckl
l 1
指数の計算がなくなる→計算が簡略化される
y kl ckl




Log-MAP(1)
x
x x
( x  x )

 ln(e 1 (1  e 2 1 )  x1  ln(1  e 1 2 ); x1  x2の場合
ln(e  e )  
x2
x1  x2
( x2  x1 )

ln(
e
(
1

e
)

x

ln(
1

e
); x1  x2の場合
2

ここを無視したもの
x1
x2
g ( x1 , x2 )  ln(e  e )
がMax-Log-MAP
x1
x2
 max( x1 , x2 )  ln(1  e | x1  x2 | )  max( x1 , x2 )  f c (| x1  x2 |)
|x1-x2|
0.20以下
0.20～0.43
0.43～0.70
0.70～1.05
1.05～1.50
1.50～2.25
2.25～3.70
3.70以上
fc(|x1-x2|)
0.65
0.55
0.45
0.35
0.25
0.15
0.05
0.00
Log-MAP(2)


Ak ( s )  ln
exp k 1 ( s ' )  k ( s ' , s )


all
s
'




 k 1 ( s ' )  ln
exp k ( s )  k ( s ' , s )


all
s




に，
g ( x1 , x2 )  ln(e x1  e x2 )  max( x1 , x2 )  f c (| x1  x2 |)
 I x 
ln e i   g xI , g ( xI 1 , ..., g ( x3 , g ( x2 , x1 ))...) 


 i 1


を適用する
アルゴリズムは簡略化されるが，劣化はない
Punctured符号化Turbo符号
ck1
Component
Encoder (1)
Interleaver
ck2
1‘
ck
Component
Encoder (2)
2‘
ck
間引き
処理部
パリティビットのみを消去する
Multi- 変調器へ
plexer
１２．Turbo等化器
Turbo等化器の構成
受信信号系列 y
y11 , y12 , y12 , y22 ,..., y1N , y N2
事前情報LLR
LaprEQ(cki)
Turbo等化器
(MAP推定器）
LapoEQ(cki|y)
+ +
-
LexEQ(cki)
Turbo符号：
・LLRは情報ビットに対してのみ求めればよかった
・符号語の1ビット目は情報ビットなので,それを利用して
チャネル情報LLRと外部情報LLRが分離できた
Turbo等化器：
・情報ビットとパリティビットの両者に対するLLRが必要
・チャネル情報LLRと外部情報LLRが分離できない
・事前情報LLRのみがa posteriori LLRから減算される
トレリス図を用いた周波数選択性フェージングの表記
伝搬路のインパルス応答によるアナログ的畳込み積分
y^00(0)
k
伝搬路の
インパルス
応答は別途
測定する
0 = 00
h(t)
h0 h1
0
T
1 = 01
h2
2T
2 = 10
t
3 = 11
RSC符号化器（r = ½）で符号化されている
x2n-1 = cn1=an (情報ビット）
{xn}
2
x2n = cn （パリティビット）
2
各ブランチ yˆ n 
の出力
 h xˆ
l n l
l 0
2
 h0 xˆ n 
入力
 h xˆ
l n l
l 1
^n-1, ^
状態（x
xn-2）
Turbo等化器のトレリス遷移図
0
1
2
0
1
2
3
....
a k 1 ( s ' )
 k (s' , s)
k–1 k k+1
s’
....
....
s
 k (s )
3
yj<k
[y1, y2, …, yk – 1]
N–1 N
yk
yj>k
[yk + 1, yk + 2, …, yN ]
・畳込み符号の場合と同じ
・終端はあり得るがあまり意味はない
k(s’,s)について
k(s’,s)は,(k-1)番目のタイミングにおいて状態s’におり,
符号語ビットxkによって状態sに遷移する確率
 k ( s ' , s )  p ( s, y k | s ' )  p ( y k | s ' , s ) p ( x k )
p( y k | s ' , s ) 
1
2 
状態s’： ( xˆ k 1 , xˆ k  2 )
状態遷移k(s’,s)を発生
させる符号語ビット： x̂k

e
( yk  yˆ k ) 2
事前確率
復号器から）
2 2
Viterbi等化の場合
はここが1/2となる
状態遷移k(s’,s)に伴う出力：
2
yˆ k 
 h xˆ
l k l
l 0
LLRの計算（Max-Log-MAP, or Log-MAP)
 1
k ( s' , s)  ln( k ( s' , s))  ln
 2 
 ( yk  yˆ k ) 2
 
 ln P( xk )
2
2




 k ( s )  lna k ( s )   ln
exp k 1 ( s ' )  k ( s ' , s )


 all s '




 k 1 ( s ' )  ln k 1 ( s ' )   ln
expBk ( s )  k ( s ' , s)


 all s



LapoEQ ( xk | y )








 ln
exp  k 1 ( s' )  k ( s' , s)  Bk ( s)   ln
exp  k 1 ( s' )  k ( s' , s)  Bk ( s) 
 s 's

 s 's

 x 1

 x  1

 k

 k



LexEQ( xk )  LapoEQ ( xk | y)  LaprEQ ( xk )
MAP推定によるa posteriori LLRの計算
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
状態遷移図
3
xk = 1による遷移
3
xk = -1による遷移



a
(
s
'
)

(
s
'
,
s
)

(
s
)
k

1
k
k


 sx'1s


L( xk | y )  ln k

a k 1 ( s' ) k ( s' , s)  k ( s) 
 s ' s

 x  1

 k


遷移はすべて符号語ビット単位で発生する
１３．Turbo等化器とTurbo復号器の
連接
Turboアルゴリズムの基本
【基本形】
受信信号
事前
情報
事後情報
外部情報
MAP推定器1 + +
-
【応用形】
MAP推定器1
++
-
事後情報
MAP推定器2 + +
-
外部
情報
+
MAP推定器2
+
MAP推定器3
+ -+
1. 必要に応じてインタリーバ／デインタリーバを挿入
2. 外部情報を他方のMAP推定器の事前情報として利用
Turbo等化器とTurbo復号器の
連接処理部の構成
データ
Component
Encoder
Interleaver
Mod.
伝搬路
（畳込み
符号化器）
【送信機】
事前情報LLRに改善
があれば収束する
受信信号
系列y
LexDEC(xk|z)
Interleaver
LapeEQ(xk)
Turbo
等化器
+
LapoEQ(xk|y)
+
LapoDEC(xk|z)
+ +
Component
Decoder
De-interleaver
LexEQ(xk|y)
【受信機】
z
Hard
Dec.
一定のiterationの後
ソースビットを判定
Turbo等化器出力とTurbo復号器を連接する場合のk(s’, s) （１）
k–1
ak-1(s’)
k(s’, s)
1
候補符号語： c k
1
復号器入力（事前情報LLR）： z k
k
2
ck
zk2
k(s)
・遷移確率は，状態s’に至った後，状態sに至るための候
1
補符号 cˆ k cˆk2 が発生する確率
・候補符号語の発生確率は事前情報LLRから算出可能
【事前情報と符号語の発生確率の関係】
l
l




p
(
c

1
)
p
(
c

1
)
l
k
k
  ln

z k  ln
 p(c l  1) 
 1  p(c l  1) 
k
k




p[ckl  1] 
exp( z kl )
1  exp( z kl )
1
l
p[ck  1] 
1  exp( z kl )
Turbo等化器出力とTurbo復号器を連接する場合のk(s’, s) （２）
－状態遷移確率の考え方－
• 通常のTurbo符号
– 受信信号ykl は，符号語ビットcklを送信した後，雑音によっ
て擾乱を受けて得られた値
– 遷移確率は結合ガウス分布で与えられる
( y1k  ac1k ) 2


2
 1
1
2
1 2
p( y k , y k | ck , ck )  
e 2
 2 

( yk2  ack2 ) 2


 1
2 2
e

 2 






• Turbo等化器のLLRをSISOデコーダ入力とする場合
– 遷移確率は，外部情報LLRで決定される
• 外部情報LLRを受信信号と見なして通常のTurbo符号
と同様の処理を行う
• 遷移確率は事前情報LLRから逆算する
Turbo等化器出力とTurbo復号器を連接する場合のk(s’, s)（３）
－事前LLRが得られている場合の各符号語の発生確率－
p[ckl  1] 
p[ckl ] 
exp( z kl )
1  exp( z kl )
exp(ckl z kl )
1  exp(ckl z kl )

p[ckl
 1] 
1
1  exp( z kl )

exp( z kl )
1  exp( z kl )
1
exp( ckl z kl )
2
1
1
exp( ckl z kl )  exp( ckl z kl )
2
2
1 l l
1 l l
1 l l
exp( ck z k )
cosh( ck z k )  sinh( ck z k )
2
2
2


1 l
1 l
1 l
exp( z k )  exp( z k )
2 cosh( z k )
2
2
2
1 l
1 l
l
cosh( z k )  ck sinh( z k )
1
1

2
2

 1  ckl tanh( z kl )
1 l
2
2

2 cosh( z k )
2
Turbo等化器出力とTurbo復号器を連接する場合のk(s’, s) （５）
－最終形態－
 k (s' , s)  p(cˆ1k ) p(cˆk2 ) p(ak )
l l
ˆ
exp(ck z k )
1
1 l 
l
l
p[cˆk ] 
 1  cˆk tanh( z k )
l l
2
1  exp(cˆk z k ) 2 

復号部のk(s’, s)の近似計算（１）
1 l 
tanh z k 
2 
1
-3
-2
0
-1
1
2
3
1 l
zk
2
軟判定に利用される領域
-1
1 l
z k は，信頼性を示しており，受信信号yklに対応する
2
Turbo等化器出力とTurbo復号器を連接する場合のk(s’, s)（４）
－双曲線関数についてー
tanh(x)
1
-3
-2
0
-1
x
1
2
3
-1
e x  e x
sinh(x) 
  sinh( x)
2
e x  e x
cosh(x) 
 cosh( x)
2
sinh(x) e x  e  x
tanh(x) 
 x
cosh(x) e  e  x
e x  cosh(x)  sinh(x)
復号部のk(s’, s)の近似計算（２）
【ターボ符号単独の場合】
 Lc
 k (s' , s)  p( yk | sk 1  s' , sk  s) p(ak )  C exp
 2

2

l 1
ykl ckl

 p( a k )


【ターボ等化器とMAP復号器を組み合わせる場合】
ターボ等化器出力をデインタリーブしたものを
1
2
1
2
1
2
Z={z1 , z1 , z 2 , z 2 , ..., z N , z N }とすると
2


1
DEC
l
l
 k (s' , s)  p( zk | sk 1  s' , sk  s) p(ak )  C exp
z k ck  p ( a k )


2
 l 1

2



 kDEC (s' , s) 



l 1
1 l l
z k ck  ln(p(ak )) 

2

ターボ等化器の外部情報LLRをデインタリーブして,通常の
Component Decoderに入力すればよい
Component Decoderが複数ある構成
c
LapeEQ(xk)
Turbo
等化器
+ c-1
apoDEC1(x |z)
L
パリティ
s
k
z （ソースビット）
ビット（１） p1
LexDEC1(xk|z)
z
+
+
Dec
Depunc.
(1) +
t
DeMUX
受信信号
LexEQ(xk|y)
zp2
（パリティ t
LapoEQ(xk|y)
ビット（２））
Enc.
(1)
Int
Enc.
(2)
MUX
c
Punc.
MUX
Dec
(2)
LapoDEC2(xk|z)
+
+
t-1
LexDEC2(xk|z)
Hard
復号
Dec.
データ
Turbo等化器とTurbo復号器を連接する場合の注意点
• インタリーブの意義
– チャネルインタリーブは伝搬路をメモリレスチャネルにす
るため
– 符号化器におけるインタリーバは１つの情報ビットの影響
が及ぶチャネルビットの範囲を拡大するため
• Turbo復号器から出力される外部情報LLR
– ソースビットとパリティビットの両方のLLRを出力する必要
がある
– 送信時にパリティビットがpuncturingされている場合に
は,LLRにpuncturingとインタリーブを施した後,Turbo等
化器の事前情報LLRとして入力する
• a posteriori LLRの計算法
– 単なるTurbo符号の場合と,状態遷移パスの加算の方法
が異なる
A posteriori LLRの計算
ー情報ビットに対するLLRー
k0 – 1

k
k0 – 1

k
k–1
0
1
1
1
2
2
2
3
3
ak = 1による遷移
状態遷移図


a k 1 ( s' ) k ( s' , s)  k ( s) 
 s ' s

 ak 1

L(ak | y )  ln

a k 1 ( s' ) k ( s' , s)  k ( s) 

 s 's

 ak  1


k
3
ak = – 1による遷移
符号語ビットに対する a posteriori LLRの計算法
各符号語ビットに対して分類し,加算する
【1ビット目】
(n – 1)
n
11 11
(n – 1)
00
n
00 01
01
10
10
(n – 1)
n
11 11
00


このビットは情報ビットなので
通常のTurbo復号と同じ
10
01
10
01

a k 1 ( s ' ) k ( s ' , s )  k ( s ) 
 s ' s

 c1 1

1
k
L(ck | z )  ln

a k 1 ( s ' ) k ( s ' , s )  k ( s) 

 s ' s

2
 ck  1

【2ビット目】
n
(n – 1)
00


a k 1 ( s ' ) k ( s ' , s )  k ( s ) 
 s ' s

 c 2 1

2
k
L(ck | z )  ln

a k 1 ( s ' ) k ( s ' , s )  k ( s) 

 s ' s

2
 ck  1


パリティビット
Turbo等化器におけるA priori LLRの生成について
• Component Decoderが複数の場合のa posteriori LLR
– 情報ビットに関する外部情報LLRは全ての
component decoderから得られる
– パリティビットの関する外部情報LLRは各でコーダか
ら独立に得られる
• Turbo等化器のa priori LLR
– 情報ビットに関しては,全てのcomponent decoderか
らの外部情報LLRを加算する
– パリティビットに関しては,各component decoderから
の外部情報LLRをそれぞれ対応する等化器受信シン
ボルに対応させる
１４．Turbo等化器の
多値変調への適用
多値QAMのためのTurbo等化器
データ
【送信機】
Component
Encoder
1シンボルに
複数のビット
を含む
受信信号
系列y
【受信機】
LapeEQ(xk)
Interleaver
伝搬路
Mod.
（畳込み
Gray符号化符号化器）
LexDEC(xk|z)
Interleaver
LapoDEC(xk|z)
+ +
-
Hard
Component
De-interTurbo + +
Dec.
Decoder
leaver
等化器
各ビットに
z
LexEQ(xk|y)
一定のiterationの後
対するLLR
ソースビットを判定
を求める LapoEQ(xk|y)
多値変調の場合の各ブランチにおける
出力候補値の算出
Q
s1 = 01
s0 = 11
I
s3 = 10
s2 = 00
入力
s(kT)
状態
T
T
h0
h2
h1
+
yk
00
01
02
03
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
00
01
02
03
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
s0
s1
s2
s3
ij = (si, sj)
各ビットの a posteriori LLRの計算
x1 = 0
s1 = 01
Q
x1 = 1
s0 = 11
I
s2 = 00
s3 = 10
 p( x j  1 | y ) 

L
( x j )  ln
 p( x j  1 | y ) 




p
(
s
|
y
)
j


s j where x j 1

 ln
p( s j | y ) 



s
where
x


1
j
 j

apoDFE


00
01
02
03
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
00
01
02
03
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
a k 1 ( s' ) k (s' , s) k ( s)
00
01
02
03
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
00
01
02
03
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
Turbo等化の問題点
• 変調レベルが増すと状態数が多くなり，演算
量が急速に増す
– 多値数M，遅延波の数をLとすると，
• 状態数：ML-1
• １つの状態から出力されるブランチ数：M
• 演算量はMLに比例する
• 対策技術（ソフトキャンセラ技術）
– I/Q独立の処理
• I/Qのクロストークをソフトキャンセラで除去する
– 時空間処理によるマルチパスキャンセラ
• SC/MMSE
適応等化技術のまとめ
• 判定帰還型等化器
– 演算量は遅延波の数の2乗に比例
– 硬判定誤りによって誤り伝搬が発生
• 周波数領域等化器
– 演算量が比較的少ない
• ビタビ等化器
– 演算量は (変調多値数)(遅延波の数)に比例
• 多値変調への適用が困難
– 性能は判定帰還型等化器より良い
• Turbo等化器
– SISOデコーダとの複合で良好な特性
– ソフトキャンセラを用いないと演算量は多い
– ソフトキャンセラの活用が鍵
• 硬判定のような誤り伝搬がない
• 演算量が遅延波の数に対してクリティカルではない
カルマンアルゴリズムの補足説明
カルマンアルゴリズム（その１）
(1)
sn  h nH1y n
en  an  sn  an  h nH1y n (2)
k n  Pn1y n (y nH Pn1y n   )1 (3)
(4)
hn  hn1  en*k n
Pn  (Pn1  k n y nH Pn1 ) / 
(5)
(3)より k n (y nH Pn1y n   )  Pn1y n (6a)
(6a)の変形  k n  (I  k n y nH )Pn1y n
(6b)
Pn y n  Pn1y n  k n y nH Pn1y n  (I  k n y nH )Pn1y n (7)
【(5)の右からynを乗積し，変形】
(6b), (7)より k n  Pn y n /  (8)
カルマンアルゴリズム（その２）
Pn  (Pn1  k n y nH Pn1 ) / 
(5)
Pn  Pn1  k n y nH Pn1  Pn1  Pn y n y nH Pn1 / 
(9)
(8)を適用
  Pn1Pn1  y n y nH Pn1 /  【左から Pn1を乗積】 (10)
【右から Pn11を乗積】 (11a)
Pn11  Pn1  y n y nH / 
(11b)
Pn1  Pn11  y n y nH / 
Pn1  Pn11  y n y nH /   [Pn12  y n 1y nH1 /  ]  y n y nH / 
 2 Pn12  [y n 1y nH1  y n y nH ] / 
 3Pn13  [2 y n  2 y nH2  y n 1y nH1  y n y nH ] / 
 P 
n
1
0
1

n
  yiy 
n i
i 1
H
i
1

1
n
n i
H

y
y
 i i
i 1

n i
H
k n  Pn y n /     y i y i  y n (13)
 i 1

n
(12)
カルマンアルゴリズム（その３）
S n  Pn /  (14)
Sn1  Pn1 (15)
と定義すると
(15)→(11b) Pn1   Pn11  y n y nH

n i
H
(12)より P    y i y i  / 
 i 1

n
1
n


 yiy 

 i 1

よって S n 

n
n i
H
i
Sn1  Sn11  y n y nH (16)

n i
H
Pn     y i y i 
 i 1

n
1
1
(18)
1

n i
H
(17)→(13) k n  Pn y n /     y i y i  y n  S n y n (19)
 i 1

n
(17)
カルマンアルゴリズム（その4）
h n  h n 1  en*k n  h n 1  en*S n y n  h n 1  S n y n (an  h nH1y n )*
 h n 1  S n (an* y n )  S n (y n y nH )h n 1
 h n 1  S n (an* y n )  S n (S n1  S n11 )h n 1
(19)→(4)
(2)も適用
(16)を適用
 h n 1  S n (an* y n )  h n 1  S n S n11h n 1
 S n (an* y n )  S n S n11h n 1
(20)
Sn1を乗積】
S n1h n  an* y n  S n11h n 1  an* y n   (an*1y n 1  S n1 2h n  2 【左から
)
 an* y n  an*1y n 1  2S n1 2h n  2

n
n
   a y i   S h   n i ai*y i
i 1
n i
*
i
1
0
0
n
(21)
i 1
1
n


n i
H 
n i *
h n  S n   a y    y i y i    ai y i  (22)
i 1
 i 1
  i 1

n
n i *
i i
n

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