Electromagnetismo I

Electromagnetismo I
Semestre: 2015-2
TAREA 8
Dr. A. Reyes-Coronado
Ayud. Carlos Alberto Maciel Escudero
´ pez
Ayud. Christian Esparza Lo
Fecha de entrega: jueves, 23 de abril de 2015
1.- Problema: (20pts) Una corriente I fluye por un alambre de radio a.
a) Si la corriente est´
a uniformemente distribu´ıda sobre la superficie, calcula la densidad de corriente
~
superficial K.
b) Si la corriente est´
a distribu´ıda de tal manera que la densidad volum´etrica de corriente es inversamente
~
proporcional a la distancia del eje, calcula J.
2. Problema: (20pts)
a) Un fon´
ografo del siglo antepasado hace girar un disco cargado con una densidad est´atica de carga σ
uniformemente distribu´ıda. Si el disco gira a una velocidad angular ω, calcula la densidad de corriente
~ Tambi´en calcula el momento dipolar magn´etico del disco cargado girando.
superficial K.
b) Una esfera s´
olida uniformemente cargada, de radio R y de carga total Q, est´a centrada en el origen
de coordenadas y gira con una velocidad angular constante ω alrededor del eje z. Considerando que
la velocidad angular y el radio R son las misma que la del planeta Tierra, y que la carga total es de
1 Coulomb, calcula la densidad de corriente volum´etrica J~ en cualquier punto (r, θ, ϕ) dentro de la
esfera.
3. Problema: (20pts) Dos alambres paralelos e infinitos, separados por una distancia d, tienen una densidad
de carga lineal λ cada uno (ambos con el mismo signo), y se mueven ambos con una rapidez constante v
como se muestra en la figura. ¿Qu´e tan grande tendr´a que ser la rapidez v para que la fuerza de atracci´
on
magn´etica cancele a la fuerza de repulsi´on el´ectrica? ¿Es razonable la velocidad que calculaste? (calcula
num´ericamente la velocidad empleando unidades de m/s).
r
!v
λ"
d"
r
!v
λ"
4. Problema: (20pts)
a) Calcula el campo magn´etico en el centro de un cuadrado que porta una corriente estacionaria I.
Considera R la distancia del centro a un lado del cuadrado, como se muestra en la figura.
b) Calcula el campo magn´etico en el centro de un pol´ıgono regular de n lados, que porta una corriente
estacionaria I. Nuevamente R es la distancia del centro a cualquiera de los lados.
c) Revisa que tu resultado del incisco anterior reproduce el campo magn´etico en el centro de una espira
circular, tomando el l´ımite n → ∞.
I!
R"
I!
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5. Problema: (20pts)
a) Calcula la fuerza sobre una espira cuadrada de lado a localizada cerca de un alambre infinito, como se
muestra en la figura. Tanto por la espira como por el alambre circula una corriente estacionaria I.
b) Calcula la fuerza del mismo sistema pero ahora en vez de espira cuadrada considera una espira triangular, como se muestra en la figura.
I!
I!
a"
a" a"
a"
a"
s"
I!
s"
I!
a)#
b)#
6. Problema TORITO: (30pts) Un toroide delgado (como una dona de chocolate muy flaquita), con carga
total Q y masa M gira alrededor del eje eˆz .
a) Calcula el cociente de su momento dipolar magn´etico entre su momento angular. A esto se le conoce
como la raz´
on giromagn´etica del objeto.
b) Calcula la raz´
on giromagn´etica de una esfera uniformemente cargada girando. No requieres hacer un
c´
alculo nuevo, solamente describe a la esfera como si estuviera compuesta por anillos infinitesimales
y aplica el resultado del inciso anterior.
c) De acuerdo a la mec´
anica cu´
antica, el momento angular de un electr´on girando es ~/2, donde ~ es
la constante de Planck reducida. Calcula el momento dipolar magn´etico del electr´on en unidades de
A·m2 . Este resultado semi–cl´
asico est´a de hecho mal por casi un factor de 2. La teor´ıa relativista para
el electr´
on desarrollada por Dirac obtiene un factor de 2 exacto, y posteriormente Feynman, Schwinger
y Tomonaga calcularon peque˜
nas correcciones a este factor. La determinaci´on del momento dipolar
magn´etico del electr´
on es probablemente el logro m´as fino de la teor´ıa electromagn´etica cu´antica, y
es uno de los mejores acuerdos encontrados entre la teor´ıa y el experimento en la historia de toda la
f´ısica. A la cantidad (e~/2m), con e la carga del electr´on y m su masa se le conoce como el magnet´
on
de Bohr.
!eˆz
r
!v
r
!v
NOTA 1: Los primeros cinco problemas son obligatorios (sumando un total de m´aximo 100 puntos). El
sexto problema, llamado torito por obvias razones, es para aquellos que les gusta pensar y dar un poco m´as de
lo que se exige regularmente. Si resuelves bien los seis problemas, tendr´as un total de 120 puntos, 20 puntos
extra acumulables para la calificaci´
on total correspondiente a los problemas (40 % de la calificaci´on total).
NOTA 2: Estar´
as tentado por el diablo a aplicar de ipso facto alguna f´ormula de tu elecci´on, pero te sugiero
que antes de ponerte a hacer ´
algebra, te tomes 5 o 10 minutos para pensar sobre c´omo ir´an los campos, sobre
las simetr´ıas del problema, y s´
olo despu´es de que te imagines la soluci´on y visualizes una forma de resolverlo, te
pongas a calcular. Al llegar a un resultado, t´
omate tu tiempo para asegurarte que est´a bien (puedes ayudarte
de casos l´ımite).
NOTA 3: Suerte!
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