Ejercicios 3

Ejercicios Matem´aticas I
Profr. Fausto Cervantes Ortiz
Funciones y sus gr´
aficas
l. Dada f (x) = 3x + 2, calcule f (1), f (−2),
f (x2 ) y f (x + h)
2. Dada f (x) = 5 − 2x, calcule f (3), f (−1),
√
f ( x) y f (x + h)
3. Dada f (t) = 5t + 7, calcule f (1), f (−3),
f (c), f (1 + c) y f (1) + f (c)
4. Dada f (x) = 3 − 4x, calcule f (a), f (a + 1)
y f (a) + f (1)
5. Dada f (x) = x2 , calcule f (3), f (−2),
√
f (a), f ( x) y f (x + h)
6. Dada f (x) = 3x2 +7, calcule f (c), f (c+h)
y f (c + h) − f (c)
7. Dada f (x) = 3, calcule f (1/x), f (x2 ),
f (x + 2) y f (x + h)
8. Dada f (y) = 5, calcule f (1/y), f (y 2 )f (y+
3), f (7) y f (y + h)
√
9. Dada f (x) = x, calcule f (4), f (x2 ) y
f (a2 + h2 )
√
10. Dada f (x) = x − 16, calcule f (25),
f (0) y f (7)
11. Dada f (t) = 3t2 − 5t + 7, calcule f (0),
f (1/t), f (c) + f (h) y f (c + h)
12. Dada f (u) = 2u2 + 3u − 5, calcule f (0),
f (1/x), f (x + h) y f (x + h) − f (x)
13. Dada
g(x) =


 4x + 3 si − 2 ≤ x < 0
1 + x2

 7
si 0 ≤ x < 2
si x > 2
eval´
ue cada uno de los siguientes valores:
a) g(1)
b) g(3)
c) g(−1)
d) g(0)
e) g(−3)
f ) g(2 + h) y g(2 − h) si 2 > h > 0
t
t
y G(t) = 1−t
, demuestre
*15. Si F (t) = 1+t
que F (t) − G(t) = −2G(t2 )
*16. Si y = f (x) = x+1
x−1 , pruebe que x =
f (y)
17. Si f (x) = x2 + 1 y g(x) = 2x − 1, calcule
f [g(2)]
18. Si f (x) = g(x) + h(x), g(x) = x2 + 3 y
f (x) = x3 , calcule h(2)
(x)
(19-24) Eval´
ue f (x+h)−f
en donde f (x)
h
est´a dada a continuaci´on.
19. f (x) = 2x + 5
20. f (x) = 3x − 7
21. f (x) = 7
22. f (x) = x2
23. f (x) = x2 − 3x + 5
(
24. f (x) = 3x2 + 5x − 2
2x − 3 si xgeq5
(25-42) Determine el dominio de cada funf (x) =
6 − 3x si x < 5
ci´on.
25. f (x) = 2x + 3
encuentre cada uno de los siguientes valores:
26. f (t) = 2t2 − 3t + 7
a) f (0)
27. h(x) = x−1
x−2
b) f (7)
2p+3
28.
D(p)
=
p−1
c) f (−2)
x+1
29.
g(x)
=
d) f (5 + h) y f (5 − h), con h > 0
x2 −3x+2
14. Dada
30. f (x) =
1
x2 −4
x−2
31.
32.
33.
34.
F (u) = uu+2
√2 +1
G(t) = t − 2
√
F (y) = − 3y − 2
1
g(t) = √2t−3
46.
(
f (x) =
2
35. G(u) = 3−2u
√
36. f (x) = x2 + 16
37.
(
f (x) =
47. (Funci´on de costo) Una compa˜
n´ıa ha determinado que el costo de producir x unidades de su producto por semana est´a dado por:
C(x) = 5000 + 6x + 0.002x2 Eval´
ue el costo de
producir:
a) 1000 unidades por semana.
b) 2500 unidades por semana.
c) Ninguna unidad.
48. (Funci´on de costo) Para la funci´on de
costo C(x) = 10−6 x3 −(3×10−3 )x2 +36x+2000
calcule el costo de producir:
a) 2000 unidades.
b) 500 unidades.
49. (Fisiolog´ıa) En una prueba para metabolismo de az´
ucar en la sangre, llevada a cabo en
un intervalo de tiempo, la cantidad de az´
ucar
en la sangre era una funci´on del tiempo t (medido en horas) y dada por:
2x − 3 si xgeq5
6 − 3x si x < 5
38.
f (x) =


 4x + 3 si − 2 ≤ x < 0
1 + x2

 7
si 0 ≤ x < 2
si x > 2
39.
(
f (x) =
40.
1
x−2
si x < 3
3x + 5 si x > 3
(
f (x) =
1
5−x
1
x+5
x − 3 si x < 3
2x − 6 si x > 3
si x < 2
si x ≥ 2
A(t) = 3.9 + 0.2t − 0.1t2
41.
(
2x+3
x−4
1
1−2x
si xgeq1
si x < 1
Encuentre la cantidad de az´
ucar en la sangre:
a) Al principio de la prueba.
42.
b) 1 hora despu´es.
(
5x − 7 si x > 3
c) 2 12 horas despu´es de iniciada.
f (x) =
1
si
x
<
3
x−4
50. (Contaminaci´on atmosf´erica) El ´ındice
de contaminaci´on atmosf´erica en cierta ciudad
(43-46) Trace las gr´
aficas de las siguientes var´ıa durante el d´ıa de la siguiente manera:
funciones:
43.

(

2 + 4t si 0 ≤ t < 2


 6 + 2t
1 si xgeq5 > 0
si 2 ≤ t < 4
f (x) =
p(t) =
2 si x ≤ 0

14
si 4 ≤ t < 12



50 − 3t 12 ≤ t < 16
44.
(
1 si x < 0
Aqu´ı t es el tiempo en horas, con t = 0 cof (x) =
x si x ≥ 0
rrespondiente a 6 a.m. y t = 16 a 10 p.m. Haga
la gr´afica de esta funci´on. ¿Cu´ales son los ni45.
(
veles de contaminaci´on a las 8 a.m., 12 del d´ıa,
x
si x > 1
f (x) =
6 p.m. y 8 p.m.?
−x si x < 1
g(x) =
2
se C(x) por medio de expresiones algebraicas
apropiadas y bosqueje su gr´afica.
58. (Funci´on de costo) Un detallista puede
comprar naranjas al mayorista a los precios siguientes: 20 centavos por kilo si adquiere 20
kilos o menos; 15 centavos por kilo en el caso
de cantidades por encima de 20 kilos y hasta
de 50 kilos y 12 centavos por kilo para cantidades mayores de 50 kilos. Determine el costo
C(x) de adquisici´on de x kilos de naranjas.
59. (Funciones de ingresos) Un edificio de
departamentos tiene 70 habitaciones que puede rentar en su totalidad si la renta se fija en
$200 al mes. Por cada incremento de $5 en la
renta, una habitaci´on quedar´a vac´ıa sin posibilidad alguna de rentarla. Exprese el ingreso
mensual total R como una funci´on de:
a) x, si x es el n´
umero de incrementos de 5
d´olares en la renta
b) La renta mensual p
60. (Funci´on de utilidades) La ecuaci´on de
demanda del producto de una compa˜
n´ıa es
2p + 3x = 16, en donde x unidades pueden
venderse al precio de $ p cada una. Si el costo
de producir x unidades es de (100+2x) d´olares,
exprese la utilidad U como funci´on de
a) La demanda x
b) El precio p
61. (Descuento) Un agente de viajes ofrece un paquete vacacional de $500 por persona
para grupos de seis o m´as personas, con un
descuento de 10 % de este precio a partir de la
persona n´
umero doce en el grupo. Construya
la funci´on C(x) dando el costo promedio por
persona en un grupo de tama˜
no x (x ≥ 6).
62. (Costo postal) El costo de env´ıo de una
carta en primera clase es de 35 centavos por cada 10 gramos o fracci´on. Construya la funci´on
C(W ) que da el costo en centavos por enviar
una carta cuyo peso sea W (que no exceda de
50 gramos).
63. Un rect´angulo tiene un lado de x pulgadas. El per´ımetro del rect´angulo es de 20
pulgadas. Exprese el ´area A como una funci´on
de x y establezca el dominio de esta funci´on.
51. (Funci´
on de costo) Una empresa que fabrica radios tiene costos fijos de $3000 y el costo de la mano de obra y del material es de $15
por radio. Determine la funci´
on de costo, es decir, el costo total como una funci´
on del n´
umero
de radios producidos. Si cada radio se vende
por $25, encuentre la funci´
on de ingresos y la
funci´on de utilidades.
52. (Funci´
on de ingresos) Un fabricante puede vender 300 unidades de su producto al mes
a un costo de $20 por unidad y 500 unidades
a un costo de $15 por unidad. Exprese la demanda del mercado x (el n´
umero de unidades
que pueden venderse al mes) como una funci´on
del precio por unidad, suponiendo que es una
funci´on lineal. Exprese los ingresos como:
a) Una funci´
on del precio
b) Una funci´
on de x
53. (Agricultura) Un granjero tiene 200 yardas de cerca para delimitar un terreno rectangular. Exprese el ´
area A del terreno como una
funci´on de la longitud de uno de sus lados.
54. (Geometr´ıa) Un rect´
angulo est´
a inscrito en un c´ırculo de radio igual a 3 cent´ımetros.
Exprese el ´area A del rect´
angulo como una funci´on de la longitud de uno de sus lados.
55. (Funci´
on de costo) Se construye una cisterna de modo que su capacidad sea de 300
pies c´
ubicos de agua. La cisterna tiene como
base un cuadrado y cuatro caras verticales, todas hechas de concreto y una tapa cuadrada
de acero. Si el concreto tiene un costo de $1.50
por pie cuadrado y el acero cuesta $4 por pie
cuadrado, determine el costo total C como una
funci´on de la longitud del lado de la base cuadrada.
56. Repita el ejercicio 55 si la cisterna es un
cilindro con base y tapa circulares. Exprese el
costo C como una funci´
on del radio r de la
base del cilindro.
57. (Funci´
on de costo) El az´
ucar tiene un
costo de 25 centavos para cantidades hasta de
50 libras y de 20 centavos por libra en el caso
de cantidades superiores a 50 libras. Si C(x)
denota el costo de x libras de az´
ucar, expre3
64. De un cuadrado de cart´
on de 18 pulgadas
por lado se recortan cuadrados de lado x en cada esquina y luego se doblan hacia arriba para
formar una caja abierta. Exprese el volumen
V de la caja como funci´
on de x y determine el
dominio de esta funci´
on.
65. De un hoja rectangular de 20 × 16 cm, se
recortan en cada esquina cuadrados iguales de
lado x y luego los lados se doblan hacia arriba
para formar una caja sin tapa. Si V = f (x)
denota el volumen de la caja, determine f (x)
y establezca su dominio.
66. Un rect´
angulo, uno de cuyos lados mide
x pulgadas, est´
a inscrito dentro de un c´ırculo de radio c pulgadas. Exprese el ´
area A del
rect´angulo como una funci´
on de x y determine
el dominio de esta funci´
on.
(67-70) Establezca si las gr´
aficas siguientes
representan o no funciones.
Figura 3: Ejercicio 69
Figura 4: Ejercicio 70
Par´
abolas
(1-6) Determine los v´ertices de las siguientes
par´abolas.
l. y = 2x2 − 3
2. y = −1 − x2
3. y = x2 + 2x + 2
4. y = x2 − 3x − 3
5. y = 2 − x − 2x2
6. y = −2x − x2
(7-10) Bosqueje las siguientes par´abolas y
determine sus v´ertices.
7. y = 2x2 + 3x − 1
8. y = 4x − x2
9. y = 3 − x − 3x2
10. y = 4x2 + 16x + 4
(11-14) Determine el valor m´ınimo o m´aximo, seg´
un el caso, de las funciones siguientes.
11. f (x) = x2 − 3x
12. f (x) = 2x − 5x2
13. f (x) = 1 − x − x2
14. f (x) = 3x2 + x − 1
15. (Ingreso m´aximo) El ingreso mensual por
concepto de la venta de x unidades de cierto
Figura 1: Ejercicio 67
Figura 2: Ejercicio 68
4
art´ıculo est´a dado por R(x) = 12x − 0.01x2
d´olares. Determine el n´
umero de unidades que
deben venderse cada mes con el prop´
osito de
maximizar el ingreso. ¿Cu´
al es el correspondiente ingreso m´
aximo?
16. (Utilidad m´
axima) La utilidad P (x) obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto est´
a dada por P (x) = 60x − x2
Determine el n´
umero de unidades que deben
producirse y venderse con el objetivo de maximizar la utilidad. ¿Cu´
al es esta utilidad m´axima?
17. (Ingresos y utilidad m´
aximas) Una empresa tiene costos fijos mensuales de $2000 y
el costo variable por unidad de su producto es
de $25.
a) Determine la funci´
on de costo.
b) El ingreso I obtenido por vender x unidades est´a dado por I(x) = 60x − 0,01x2 . Determine el n´
umero de unidades que deben venderse al mes de modo que maximicen el ingreso.
¿Cu´al es este ingreso m´
aximo?
c) ¿Cu´antas unidades deben producirse y
venderse al mes con el prop´
osito de obtener
una utilidad m´
axima? ¿Cu´
al es esta utilidad
m´axima?
18. (Costo m´ınimo) El costo promedio por
unidad (en d´
olares) al producir x unidades de
cierto art´ıculo es C(x) = 20−0.06x+0.0002x2 .
¿Qu´e n´
umero de unidades producidas minimizar´ıan el costo promedio? ¿Cu´
al es el correspondiente costo m´ınimo por unidad?
19. (Cercado) Un granjero tiene 500 yardas
de cerca con la cual delimitar´
a un corral rectangular. ¿Cu´
al es el ´
area m´
axima que puede
cercar?
20. (Decisiones sobre cultivos) La producci´on de manzanas de cada ´
arbol en un huerto
es de (500 − 5x) kilos, en donde x es la densidad con que se plantan los ´
arboles (es decir, el
n´
umero de ´arboles por acre. Determine el valor
de x que haga que la producci´
on total por acre
sea m´axima.
21. (Agricultura) Si las plantas de arroz se
siembran con una densidad de x plantas por
pie cuadrado, la producci´on de arroz en cierta
plantaci´on es de x(10 − 0.5x) bushels por acre.
¿Qu´e valor de x maximiza la producci´on por
acre?
22. (Decisiones sobre cultivos) Si los manzanos se plantan con una densidad de 30 por
acre, el valor de la cosecha producida por cada ´arbol es de $180. Por cada ´arbol adicional
que se planta en un acre, el valor de la cosecha
disminuye en $3. ¿Cu´al es el n´
umero de ´arboles que deben plantarse por acre con objeto de
obtener el valor m´aximo de la cosecha? ¿Cu´al
es este valor m´aximo por acre de la cosecha?
23. (Fijaci´on del precio de un libro) Si un
editor fija el precio de un libro en $20 cada uno,
vender´a 10,000 ejemplares. Por cada d´olar de
incremento en el precio, las ventas bajan en
400 copias. ¿Qu´e precio deber´ıa fijar a cada libro de modo que el ingreso sea m´aximo? ¿Cu´al
es el valor de este ingreso m´aximo?
24. (Decisiones sobre fijaci´on de precios) En
el ejercicio 23, el costo de producir cada ejemplar es de $13. ¿Qu´e precio deber´a fijar el editor a cada ejemplar con el prop´osito de que la
utilidad sea m´axima?
25. (Decisiones sobre fijaci´on de alquileres)
Bienes ra´ıces orientales ha construido una nueva unidad de 40 departamentos para rentar. Se
sabe por las investigaciones de mercado que si
asigna una renta de $150 al mes, se ocupar´an
todos los departamentos. Por cada incremento de $5 en la renta, un departamento quedar´a vac´ıo. ¿Qu´e renta mensual deber´a asignar
a cada departamento de modo que obtenga ingresos por rentas mensuales m´aximos? Calcule
este ingreso m´aximo.
26. (Decisiones sobre fijaci´on de precios) La
demanda del mercado de cierto producto es de
x unidades cuando el precio fijado al consumidor es de p d´olares, en donde 15p + 2x = 720
El costo (en d´olares) de producir x unidades
est´a dado por C(x) = 200 + 6x. ¿Qu´e precio
p por unidad deber´a fijarse al consumidor con
objeto de que la utilidad sea m´axima?
27. Demuestre que el v´ertice de la par´abola
5
cuya ecuaci´on es y = a(x − h)2 + k est´a en el
punto (h, k).
M´
as funciones elementales y
sus gr´
aficas
(1-14) Determine los dominios de las siguientes funciones√y bosqueje sus gr´
aficas.
2
1. f (x) = 4 −
√x
2. f (x) = 2 − 9 − x2
√
3. g(x) = − 3 − x
√
4. f (x) = x − 2
5. f (x) = x1
−3
6. f (x) = x−2
7. f (x) = x3
8. f (x) = 1 − x3
9. f (x) = 2 − |x|
10. g(x) = |x| + 3
11. f (x) = |x + 3|
12. F (x) = −|x − 2|
13. f (x) = |x−3|
x−3
2−x
14. G(x) = |x−2|
15. ¿Cu´ales de los siguientes semic´ırculos re22. Centro (2, 2) y toca ambos ejes coordepresentan gr´
aficas de funciones? En cada caso
nados.
en que la respuesta sea afirmativa, determine
23. Toca ambos ejes coordenados, est´a en el
la ecuaci´on de la funci´
on a partir de la gr´afica.
segundo cuadrante y tiene radio de 3 unidades.
(24-29) Determine si cada una de las siguientes ecuaciones representa un c´ırculo. Si es as´ı,
encuentre su centro y radio.
24. x2 + y 2 + 2x + 2y + 1 = 0
25. x2 + y 2 − 4x − 8y + 4 = 0
26. x2 + y 2 + 3x − 5y + 1 = 0
27. 2x2 + 2y 2 − 5x + 4y − 1 = 0
28. 3x2 + 3y 2 − 2x + 4y − 11/9 = 0
(16-23) Encuentre la ecuaci´
on de cada c´ırcu29. x2 + y 2 + 4x + 8y + 25 = 0
lo.
30. (Curva de la demanda) Al precio de p
16. Centro (0, 2) y radio 5
d´olares por unidad, un fabricante puede vender
17. Centro (2, 5) y radio 3
x unidades de su producto, en donde x y p
18. Centro (−3, 0) y radio 4
est´an relacionadas por x2 + p2 + 400x + 300p =
19. Centro (0, 0) y radio 7
60, 000 Dibuje la curva de demanda. ¿Cu´al es
20. Centro (1, −3) y pasa por el punto el precio m´as alto por encima del cual no hay
(2, −1)
ventas posibles?
31. (Relaci´on de la demanda) Un comercian21. Centro (−2, 1) y pasa por el punto (0, 4)
6
punto x desde la tierra m´as cercana adelante
del avi´on. Escriba expresiones algebraicas para
g(x).
(36-45) Determine los valores m´aximos y/o
m´ınimos de las siguientes funciones si existen
y los valores de x en donde ocurren. (Sugerencia: En cada caso considere la gr´afica de la
funci´on).
36. f (x) = 2 − |x + 1|
37. f (x) = |2x + 1| + 2
38. f (x) = x − |x|
39. f (x) = |x−5|
5−x√
40. f (x) = √
1 + 4 − x2
2
41. f (x) = 1 −
√9x − 2
42. f (x) = √
1 − 9 − x2
43. f (x) = 16√
− x2 − 1
44. f (x) = 2√
− 3 − 2x
45. f (x) = 2 1 − x + 1
te de autom´
oviles puede vender x autom´oviles
de un modelo particular al fijar un precio de p
por autom´ovil, con x2 + p2 + 4000x + 2500p =
19, 437, 500 Grafique la curva de la demanda
para este modelo de autom´
ovil. ¿Cu´
al es el
precio m´as alto hasta el cual es posible realizar ventas?
32. (Curva de transformaci´
on de productos)
El propietario de un huerto puede producir
manzanas para mesa o manzanas destinadas
a la fermentaci´
on. Las cantidades posibles x
de manzanas para mesa (en kilogramos) y y
de sidra (en litros) est´
an relacionadas por la
ecuaci´on x2 + y 2 + 8x + 250y = 6859 Dibuje la
gr´afica de esta relaci´
on (denominada la curva
de transformaci´
on de productos) y determine
las cantidades m´
aximas de manzanas o sidra
que pueden producirse.
33. (Curva de transformaci´
on de productos)
Las industrias de bicicletas Coronado fabrican
dos tipos de bicicletas denominadas Coronado
y Estrella del este. Las cantidades posibles x y
y (en miles) que puede producir al a˜
no est´an
relacionadas por x2 + y 2 + 6x + 10y = 47 Bosqueje la curva de transformaci´
on de productos de esta empresa. ¿Cu´
ales son los n´
umeros
m´aximos de bicicletas de cada tipo que pueden
producirse?
34. (Distancia m´ınima) Un avi´
on vuela una
distancia de 1000 millas sobre el oc´eano, y su
ruta pasa sobre dos islas, una despu´es de 200
millas y la otra despu´es de 700 millas. Si x es
la distancia de un punto de la ruta a un punto
dado (0 ≤ x ≤ 1000), determine la funci´on
f (x) que es igual a la distancia de ese punto a
la tierra m´as cercana. Trace su gr´
afica.
35. (Distancia m´ınima) En el ejercicio anterior, la funci´
on g(x) es igual a la distancia del
Operaciones de funciones
(1-5) Calcule la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las dos funciones f y g
en cada uno de los siguientes ejercicios. Determine los dominios de las funciones resultantes.
1
1. f (x) = x2 ; g(x) = x−1
√
2
2. f (x) = x
√ + 1; g(x) = x1
3. f (x) = x − 1; g(x) = x+2
√
4. f (x) = 1 + x; g(x) = 2x+1
x+2
5. f (x) = (x + 1)2 ; g(x) = x21−1
√
(6-13) Dadas f (x) = x2 y g(x) = x − 1,
eval´
ue cada una de las siguientes composiciones.
6. (f ◦ g)(5)
7. (g ◦ f )(3)
8. (f ◦ g)(5/4)
9. (g ◦ f )(−2)
10. (f ◦ g)(1/2)
11. (g ◦ f )(1/3)
12. (f ◦ g)(2)
13. (g ◦ f )(1)
√
1
(14-21) Si f (x) = 2x+1
y g(x) = − x,
eval´
ue cada una de las funciones siguientes.
14. (f ◦ g)(1)
7
√
f´ormula R = T 5 + 3 T . Si T var´ıa con el tiempo de acuerdo a T = 3(t + 1), exprese R como
una funci´on de t y eval´
ue R cuando t = 2.
40. (F´ısica) La velocidad de una cuerpo que
cae var´ıa con la distancia recorrida de acuerdo
√
con la f´ormula v = 8 y (v = velocidad en pies
por segundo, y = distancia en pies). La distancia que cae var´ıa con el tiempo t (en segundos)
de acuerdo con la f´ormula y = 16t2 . Exprese v
como una funci´on de t.
41. Si f (x) = ax − 4 y g(x) = bx + 3,
determine la condici´on sobre a y b tal que
(f ◦ g)(x) = (g ◦ f )(x) para toda x.
42. Si f (x) = x + a y g(t) = t + b, demuestre
que (f ◦ g)(x) = (g ◦ f )(x).
43. (Construcci´on de viviendas) El n´
umero
de viviendas construidas por a˜
no, N , depende
de la tasa de inter´es hipotecaria r de acuerdo
con la f´ormula
15. (f ◦ g)(1/4)
16. (f ◦ g)(−1)
17. (f ◦ g)(4)
18. (g ◦ f )(0)
19. (g ◦ f )(3/2)
20. (g ◦ f )(−1)
21. (g ◦ f )(−1/2)
(22-32) Determine (f ◦ g)(x) y (g ◦ f )(x) en
los siguientes ejercicios.
22. f (x) = x2 ; g(x) = 1 + x
√
23. f (x) = x + 1; g(x) = x2
√
1
24. f (x) = 1+x
; g(x) = x + 1
√
25. f (x) = 2 + x; g(x) = (x − 2)2
26. f (x) = x2 + 2; g(x) = x − 3
√
27. f (x) = x, g(x) = x2
28. f (x) = |x|; g(x) = x2
29. f (x) = x − 1; g(x) = x−1
30. f (x) = 3x − 1; g(x) = x+1
3
31. f (x) = 3; g(x) = 7
32. f (x) = 4; g(x) = x2
(33-36) Encuentre f (x) y g(x) de tal manera
que cada funci´
on composici´
on f ◦ g sea como
est´a escrita. (La respuesta no es u
´nica. Elija f
y g de la manera m´
as simple).
33. (f ◦ g)(x) = (x2 + 1)3
√
34. (f ◦ g)(x) = 2x + 3
35. (f ◦ g)(x) = x21+7
36. (f ◦ g)(x) = √x12 −5
37. (Funci´
on de ingreso) La demanda x de
cierto art´ıculo est´
a dada por x = 2000 − 15p,
en donde p es el precio por unidad del art´ıculo.
El ingreso mensual I obtenido de las ventas de
este art´ıculo est´
a dado por I = 2000p − 15p2 .
¿C´omo depende I de x?
38. (Funci´
on de ingreso) Un fabricante puede vender q unidades de un producto al precio
p por unidad, en donde 20p + 3q = 600. Como
una funci´on de la cantidad q demandada en
el mercado, el ingreso semanal total est´a dado
por R = 30q − 0.15q 2 . ¿En qu´e forma depende
R del precio p?
39. (Reacci´
on qu´ımica) La velocidad a la
cual un qu´ımico se produce en cierta reacci´on
depende de la temperatura T de acuerdo con la
N (r) =
50
100 + r2
donde N est´a en millones. La tasa de inter´es
actualmente est´a en 12 % y se predice que disminuir´a a 8 % en los siguientes 2 a˜
nos de acuerdo con la f´ormula
r(t) = 12 −
8t
t + 24
donde t es el tiempo medido en meses, a partir de ahora. Exprese N como una funci´on del
tiempo t. Calcule el valor de N cuando t = 6
Funciones impl´ıcitas e inversas
(1-14) Determine la(s) funci´on(es) expl´ıcita(s) que corresponde(n) a las siguientes relaciones impl´ıcitas.
1. 3x + 4y = 12
2. 5x − 2y = 20
3. xy + x − y = 0
4. 3xy + 2x − 4y = 1
5. x2 − y 2 + x + y = 0
6. x2 y + xy 2 − x − y = 0
7. x2 + y 2 + 2xy = 4
8
8. 9x2 + y 2 + 6xy = 25
9. 4x2 + 9y 2 = 36
10. 4x2 − 9y 2 = 36
√
√
11. x + y = 1
12. xy 2 + yx2 = 6
13. xy 2 + (x2 − 1)y − x = 0
14. y 2 − 3xy + (2x2 + x − 1) = 0
(15-24) Encuentre la inversa de cada una de
las siguientes funciones. En cada caso, dibuje
las gr´aficas de la funci´
on y su inversa.
15. y = −3x − 4
16. y = x − 1
17. p = 4 − 25 x
18. q = 3p
√ +6
19. y = q3x − 4
20. y = 14 x + 2
21. y = x5
√
22. y = √x
23. y = √
4−x
24. y = − 2 − x
(25-30) Efectuando una restricci´
on adecuada sobre el dominio de cada una de las siguientes funciones, determine una funci´
on inversa.
25. y = (x + 1)2
26. y = (3 − 2x)2
2/3
27. y = x
√
28. y = x2 + 1
29. y = |x − 1|
30. y = |x| − 1
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