´ UNIDAD DIDACTICA 3 Cambio 3.2 L´ımites y continuidad L´ımites y continuidad 3.2.1 L´ımite de una funci´on en un punto En los ejemplos anteriores ha habido ocasi´on de observar el significado intuitivo del l´ımite de una funci´on f al acercarse su variable hacia un cierto valor. Pero en matem´aticas las ideas deben hacerse todo lo precisas y generales que sea posible. Con este fin, el concepto gen´erico de l´ımite de una funci´on f en un punto x0 del intervalo en que est´a definida, puede formularse as´ı: L´IMITE DE UNA ´ EN UN FUNCION PUNTO La funci´on f , definida en el intervalo I, tiene l´ımite ℓ cuando x tiende a x0 ∈ I, si al tomar x suficientemente pr´oximo a x0, aunque diferente de x0 , puede hacerse el valor de f (x) tan pr´oximo a ℓ como se desee. Cuando ello es posible se indica l´m f (x) = ℓ. x→x0 Gr´aficamente la idea puede expresarse por medio de rect´angulos centrados en el punto (x0 , ℓ). Podemos preguntarnos si al contraerse la altura del rect´angulo, puede contraerse la base de modo que la gr´afica de la funci´on permanezca en el interior del rect´angulo, atraves´andolo desde su lado izquierdo hasta el derecho. Si la respuesta a esta pregunta es afirmativa, como en la figura 3.11, entonces ℓ ........................ l´m x→x0 = ℓ. El valor f (x0 ) que tome la funci´on en el punto x0 no afecta al ... ... l´ımite, el cual s´olo depende de los valores f (x) en puntos x pr´oximos a x0 que no ... ... coincidan con x0 . ... .. Una funci´on f carece de l´ımite, al tender x a x0 , si f (x) se aproxima simult´aneax0 mente a varios valores al acercarse x a x0 . El caso m´as simple para que as´ı ocurra es el que muestra la figura 3.12, en la que se han se˜nalado rect´angulos, centrados on no atraviesa por mucho que se estreche Figura 3.11: Idea gr´afica de l´ımite de una fun- en (x0 , ℓ1 ) y en (x0 , ℓ2 ), que la funci´ ci´on. 113 ´ UNIDAD DIDACTICA 3 Cambio L´ımites y continuidad su base. En esta situaci´on todav´ıa se dice que hay, en el punto x0 , l´ımites laterales, por la izquierda y por la derecha, con valores respectivos ℓ1 y ℓ2. Pero la situaci´on puede ser mucho m´as complicada: al aproximarse x a x0 , los valores de f (x) pueden oscilar acerc´andose simult´aneamente a todos los puntos de un intervalo, sin posibilidad de que exista el l´ımite de f (x) en x0, como se representa en la figura 3.13. .. .. .. .. .. . ℓ2 .... .. .. .. .. .. ℓ .. 1 .. .. .. .. .. x0 1 0 -1 Figura 3.12: L´ımites laterales de una funci´on. x0 Figura 3.13: Ausencia del l´ımite de una funci´on. En la pr´actica, a menudo, el c´alculo de l´ımites plantea dificultades, debido al problema de las indeterminaciones que se muestra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 3.7 La expresi´on x3 − 1 x2 − 1 define el valor de una funci´on f para todos los valores de x distintos de ±1, puesto que dichos valores anulan el denominador. Puede completarse la definici´on de f a˜nadiendo, de modo arbitrario, f (−1) = f (1) = 2. Mas lo interesante es saber que ocurre con los valores de f (x) al aproximarse x a 1 o a −1. Cuando x es pr´oximo a −1, el denominador se hace muy peque˜no mientras que el numerador toma un valor cercano a −2. Ello supone que el cociente f (x) se hace muy grande. De hecho f (x) = f (−1.01) ≃ −101, f (−1.001) ≃ −1001, f (−.99) ≃ 99, f (−.999) ≃ 999, . . . 114 ´ UNIDAD DIDACTICA 3 Cambio 9 Puede concluirse que f (x) tiene l´ımites laterales: −∞ al crecer x hacia −1 y ∞ cuando x disminuye hacia −1. As´ı se aprecia en la representaci´on gr´afica de la figura 3.14. En cambio, cuando x es 1 se presenta una indeterminaci´on, pues la expresi´on de f obliga a calcular un cociente de la forma 0/0. Para valores pr´oximos a 1 se tiene x = −1 6 3 f (−1) = 2 L´ımites y continuidad y=x f ( 1) . .. 0 f (0.99) ≃ 1.4925, f (0.999) ≃ 1.4993, f (1.01) ≃ 1.5075, f (1.001) ≃ 1.5007, . . . lo cual da idea de que l´m x→1 f (x) = 1.5. De hecho, supuesto que x 6= 1, puede simplificarse -3 -6 f (x) = -9 -6 -3 0 3 x3 − 1 x2 + x + 1 = x2 − 1 x+1 6 y, cuando x se acerca a 1, el numerador se aproxima a 3 y el denominador a 2; luego l´m x→1 f (x) = 3/2. Puede entenderse ahora, por qu´e la definici´on de l´ımite obliga a tomar x pr´oximo a x0 , pero diferente de x0 . El valor fijado f (1) = 2 no es compatible con el resultado l´m x→1 f (x) = 1.5 a no ser que l´m x→x0 f (x) no dependa del Figura 3.14: Gr´afica de la funvalor f (x0 ). 3 x −1 ci´on f (x) = 2 . x −1 El c´alculo de l´ımites es, con frecuencia, una cuesti´on delicada, pero los casos simples se resuelven con comodidad como vemos en los resultados siguientes. L´IMITES ELEMENTALES Si f (x) = c entonces l´m x→x0 f (x) = c. Si f (x) = x entonces l´m x→x0 f (x) = x0. Si f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1 x + a0 entonces l´m f (x) = anxn0 + an−1 xn−1 + · · · + a1 x0 + a0 0 x→x0 Si f (x) = 1 entonces l´m x→∞ f (x) = 0. x 115 ´ UNIDAD DIDACTICA 3 Cambio ´ ALGEBRA DE L´IMITES L´ımites y continuidad l´m [ f (x) + g(x)] = l´m f (x) + l´m g(x); o bien el l´ımite de una suma es la suma de los l´ımites. l´m [ f (x) · g(x)] = l´m f (x) · l´m g(x); o sea el l´ımite de un producto es el producto de los l´ımites. f (x ) l´m f (x) l´m = , supuesto que l´m g(x) 6= 0; g (x ) l´m g(x) de modo que el l´ımite de un cociente es el cociente de los l´ımites, cuando el denominador no es nulo. EJEMPLO 3.8 Como l´m x→x0 x = x0 , se deduce l´m xk = xk0 x→x0 siempre que sea k > 0 e incluso cuando es k < 0 con la salvedad de que sea, entonces, x0 6= 0. EJEMPLO 3.9 Para un polinomio f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , se concluye l´m f (x) = an xn0 + an−1 xn−1 + · · · + a1 x0 + a0 0 x→x0 es decir l´m x→x0 f (x) = f (x0 ). En concreto l´m x5 − 3x2 + 2x = (−1)5 − 3(−1)2 + 2(−1) = −1 − 3 − 2 = −6. x→−1 EJEMPLO 3.10 x3 + 4x2 − 3 l´m x→x0 x3 + 4x2 − 3 l´m = x→x0 x2 + 5 l´m x→x0 x2 + 5 x3 + 4x2 − 3 = 0 2 0 x0 + 5 116 ´ UNIDAD DIDACTICA 3 Cambio L´ımites y continuidad En particular, si x0 = 2 resulta: x3 + 4x2 − 3 23 + 4 · 22 − 3 5 = = x→2 x2 + 5 22 + 5 3 l´m Las reglas anteriores son v´alidas siempre que el resultado est´e bien determinado, lo que incluye situaciones del tipo: c ∞+∞ = ∞ c · (−∞) = +∞ si c < 0 = 0. ∞ En cambio, el resultado queda indeterminado en casos como: ∞ − ∞ =? 0 · ∞ =?, 0 =?, 0 ∞ =?, . . . ∞ lo cual significa que, si se presenta una tal indeterminaci´on, el resultado depende de las peculiaridades de las funciones f y g involucradas en el c´alculo. EJEMPLO 3.11 Calcular l´m x→∞ −x 5x + 2 + . 7x + 4 2x3 − 1 l´m x→∞ −x 5x + 2 + 3 7x + 4 2x − 1 −x 5x + 2 + l´m x→∞ 7x + 4 x→∞ 2x3 − 1 = l´m Ahora bien en ambas fracciones tanto el numerador como el denominador tienden a ∞, dando lugar a indeterminaciones del tipo ∞/∞. Para resolverlas, puede dividirse por x los t´erminos de la primera fracci´on y por x3 los de la segunda, de modo a obtener 5 + x23 −1 −1 0 + 0 x2 l´m + l´m = + x→∞ 7 + 4 x→∞ 2 − 1 7 2−0 x x3 1 1 = − +0 = − . 7 7 117 ´ UNIDAD DIDACTICA 3 Cambio L´ımites y continuidad 3.2.2 Funciones continuas El concepto que relaciona el valor de f (x0 ) con el valor del l´m x→x0 f (x) es la noci´on de continuidad de f en x0, que expresa matem´aticamente la idea de que la funci´on f no tenga en el punto x0 ning´un tipo de salto, ni de escisi´on. ´ FUNCION Una funci´on f es continua en el punto x0 si se verifica CONTINUA l´m f (x) = f (x0 ). x→x0 Tanto si el l´ımite no existe, como si no coincide con f (x0 ), la funci´on f es discontinua o tiene una discontinuidad en x0 . EJEMPLO 3.12 La funci´on f (x) = x3 − 1 , estudiada en el ejemplo 3.7, tiene dos discontinuidades: x2 − 1 En el punto x = 1, existe l´m x→1 f (x) = 3/2 pero no coincide con f (1) = 2. Tal tipo de discontinuidad se denomina evitable, puesto que puede eliminarse modificando el valor de f (1). En el punto x = −1, no existe l´m x→−1 f (x); en concreto, los l´ımites laterales valen −∞ a la izquierda del punto −1 y ∞ a su derecha. No hay, por tanto posibilidad de definir el valor de f (−1) de modo que f sea continua en −1. Los resultados sobre ´algebra de l´ımites junto con la definici´on de funci´on continua conducen al siguiente resultado: Son funciones continuas, en el punto x0 , la suma, el producto y el cociente de funciones continuas en el punto x0 ; salvo quiz´as en el caso del cociente, si el denominador se anula en x0 . EJEMPLO 3.13 La funci´on f (x) = 5x(2 − x) + 1 x2 + 1 es continua en todos los puntos, porque es suma, producto y cociente de funciones 118 ´ UNIDAD DIDACTICA 3 Cambio L´ımites y continuidad continuas y el denominador x2 + 1 no se anula en ning´un punto. x+3 es continua en todos los puntos, excepto en x0 = 5, x0 = 2 en los que se anula el (x − 5)(x − 2) denominador y el numerador vale respectivamente 8 y 5. Exactamente La funci´on g(x) = l´m g (x) = + ∞ y l´m g(x) = −∞ y x>5,x→5 l´m g(x) = −∞ l´m g(x) = +∞. x<5,x→5 mientras que x>2,x→2 x<2,x→2 119