Gu´ıa N 3 - Universidad de Talca

Universidad de Talca
Instituto de Matem´
atica y F´ısica
M´odulo: C´alculo III
Prof. Cristian Mardones S.
Gu´ıa N◦ 3: Derivadas parciales. Diferenciabilidad. Derivadas direccionales
1. Calcular las derivadas parciales de primer orden de cada funci´on:
2x − 3y
y−x
b) f (x, y) = (3x + 2y)5
g) f (x, y) = x ln(x + y)
√
x2
h) f (x, y) = xy
c) f (x, y) = 3
y
5
2
i) f (x, y) = ln x + ln y
3
3
d) z = (3xy 3 + 2x2 y)4
r
x+1
j) z =
e) f (x, y) = xexy
y−1

 x2 y 2
2. Sea w = f (u, v), una funci´
on diferenciable donde,
x2 + y 4

0
a) f (x, y) = 2xy 5 + x2 y + x2
f) f (x, y) =
e5−2x
y3
√
l) f (w, t) = (1 + w − w)(33 − t)
k) f (x, y) =
xy 2
x3 y 2 + 1
n) f (x, y) = ln xy + xy
m) f (x, y) =
si(x, y) 6= 0
si(x, y) = 0
∂f
en cada punto donde exista.
∂x
∂f
b) Decidir si
es continua en el punto (0, 0) y si f es diferenciable en (0, 0).
∂x

 3x2 y
si (x, y) 6= (0, 0)
3. Sea f (x, y) =
. Calcular por la definici´on fx (0, 0) y fxy (0, 0)
x4 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0)

xy

arctan
si (x, y) 6= (0, 0)
4. Sea f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0)
a) Calcular
a) Verificar si f es continua en R2
b) Calcular si existen las derivadas parciales
∂f ∂f
,
en R2
∂x ∂y
5. Sean u = 3xy − 4y 2 ,x = 2ser , y = re−s . Calcule
∂2u
∂r2
6. Una funci´on z = z(x, y) se dice que es arm´onica si tiene derivadas parciales de segundo orden continuas
x
y
y adem´as zxx + zyy = 0: Sean u = 2
;v= 2
. Pruebe que:
2
x +y
x + y2
a)
i) u y v son arm´
onicas
2
2
ii) (ux ) = (vy )
iii) (uy )2 = (vx )2
iv) ux vx = −uy vy
b) Si f (x, y) es una funci´
on arm´
onica, entonces la funci´on w(x, y) = f
arm´onica.
x
y
, 2
2
2
x + y x + y2
es tambi´en
7. Sea w = f (u, v), una funci´
on diferenciable donde,
∂2w
= e−2x
4·
∂u∂v
3x2 y
8. Sea f (x, y) =
x4 + y 2

0


si
(x, y) 6= (0, 0)
si
(x, y) = (0, 0)
u = ex+y
v = ex−y
∂2w ∂2w
−
∂x2
∂y 2
Demuestre
. Demostrar que f (x, y) no es diferenciable (0, 0)
9. Sea w = f (x, y) diferenciable, donde x = ρ · cos(θ), y = ρ · sen(θ).
∂w 2
∂w 2
∂w 2
1 ∂w 2
a) Demostrar que
+
=
+ 2
∂x
∂y
∂ρ
ρ
∂θ
∂ 1 ∂w
∂2w
+
b) Calcule
∂ρ2
∂ρ ρ ∂θ
10. Encuentre la derivada direccional en el punto (1, 0) de la superficie
f (x, y) = x(e−y + x) + y 2
en la direcci´
on de la recta AB donde A(2, 1) y B(1, 2).

 2xy 2
si (x, y) 6= (0, 0)
11. Sea f (x, y) =
.Determine, si existe, la derivada direccional de f en
x2 + y 4

0
si (x, y) = (0, 0)
P0 = (0, 0).

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