Feret 径 に よ る 粒 度 解 析 に 粒 子 形 状 が 及 ぼ す 影 響 に つ い て
椿 淳 一 郎・ 神
保
名古屋大学工学部
元
二
化学工学 科*
粉 体 の 形 状 が,Feret径
に よ っ て測 定 され た粒 度 分 布 に 及 ぼ す 影 響 につ い て,理 論 的 に 検 討 を 加 え
た.粒 度 分 布 が 対 数 正 規 分 布 で表 され る,楕 円,矩 形,菱 形 の粉 体 に つ い て,形 状 の影 響 を 表 す 理
論 式 を数 値 計 算 に よ り解 いた.
そ の結 果,測 定 値 の 分 布 は母 集 団 の分 布 よ り広 くな る だけ で な く,50%径
あ る こ と,形 状 の 及 ぼ す 影 響 の 大 き さ は,菱 形,楕
に 偏 りを 生 ず る場 合 も
円,矩 形 の順 で あ る こ とが わ か った.
測 定 され る確 率 をq(E(dF),dF)と
緒
口
径 の測 定 値dFは
粉 体 試 料 の粒 度 を影 像 処 理 法 に よっ て 解 析 す る際,試
定 義 した と き,Feret
次 式 で 定 義 され る分 布 関数f(dF)に
従
って 分 布 す る.
料 の粒 度 分 布 か ら求 め られ た 平 均 粒 子 径 に,分 布 に 起 因
(3)
す る誤 差 や 偏 りを 生 ず る.この 誤 差 に 関 し て は理 論 解 析2)
お よ び シ ミュ レー シ ョンに よ る研 究1)が あ り,偏
次 に,楕 円,矩 形,菱 形 の モ デ ル粒 子 のそ れ ぞ れ につ
りに 関
し て も 理 論 と シ ミュ レ ー シ ョン両 面 か ら詳 細 な 研 究3'4)
い てq(E(dF),dF)を
楕 円Fig.1に
が な され て い る.し か し代 表 径 と し てFeret径,Martin
径 な ど の平 面 上 の影 像 に つ い て1次 的 な径 を選 ぶ と,球
誘 導 す る.
示 す よ うに 楕 円 の姿 勢 θ とdFの
係 を 定 め る と,dFと
(4)
形 粒 子 以 外 で は 同 一 粒 子 で も姿 勢 に よ っ て そ の 測 定 値 が
異 な っ て くる.こ の 形 状 に 起 因 す る誤 差 に 関 して,報 告
た だ し,
(5)
者 の1人 は楕 円 モ デ ル 粒 子 に 関 す る シ ミュ レー シ ョン研
Eq.(4)をa-2,b-1の
究1)を試 み た こ とが あ る.
本 報 告 は,形 状 は 分 布 を 持 た ず す べ て相 似 で,粒 径 だ
け が分 布 を 持 つ モ デル 粉 体 をFeret径
に よ っ て 測定 す る
場 合,そ の測 定 値 の 母 集 団 が 取 る分 布 式 を理 論 的 に 求 め,
さ ら に数 値 計 算 に よ って この 式 を解 き,Feret径
4に
示 し た.図
場 合 に つ い て 求 め た も の をFig.
か ら も わ か る よ う にdFが[dF,dF+⊿dF]
と 測 定 さ れ る 確 率 は2⊿
q(E(dF),dp)は
θ/π で 与 え ら れ る か ら,確
率
次 の よ う に 定 義 さ れ る.
を代表
径 と し て用 い た場 合 に,形 状 が 平 均 粒 径 に及 ぼす 誤 差 と
関
θ の関 係 は次 式 で与 え られ る.
(6)
Eq.(4)よ
りdθ/ddFはEq.(7)で
与 え ら れ る.
偏 りにつ い て検 討 を 加 え,若 干 の興 味 深 い知 見 を得 た の
(7)
で報 告 す る もの で あ る.
1.
こ こ でEq.(2)にEq.(4)を
基 礎 式 の導 出
代 入 す れ ばEq.(8)が
得 ら
れ る.
粒 子 の 形 が す べ て相 似 で あ る モ デ ル 粉 体 試 料 に つ い て
考 え る.球 形 粒 子 以外 の 粒 子 で は,た
3に 示 す よ うに そ のFeret径
(8)
とえ ぽ Figs.1,2,
は 粒 子 の姿 勢 θの 関 数 とな
た だ し,
り,
(9)
(1)
と表 され る.あ る粒 子 のFeret径
す る と,E(dF)は
の期 待 値 をE(dF)と
Eq.(8)を
(6)に
次 式 の よ うに 表 され る.
用 い てEq.(7)のaを
代 入 す れ ばEq.(10)で
消 去 し,Eq・(7)をEq
確 率g(E(dF),dF)が
与 えら
れ る.
(2)
い ま,粉 体 試 料 の粒 度 分 布 は 分 布 関数p(E(dF))に
もの とす る.ま た,期 待 値 がE(dF)で
*
〒464名
232
古屋 市千種区不老町
従う
(10)
あ る粒 子 がdFと
た だ し,Eq.(10)はEq.(11)の
範 囲 で の み 定 義 さ れ る.
化学工学論文集
Fig.
1
Geometry
of ellipsoidal
particle
Fig. 4
Feret's
2.0)
diameter
vs. orientation
of particle
(Z=
(a)
Fig.
2
Geometry
of rectangular
particle
(b)
Cc)
Fig.
3
Geometry
of rhombic
particle
(11)
Z=2.0の
楕 円 につ い てEq.(10)を
す とFig.5(a)が
計 算 して グ ラ フに 示
得 られ る.
矩 形Fig.2に
示 す よ うに矩 形 の 姿 勢 θ とdFの
係 を 定 め る と,dFは
関
Fig. 5
次 の よ うに与 え られ る.
(12)を
あ る.a=2,b=1と
図 示 す れ ば,Fig.4と
な る か ら,楕
様 に,q(E(dp),d.)はEqs。(13),(14)で
2a/z≦dF<2aで
し てEq,
d F),
of model
(c)
は,
(14)
定 義 さ れ る.
Eq.(12)よ
は,
第3号(1978)
2a≦dp≦2a√1十1/z2で
q(E(d
[(a) ellipsoid, (b) rectangle,
円 の場 合 と同
(13)
第4巻
function,
particle (Z =2.0),
rhombus]
(12)
た だ し,α=tan-1(1/z)で
Probability
り,dθ/ddFを
求 め る と,
(15)
233
Table
1
Results
of numerical
calculation
2(1十Z)dF/πu/1十Z2≦E(dF)<2(1十Z)dF/πZで
は,
(18)
Z-2.0の
矩 形 に つ い てEqs.(17),(18)よ
を 求 め 図 示 す る とFig.5(b)を
Fig.
6
Flow
chart
of
the
numerical
calculation
菱 形Fig.3に
りq(E(dF),dF)
得 る.
示 す よ う に 菱 形 の 姿 勢 θ と4Fの
係 を 定 め れ ば,dFは
関
次 の 二 つ の 式 で 求 め られ る.
2a/u/Z2十1≦dF≦2a/Zで
は,
(19)
2a/Z≦dF≦2aで
は,
(20)
a=2,b=1と
し てEqs.(19),(20)を
が 得 ら れ る.Fig.4か
様 二 つ の 領 域 でq(E(dF),dF)が
(20)を
も と に 楕 円,矩
q(E(dF),dF)が
図 示 す れ ばFig.4
ら わ か る よ う に,矩
形 の 場 合 と同
定 義 さ れ る.Eqs.(19),
形 の 場 合 と同 じ よ う に し て
導 か れ る の で こ こ で は 結 果 の み を 示 す.
21十Z2dF/π
≦E(dF)<2(1十Z2)dF/πZで
は,
(21)
21十Z2dF/πZ<E(dF)<21十Z2dF/π
Fig.
7
Comparsion
が 得 ら れ る.ま
式 でE(dF)が
of
numerical
results
た,Eq.(12)をEq.(2)に
and
代入すれば次
の 定 義 区 間 のaを
よ びEqs.(13),(14)
消 去 す れ ば,Eqs.(13),(14)は
それぞ
れ 次 の よ う に 書 き 改 め ら れ る.
2(1十z)dF/πz≦E(dF)<2(1十z)dF/π
z=2.0の
菱 形 に つ い てEqs.(21),(22)を
Fig.5(c)に
与 え ら れ る.
関 係 を 用 い てEq.(15)お
(22)
theory
(16)
Eq.(16)の
で は,
計算す る と
示 す 結 果 を 得 る.
以 上 楕 円,矩 形,菱 形 の モ デ ル粒 子 につ い て そ れ ぞ れ
確 率q(E(dF),dF)を
まれ ばEq.(3)の
求 め た ので,E(dF)の
分布 関数が決
積 分 を 行 うこ とが で き る.こ
こで は,
実 際 に 広 く適 用 し うる こ とが確 か め られ て お り,か つ 計
算 上 も好 都 合 な対 数 正規 分 布 を 仮 定 し,簡 単 のた め50%
で は,
径 μ を1.0と
し,幾 何 標 準 偏 差 を σgと して 次 式 で 表す
こ と と した.
(17)
234
(23)
化学 工学論文集
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig.
8
Numerical
results
of rhombuses
Fig. 9
こ こ で,α,δ
と,ま
Influence
of Z on it' (a) and cg' (b), (c), (d)
は 形 を 表 す た め の相 対 的 長 さで あ る こ
た μ=1.0と
仮 定 す る の でE(dF),dFは
と 考 え ら れ る こ と か ら,a,b,E(dF),dFは
μ との比
無次元 とし
た.
(a)
2.
数値 計 算 の 方 法
数 値 計 算 はHITAC10を
用 い て 行 っ た.Fig.6に
算 の フ ロ ー チ ャ ー トを 示 し た.dFは
logσgま
で0.05logσgき
のdFでq(E(dF),dF)の
分 を 行 いf(dF)を
F(dF)に
一3logσgか
ざ み に 分 割 し て 与 え,そ
定 義 区 間 を400等
求 め た.f(dF)を
計
ら2.5
(b)
れぞれ
分 し,図
積
ふ るい 下 積 算 分 布
改 め 書 き 出 し た.
計 算 精 度 の チ ェ ッ ク は,円
の モ デ ル 粒 子 に おい て は次
Fig.
10
Influence
of ag on
ag'
の 関 係 が 成 り立 つ こ と を 利 用 し て 行 っ た.
(24)
計 算 は 楕 円 モ デ ル に お い てZ=1.0と
ロ グ ラ ム の 都 合 でZ=1.0005と
の 例 をFig.7に
でEq.(24)が
示 し た が,ふ
す れ ば よ い が,プ
し て 計 算 し た .σg=1.5
る い 下 積 算 で90%近
成 立 し て い る の で,十
くま
分 な計 算 精 度 が得
られ て い る も の と判 断 し た.
場 合 に つ い てFig.9(a)に
り ⊿μ はZと
示 し た.偏
に30%前
後 の 偏 りが 生 ず る こ とが わ か る.さ ら
が1.0よ
る.⊿ σgはい ず れ の場 合 もZに
示 した.図 か ら もわ か る よ うに,50%径
も幾 何
同様対数正規分布
い る.Zを
がFig.10で
対 し て直 線 的 に増 加 して
矩 形 の 場 合 は ほ とん ど変 化 が 見 られ な い こ とが わ か る.
算 結 果 を50%径
響 を 受 け てい る.
μ',幾何 標 準 偏 差 σg'で表 しTable1に
あ
あ る.σgに 対 して ⊿σgは減 少 し て い る が,
Figs.9,10を
第3号(1978)
関係をそ
パ ラ メー タ と して ⊿σgと σgの 関 係 を み た の
に 従 うとい っ て よ い.そ こ で それ ぞれ の モ デル 粒 子 の計
第4巻
り小 さ く な り負 の
れ ぞ れ の σgに つ い てみ た の がFigs.9(b),(c),(d)で
計 算 結 果
標 準 偏 差 も変 わ っ て くる が,fもpと
とも
に増 大 し,円 や 正 方 形 か ら 少 しだ け形 が 変 化 す るだ け で
50%径
⊿σg=(σgLσg)/σgで 表 し,そ の百 分 率 とZの
最 も形 状 の 影 響 が 現れ る σg=1.2の 菱 形 の 場 合 の例 を
Fig.8に
の 偏 り を ⊿μ=
関 係 を σg=1.2の
偏 りが生 ず る よ うで あ る.次 に幾 何 標 準 偏差 の 変 化 率 を
略 記 し て 用 い る こ と と す る.
3.
の 表 を も と に50%径
に σg=2.0の 場 合,50%径
以 下 で は 簡 単 の た めp(E(dF)),q(E(dF),dF),f(dF)を
そ れ ぞ れp,q,fと
ま と め た.こ
(μ,一μ)/μで 表 し,そ の百 分 率 とZの
通 じ て,菱 形,楕
円,矩 形 の順 で形 状 の影
235
(a)
(b)
Fig. 12
Fig.
11
Relation between p(E(d F)) and domain
lipsoid's q(E(d F), dF)
Fig.12に
4.
考
察
まな 測 定 値dFを
生 じ な い場 合 そ れ ぞ れ の 分 布 関 数pと
近 くで最 も大 きなgの
間 を示 した.pとqの
値 を と り,
る.こ の こ と よ り,菱 形 が 最 も形 状 の影 響 を受 け 易 く矩
結
りを生 ず る 場 合 と
確 率qの
み て み る と,矩
逆 に菱 形 の 場 合 は 定 義 区 間 の両 端 でqは 大 き くな って い
の偏 りにつ い て 考 え て み る.Fig.11
楕 円 モ デ ル 粉 体 で,偏
dF),
形 が形 状 の影 響 を 受 け に くい こ とが わ か る.
と る こ とか ら容 易に 説 明 され る.
(ii)次 に50%径
に σgが1.2の
対 して あ る範 囲 内 で さ まざ
Q(E(dF),
示 す 累 積 密 度Q(E(dF),dF)で
形 がE(dF)/dF=1.0の
(i)測 定 値 の分 布fが 期 待 値 の分 布pに 比 べ て広 い の
は,一 つ の期 待 値E(dF)に
Cumulative probability function,
of model particles (Z=2.0)
of el-
定 義区
積 の 積 分 で 定 義 され る 分 布 関 数f
言
対 数 正 規 分 布 に 従 っ て分 布 し てい る粉 体 試 料 を,Feret
径 に よ っ て 測 定 す る と き,そ の測 定 値 の分 布 式 を楕 円,
も対 数 正 規 分 布 に 従 う こ とが 確 か め られ て い る の で,f
矩 形,菱 形 の モ デル 粉 体 粒 子 につ い て理 論 的 に 求 め,そ
を 最 大 にす るdFが
れ を 数 値 計 算 に よ り解 い た.そ の結 果,測 定 値 の 分布 も
測 定 値 の50%径
とな る.偏
りを 生
じな い(a)と 偏 りを 生 ず る(b)を 比 較 して み る と,(a)で
対 数 正 規 分 布 で 表 され,そ
はdFが0.8か
何 標 準 偏 差 よ り大 き くな る だ け で な く,50%径
ら1.3の 時 はqの
定 義区 間 内 でpは 十 分
大 き な値 を 持 つ,そ れ に 対 し て(b)で
はdFを
どのよ う
に選 ん で もqの 定 義 区 間 の下 限 が上 限 近 くでpは
近 い 値 とな る.Fig.5(a)に
示 したgの
の よ うな 場 合 はdFが1.0の
ゼ ロに
形 か ら考 え て,(a)
の 大 き さは 菱 形,楕
円,矩 形 の順 で あ る こ と が わ か っ
た.
近 傍 で,(b)の 場 合 はqの 定
積 の 積分 値/は 最 大 値 を持 つ こ とが わ か る.
この た めpとgの
な く,(b)の
る とZが
定 義 区 間 が(a)の よ うな 場 合 は 偏 りは
よ うな 場 合 は 偏 りを生 ず る.σgが 大 き くな
大 き くな っ て も(b)の
Nomenclature
E(dF)
=
E(dF)min
り小 さ な値 を と るの は,qの
expectation
=
of
minimum
Feret's
parsicle
diameter
with
[―]
measuring
value [―]
E(dF)max=maximum
タ イ プに は な らず きわ
だ っ た 偏 りは 生 じな い.ま た σg,Zが 共 に 大 きい とき に
dFが1.0よ
に偏 り
を生 ず る場 合 もあ る こ と,さ らに粒 子 形 状 の 及 ぼ す 影 響
義 区 間 の 下 限 値 の近 傍 で ρ が ピー クを 持 つ 場 合 に そ れ ぞ
れpとqの
の幾 何 標 準 偏 差 は 母 集 団 の 幾
particle
with
measuring
valuedF
[―]
F,F(dF)=cumulasive
undersize
distribusion
funcsionofdF
定 義 区 間 の上
[―]
π/2
限 値 は 下 限 値 に比 べ てZ倍
だ けZに
め で あ る.つ ま り同 じdFで
もZが
定 義 区 間 は 相 対 的 にE(dF)の
うの で,を
対 し て変 化 す る た
大 き くな る とqの
最 大 にす るdFは
円,菱 形 の順 で 大 き くな っ て い る.測 定 値
分 布!はpとqの
で,E(d刃)/dFが1.0の
持 つ ほ ど1はpに
積 の 積 分 で 定 義 され て い る の
近 くで,qが
近 づ い て くる.つ ま り形 状 の影 響 は
小 さ くな る.そ こ で,Fig.5に
236
大 き な値 を持 て ば
示 した 確 率9を 積 分 して
√ 1-(1-1/Z2)sin2θdθ
∫
[―]
0
Q(E(dF),dF)
=
cumulasive
funcsion
E(dF)
逆 に 小 さい 方 へ 移 行 す る
(iii)形状 の違 い に つ い て考 察 し て み る.形 状 に よ る影
dFの
=
大 きい方 へ 移 行 し て しま
もの と思 わ れ る.
響 は 矩 形,楕
K
=
elongasion
a
=
major
b
=
minor
dF,dF(θ)
=
aparticle
is measured
Z
f,f(dF)
probability
which
as
rasio
dF
[―]
(=a/b)
semiaxis
semi
densisy
of
of
axis
[―]
model
of
particles
model
[―]
parsicles [―]
Feres'sdiameser
=
frequency
[―]
dissribution
function
of
dF
[―]
P,P(E(dF))=frequency
of
dissribution
function
E (dF) [―]
q,q(E(dF),dF)=probabilisydensisyfunction
化学工学論文集
which
a particle
o fE(dF)is
measured
as
dF
⊿μ,⊿σ =
(μ'一 μ)/μ,(σg,一
σg)/σg, respecsively
Literature
α
=
san-1(1/z)
θ
=
oriensasion
of
μ
=
population
mean
μ
=
mean
σg
=
populasion
σg
=
geomesrical
[―]
diameter
parsicle
of
(=1.0)
[―]
dF
[―]
measured
geomesrical
standard
measured
[―]
standard
deviation
of
dF
infinitesimal
[―]
dF
and
θ
(1977年6月6日
1976年11月)に
[―]
Effect
of Particle
Using
Feret's
cited
1) Jimbo, G. and M. Ishii: Proceedings of Powtech, 71.,
(1971)
2) Masuda, H. and K. Iinoya: J. Chem. Eng. Japan., 4, 60
(1971)
3) Mori, Y. and A. Suganuma: Kagaku Kogaku Rombunshu.,
1, 2 (1975)
4) Yamamoto, H., A. Suganuma and Y. Mori: ibid., 1, 2
(1975)
[―]
diameser
deviation
⊿dF,⊿ θ =
[―]
[―]
Shape
on Size
受 理;第14回
て 一 部 発 表)
粉 体 に 関 す る討 論 会(岡 山,
Analysis
Diameter
Jun-ichiro
Tsubaki
and Genji Jimbo
Dept. of Chem. Eng., Nagoya Univ., Nagoya 464
The effect of the shape
of a powder
on its size distribution
was studied theoretically.
The theoretical
equation
ellipsoidal, rectangular
and rhombic particles having
measured
by Feret's
diameter
of the effect was solved numerically
logarithmic
normal size distribution.
for
It was found not only that the measured variance was greater than the population
variance,
but also that the average diameter bore a bias under some conditions
and that the order of the
effect of shape
第4巻
第3号(1978)
was rhombus,
ellipsoid
and rectangle.
237

小児股関節フォロー撮影における 被曝線量低減の試み 23

カンボジア・トンレサップ湖の水質について

ハンマ腰入れした丸鋸の振動特性

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