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米田の補題
alg-d
http://alg-d.com/math/
2014 年 10 月 13 日
C を圏とする．c, d ∈ C に対して HomC (c, d) ∈ Set だった．よって対応
HomC (c, −) : Ob(C)
∈
∈
Ob(Set)
d
HomC (c, d)
を考えることができる．これは実は関手になる．その為には C の射 f : d −→ d′ に対して
Hom(c, f ) : HomC (c, d) −→ HomC (c, d′ ) を
∈
HomC (c, d′ )
∈
HomC (c, f ) : HomC (c, d)
g
(c −
→d−
→ d′ )
g
(c −
→ d)
f
で定めればよい．
同様のことを HomC (−, c) に対して考えることもできる．つまり f : d′ −→ d に対して
∈
HomC (d, c)
∈
HomC (f, c) : HomC (d′ , c)
g
(d′ −
→d−
→ c)
f
(d −
→ c)
g
と定めるのである．
こうして関手 Hom(−, c) が定義されたのであるが，更にこの c の部分を変数にするこ
b := SetC
とができる．即ち，関手 y : C −→ C
op
が以下のようにして定まる．
• c ∈ C に対して y(c) := HomC (−, c)．
• f : c −→ d に対して y(f ) : y(c) =⇒ y(d) を，e ∈ C に対して y(f )e = Hom(e, f )
で定める．
1
この関手 y は圏論で重要な役割を持つが，まず基本的な性質として次の定理がある．
定理 1 (米田の補題). C を圏，c ∈ C を対象，P : C op −→ Set を関手とする．このとき
(Set における) 同型 HomCb (y(c), P ) ∼
= P (c) が成り立つ．
証明. α ∈ Hom(y(c), P ) とすれば，αc は写像 Hom(c, c) −→ P (c) である．そこで写像
φc : Hom(y(c), P ) −→ P (c) を φc (α) := αc (idc ) で定める．これが同型であることを示
すため，逆写像 ψc : P (c) −→ Hom(y(c), P ) を定義する．
※ そのためには ψc をどのように定義すればよいか，考察してみる．x ∈ P (c) に対し
て β = ψc (x) : y(c) =⇒ P が定義できたとする．β はどのような自然変換だろうか．
まず φc ◦ ψc = id とならないといけないので，x = φc ◦ ψc (x) = φc (β) = βc (idc ) で
ある．これで idc ∈ Hom(c, c) の行き先 βc (idc ) は定まった．他の f ∈ Hom(c, c) の
行き先はどうなるであろうか．ここで β が自然変換であることを考えると，次の図式
が可換にでなければならない．
c
Hom(c, c)
f
c
βc
◦f
Hom(c, c)
Pf
βc
f
Pc
Pc
βc
P f (x)
◦f
Pf
idc
βc
x
よって βc (f ) = P f (x) でなければならない．こうして βc は確定した．他の d ∈ C ，
f ∈ Hom(d, c) に対しても同様にして，βd が以下の可換図式により定まる．
Hom(d, c)
d
f
c
βd
◦f
Hom(c, c)
Pf
βc
f
Pd
Pc
βd
P f (x)
◦f
idc
Pf
βc
x
即ち βd (f ) = P f (x) である．
x ∈ P (c) に対して ψc (x)d : Hom(d, c) −→ P (d) を ψc (x)d (f ) := P f (x) で定める．こ
のとき ψc (x) は自然変換 Hom(−, c) =⇒ P である．
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. .
. ) f : d −→ e に対して次が可換であることを示せばよい．
Hom(d, c)
d
f
e
ψc (x)d
◦f
Hom(e, c)
g◦f
Pd
Pf
ψc (x)e
ψc (x)d
◦f
Pf
g
Pe
P (g ◦ f )(x)
P f (P g(x))
ψc (x)e
P g(x)
しかしそれは P が関手だから P (g ◦ f )(x) = (P f ◦ P g)(x) = P f (P g(x)) となり明
らか．
後は φc ◦ ψc = id と ψc ◦ φc = id を示せばよい．前者は
φc ◦ ψc (x) = φc (ψc (x)) = ψc (x)c (idc ) = P (idc )(x) = id(x) = x
だからよい．後者は ψc ◦ φc (α) = ψc (αc (idc )) だから ψc (αc (idc )) = α を示せばよい．そ
の為には d ∈ C に対して ψc (αc (idc ))d = αd を示せばよい．f ∈ Hom(d, c) に対して次が
可換である．
Hom(d, c)
d
f
c
αd
◦f
Hom(c, c)
f
Pd
Pf
αc
◦f
idc
Pc
αd
αd (f )
P f (αc (idc ))
Pf
αc
αc (idc )
故に ψc (αc (idc ))d (f ) = P f (αc (idc )) = αd (f ) となることが分かり，ψc (αc (idc ))d = αd
である．
※ C として C op を考えれば，P : C −→ Set に対して HomSetC (HomC (c, −), P ) ∼
=
P (c) が分かる．
定理 2. 前定理で得られた同型 φc : Hom(y(c), P ) ∼
= P (c) は c に関して自然である．即
ち，φc は自然同型 φ : Hom(y(−), P ) =⇒ P を与える．
3
証明. C の射 f : c −→ d に対して，次が可換になればよい．
c
Hom(y(c), P )
f
d
φc
Pc
◦y(f )
Pf
Hom(y(d), P )
Pd
φd
即ち，α ∈ Hom(y(d), P ) に対して P f ◦ φd (α) = φc (α ◦ y(f )) を示せばよい．まず φd の
定義から P f ◦ φd (α) = P f (αd (idd )) である．一方
φc (α ◦ y(f )) = (α ◦ y(f ))c (idc ) = αc ◦ Hom(c, f )(idc ) = αc (f )
となる．ここで α : y(d) =⇒ P が自然変換であるから，次が可換である．
c
Hom(c, d)
f
d
αc
◦f
Hom(d, d)
f
Pc
Pf
αd
◦f
idd
Pd
αc
αc (f )
P f (αd (idd ))
Pf
αd
αd (idd )
よって αc (f ) = P f (αd (idd )) となり，P f ◦ φd (α) = φc (α ◦ y(f )) が分かった．
b は忠実充満である．
系 3. 米田埋込 y : C −→ C
証明. 米田の補題により c, d ∈ C に対して Hom(y(c), y(d)) ∼
= Hom(c, d) であるが，証
明から分かるようにこの同型 Hom(c, d) ∼
= Hom(y(c), y(d)) は f 7−→ y(f ) で与えられ
る．
b は埋込になっていることが分かる．この y を米田埋込と呼ぶ．また
即ち，y : C −→ C
忠実充満関手の性質から次が分かる．
系 4. y(c) ∼
= y(d) ならば c ∼
= d である．
ここで，y(c) ∼
= y(d) というのは勿論自然同型を表している．そこで，自然同型である
ことを具体的に書くと次の定理が得られる．
定理 5. C を圏，c, d ∈ C とする．x ∈ C について自然に HomC (x, c) ∼
= HomC (x, d) な
らば，c ∼
= d である．また，x ∈ C について自然に HomC (c, x) ∼
= HomC (d, x) ならば，
c∼
= d である．
4
即ち，c と d が同型であるかどうかは，射によって決定されるのである．(これは非常に
良く使う重要な事実である．)
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