Ejercicios de Integrales MATEMÁTICAS II − EJERCICIOS DE INTEGRALES. 1.- Calcula las integrales siguientes: a) 1 ∫ (1 + x) x b) dx cos x ∫ 1 + sen 2 x c) dx ∫ ( x + 3)·e x+2 dx 1 x 2.- Dada la función f : [1, e ] → R definida por f ( x ) = + ln x ,calcula la primitiva de f ( x) que pasa por el punto P(e,2). 3.- Calcula las integrales siguientes: a) 1 ∫ 1 − x 2 dx 4.- Determina la función f tal que f(1)=2 y f’(x)= b) ln x ∫ x2 c) ∫ ( x − 1) 2 dx x x4 + x + 1 . x2 + x 5.- De f : R → R se sabe que f ' ' ( x) = x 2 + 2 x + 2 y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P (1,2). Halla la expresión de f. π 4 6.- De todas las primitivas de la función f(x) = 2tg(x) ⋅ sec 2 (x) , halla la que pasa por el punto P( ,1). 7.- Sea f ( x) = e1− x . Calcula. 2 ∫ 3 1 x· f (x)dx .  sen( x 2 ) si x > 0  8.- Dada la función f ( x) =  , calcula x  x 2 − 2 x si x ≤ 0  9.- Sea f(x)= 4 − 2x 2 . Calcula x 10.-Calcula: a) ∫ e 1 ∫ 1 2 ∫ 2π − π x 2 · f (x) dx f ( x)·ln x dx 1+ lnx 3 + (lnx) 2 dx x(1+ lnx) 2 b) ∫x 2 − 3 x + 2 dx −1 11.- Halla el área del recinto limitado por la parábola y = − x 2 y la recta y = 2 x − 3 . 12.- Dada la función f ( x) = x = 0 e y = 0. 13.- Dada la función f ( x) = x =-1 y x = 1. x −1 , calcula el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x +1 x , halla el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x +1 2 14.- Halla el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = 2 x + 3 . 15.- Sea f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c . Determina a, b y c de modo que f (x) tenga un extremo relativo en x = 0 , la recta tangente a la gráfica de f (x) en x = 1 sea paralela a la recta y − 4 x = 0 , y el área comprendida por la gráfica de f (x) , el eje OX y las rectas x=0 y x=1 sea igual a 1. 1 Ejercicios de Integrales 16.- Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x) = ( x - 2 ) ⋅ ( x + 2 ) , el eje OX y las 2 rectas x = −3 y x = 2. 17.- Sea la función f ( x) = x = −4 y x = −2 . x . Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f(x) y las rectas x −1 2 18.- Halla el área del recinto limitado por las parábolas y = 6 x − x 2 e y = x 2 − 2 x . 19.- Halla el área limitada por las gráficas de las funciones y=3x-x2 e y=2x-2. ln(1 + x 2 ), x > 0 20.- Sea f ( x) =  2 . Calcula el área delimitada por la gráfica de f y las rectas x=-1, x=1 e y=0. x , x ≤ 0 21.- Dadas las funciones f(x) = ln(x) y g(x) = 1 – 2x, halla el área del recinto plano limitado por las rectas x=1, x = 2 y las gráficas de f(x) y g(x). 22.- Calcula el área comprendida por la curva y = 2 cos x y la recta y = 1 en el intervalo − π , π  .    2 2 x2 23.- Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y = x , y = e y = 2x . 2 2 y 3x − 6 . 24.-Halla el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones = y x2 − 4 = 25.- Calcula el área del recinto limitado por la curva de ecuación y = ln x , el eje OX y las rectas x = 1 y x = 2 . 26.- Determina el área limitada por la parábola de ecuación y2 = x y la recta de ecuación y =x-2. 27.- Calcula el valor de a (> 0) sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y = x2 + ax y la recta y + x = 0 vale 36 unidades cuadradas. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN B. 28.- Determina el valor del coeficiente b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x2 y la recta y = bx es igual a 9/2. MATEMÁTICAS II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B. 29.- Considera la función f : R → R definida por f(x) = x ⋅ 2 − x a) Esboza su gráfica. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta de ecuación x = 3. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN B. 2 Ejercicios de Integrales 1 3 2 30.- Sea f : R → R la función definida por f(x) = - x + 2 x+1 3 a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en un punto de la misma de ordenada y =1, teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa. b) Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas. MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. 31.- Considera la función f dada por f (x) = 5-x y la función g definida como g(x) =4/x para x ≠ 0 . a) Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g indicando sus puntos de corte. b) Calcula el área de dicho recinto. MATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B. 32.- Considera las funciones f , g : R → R definidas por: f (x) = 2−x2 y g(x) = x a) Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados. b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A. 33.-Sea la función f (x) = x2cos x . Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (π,0). MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B. 34.- Calcula los valores de a y b sabiendo que la función f : (0, + ∞) → R definida por f ( x) = ax2 + b ln( x ) , 4 tiene un extremo relativo en x = 1 y que f (x)dx = 27 − 8 ⋅ ln4. ∫ 1 MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN B. 35.- De la función f (x) = ax3 + bx2 + cx + d se sabe que tiene un máximo relativo en x = 1, un punto de inflexión en (0,0) y que ∫ 1 0 5 f (x)dx = . Calcula a, b, c y d. 4 MATEMÁTICAS II. 2013. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.  x 2 − 2 x si x < 0 36.- Determina una función derivable f sabiendo que f (1) = 1 y que f '(x) =  x e − 1 si x ≥ 0 MATEMÁTICAS II. 2014. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A. 3