「天体物理特論」資料（2012年後期）

天体物理特論
浅野勝晃
目標：天体からの放射過程を理解する
天体物理における2本柱
流体輻射
“Radiative Processes in Astrophysics”
Rybicki & Lightman
1. 輻射輸送
2. 電磁波の基礎理論
3. 荷電粒子からの放射
4. 放射に対する相対論的効果
5. 制動放射
6. シンクロトロン放射
7. コンプトン散乱
数式の変形よりも、論理展開の把握を重視。
議論の前提、観測から導き出せる物理、適用限界などを理解する
成績評価：出席＋議論への積極性（＋レポート）
http://www.ircs.titech.ac.jp/asano/Rikkyo.pdf
天体物理を学ぶ意義
我々が住む宇宙の歴史を知る
宇宙の観測と基礎科学
1687 ケプラーの法則をニュートンが説明
1929 ハッブルの観測が宇宙膨張を示唆
1932 宇宙線の中から陽電子
1937 宇宙線の中からミューオン
1947 宇宙線の中からπ中間子
1947 宇宙線の中からK中間子
1970- 太陽ニュートリノ問題（ニュートリノ振動）
1972 BH候補天体Sco X-1
1975 暗黒物質
1978 連星パルサー（重力波の間接証拠）
1979 重力レンズ天体
1992 CMBの揺らぎ（インフレーション）
1998 加速膨張（暗黒エネルギー）
地上実験は1970年代に完成した素粒子標準理論と
無矛盾。しかし、素粒子理論は宇宙観測から要求され
る、暗黒物質、暗黒エネルギー、インフラトンを説明し
なくてはいけない。今後も宇宙の観測は基礎科学の方
向性に影響を与えるかもしれない。（今以上の情報を
引き出せるか？）
宇宙物理の現状
宇宙論：宇宙の年齢、密度、膨張則、インフ
レーションなど大枠は確立。
⇒初代天体形成、宇宙の再電離などへ興
味は移りつつある。
天体物理：星・銀河形成、ブラックホールか
らのジェットなど、様々な課題が残されてい
る。
両分野共、電磁波による観測と
理論の比較が主な研究手段。
超新星残骸
宇宙線源
様々な波長で見た宇宙
電波
赤外
可視
X線
全天マップ
地球（等積図法）
天球
三次元分布を二次元に射影
電磁波で探る宇宙：将来計画の例
ガンマ線観測
銀河中心からの暗黒物質対消滅
χ＋χ→γ＋γの兆候を探す。
CTA（TeV領域）
SKA（電波）
初代星からの紫外線で宇宙が
再電離していく様子を探る。
z=12
z=9
z=7
天体の進化における輻射の役割
中性水素ガス
周囲を電離・加熱
星形成を抑制
原始星
輻射冷却
収縮
輻射により
重力エネルギーを解放
UV放射
星の中心核で
鉄の光分解
重力崩壊
主系列星
（核融合）
分子雲
（高密度の水素分子ガス）
ガンマ線バースト
輻射圧によるジェット加速？
CGSガウス単位系
長さ cm, 質量 g, 時間 s
エネルギー（mc2）: erg≡ g cm2 s-2=10-7J （g=erg cm-2 s2）
電子2つの間に働く力
素電荷
e2
F = 2 [erg cm -1 ]
r
e = 4.8 ×10 −10 [erg1/2 cm1/2 ]
Maxwell方程式 ∇ ⋅ E = 4πρe , ∇ ⋅ B = 0
1 ∂E
4π
1 ∂B
= ∇× B −
j,
= −∇ × E
c ∂t
c
c ∂t
電場と磁場の単位は同じ：G ≡ erg1/2 cm-3/2
−12
18
eV
1
.
6
10
erg,
pc
3.1
10
cm
=
×
=
×
補助単位
G, Hz = s -1 , K = 8.6 ×10 −5 eV, Jy = 10 − 23 erg s -1 cm -2 Hz -1
(nG, µG, mG, keV, MeV, GeV, TeV, PeV...)
１．輻射輸送の基礎
•
•
•
•
•
•
Intensityの定義
真空中でのIntensityの保存
輻射輸送方程式（放射、吸収、散乱）
光学的に深い場合
アインシュタイン係数
拡散近似（Rosseland近似）
幾何光学の世界
輻射輸送計算例：宇宙再電離
輻射場 z=20
z=15
z=12
z=11
z=10
z=9
温度
流体計算（宇宙膨張＋重力）＋星形成
＋放射冷却＋輻射輸送＋化学反応＋電離
http://faculty.smu.edu/reynolds/research_lca.html
輻射輸送計算例：パルサー磁気圏
電荷密度
γ線スペクトル
Hirotani 2006
Hirotani 2007
一般相対論＋Boltzmann eq.（プラズマ）＋電磁場＋γ線放射＋輻射輸送
γ＋γ→e-＋e+
輻射輸送計算例：超新星爆発
密度
ニュートリノ
輻射輸送
ニュートリノによる加熱率
テクニックは同様
加熱効率
Takiwaki+ 2012
Intensity
光子の属性
1.
2.
3.
エネルギー（振動数）
軌道（飛んでいく方向）
偏光（ここでは扱わない）
θ
dS
Ω = (θ , ϕ ) x = ( x, y, z )
dE
Iν ( x, Ω ) =
dS ⋅ dt ⋅ dΩ ⋅ dν
- 2 -1
-1
-1
-2
[erg cm s sr Hz ] = [erg cm ]
dΩ
個数
エネルギー
？？
ϕ
Iν
nν ( x, Ω) =
hν
Iν ∝ νnν
νIν ∝ ν 2 nν
dE
[cm 2 s -1 ]
Iε =
dS ⋅ dt ⋅ dΩ ⋅ dε
観測されたIntensityの例
CMB(cosmic microwave background）
美しいプランク分布
EBL(extra-galactic background light）
Intensityの保存
Iν
dS1
dΩ1
dΩ 2
R
dIν
真空中では
=0
dx
dS 2
IntensityとFlux
R*
Iν = const.
r
θM
Flux
⎛ R* ⎞
Fν = ∫ Iν cos θν dΩ = πIν ⎜ ⎟
⎝ r ⎠
2
θ M が望遠鏡の角分解能（angular
resolution）より小さい時は点源。
Fluxしかわからない。
1′ = 1o / 60, 1′′ = 1′ / 60
HST
Intensityは“光線”、Fluxは光線の“本数密度”
VLA 0.05’’
Chandra
0.5’’
エネルギー密度・ガス中の光子
cdt
エネルギー密度
Iν
dS
4π
1
uν =
Jν , Jν ≡
Iν dΩ
∫
4π
c
平均Intensity
Intensityは真空中では一定。
Intensityに影響を与える因子
•放射（光子生成）
•吸収（光子消滅）
•散乱（方向の変化）
輻射輸送方程式
光子に対するボルツマン方程式
dIν
= jν − nσ abs,ν Iν − nσ sct,ν Iν + nσ sct,ν Jν
dx
放射
吸収
散乱（等方散乱近似）
ガス数密度
n
等方放射の時
emission coefficient
吸収係数
jν =
αν ≡ nσ ν ,abs
光学的深さ（optical depth）
source function Sν ≡
jν
αν
1
dE
× n×
4π
dtdν
平均自由行程 lν ≡
τν ≡ ∫ αν dx
1
αν
Einstein coefficient
∆ν
φ (ν )
有効平均Intensity
∞
J ≡ ∫ Jν φ (ν )dν
0
Lorentz profile
1
φ (ν ) ∝
2
(ν −ν 0 ) + (Γ / 2) 2
ν0
ν
line profile function 次元： ν −1
状態1-2間の遷移
自発的遷移確率
吸収遷移確率
誘導遷移確率
A21
B12 J
B21 J
Einstein relation
2hν 3
g1 B12 = g 2 B21 , A21 = 2 B21
c
jν =
hν 0
n2 A21φ (ν )
4π
αν =
g1 :状態1における統計的自由度
hν
φ (ν )(n1 B12 − n2 B21 )
4π
星の構造と輻射輸送
GM
∂P
∂M
2
= − 2 ρ,
= 4πr ρ ,
r
∂r
∂r
3α R L
∂T
∂L
2
r
,
4
π
ε&n
=−
=
2
3
64πr σ SBT
∂r
∂r
2．電磁波の基礎理論
•
•
•
•
•
•
電磁場のエネルギー
Poynting Flux
スペクトラム分解
偏光
ベクトルポテンシャル
ゲージ
古典電磁気学の世界
電磁場の復習
マックスウェル方程式（1864）
ガウスの法則
磁束の保存則
∇ ⋅ E = 4πρe
∇⋅B = 0
1 ∂B
= −∇ × E
ファラデーの法則
c ∂t
1 ∂E
4π
B
j
=
∇
×
−
アンペールの法則 c ∂t
c
-①
-②
（1835）
（1861）
-③
（1831）
-④
（1826）
電磁波の歴史
1864
1868
1879
1887
1888
1895
1896
1900
1901
1905
1920
1927
1940
1948
1954
1960
1967
マックスウェル方程式
マックスウェルによる電磁波の予言
マイケルソンが光速を測定
マイケルソン・モーリーの実験
ヘルツが電波の発信に成功
レントゲンがX線を発見
ベクレルがγ線を発見
プランクの光量子仮説
マルコーニが大西洋横断無線通信に成功
アインシュタインの特殊相対性理論
アメリカでラジオ放送開始
ディラックによる電磁場の量子化
アメリカで電波航法システム、レーダーの実用化
シュウィンガー・朝永・ファインマンの繰り込み
ヤン・ミルズのゲージ場
アメリカでレーザーの発明
ワインバーグ・サラムの電弱統一理論
ヘルツの実験のセットアップ
マルコーニの受信機
（彼の発明ではない…）
スペクトルの取得
電場の変動の一例
X線はCCDで光子一個一個のエネル
ギーを直接測れる。
可視ではグレーティングで反射・干渉させることで、
分光する。
γ線は電子・陽電子のエネルギーを積算する。
フーリエ分解
1.0
0.6
0.4
0.5
0.2
-3
-2
-1
1
2
＝
3
-3
-2
-1
1
2
3
- 0.2
- 0.5
- 0.4
- 0.6
- 1.0
0.3
0.3
0.2
0.2
0.10
0.05
0.1
＋
-3
-2
-1
0.1
1
- 0.1
2
＋
3
-3
-2
-1
1
2
＋
3
-3
-2
-1
1
- 0.1
- 0.05
- 0.2
- 0.3
- 0.2
- 0.3
- 0.10
2
3
高エネルギー天体のスペクトル
超新星残骸 RX J1713.7-3946
νFν
活動銀河核ジェット Mrk421
想像図
偏光
望遠鏡性能の指標
•
•
•
•
•
•
•
シャコ
偏光フィルタ
右円偏光
左円偏光
測光：感度・限界等級
撮像：角度分解能
分光：波長分解能、帯域
時間分解能（変動天体）
視野
指向速度（突発天体）
偏光
偏光観測
銀河磁場
ファラデー回転
シンクロトロン放射は磁場に垂直方向に
偏光する。
プラズマ中の磁場により偏光方向が回転
銀河団の磁場測定
Neininger (1992)
高エネルギー天体
超新星爆発
ガンマ線バースト
© 田中雅臣氏
© 米徳氏
CMB偏光観測
TE
EE
宇宙の再イオン化、インフレーションの
モデルに制限
ベクトルポテンシャル
A µ = (φ , A)
1 ∂A
E =−
− ∇φ , B = ∇ × A
c ∂t
定義から
1 ∂B
= −∇ × E
c ∂t
F
µν
∂Aν ∂A µ
≡
−
∂xµ ∂xν
“運動方程式”
と ∇⋅B = 0
は自明。
µ
及び j = (cρ e , j ) として
∂F µν
4π µ
=
−
j
ν
∂x
c
は
1 ∂A
∆φ + ∇ ⋅
= −4πρe
c
∂t
1 ∂2 A
1 ∂φ ⎞
4π
⎛
j
∆A − 2 2 − ∇⎜ ∇ ⋅ A +
⎟=−
c ∂t
c ∂t ⎠
c
⎝
⇒
∇ ⋅ E = 4πρe
1 ∂E
4π
= ∇× B −
j
c ∂t
c
ゲージ不変性
Dirac方程式
(ihcγ
µ
)
∂ µ − mc 2 ψ = eγ µ Aµψ
ゲージ変換
⎛
⎝
ψ → ψ ′ = exp⎜ − i
相互作用項：ゲージ対称性から自動的に決まる
e
⎞
χ ( x µ ) ⎟ψ , Aµ → A′ µ = Aµ + ∂ µ χ ( x µ )
hc
⎠
に対して不変
電弱相互作用：SU(2)にこれを拡張
強い相互作用：SU(3)に拡張
重力場
x µ → x′ µ = x µ + ξ µ , g µν → g ′ µν = g µν + g µσ ξ ,νσ + g λν ξ ,µλ − ξ λ g ,µν
λ
3．荷電粒子からの放射
• Lienard-Wiechartポテンシャル
• 双極近似に基づく放射
• トムソン散乱
– 断面積
– 偏光
波動光学の世界
遅延ポテンシャル
R = Rn
n
時刻tにおけるｒでの電磁場は、
R
時刻 t −
におけるr0での
c
R
電荷の運動で決まる。
r
v
r0
t ret
R
≡t−
として
c
O
qv (t ret )
q
, A(r , t ) =
φ (r , t ) =
v (t ret ) ⋅ R(t ret )
v (t ret ) ⋅ R(t ret ) ⎞
⎛
R (t ret ) −
c⎜ R(t ret ) −
⎟
c
c
⎠
⎝
トムソン散乱
マイクロ波宇宙背景放射（CMB）
γ
e-
電子への反作用は無視
1906 Nobel prize
（電子の発見etc）
p e p ee- p eep
p pe
e
e p
p
H p ep
e- H
e- H
p p
p
eeH
H
H
H
H
H
H H
H
CMB: 電離度が下がり、光が直進できるようになった時の光
トムソン散乱が本質的な現象
星の中の輻射輸送
イータ・カリーナ輻射圧による質量放出
エディントン光度
ブラックホールからの放射の限界光度を与える。
ガンマ線バースト
Fireball
温度数MeVの電子・陽電子・光子からなる
プラズマが形成される。
電子・陽電子の数は熱平衡から決まり、
トムソン散乱に対する光学的深さは、
© 関口氏
電子・陽電子・光子は一体化し、一流体として振舞う
加速膨張 Γ∝R
トムソン散乱による偏光
入射光子と散乱光子の軌跡
で定義される平面
入射光が偏光してなければ、
青い方向に電場が振動する確率と、赤
い方向に電場が振動する確率は１：１
dσ T
(Θ )unpol = 1 ⎡⎢ dσ T (Θ ) + dσ T ⎛⎜ π ⎞⎟⎤⎥
2 ⎣ dΩ
dΩ
dΩ ⎝ 2 ⎠⎦ pol
散乱光子
Θ
入射光子
θ
π
2
=
(
)
(
1
1 2
re sin 2 Θ + 1 = re2 1 + cos 2 θ
2
2
)
青方向の偏光光子Intensityが最大で、
Imaxとすると、最小になる赤方向の
IntensityはImin/Imax=cos2θとなる。
偏光度
I max − I min 1 − cos 2 θ
Π=
=
I max + I min 1 + cos 2 θ
θ=
π
2
から測ると偏光度は100%
トムソン散乱による偏光
球対称のガスからの放射
縁付近
散乱光
偏光方向
直接光の寄与もあるが、
偏光が検出される。
直接光（無偏光）
中心付近
上下と左右からの寄与で
偏光は打ち消される。
角度分解して観測できれば、縁
付近で偏光が受かる。
点源としてまとめて測ると、打消
しあって偏光はゼロ。
光源
散乱点
打消しあって偏光ゼロ
正面から見る
散乱点
散乱で偏光を作るには
非等方性が必要。
4．放射に対する相対論的効果
•
•
•
•
•
•
ローレンツ変換
ローレンツ収縮・時間の遅れ
相対論的ビーミング
相対論的粒子からの放射
光子の放出時間と観測時間の違い
その他重要な変換
特殊相対論の復習
相対論的ビーミング
銀河中心BHからの相対論的ジェット想像図
M87
Q.なぜ反対側のジェットは見えないか？
A.相対論的ビーミング
ローレンツ因子
Γ=
1
1 − (v / c )
2
≈ 10
超相対論的エネルギーの粒子
太陽の表面温度
～1eV << mec2
非相対論的
西暦1006年に爆発した
超新星残骸のX線画像
X線のエネルギー～ keV
Q. 電子のエネルギーも同程度？
A. ×
放射に対して相対論的
6 効果を考慮しなくてはい
≈ 10 けない。
典型的にはTeV >> mec2
ローレンツ因子
γ
宇宙には相対論的粒子
が満ち溢れている。
それらの起源は？
γ ≈ 1011
“ベクトル”量の例
座標
dx µ = (cdt , dx )
電流
j µ = ( ρ e c, j )
波数
四元速度
u µ = (γc, γv )
運動量
微分
∂
⎛1 ∂
⎞
∂ =
=⎜
,−∇ ⎟
∂xµ ⎝ c ∂t
⎠
電磁場ポテンシャル
µ
平坦な時空では
Aµ = ( A0 , A)
に対し
Aµ = ( A0 ,− A)
Aµ = (φ , A)
⎛ω ⎞
k = ⎜ ,k⎟
⎝c ⎠
⎛E ⎞
µ
µ
p = mu = ⎜ , p ⎟
⎝c ⎠
µ
ミュー粒子の観測
宇宙線＋大気原子核→π、γ線、電子・陽電子
Pierre Auger Observatory
アルゼンチン
～3000km2
水タンク
ミューオン Flux～100 m-2 s-1
質量～100MeV （電子～500keV）
静止系での寿命～2×10-6 s
相対論的電子からの放射
a
電子のローレンツ因子
1
v
1
γ=
, β= ,δ=
c
γ (1 − βµ )
1 − (v / c ) 2
電子
観測時間間隔 dtobs = (1 − βµ )dt = γ (1 − βµ )dt ′
総エネルギー放射率
dE dE ′ 2e 2 2 2e 2 4 2
=
= 3 a′ = 3 γ a⊥ + γ 2 a//2
dt
dt ′ 3c
3c
1
dE
dE
dE ′
=
=δ4
dtobs dΩ (1 − βµ ) dtdΩ
dt ′dΩ′
(
角度分布
e 2 a⊥2 + γ 2 a//2
=
sin 2 Θ′
3
4
4πc (1 − βµ )
Θ
)
θ
v
重要な関係
K系
K’系
θ
L// =
ローレンツ収縮
速度
v// =
L//′
Γ
v′// + V
v⊥′
, v⊥ =
Vv′
⎛ Vv′ ⎞
1 + 2//
Γ⎜1 + 2// ⎟
c
c ⎠
⎝
振動数 ν = Γ(1 + βµ ′)ν ′ = δν ′
密度
Γ=
1
1 − (V / c) 2
, β=
時間の拡張
dt = Γdt ′
光線の角度
µ=
分布関数
f = f′
V
1
,δ=
c
Γ(1 − βµ )
µ′ + β
dΩ′
, dΩ = 2
1 + βµ ′
Γ (1 + βµ ′) 2
2
2
エネルギー密度 e = Γ (e′ + β P′)
n = Γ n′
3
V
3
運動量空間
d p d p'
=
E
E'
Intensity
⎛ν ⎞
Iν = ⎜ ⎟ Iν′′
⎝ν ′ ⎠
3
2
⎛ν ⎞
2
2
′
′
(
)
j
=
Γ
+
j
=
1
β
µ
⎜ ⎟ jν′ ′
Emissivity ν
ν′
⎝ν ′ ⎠
相対論的ジェット
ここより外は見えない
Γ
明るい
1/Γ
θ > 1/ Γ
暗い
ジェットの偏光
θ ~ 1/ Γ
R
γ線バーストの残光光度曲線と偏光
ビーミングのおかげで、ジェッ
トの一部だけしか見えないか
も。
仮に縁を見ていれば、偏光が
受かる。
Uehara+ 2012
5．制動放射
•
•
•
•
•
一回散乱に伴う放射
Gaunt因子
熱的制動放射
相対論的制動放射
自由自由吸収
イオンと電子の散乱による放射
制動放射：銀河団からのX線
銀河団 Abell 1689
青：X線（ガス）
暗黒物質：85%
ガス：13%
星：2%
重力によるガスの降着→衝撃波→高温プラズマ
1E 0657-56 （Bullet Cluster）
赤：ガス、青：暗黒物質
超新星残骸などでも
銀河団スペクトル
モデル（Böhringer & Werner 2010）
Abell 1689 (Peng+ 2009)
Chandra 中心3’の領域
T～10keV
一回散乱に伴う放射
e
速度 v
r
Εrad (t ) =
b
y
イオン（Ze）
dE
dAdω
dE
dω
d&&
2
c R
sin Θ
&ˆ&(ω )
d
Εˆ (ω ) = 2 sin Θ
c R
x
ss
2 6
Z
e
v
2
ˆ
= c E (ω ) = 2 3 2 2 2 2 sin Θ for ω <<
π c R me b v
b
ss
8Z 2 e 6
v
=
for ω <<
3 2 2 2
3πc me b v
b
2
速度 v
db
b
量子論に基づいた計算
ボルン近似
Gaunt因子
Nozawa+ 1998
g ff
105
106
107
Haug 2003
熱的制動放射
1
2
5
6
dE
⎡ ε⎤
2 2 πe ⎛ 2π ⎞
⎜
⎟
exp ⎢− ⎥ g ff
= ne ni Z
3 ⎜
⎟
3me c ⎝ 3meT ⎠
dtdVdν
⎣ T⎦
≈ 2.0 × 10
− 41
⎛ T ⎞
Z ne ni ⎜
⎟
⎝ 1keV ⎠
2
Svensson 1984
−
1
2
⎡ ε⎤
exp ⎢− ⎥ g ff erg cm -3 s -1 Hz -1
⎣ T⎦
(
光子のベキ指数： -1
（プランク分布：1）
)
25 πe 6 ⎡
T ⎤ 1 + 2θ + 2θ 2
dE
= ne np
ln ⎢4η (1 + C1θ ) ⎥
2 4
ε⎦
3me c
dtdVdν
⎛1⎞ ⎛1⎞
⎣
exp⎜ ⎟ K 2 ⎜ ⎟
⎝θ ⎠ ⎝θ ⎠
θ≡
T
η
⎛5⎞
,
C
=
exp
⎜ ⎟ ≈ 3.42, η = exp(−γ E ), γ E ≈ 0.5772
1
me c 2
2
⎝2⎠
⎡ 4η ⎤
ln ⎢ ⎥ / 1.26
⎣ x ⎦
1.00
⎛1⎞ ⎛1⎞
exp⎜ ⎟ K 2 ⎜ ⎟ ≈ 1.26 θ for θ << 1
⎝θ ⎠ ⎝θ ⎠
0.50
2π / 3 exp[− x]
0.10
0.05
0.05
0.10
0.50
1.00
5.00
10.00
超新星残骸 RX J1713.7−3946
ハドロン・シナリオ
ガンマ線（等高線：X線）
Bremss.
Synch.
Bremss.
(Te=0.01Tp)
Aharonian+ 2007
高エネルギー陽子とガスの衝突からパイ
中間子を作り、ガンマ線を説明する場合、
高いガス密度を要求。
高いガス密度は、熱的X線放射を予言し、
モデルに制限を与える。
p+p→π0→2γ
IC (Opt.+IR)
IC (CMB)
レプトン・シナリオ
Synch.
IC (Opt.+IR+CMB)
Bremss.
Morlino+ 2009
冷却率（放射パワー）
1
2
2 πe ⎛ 2πT ⎞
dE
⎜
⎟⎟ g B
= ne ni Z 2
3 ⎜
3hme c ⎝ 3me ⎠
dtdV
5
≈ 4.9 × 10
− 24
6
1
2
ガスの冷却時間スケール
⎛ T ⎞
-3 -1
Z ne ni ⎜
⎟ g B erg cm s
⎝ 1keV ⎠
2
tcool
3
neT
1
−
1
=2
∝ ne T 2
dE
dtdV
gB
Itoh+ 2002
銀河団の密度・温度プロファイル Arnaud+ 2010
ガスの圧力分布から質量を見積もれる。
中心部を加熱する機構が必要。未解明。
相対論的ガスの場合
熱的放射
1
2
1
2 e ⎛ 2T ⎞
dE
1.34
⎜
⎟
1
1
.
781
θ
for
+
<< θ ≤ 1
= ne np
137 2
3hme c 3 ⎜⎝ πme ⎟⎠
dtdV
5
6
(
)
12e 6 ⎛
3⎞
(
)
T
ln
2
ηθ
0
.
42
= ne np
+
+
⎜
⎟ for θ ≥ 1
hme2 c 4 ⎝
2⎠
Svensson 1982
非熱的放射
⎡⎛
v⎞ ⎤
E ∝ n × ⎢⎜ n − ⎟ × v& ⎥
c⎠ ⎦
⎣⎝
双極近似では無視した項
銀河面の拡散ガンマ線 Abdo+ 2009
双極子の寄与がゼロでも、
相対論的になると放射が放
たれる。
自由自由吸収
SNR 338.3-0.0 青：電波、緑・赤：赤外
Galactic Radio Emission
100
102
MHz
νIν [erg/cm2/s/str]
10-3
10-6
104
106
CMB
6000－7000K
の電子による吸収
Galactic Radio
10-9
10-12
free-free absorption
10-15
10-8
10-6
ε [eV]
10-4
10-2
Castelletti+ 2012
自由自由吸収に対するRosseland平均吸収係数
Soker & Lasota 2004
密度
∂Bν
7
∫ ∂T dν
−
αR ≡
∝ T 2 ne ni
1 ∂Bν
∫ αν ∂T dν
自由自由
トムソン散乱
鉄による吸収
Rosseland近似
16σ SB 3 ∂T
dE
=−
T
dtdA
3α R
∂r
吸収が弱いと温度勾配も弱い。
温度が低いと自由自由が効いてくる。
降着円盤でも同じ技法が用いられている。
BHに吸い込まれる前に、輻射は脱出できるか？
6．シンクロトロン放射
•
•
•
•
•
•
磁場の中の電子の運動
エネルギー放射率
典型的な振動数
シンクロトロン関数
非熱的な電子集団からの放射
シンクロトロン自己吸収
磁場による電子加速に伴う放射
シンクロトロン
ＳＰｒｉｎｇ-８
ＬＨＣ
（陽子加速器
半径4.3km）
シンクロトロン（電波）
CenA
CygA
SNR Tycho
M87
シンクロトロン（X線）
SNR Tycho
パルサー星雲
Crab
Tycho’s SNRの時代
1572年、Tycho Brahe（デンマーク）その頃の世界は
によって発見（肉眼）された超新星
英国：チューダー朝の絶対王政絶頂期
仏国：ヴァロア朝の元統一
独国：プロイセン、ザクセン、
バイエルンなどに分割
ルネサンスからバロックへの移行期
ローマ教皇：グレゴリウス13世
エリザベス一世
中東：オスマン帝国
万暦赤絵
中国：明朝
日本は？
その他の歴史的SNR： RCW 86（185年、後漢書）、SN 1006（宋史、安倍吉昌、アリ・イブン・リドワン、
ザンクト・ガレン修道院）、Crab（1054年、宋史など）、Kepler（1604年）、1987A（Kamiokande II）
シンクロトロン（スペクトル）
AGN
Mrk 421
SNR
Tycho
ν [Hz]
Abdo+ 2011
Völk+ 2005
シンクロトロンの典型的振動数
α = π / 2 の時
∆s 2mc 2
∆t =
=
c
eB
rt =
γmc 2
∆tobs ≈ ∆t / γ
eB
3γ eB
ωc =
2mc
2
≈ 1/ γ
∆θ ≈ 1 / γ
∆s ≈
2rt
γ
2
シンクロトロンのピーク
2
ε max = δ
ε max Liso,ε
3heB' 2
⎛ δ ⎞⎛ B' ⎞⎛ γ max ⎞
γ max = 0.35⎜ ⎟⎜
⎟⎜ 5 ⎟ keV
2me c
⎝ 20 ⎠⎝ 0.1G ⎠⎝ 10 ⎠
dE '
dE '
(γ max )
ε 'max ≈ δ 4 N e (γ max )∆γ
= ∫ dγN e (γ )δ 4
dt ' dε 'max
dt '
max
4
2
e
B
4
'
2
γ
≈ δ 4 N e (γ max )∆γ
max
9me2 c 3
N e (γ max )∆γ ≈
ε max Liso,ε
t var Le,max
≈ δ t var Le,max
3
時間変動スケール
γ = γ max
の電子が担うエネルギー放出率
δγ max me c 2
3
max
AGN
Mrk 421
4e 4 B ' 2
γ max
3 5
9me c
2
⎞⎛ B' ⎞⎛ γ max ⎞
⎛ δ ⎞ ⎛ t ⎞⎛
-1
⎟
erg
s
= 10 44 ⎜ ⎟ ⎜ var4 ⎟⎜⎜ 42
⎜
⎟
⎜
⎟
-1 ⎟
5
⎝ 20 ⎠ ⎝ 10 s ⎠⎝ 10 erg s ⎠⎝ 0.1G ⎠⎝ 10 ⎠
Le,max
ν [Hz]
球対称相当の光度なので、見かけ上電子のエネルギー放出率（実際の値）を上回っている。
AGNとSNRの場合
AGN
Mrk 421（Abdo+ 2011）
SNR
SN 1006 （Acero+ 2010）
δ = 21, t var = 8.64 ×10 4 s, B' = 0.038G,
δ = 1, B' = 30µG,
γ max = 3.9 ×105 , Le,max = 1.3 ×10 42 erg s -1
γ max = 2.0 ×107 (10TeV)
⇒ ε max = 2.1 keV, ε max Liso ,ε max = 7 × 10 44 erg s -1
⇒ ε max = 66eV
4πD2で割ると、3.3×10-10 erg cm-2 s-1
( Ee,tot = 3.3 ×10 47 erg)
問題設定
z
n = (cos θ ,0, sin θ ), ε ⊥ = (0,1,0), ε // = n × ε ⊥
ε //
n
θ
y
ε⊥
β
rt
⎛ ⎛ vtret ⎞
⎛ vtret ⎞ ⎞
⎜
⎜
⎟
⎟⎟,0 ⎟
β = ⎜ cos⎜
, sin ⎜⎜
⎟
⎟
⎝ rt ⎠ ⎠
⎝ ⎝ rt ⎠
⎛
⎛ vtret ⎞
⎛ vtret ⎞ ⎞
⎜
⎟⎟, rt − rt cos⎜⎜
⎟⎟,0 ⎟
r = ⎜ rt sin ⎜⎜
⎟
⎝ rt ⎠
⎝ rt ⎠ ⎠
⎝
⎛ vtret ⎞
⎛ vtret ⎞
vtret
⎜
⎟
⎜
⎟
θ
+
n × (n × β ) = − sin ⎜
ε
ε
ε ⊥ + θε //
cos
sin
≈
−
//
⎟ ⊥
⎜ r ⎟
r
r
t
⎝ t ⎠
⎝ t ⎠
x
3
⎤
⎛ vtret ⎞
rt
c 2γ 2t ret
n⋅r
1 ⎡
2 2
⎟⎟ ≈ 2 ⎢(1 + θ γ )t ret +
t ret −
= t ret − cos θ sin ⎜⎜
⎥
2
2
3
γ
c
c
r
r
t
⎣
⎦
⎝ t ⎠
三次微小量
2
2 2 3
⎡ iω ⎛
⎛ ctret / rt ⎞
γ t ret ⎞⎤
c
d ⎛ E⊥ ⎞ e 2ω 2
2 2
⎟⎟⎥
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎟⎟ exp ⎢ 2 ⎜⎜ 1 + γ θ t ret +
dt ret ⎜⎜
2 ∫
3
dωdΩ ⎝ E// ⎠ 4π c
3rt ⎠⎦
⎝ θ ⎠
⎣ 2γ ⎝
(
)
低振動数の極限
⎡ iω ⎛
cγ t
dE⊥
2
2 2
∝ ω ∫ dt ret t ret exp ⎢ 2 ⎜⎜ 1 + γ θ t ret +
dω dΩ
3r
⎣ 2γ ⎝
(
)
ω → 0 での典型的時間スケール
2
2 3
ret
3
t
⎞⎤
⎟⎟⎥
⎠⎦
3
2
r
3
γ
2
∆t 3 ~ 2 t 2
⇒ ∆t ∝ ω −1/ 3
cγ ω
2
dE⊥
2
~ ω ∫ dt ret t ret ~ ω 2 ∆t 4 ∝ ω 2 / 3
dω dΩ
dE⊥
dE⊥
t
∝
∆
∝ ω 1/ 3
dΩ ∝ ∆θ ∝ ∆t より
dω
dωdΩ
光子数分布なら
nγ (ω ) ∝
2
νFν
ω 4/3
1 dE⊥
∝ ω −2 / 3
ω dω
ωc
ω
時間積分
⎡ iω ⎛
⎛ ct ret / rt ⎞
cγ t
d ⎛ E⊥ ⎞ e ω
2 2
⎜
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎜
⎟
+
+
dt
t
exp
1
γ
θ
⎢ 2⎜
ret ⎜
ret
2
⎟
θ
dωdΩ ⎝ E// ⎠ 4π 2 c ∫
2
3r
γ
⎝
⎠
⎝
⎣
2
e ω ⎛ rt ⎞
⎜ 2 ⎟⎟
2 ⎜
4π c ⎝ cγ ⎠
2
=
2
2
2
(
⎡ ⎛
⎛ξ ⎞
ξ 3 ⎞⎤
2 2
∫ dξ ⎜⎜⎝ γθ ⎟⎟⎠ exp⎢if 0 ⎜⎜⎝ ξ (1 + γ θ ) + 3 ⎟⎟⎠⎥
⎣
⎦
2
)
2 3
ret
3
t
⎞⎤
⎟⎟⎥
⎠⎦
2
変数変換
2
f0 ≡
ωrt
2cγ 3
ξ≡
ωt ret
2 f 0γ 2
e 2ω 2 rt2
=
I (Ψ )
4π 2 c 3γ 4
⎛ ξη ⎞
⎡ ⎛
1
⎞⎤
Ψ ≡ γθ 絶対値の二乗→二重積分
I (Ψ ) = ∫∫ dξdη ⎜⎜ 2 ⎟⎟ exp ⎢if 0 ⎜ (1 + Ψ 2 )(ξ − η ) + (ξ 3 − η 3 ) ⎟⎥
3
⎠⎦
⎣ ⎝
⎝Ψ ⎠
⎡
⎛Y 2 − X 2 ⎞
⎛
X 2 ⎞⎤
1
1
2
2
⎟
⎟⎟⎥ ∫ dY ⎜⎜
if
XY
exp
2
= 2 ∫ dX exp ⎢2if 0 X ⎜⎜ (1 + Ψ ) +
X
≡
(
ξ
−
η
)
Y
≡
(ξ + η )
0
2
⎟
3
Ψ
2
2
⎠⎦
⎝
⎝
⎠
⎣
変数変換
⎛ i
2⎞
2
⎤
⎡
−X ⎟
⎛
π ⎜
X ⎞
⎡ sgn( X )π ⎤
2
⎟⎟⎥
⎜
i
if
X
exp
+
Ψ
+
= 2 ∫ dX
exp
2
(
1
)
f
X
4
⎢ 0 ⎜
0
⎜
⎟
⎥
⎢
2 f0 X ⎜
4
3 ⎠⎦ Yだけ積分公式
⎦
⎣
⎟
⎝
⎣
Ψ2
⎝
⎠
[
]
∫
∞
∫
∞
−∞
−∞
dY exp[iSY 2 ] =
dYY 2 exp[iSY 2 ] =
π
⎡ sgn( S )π ⎤
exp ⎢i
⎥⎦
4
S
⎣
i
2S
π
⎡ sgn( S )π ⎤
exp ⎢i
⎥⎦
4
S
⎣
角度積分
d ⎛ E⊥ ⎞
d ⎛ E⊥ ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = 2π sin α ∫ dθ
⎜ ⎟
dωdΩ ⎜⎝ E// ⎟⎠
dω ⎝ E// ⎠
e 2ω 2 rt2
=
2π sin α ∫ dθ I (Ψ )
2 3 4
4π c γ
α
dθ
dΩ ≈ 2π sin αdθ
θからΨに変数変換
⎛ i
⎞
⎡
− X2⎟
⎛
e 2ω 2 rt2
π ⎜
X 2 ⎞⎤
⎡ sgn( X )π ⎤
2
⎟⎟⎥
=
sin α ∫ dX ∫ dΨ
exp ⎢2if 0 X ⎜⎜ (1 + Ψ ) +
exp ⎢i
4 f0 X
⎜
⎟
3 5
⎥
2 f0 X ⎜
4
3 ⎠⎦
πc γ
⎣
⎦
⎟
⎝
⎣
Ψ2
⎝
⎠
∞
π
⎡ sgn( S )π ⎤
2
⎡
⎛
1 ⎛1 + 4if 0 X 3 ⎞
γe 2 sin α
X 2 ⎞⎤
exp[
]
exp
=
dY
iSY
∫
⎢⎣i
⎥⎦
⎜
⎟
−∞
⎜
⎟
=−
exp
2
+
dX
if
X
4
S
⎢
⎥
0
2 ⎜
∫
⎜
⎟
⎟
2c
3 ⎠⎦
X ⎝
1
⎝
⎠
⎣
∞
i π
⎡ sgn( S )π ⎤
2
2
∫
−∞
Expをsinとcosに分解し、積分に効かない奇関数を落とす
dYY exp[iSY ] =
2S
exp ⎢i
⎣
Ψだけ積分先ほどと同じ公式
⎡ ⎛
dE//
γe 2 sin α
X 2 ⎞⎤
1
⎟⎟⎥
dX 2 cos ⎢2 f 0 ⎜⎜ X +
=−
∫
dω
X
2c
3 ⎠⎦
⎣ ⎝
dE⊥
γe 2 sin α
=−
2c
dω
S
⎧⎪
⎡ ⎛
⎡ ⎛
1
X 2 ⎞⎤
X 2 ⎞⎤ ⎫⎪
⎟⎟⎥ − 4 ∫ dXf 0 X sin ⎢2 f 0 ⎜⎜ X +
⎟⎟⎥ ⎬
⎨∫ dX 2 cos ⎢2 f 0 ⎜⎜ X +
3
3
X
⎪⎩
⎠⎦
⎠⎦ ⎪⎭
⎣ ⎝
⎣ ⎝
4
⎥⎦
整理整頓
部分積分をすると
⎡ ⎛
1
1
X 2 ⎞⎤
⎛
⎟⎟⎥ = 2 f 0 ∫ dX ⎜ X +
− ∫ dX 2 cos ⎢2 f 0 ⎜⎜ X +
3 ⎠⎦
X
X
⎝
⎣ ⎝
⎡ ⎛
X 2 ⎞⎤
⎟⎟⎥
関数 I ± ≡ 2 f 0 ∫ dXX sin ⎢2 f 0 ⎜⎜ X +
3
⎠⎦
⎣ ⎝
±1
dE// γe 2 sin α
(I + + I − )
=
dω
2c
X 2 ⎞⎤
⎞ ⎡ ⎛
⎟⎟⎥
⎟ sin ⎢2 f 0 ⎜⎜ X +
3 ⎠⎦
⎠ ⎣ ⎝
なので
を導入すると
dE⊥ γe 2 sin α
(3I + + I − )
=
dω
2c
のように綺麗にまとまる
第二種変形ベッセル関数
2/3
⎡ z3
x
3
⎛ ⎞ ⎤
∫0 dzz sin ⎢⎢ 3 + z⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥⎥
⎣
⎦
2/3
3
⎡
∞
z
3
x
⎛ ⎞ ⎤
1/ 3
I + ( x) = (12 x) ∫ dzz sin ⎢ + z ⎜ ⎟ ⎥
0
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ 3
3
K 2 / 3 ( x) =
(3x / 2)2 / 3
∞
= 3 xK 2 / 3 ( x) ≡ 3G ( x)
を用いると
4
x ≡ f0
3
1/ 3
⎛ 3x ⎞
z ≡⎜ ⎟
⎝ 2⎠
X
整理整頓 (2)
I-の方は
⎡z
⎛ 3x ⎞ ⎤
∫0 dz cos⎢⎢ 3 + z⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥⎥ を用いる。
⎣
⎦
2/3
3
⎡
∞
d ⎛1
3
z
3
x
⎞
⎛ ⎞ ⎤
dz cos ⎢ + z ⎜ ⎟ ⎥ = 3K1/ 3 ( x)
⎜ I − ( x) ⎟ =
1 / 3 ∫0
dx ⎝ x
⎠ (3 x / 2)
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ 3
3
K1 / 3 ( x ) =
(3x / 2)1/ 3
2/3
3
∞
∞
I − ( x) = − 3 x ∫ dyK1/ 3 ( y )
x
漸化式
2 K n′ = − K n −1 − K n +1
K −n = K n
を用いると
∞
I − ( x) = −2 3 xK 2 / 3 ( x) + 3 x ∫ dyK 5 / 3 ( y )
x
= −2 3G ( x) + 3F ( x)
つまりシンクロトロン関数
∞
F ( x) ≡ x ∫ dyK 5 / 3 ( y )
x
4
x ≡ f0
3
から、
1/ 3
⎛ 3x ⎞
z ≡⎜ ⎟
⎝ 2⎠
X
ゴール
一周期に1回このパルスが来るので、周期 T =
2π
ωB
=
2πγmc
で割ると、
eB
dE//
1 dE//
3e B sin α
[F ( x) + G ( x)]
=
=
2
dωdt T dω
4πmc
dE⊥
3e 3 B sin α
[F ( x) − G ( x)]
=
2
dωdt
4πmc
dE
3e 3 B sin α
=
F ( x)
2
dωdt
2πmc
3
F (x)
x=
2ω
2mcω
ω
= 3
= 2
ωc 3γ ω B sin α 3γ eB sin α
3γ 2 eB sin α
x =1⇔ ω =
2mc
xF (x)
1.00
0.70
0.50
x << 1
1
1/ 3
4π
⎛ x⎞
F ( x) ~
⎜ ⎟
3Γ(1 / 3) ⎝ 2 ⎠
x >> 1
F ( x) ~
0.30
0.1
πx
2
exp(− x)
0.01
0.20
0.001
0.15
F (0.29) ~ 0.92
0.10
0.001
0.01
0.1
1
1.3F (1.3) ~ 0.68
10 -4
0.001
0.01
0.1
1
10
衝撃波統計加速
磁気乱流
T～0.24keV
磁気乱流
磁気乱流
SN1006
R～10pc
磁気乱流
磁気乱流
乱れた磁場と粒子の相互作用
l≪ rC …荷電粒子は細かい曲がりは感じない
磁力線
粒子軌道
l≫ rC …荷電粒子は磁力線の曲がりに沿って運動
l～ rC …荷電粒子は磁力線の曲がりによって散乱される
ラーマー半径 rL～磁場の乱れのスケール
無衝突衝撃波シミュレーション
©加藤恒彦
乱れた磁場、
乱流が存在
速い振動
4πne 2
= 5.6 ×10 4 s -1 for n = 1/cc
ω pe =
me
シミュレーションで実現された粒子加速
Maxwell
Spitkovsky 2008
Power-law電子からの放射
F (ε γ )
∝ εγ
1/ 3
∝ εγ
− ( p −1) / 2
ne ( γ) ∝ γ
−p
εγ
正確な積分
∫
公式
∞
0
⎛ µ + n +1⎞ ⎛ µ − n +1⎞
x µ K n ( x)dx = 2 µ −1 Γ⎜
⎟ から、
⎟Γ⎜
2
2
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎛ µ 4⎞ ⎛ µ 2⎞
∫0 x G( x)dx = 2 Γ⎜⎝ 2 + 3 ⎟⎠Γ⎜⎝ 2 + 3 ⎟⎠
∞
2 µ +1 ⎛ µ 7 ⎞ ⎛ µ 2 ⎞
µ
∫0 x F ( x)dx = µ + 2 Γ⎜⎝ 2 + 3 ⎟⎠Γ⎜⎝ 2 + 3 ⎟⎠
∞
µ
µ
3
dE
dE
e
B sin α ⎛ ω ⎞
3
−p
F ⎜⎜ ⎟⎟
= ∫ dγne (γ )
= C ∫ dγγ
2
dtdωdV
dtdω
2πme c
⎝ ωc ⎠
3e 3 B sin α
=C
2( p + 1)πme c 2
⎛ p 19 ⎞ ⎛ p 1 ⎞⎛ me cω ⎞
Γ⎜ + ⎟Γ⎜ − ⎟⎜
⎟
⎝ 4 12 ⎠ ⎝ 4 12 ⎠⎝ 3eB sin α ⎠
− ( p −1) / 2
erg s -1 Hz -1 cm -3
sin α =
π
4
シンクロトロン自己吸収
SN爆発後11日後の電波スペクトル
Sutaria+ 2003
SN 1998bw
SN 1993J
Sgr A*
SN 2002ap
Beckert+ 1996
B～10G（Free-freeでも説明可）
7．コンプトン散乱
•
•
•
•
•
•
•
電子静止系での散乱
Klein-Nishina断面積
相対論的な電子による散乱
逆コンプトン散乱
コンプトン y-パラメータ
Kompaneets方程式
Sunyaev-Zel‘dovich 効果
電子による光子の散乱
天体における逆コンプトン散乱
SN1006
McConnell+ 2002
Acero+ 2010
X線連星
ブレーザー
～0.2keVの熱的光子を90keVのコロナが叩き上げている
Corona
Disk
Donato+ 2001
NS/BH
Crab nebula
300MeV-GeV
>GeV
Aharonian+ 2004
Abdo+ 2010
電磁場の量子論に基づく計算（雰囲気のみ）
電磁場と電子場の演算子
3
d
k
hc µ
*µ †
−ik ⋅ x
ik ⋅ x
ˆA =
ˆ
ˆ
a
(
k
)
e
+
a
(
k
)
e
,
ε
ε
∑l ∫ (2π )3/ 2 k l l
l
l
l
0
(
µ
(
3
d
p
−ip⋅ x
ˆ † ( p)eip⋅ x
ˆ =∑
ˆ
Ψ
u
(
p
)
c
(
p
)
e
+
v
(
p
)
d
i
i
i
i
i
3/ 2
∫
(
2
)
π
i
)
偏光状態： l
)
スピン状態： i
交換関係
[aˆ (k ), aˆ
l
†
m
]
{
} {
}
(k ' ) = δ lmδ 3 (k − k' ), cˆi ( p), cˆ †j ( p' ) = dˆi ( p), dˆ †j ( p' ) = δ ijδ 3 ( p − p' )
スピノールの縮約
ui†u j = vi†v j = δ ij
波数ベクトルの内積
⎛ me c ⎞
µ
k ⋅ k = k k µ = 0, p ⋅ p = ⎜
⎟
⎝ h ⎠
2
Zeitschrift für Physik
電磁場の量子論に基づく計算（雰囲気のみ）
ハミルトニアン密度の相互作用項
( int = −eψ γ µψAµ
時間推進演算子は
e
Hˆ int
i
t
h
なので、
二次微小量まで考えるとS行列
2
i
i
4
4
S = 1 + ∫ d 4 x( int ( x) +
d
x
d
x2T (( int ( x1 ) ( int ( x2 ) )
1
2 ∫
hc
2(hc)
時間順序積
s-channel
k'
t-channel
p'
k'
p'
x2
q
q
x1
k
p
k
x2
x1
p
電磁場の量子論に基づく計算（雰囲気のみ）
仮に設定された体積と時間のスケール：
V ,T
hc µ
1
⇒ Al =
ε l exp[−ik ⋅ x], Ψi =
ui exp[−ip ⋅ x]
Vk0
V
µ
⎛
⎝
µ
電子静止系で考え、反応の充分前と後ではDirac eq. ⎜ iγ ∂ µ −
k ' p ' S kp =
を満たしているので、
(2π )5 ie 2 δ 4 ( p + k − p'−k ' )u ' ⎛⎜ iε/ ' ε/k/ + iε/ε/ ' k/ ' ⎞⎟u
i⎜
⎟ j
2
V hc k0 k '0
確率振幅
1
M ≡ ∑∑ k ' p ' S kp
2 i j
(2π )
me c ⎞
⎟ui = 0
h ⎠
⎝ 2p⋅k
2 p ⋅ k' ⎠
ε/ ≡ γ µ ε µ
2
スピン平均
e
cTV 4
1 ⎛ k '0 k 0
2⎞
⎜⎜
= 4
+
− 2 + 4(ε '⋅ε ) ⎟⎟
δ ( p + k − p'−k ' )
4
2
V (hc) k0 k '0 (2π )
4 p0 p ' 0 ⎝ k 0 k ' 0
⎠
10
4
デルタ関数の二乗
電磁場の量子論に基づく計算（雰囲気のみ）
M = nσvT , n = 1 / V , v = c
σ = ∑∑
p'
=
k'
V
M
cT
1
V
V
V
3
3
'
'
d
p
d
k
M
∑∑
3 ∫
3 ∫
2 l m (2π )
(2π )
cT
偏光の平均
k0
e
2 ⎤
3 δ ( p0 + k 0 − p ' 0 − k ' 0 ) ⎡ k ' 0
=
− sin θ ⎥
d k'
⎢ +
2 ∫
k 0 k ' 0 p0 p ' 0
2(hc)
⎣ k 0 k '0
⎦
4
2
⎛ k '0 ⎞ ⎡ k '0 k 0
dσ
e
2 ⎤
⎜ ⎟⎟ ⎢ +
=
− sin θ ⎥
2 2 ⎜
dΩ k ' 2(me c ) ⎝ k0 ⎠ ⎣ k0 k '0
⎦
4
2
r ⎛ ν ' ⎞ ⎡ν ' ν
2 ⎤
= ⎜ ⎟ ⎢ + − sin θ ⎥
2 ⎝ ν ⎠ ⎣ν ν '
⎦
2
e
Klein-Nishina断面積
dσ
σ = ∫ dΩ k '
dΩ k '
1 + 3x ⎤
3σ T ⎡1 + x ⎧ 2 x(1 + x)
⎫ 1
− ln(1 + 2 x)⎬ + ln(1 + 2 x) −
=
⎢
3 ⎨
4 ⎣ x ⎩ 1+ 2x
(1 + 2 x) 2 ⎥⎦
⎭ 2x
hν
x≡
me c 2
σ ≈ σ T for x << 1
3σ T
≈
8x
1⎞
⎛
⎜ ln 2 x + ⎟ for x >> 1
2⎠
⎝
ICからの磁場の推定
PKS 2155-304
Kusunose & Takahara 2008
U ph
UB
SN1006
ε syn ∝ δγ
2
max
B
ε IC ≈ γ
ε
2
max syn
ただし、Klein-Nishina効果を
考慮すべき
UB
U CMB
Acero+ 2010
光子散乱率（電子静止系）
等方で単色のソースの強度 number intensity [photons/cm2/s/eV/str]
I (ε )
ε
≡ N (ε ) = N 0δ (ε − ε 0 )
ローレンツ不変
ε ′ = εγ (1 − βµ ) ⇔ ε = ε ′γ (1 + βµ ′)
I / ε 3 = 2N / ε 2
2
⎛ ε ′ ⎞ N0
ε 0 − γε ′
⎛ε′⎞
δ (µ ′ −
)
N ′(ε ′) = N 0 ⎜ ⎟ δ (ε − ε 0 ) = ⎜⎜ ⎟⎟
γβε ′
⎝ε ⎠
⎝ ε 0 ⎠ γβε ′
電子静止系での電子1個当たりの散乱レート [photons/s/eV/str]
入射角度平均
dN ′
1 1
= σ T ∫ N ′(ε 1′, µ ′)dµ ′
dt ′dε 1′dΩ′
2 −1
ε 0 − γε 1′
µ′ =
γβε 1′
−1 < µ′ < 1 ⇒
ε0
γ (1 + β )
< ε 1′ = ε ′ <
σ ≈ σ T ε 1′ ≈ ε ′
ε0
γ (1 − β )
電子静止系で、
光子のエネルギーが
広がる
散乱光子のエネルギーの広がり
ε 1′ = ε 1γ (1 − βµ1 ) ⇒
ε0
ε0
< ε1 <
2
γ (1 + β )(1 − βµ1 )
γ (1 − β )(1 − βµ1 )
μ1の大小関係に書き換える
⎞
1 ⎛ ε0
⎜
ε 1 < ε 0 ⇒ −1 < µ1 < ⎜1 − (1 − β ) ⎟⎟
β ⎝ ε1
⎠
⎞
1 ⎛ ε0
ε 1 > ε 0 ⇒ ⎜⎜1 − (1 + β ) ⎟⎟ < µ1 < 1
β ⎝ ε1
⎠
jε
dN
ローレンツ不変 2 =
ε
ε dtdεdΩdV
⎛ ε1 ⎞
⎛ ε1 ⎞
⎛ ε 1 ⎞ ne
dN
dN ′
dN ′
dN ′
= ⎜⎜ ⎟⎟
= ⎜⎜ ⎟⎟ne′
= ⎜⎜ ⎟⎟
dtdε 1dΩdV ⎝ ε 1′ ⎠ dt ′dε 1′dΩ′dV ′ ⎝ ε 1′ ⎠ dt ′dε 1′dΩ′ ⎝ ε 1′ ⎠ γ dt ′dε 1′dΩ′
1
dN ′
dN ′
= ne′
dt ′dε ′dΩ′dV ′
dt ′dε ′dΩ′
ne′ =
ne
γ
Emission function
neσ TεN 0 1
dN
dµ1
=
2
2
∫
dtdεdΩdV 2γ βε 0 2
散乱角度平均、積分範囲に注
⎤
⎡
ε
⎢1 + β − (1 − β )⎥ for ε > ε 0
ε0
⎦
⎣
3neσ T N 0 2
ε1
≈
−
(
1
x
)
x ≡ 2 <1
2
4γ ε 0 3
4γ ε 0
neσ T N 0
= 2 2
4γ β ε 0
x << 1 ⇒ const.
Klein-Nishinaに沿った散乱角度分布（非等方散乱）
3neσ T N 0
ε1
2
⇒
2 x ln x + x + 1 − 2 x , x ≡ 2
2
4γ ε 0
4γ ε 0
(
)
エネルギー分布を考慮
先ほどの式を書き直す。
3neσ T N 0
dN
ε
2
=
xg ( x), g ( x) ≡ (2 x ln x + x + 1 − 2 x ), x ≡ 2
ε
4γ ε 0
dtdεdΩdV
dE
dN
=ε
= 3neσ T N 0 xg ( x)
jε =
dtdεdΩdV
dtdεdΩdV
電子と光子のエネルギー分布を考える N 0 ⇒
cnγ (ε 0 )
4π
dε 0 , ne ⇒ ne (γ )dγ
dE
dE
= 4π
= 3cσ T ∫ dε 0ε 0 nγ (ε 0 ) ∫ dγne (γ ) xg ( x)
dtdεdV
dtdεdΩdV
ε −( 2+ p )
∝ ∫ dε 0ε 0 nγ (ε 0 ) ∫ dγ γ
g ( x)
ε0
1/ 2
γ∝
ε
1 ⎛ε ⎞
, dγ = − 3 / 2 ⎜⎜ ⎟⎟ dx
xε 0
4x ⎝ ε 0 ⎠
dE
⇒
∝ ε −( p −1) / 2 ∫ dε 0ε 0−( p −1) / 2 nγ (ε 0 ) ∫ dxx ( p −1) / 2 g ( x)
dtdεdV
Cyg X-1
Makishima+ 2008
Soft photon
0.2keV
Te～100keV
τ～1.5
y=
4Te 2
τ ≈ 1.7
2
me c
Kompaneets Eq.
3
3
d
pd
x
3
3
f γ d pd x = nν
(2πh ) 3
プランク分布なら
nν =
2
exp(hν / T ) − 1
( p,ν ) ⇔ ( p1 ,ν 1 )
∂nν
dσ
3
= c ∫ d pe ∫ dΩ
(∆ν )[ f e ( p1 ) nν (1 + nν ) − f e ( p) nν (1 + nν )]
∂t
dΩ
1
∆ν = ν 1 −ν << ν
2
∂nν 1
2 ∂ nν
nν ≅ nν + ∆ν
+ ∆ν
∂ν 2
∂ν 2
hν
h∆ν
∂n
x≡
, ∆≡
n'ν ≡ ν
Te
Te
∂x
1
∂f e ( E )
1
= − fe (E)
∂E
Te
⎛
∆2 ⎞
f e ( E1 ) ≅ f e ( E )⎜⎜1 + ∆ + ⎟⎟
2⎠
⎝
1
誘導放射の寄与
Kompaneets Eq.
dσ
1 ∂nν
3
f e ( p) ∆
= (n'ν + nν (1 + nν ) )∫ d pe ∫ dΩ
c ∂t
dΩ
dσ
1
⎞ 3
⎛1
f e ( p)∆2
+ ⎜ n' 'ν + n'ν (1 + nν ) + nν (1 + nν ) ⎟ ∫ d pe ∫ dΩ
dΩ
2
⎝2
⎠
エネルギー・運動量の保存から
k
n=
k
hνcp ⋅ (n1 − n ) − h 2ν 2 (1 − n1 ⋅ n) hν
h∆ν =
≈
p ⋅ (n1 − n )
E − cp ⋅ n1 + hν (1 − n1 ⋅ n)
me c
2
n1 − n = 2(1 − cos θ )
dσ T 1 2
= re 1 + cos 2 θ
dΩ 2
(
)
温度平衡になった時、右辺がゼロとなるなどの条件を考えると、
Kompaneets Eq.
[ (
∂nν
T 1 ∂ 4
= cneσ T e 2 2
x n'ν + nν + nν2
∂t
me c x ∂x
)]
光子も“ほぼ”プランク分布で、 Te >> Tγ
hν
z≡
Tγ
∂nν
Te 1 ∂ ⎡ 4 ∂nν ⎤
≅ cneσ T
z
2
2
⎢
∂t
me c z ∂z ⎣ ∂z ⎥⎦
Te
y≡
me c 2
δnν
nν
Te
2
σ
≈
max(
τ
,
τ
)
dtcn
∫−∞ e T mec 2
t
≅ −2 y for z << 1 ⇒
≅ yz 2 for z >> 1
δnν
nν
≅
δTγ
Tγ
レイリー・ジーンズ領域
光子数密度∝εT
Sunyaev-Zel’dovich効果
銀河団コアのサイズ200kpc、密度0.003個cm-3、温度4keV
⇒τ～0.003
WMAPによるComa ClusterでのSZ効果
δTγ
−5
Tγ
= −2 y ≅ −5 ×10
CMBを利用した銀河団の検出
Komatsu+ 2011
銀河団密度分布のモデルと比較可能
Staniszewski+ 2009
8．その他の重要な反応（おまけ）
• 電子・陽電子対生成
• ハドロンの反応
古典電磁気学では扱えない反応
電子・陽電子対生成
s-channel
e−
e+
p1
e−
e+
p1
p2
e+
k1
u-channel
p2
e+
k2
k1
k2
ε′
εε ′(1 − cos θ in ) > 2me2 c 4
の時だけ起こる反応。
ε
θ in
電子・陽電子対生成
σγγ [cm2]
1e-24
トムソン散乱
光子の運動方向が揃っていれば、
つまり cos θ in ≈ 1
対消滅しなくてすむ。
1e-25
1e-26
方向を揃えるには？
相対論的ビーミングの効果
1e-27
1e-28
1
τ γγ
10
R
=
ctγγ
100
εε'(1-cosθ)/2me2c4
Γ
1/ Γ
ハドロンによる反応
p + p → p + p +π
→ p + n +π
0
+
σ pp ≅ 0.05σ T
π 0 : π + ≈ 1: 2
π →γ +γ
0
π → µ +ν µ
+
+
µ → e +ν e +ν µ
+
+
元の陽子の30%ほどのエネルギーがパイオンへ。
mπ c 2 ≅ 135MeV
SNR W44 (Abdo+ 2010)
ハドロンによる反応
p +γ → p +π
→ n +π
0
+
20%ほどのエネルギーがパイオンへ。
最高エネルギー宇宙線
1020eV→γ～1011
CMB光子の平均エネルギー
3×3K～10-3eV
陽子静止系では
γ 10-3eV～100MeV
光子数密度 400cm-3
300MeVを超えている光子は、
（ざっくり）1/100くらいか？
平均自由行程
1/n σ～100Mpc
陽子静止系での光子のエネルギー

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