はじめに レンダリングとは 隠線/隠面処理 OpenGL における隠面処理 シェーディング OpenGL による表面の設定 テクスチャマッピング OpenGL によるテ
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第 7 章 レンダリング
畔上 秀幸
名古屋大学 情報科学研究科 複雑系科学専攻
May 11, 2015
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はじめに レンダリングとは 隠線/隠面処理 OpenGL における隠面処理 シェーディング OpenGL による表面の設定 テクスチャマッピング OpenGL によるテ
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§7.1 はじめに
(目標) CG で使われる 3 次元形状を写実的に表示するための技術 (レ
ンダリング) について理解する．
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§7.2 レンダリングとは
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定義 7.2.1 (レンダリングとは)
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3 次元形状を写実的に表示するための方法を総称してレンダリング
(rendering)
という．
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レンダリングには，次のような種類がある．
1. 隠線/隠面処理 (hidden line/surface calculation)
a 外向き法線法 (outer normal algorithm)
b Z バッファ法 (Z-buffer algorithm)
c スキャンライン法 (scan-line algorithm)
2.
シェーディング (shading)
a フラットシェーディング (flat shading) あるいはコンスタントシェー
ディング (constant shading)
b スムーズシェーディング (smooth shading)
i グーロー (Gourand) シェーディング
ii フォン (Phong) シェーディング
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§7.2 レンダリングとは (cnt.)
3.
テクスチャマッピング (texture mapping)
a 表面テクスチャマッピング (surface texture mapping)
b バンプマッピング (bump mapping)
c 環境マッピング (environmental mapping)
i 反射マッピング (reflection mapping)
ii 屈折マッピング (refraction mapping)
d ソリッドテクスチャマッピング (solid texture mapping)
4.
レイトレーシング (ray tracing)
5.
ボリュームビジュアライゼーション (volume visualization)
a ボリュームレンダリング (volume rendering)
b サーフェイスレンダリング (surface rendering)
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§7.3 隠線/隠面処理
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定義 7.3.1 (隠線/隠面処理とは)
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多面体を対象にして，投影変換の結果，見えない線あるいは面を消去す
る処理を隠線
/隠面処理という．
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多面体
隠線処理後
隠面処理後
図 7.3.1: 隠線/隠面処理
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外向き法線法
§7.3.1 外向き法線法
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定義 7.3.2 (外向き法線法)
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多面体の面ごとに外向き法線 ν ∈ R3 と視線の方向 e ∈ R3 を計算して，
内積 ν · e ≥ 0 のとき可視，ν · e < 0 のとき不可視と判定する方法を外
.向き法線法という．
面の法線 ν は，面の頂点を右回りに p0 , p1 , p2 としたとき，
ν=
(p1 − p0 ) × (p2 − p0 )
∥(p1 − p0 ) × (p2 − p0 )∥
で計算される．
(問題点)
凸多面体でない場合には，判定を誤る．
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外向き法線法
§7.3.1 外向き法線法 (cnt.)
º
p1
e
e
e
p2
p0
外向き法線法
º
º
凸多面体でない場合
図 7.3.2: 外向き法線法
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Z バッファ法
§7.3.2 Z バッファ法
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定義 7.3.3 (Z バッファ法)
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ピクセルごとに多面体の奥行き値を正規化視座標系で表した値を z
値という． z 値を記憶するメモリを Z バッファという． Z バッファを
.用いた隠線/隠面判定法を Z バッファ法という．
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Z バッファ法
§7.3.2 Z バッファ法 (cnt.)
(手順)
1.
2.
3.
メモリの確保：ピクセルごとに，色を記憶するフレームバッファ
f (x, y) と Z バッファ b(x, y) を用意する．
初期化： すべてのピクセル (x, y) に対して，f (x, y) に背景色を，
b(x, y) に背景の距離を入力する．
Z バッファの書換： すべての面に対して，面を投影変換した多角
形領域内にあるピクセル (x, y) の z 値 z(x, y) を求め，
If z (x, y) < b (x, y) , then b (x, y) := z (x, y) and f (x, y) := 面の色
により，b(x, y) と f (x, y) をかきかえる．
Z バッファ法の特徴
1.
高速処理が可能である．
2.
反射，屈折の処理が難しい．
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スキャンライン法
§7.3.3 スキャンライン法
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定義 7.3.4 (スキャンライン法)
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画面上の走査線をスキャンラインという．スキャンライン単位で隠面処
.理を行う方法をスキャンライン法という．
x
º
y
e
図 7.3.3: スキャンライン法
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スキャンライン法
§7.3.3 スキャンライン法 (cnt.)
(手順)
1.
2.
y ソート: 視線方向を向いたすべての面を正規化視座標系に変換し，
各面ごとに最大/最小の y 値，各辺ごとに最大/最小の y 値を求め，
最小 y 値の昇順でソートする．
スキャンラインごとに次のこと行う．
a x ソート: スキャンライン平面とすべての平面の交差を調べ，交差する
すべての辺の最大/最小の x 値を求め，最小 x 値の昇順でソートしたリ
スト (アクティブセグメントリスト) を作成する．
b z ソート: アクティブセグメントリストの辺データを z 値の昇順でソー
トし， z 値が最小の面の色をフレームバッファに格納する．
スキャンライン法の特徴
1.
メモリの節約が可能である．
2.
透過処理が可能である．
3.
Z バッファ法よりも高速処理は難しい．
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§7.4 OpenGL における隠面処理
OpenGL において隠面処理を行うためには次の関数をよびだす．
• Z バッファ利用の宣言
• void glutInitDisplayMode(GLUT DEPTH)
• Z バッファの初期化 (背景の距離を入力)
• void glClear(GL COLOR BUFFER BIT | GL DEPTH BUFFER BIT)
• 有効範囲の指定
• glEnable(GL DEPTH TEST) ∼ glDisable(GL DEPTH TEST)
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§7.4 OpenGL における隠面処理 (cnt.)
ドーナツを切る．
図 7.4.1: ドーナツを切る
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§7.4 OpenGL における隠面処理 (cnt.)
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program7 1.c
.
...
glutInitDisplayMode(GLUT_DOUBLE | GLUT_RGB | GLUT_DEPTH);
...
/* DEPTH バッファを ON */
#if 0
glEnable(GL_DEPTH_TEST);
#endif
...
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
...
glutSolidTorus(0.5, 0.9, 50, 50);/* トーラスを描画 */
...
glRectf(-2.0, -2.0, 2.0, 2.0);/* 長方形を描画 */
...
.
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§7.5 シェーディング
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定義 7.5.1 (シェーディングとは)
.
多面体表面から視点に到達する光の輝度を計算する方法をシェーディン
.グ (shading) という．
1.
RGB それぞれに対して，光の輝度を計算する．
a 拡散反射 (diffuse reflection): Lambert 反射 (Lambertian reflectance)
b 鏡面反射 (specular reflection): Phong 反射モデル (Phong reflection
model)
c 環境光反射 (ambient reflection)
d 透過光 (transmitted light)
2.
多面体表面に対して光の輝度の分布を計算する．
a フラットシェーディング (flat shading)
b Gouraud シェーディング (Gouraud shading)
c Phong シェーディング (Phong shading)
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輝度の計算
§7.5.1 輝度の計算
1.
ν ∈ R3 を表面の外向き単位法線，l ∈ R3 を光源の向きを示す単位
ベクトル，kd ∈ [0, 1], を拡散反射率とする．l · ν ≥ 0 が成り立つ表
面において，RGB それぞれの入射光の輝度 iin に対して，表面の
外向きすべての方向に一様な輝度
id = kd iin l · ν
の光が反射されると仮定するとき，拡散反射 (Lambert 反射) とい
う．拡散反射は，つや消し塗料仕上げの表面を表現するために使わ
れる．
º
l
図 7.5.1: 拡散反射
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輝度の計算
§7.5.1 輝度の計算 (cnt.)
2.
ν, l ∈ R3 を前項と同様とする．r ∈ R3 を ν に対して l ∈ R3 の鏡
面反射の向きを示す単位ベクトル，e ∈ R3 を視点の向きを示す単
位ベクトル，ks , 0 ≤ ks ≤ 1, を鏡面反射率，n > 0 を反射の鋭さを
示す定数とする．l · ν ≥ 0 が成り立つ表面において，RGB それぞ
れの入射光の輝度 iin に対して，輝度
is (α) = ks iin (r · e)
n
の光が反射されると仮定するとき，鏡面反射 (Phong 反射モデル)
という．ただし，cos α = r · e ≥ 0 とする．ガラスや金，銀などの
反射特性は，ks を cos θ = l · ν ≥ 0 の関数で表現される．
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輝度の計算
§7.5.1 輝度の計算 (cnt.)
º
l
r
e
図 7.5.2: 鏡面反射
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輝度の計算
§7.5.1 輝度の計算 (cnt.)
3.
ka , 0 ≤ ka ≤ 1, を環境光反射率とする．入射光とは無関係に，す
べての表面に届く光の輝度 iamb に対して，輝度
ia = ka iamb
の光を反射すると仮定するとき，環境光反射 という．
屋外シーンでは id , is の 10 % ∼ 20 % を ia とする．
4.
d, 0 ≤ d ≤ 1, を透過率とする．物体後方からくる光の輝度 i0 に対
して，屈折方向に，輝度
it = di0
の光が届くと仮定するとき，透過光 という．
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輝度分布の計算
§7.5.2 輝度分布の計算
1.
多面体モデルをそのままシェーディングする方法を，フラット
シェーディングあるいはコンスタントシェーディングという．
フラット
Gouraud
Phong
図 7.5.3: シェーディングの違いによる球の表示
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輝度分布の計算
§7.5.2 輝度分布の計算 (cnt.)
2.
次のようなスムースシェーディング法を Gouraud シェーディン
グあるいは輝度補間法という．ただし，多面体の表面多角形を 3 角
形として，E を表面多角形の集合，N を頂点の集合とする．
a 頂点 j ∈ N に対して，Ej ⊂ E を j を含む表面多角形の集合とする．す
べての i ∈ Ej に対して法線を νi とかく．このとき，
∑
i∈Ej νi
νj =
|Ej |
を頂点 j の平均法線とする．
ºi3
ºj
ºi4
ºi2
ºi1
図 7.5.4: 平均法線
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輝度分布の計算
§7.5.2 輝度分布の計算 (cnt.)
b νj を用いて各頂点の輝度 ij , j ∈ N , を計算する．
3
c 表面多角形 Ωi , i ∈ E, の頂点を
(
) x(α)i ∈ R , α ∈ Ni , 輝度 i(α)i , さらに，
ϕ(α)i : Ωi → R を ϕ(α)i x(β)i = δαβ , α, β ∈ Ni , を満たす関数とする．
このとき，x ∈ Ωi に対して，輝度を
∑
ih (x) =
ϕ(α)i (x) i(α)i
α∈Ni
で補間する．ϕ(α)i は基底関数とよばれる．
i(3)i
i(2)i
ih
i(1)i
x(3)i
Á(3)i
Á(2)i
Á(1)i
1
x(2)i
i
x(1)i
図 7.5.5: Gouraud シェーディング
.
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輝度分布の計算
§7.5.2 輝度分布の計算 (cnt.)
3.
次のようなスムースシェーディング法を Phong シェーディングあ
るいは法線補間法という．
a 頂点 j ∈ N に対して，Ej ⊂ E を j を含む表面多角形の集合，νi を
i ∈ Ej の法線とするとき，
∑
i∈Ej νi
νj =
|Ej |
を j の平均法線とする．
3
b 表面多角形 Ωi , i ∈ E, の頂点を
( x(α)i
) ∈ R , α ∈ Ni , 法線を ν(α)i , さら
に，ϕ(α)i : Ωi → R を ϕ(α)i x(β)i = δαβ , α, β ∈ Ni , を満たす関数と
する．このとき，x ∈ Ωi に対して，法線を
∑
νh (x) =
ϕ(α)i (x) ν(α)i
α∈Ni
で補間する．
c νh (x) から，輝度 i (x) を計算する．
.
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輝度分布の計算
§7.5.2 輝度分布の計算 (cnt.)
º(3)i
ºh
º(2)i
º(1)i
Á(3)i
x(3)i
Á(2)i
Á(1)i
1
i
x(2)i
x(1)i
図 7.5.6: Phong シェーディング
.
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§7.6 OpenGL による表面の設定
.
glLightfv()
.
void glLightfv(GLenum light, GLenum pname, const GLfloat *params)
• light には光源の番号 (GL LIGHT0 ∼ GL LIGHT7) を指定する．
• pname には次を指定する．
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
GL
GL
GL
GL
GL
GL
GL
GL
GL
GL
AMBIENT : 光の環境 RGBA 輝度
DIFFUSE : 光の拡散 RGBA 輝度
SPECULAR : 光の鏡面 RGBA 輝度
POSITION : 光の位置 (x, y, z, w)
SPOT DIRECTION : スポットライトの向き (x, y, z)
EXPONENT : スポットライトの円錐方向の減衰率
SPOT CUTOFF : スポットライトの広がり角 (度)
CONSTANT ATTENUATION : 一定減衰率 kc
LINEAR ATTENUATION : 線形減衰率 kl
QUADRATIC ATTENUATION : 2 次減衰率 kq
. • param にはパラメータの値を指定する．
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§7.6 OpenGL による表面の設定 (cnt.)
d を光の位置と頂点の間の距離とするとき，減衰係数は
1
kc + kl d + kq d2
で計算される．
.
glLightfv()
.
void glMaterialfv(GLenum face, GLenum pname,
const GLfloat *params);
• 表面の光の反射特性を設定する．
• face には次を指定する．
• GL FRONT: 表面
• GL BACK : 裏面
• GL FRONT AND BACK :両面
.
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§7.6 OpenGL による表面の設定 (cnt.)
.
.
• pname には次を指定する．
• GL AMBIENT (RGBA) : 環境光に対する反射係数，光の当たらない
部分の明るさ
• GL DIFFUSE (RGBA ) : 拡散反射係数，表面の色に相当
• GL SPECULAR (RGBA ) : 鏡面反射係数，光源の映り込みの強さ
• GL EMISSION (RGBA ) : 発光係数
• GL SHININESS (0 ∼ 128) :ハイライトの輝き，大きいほどハイライ
ト部分が小
• GL AMBIENT AND DIFFUSE (RGBA, RGBA): 拡散反射係数と鏡面
反射係数の両方
• GL SPECULAR を (1 1 1 1) ， GL SHININESS を大きくすればつやや
かになる．
• GL SPECULAR を GL DIFFUSE と同じにして GL AMBIENT を 0 に
近づければ金属的になる．
.
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§7.6 OpenGL による表面の設定 (cnt.)
球のライティング
.
program7 2.c
.
void display(void)
...
/*照明*/
glLightfv(GL_LIGHT0, GL_AMBIENT, light0_ambient); /* 環境光 */
glLightfv(GL_LIGHT0, GL_DIFFUSE, light0_diffuse); /* 拡散光 */
glLightfv(GL_LIGHT0, GL_SPECULAR, light0_specular); /* 鏡面光 */
/*材質の鏡面反射色*/
glMaterialfv(GL_FRONT, GL_SPECULAR, material_specular);
glMaterialfv(GL_FRONT, GL_SHININESS, shininess); /*ハイライト*/
....
.
.
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§7.6 OpenGL による表面の設定 (cnt.)
.
演習 7.6.1 (球のライティング)
.
program7 2.c を実行し，次の原因を考察せよ．
1. 球の影が床にないのはなぜか？
2.
スポットライトの当る球や床の領域が矩形になっているのはな
ぜか？
より美しくみえるように設定値を変えてみよ．
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§7.7 テクスチャマッピング
3 次元オブジェクトの表面に，表面の形状に沿って模様 (texture) を
貼り付ける処理をテクスチャマッピングという．
1.
表面テクスチャマッピング
2.
バンプマッピング
3.
環境マッピング
4.
ソリッドテクスチャ
.
.
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§7.7 テクスチャマッピング (cnt.)
1.
2 次元の画像データを 3 次元オブジェクトの表面に貼り付ける処理
を表面テクスチャマッピングという．
a
b
c
d
平面投影マッピング
円筒面投影マッピング
球面投影マッピング
曲面パラメータ化テクスチャマッピング
図 7.7.1: 表面テクスチャマッピング
.
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§7.7 テクスチャマッピング (cnt.)
2.
オブジェクト表面の細かな凸凹を法線方向の変化のみで輝度の変化
を計算する方法をバンプマッピング (bump mapping) という．
図 7.7.2: バンプマッピング
.
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§7.7 テクスチャマッピング (cnt.)
3.
オブジェクトの周囲に背景や前景をマッピングした面を設けて，視
点から到達した色を表示する方法を環境マッピング (environment
mapping) と呼ぶ．
a 反射マッピング (reflection mapping)：オブジェクト表面で反射を 1 回
行う．
b 屈折マッピング (refraction mapping)：オブジェクト表面で屈折を 1 回
行う．
反射マッピング
屈折マッピング
図 7.7.3: 環境マッピング
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§7.7 テクスチャマッピング (cnt.)
4.
3 次元空間のテクスチャを数式やアルゴリズムで作成し，オブジェ
クトの表面から内部に連続しているテクスチャを表現する方法をソ
リッドテクスチャ (solid texture) という．木材や岩石などの表現で
使われている．
図 7.7.4: ソリッドテクスチャ
.
.
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はじめに レンダリングとは 隠線/隠面処理 OpenGL における隠面処理 シェーディング OpenGL による表面の設定 テクスチャマッピング OpenGL によるテ
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§7.8 OpenGL によるテクスチャマッピング
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glPixelStorei()
.
void glPixelStorei(GLenum pname, GLint param);
• ピクセル（画素）の格納モードを設定する．
• pname に GL UNPACK ALIGNMENT を指定した場合，param には
1, 2, 4, 8 のいずれかを指定する．
• 1 画素が RGBA，各色 1 バイトのとき 4 を指定する．
• 1 画素が RGB，各色 1 バイトのとき 1 を指定する（3 は指定でき
.
ない）．
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§7.8 OpenGL によるテクスチャマッピング (cnt.)
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glTexParameteri()
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void glTexParameteri(GLenum target, GLenum pname,
GLint param);
• テクスチャのパラメータを設定する．
• target に GL TEXTURE 2D を指定（1 次元の場合は別の設定）
• pname に GL TEXTURE MAG FILTER を指定した場合，param に
テクスチャが拡大されるときの補間方法を指定
.
• GL NEAREST（最近傍法）
• GL LINEAR（双線形補間）
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§7.8 OpenGL によるテクスチャマッピング (cnt.)
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• pname に GL TEXTURE MIN FILTER を指定した場合，param に
テクスチャが縮小されるときの補間方法を指定する．
•
•
•
•
•
•
GL
GL
GL
GL
GL
GL
NEAREST
LINEAR
NEAREST MIPMAP NEAREST
NEAREST MIPMAP LINEAR
LINEAR MIPMAP NEAREST
LINEAR MIPMAP LINEAR
ただし，MIPMAP は画像の縮小サンプリングを行う際のエリアシ
ングの発生を抑える手法である．
• pname に GL TEXTURE WRAP S あるいは
GL TEXTURE WRAP T を指定した場合，param に s 軸あるいは t
軸の繰り返し指定を行う．
.
• GL REPEAT（繰り返し）
• GL CLAMP(クランプ)
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§7.8 OpenGL によるテクスチャマッピング (cnt.)
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glTexImage2D()
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void glTexImage2D(GLenum target, GLint level,
GLint internalFormat, GLsizei width, GLsizei height,
GLint border, GLenum format, GLenum type,
const GLvoid *pixels);
• ２次元テクスチャ画像を指定する．
• Target に GL TEXTURE 2D を指定する．
• Level に MIPMAP を行う場合のテクスチャの解像度レベルを指定
する．ただし，MIPMAP を行わない場合は 0 とする．
• internalFormat にテクスチャのデータ形式を指定する．GL RGB,
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GL RGBA, GL ALPHA, GL LUMINANCE,
GL LUMINANCE ALPHA, GL INTENSITY など 全 38 種類
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§7.8 OpenGL によるテクスチャマッピング (cnt.)
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• width, height にテクスチャの幅と高さを指定する．
• border に境界線の太さを指定する．テクスチャ境界なしのとき 0
を指定する．
• format は引数 pixels に指定したメモリ上の画像の形式を指定する．
GL RGB, GL RGBA, GL COLOR INDEX, GL RED, GL GREEN,
GL BLUE, GL ALPHA, GL LUMINANCE,
GL LUMINANCE ALPHA が指定可能
• type に pixels のデータ型を指定する．GL UNSIGNED BYTE
（unsigned char と等価）, GL BYTE, GL SHORT,
GL UNSIGNED SHORT, GL INT, GL UNSIGNED INT, GL FLOAT,
GL BITMAP が指定可能
. • pixels に テクスチャ画像を格納した配列のポインタを指定する．
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§7.8 OpenGL によるテクスチャマッピング (cnt.)
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glTexEnvi()
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void glTexEnvi(GLenum target, GLenum pname, GLint param);
• target に GL TEXTURE ENV を指定する．
• pname に GL TEXTURE ENV MODE を指定する．
• param には次を指定する．
• GL MODULATE (テクスチャとベースの掛け算)
• GL DECAL (ステッカを貼るイメージ)
• GL BLEND (あらかじめ定義しておいた色との混合)
• GL REPLACE (置き換え)
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§7.8 OpenGL によるテクスチャマッピング (cnt.)
ティーポットにテクスチャを貼り付ける．
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program7 3.c
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int main(int argc, char **argv)
...
/* テクスチャーの初期化 */
make_image();
init_texture();
...
void display(void)
...
glEnable(GL_TEXTURE_2D);
...
glTexEnvi(GL_TEXTURE_ENV, GL_TEXTURE_ENV_MODE,
GL_MODULATE);
...
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§7.8 OpenGL によるテクスチャマッピング (cnt.)
図 7.8.1: ティーポットにテクスチャを貼り付ける
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§7.9 レイトレーシング
目に到達するまでの光を逆に辿ることによって色を計算する方法をレ
イトレーシング (ray tracing) という．
図 7.9.1: レイトレーシング
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§7.9 レイトレーシング (cnt.)
レイトレーシングのアルゴリズム
1.
空間中に視点とスクリーンを定義する．
2.
各画素について，次の計算を行う．
a 画素点と視点を直線 (レイ) を作成する．
b レイとすべてのオブジェクトとの交点を求める．
(1) 交点がなければ，その画素の輝度は背景色とする．
(2) 交点があれば，視点に一番近い交点を可視点とし，可視点の輝度を計算し，
その画素の輝度とする．
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§7.9 レイトレーシング (cnt.)
可視点輝度の計算
1.
x0 ∈ R3 を可視点とする．L を光源の集合，idi (x0 ), isi (x0 ) を
i ∈ L からの光が直接 x0 で拡散反射，鏡面反射の輝度とする．こ
のとき， x0 の輝度は
∑
i (x0 ) =
(idi (x0 ) + isi (x0 ))
i∈L
+ kr (x0 ) ir (xr ) + kt (x0 ) it (xt )
と仮定する．ただし，xr はレイが可視点で完全鏡面反射したとき
の次の交点，xt をレイが可視点で屈折したときの次の交点とする．
kr , kt は反射係数と透過係数である．
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§7.9 レイトレーシング (cnt.)
2.
さらに，xr と xt の輝度を
∑
ir (xr ) =
(idi (xr ) + isi (xr ))
i∈L
+ kr (xr ) ir (xrr ) + kt (xr ) it (xrt )
∑
it (xt ) =
(idi (xt ) + isi (xt ))
i∈L
+ kr (xt ) ir (xtr ) + kt (xt ) it (xtt )
と仮定する．ただし，xrr , · · · , xtt はレイが完全鏡面反射あるいは
屈折したときの次の交点とする．
3.
4.
以下，同様に反射あるいは屈折がなくなるか，あるいは上限回にな
るまで輝度の式を仮定する．
最後の式から，可視点側に向かって代入計算を行い，i (x0 ) を求
める．
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§7.10 ボリュームビジュアライゼーション
これまでのレンダリングは 3 次元形状が与えられていることを前提に
していた．ここでは，3 次元領域の中にある属性値 (X 線 CT の場合は X
線吸収量) が埋め込まれている (場所の関数として与えられている) 次
のような状況を考えてみよう．
1.
2.
3.
3 次元矩形領域 Ω ⊂ R3 は微小立方体 Ωi , i ∈ E, の周期的に配置さ
れた集合であるとみなす．Ωi をボクセル (voxel) とよぶ．
X 線 CT によって得られる X 線吸収量，密度，濃度，熱，圧力など
のスカラー値関数 v : Ω → R を属性値とみなす．
属性値がボクセルごとに与えられているとき，すなわち
vi : E ∋ i → v ∈ R のとき，V = {vi }i∈E をボクセルデータ (voxel
data) あるいはボリュームデータ (volume data) という．ボクセル
データをボクセルの中心に配置し，それらを頂点にした配置をここ
では格子という．
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§7.10 ボリュームビジュアライゼーション (cnt.)
vi
vi
i
(a) ボクセル Ωi
(b) ボクセル中心を頂点とする格子
図 7.10.1: ボクセル Ωi と属性値 vi
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§7.10 ボリュームビジュアライゼーション (cnt.)
.
定義 7.10.1 (ボリュームビジュアライゼーション)
.
ボクセルデータから，属性値の違う領域を可視化する方法をボリューム
(volume visualization) という．
ビジュアライゼーション
.
ボリュームビジュアライゼーションには，次のような種類がある．
1. ボリュームレンダリング (volume rendering)
2. サーフェイスレンダリング (surface rendering)
(a) ボリュームレンダリングの例
(b) サーフェイスレンダリングの例
図 7.10.2: ボリュームビジュアライゼーション
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ボリュームレンダリング
§7.10.1 ボリュームレンダリング
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定義 7.10.2 (ボリュームレンダリング)
.
視点からの光線 (レイ) が 3 次元領域を通過する際の減衰を考慮して光
.を追跡する方法をボリュームレンダリング (volume rendering) とよぶ．
ボリュームレンダリングのアルゴリズム：
r
g
b
attribute value v
(a) 色関数
Intensity of light
属性値 v ∈ R に対して色 c = (r (v) , g (v) , b (v)) と不透明度 α (v)
を対応させる関数 (c, α) : R → R4 を指定する (図 7.10.3)．
Intensity of light
1.
®
attribute value v
(b) 不透明度関数
図 7.10.3: ボリュームレンダリングで使われる色と不透明度を決める関数
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ボリュームレンダリング
§7.10.1 ボリュームレンダリング (cnt.)
2.
レイの方向に輝度を計算していく．そのためにレイの方向にサンプ
リング点 xj , j ∈ S, を設け，xj が含まれるボクセル Ωi の格子点
x(α) ∈ R3 , α ∈ {1, · · · , 8} の属性値 v(α) からサンプリング点の属
性値を
∑
vj = vh (xj ) =
ϕ(α) (xj ) v(α)
α∈{1,··· ,8}
(
)
で補間する．ただし，ϕ(α) : Ωi → R を ϕ(α) x(β) = δαβ ,
α, β ∈ {1, · · · , 8}, を満たす関数 (x1 , x2 , x3 に関する 3 重 1 次多項
式) とする．ϕ(α) は基底関数とよばれる．
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ボリュームレンダリング
§7.10.1 ボリュームレンダリング (cnt.)
xi
xi+1
xi+2
¢s
s
図 7.10.4: ボリュームレンダリングで使われるサンプリング点
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ボリュームレンダリング
§7.10.1 ボリュームレンダリング (cnt.)
3.
サンプリング点
∑ xj , j ∈ S, の不透明度 αj = α (vj ) をレイの方向に
足していき， j={1,··· ,m} αj = 1 となるか，あるいはボクセルがな
くなったときのサンプリング点の数を m，cm をサンプリング点
xm の色，あるいは背景色として，
im := cm
for i = m − 1 to 0 do ii := αi ci + (1 − αi ) ci+1
i := i0
によってレイに対する 3 原色の輝度 i = (iR , iG , iB ) を計算する．
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ボリュームレンダリング
§7.10.1 ボリュームレンダリング (cnt.)
さらに，属性値の勾配を利用して，境界を強調することやシェーディ
ングの機能を加えることもできる．
格子点の座標を xijk = (xi1 , xj2 , xk3 ), i, j, k ∈ {1, · · · , m}, とかくと
き，属性値 v の xijk における勾配は，中心差分の定義を用いれば
v (xi+1 1 , xj2 , xk3 ) − v (xi−1 1 , xj2 , xk3 )
1
∇v (xijk ) = v (xi1 , xj+1 2 , xk3 ) − v (xi1 , xj−1 2 , xk3 )
2
v (xi1 , xj2 , xk+1 3 ) − v (xi1 , xj2 , xk−1 3 )
によって計算される．
1.
2.
格子点 xijk の不透明度 αijk を ∇v (xijk ) の大きさ ∥∇v (xijk )∥
の関数として定義すれば，境界を強調した表示が得られる．
∇v (xijk ) が 3 次元ベクトルであることに注意して，Phong シェー
ディングを適用できる．
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ボリュームレンダリング
§7.10.1 ボリュームレンダリング (cnt.)
図 7.10.5: 属性値の勾配を利用したシェーディング
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サーフェイスレンダリング
§7.10.2 サーフェイスレンダリング
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定義 7.10.3 (サーフェイスレンダリング)
.
ボクセルデータから等値面を求め，その等値面に使ってレンダリングを
行う方法をサーフェイスレンダリング (surface rendering) とよぶ．その
中で，格子内部の等値面を基本パターンへの場合分けに基づいて求める
.方法をマーチングキューブ法 (marching cubes method) とよぶ．
等値面の属性値 (閾値) を v0 とする．格子点 x(α) ∈ R3 ,
α ∈ {1, · · · , 8} の属性値 v(α) が v(α) ≤ v0 のときに 0，v(α) > v0 のと
きに 1 を x(α) に割り当てる．このとき，8 つの格子点に割り当てられ
た 0, 1 の組み合わせの場合の数は 28 = 256 通りとなる．ここで，対称
性を考慮すれば，位相が同じパターンは図 7.10.6 (b) のような 15 種類
となる．
そこで，格子ごとにパターンを特定し，その上で必要となる未知数を
求めていくことによって，全体の等値面を構成することができる．
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サーフェイスレンダリング
§7.10.2 サーフェイスレンダリング (cnt.)
1
1
1
0
1
0
0
0
(a) 一例
(b) すべてのパターン
図 7.10.6: マーチングキューブ法で使われる格子点の {0, 1} パターン
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§7.11 まとめ
CG で使われる 3 次元形状を写実的に表示するための技術をレンダリ
ングという．
1.
2.
3.
4.
5.
辺/面の可視/不可視の判定法を隠線/隠面処理という．隠線/隠面処
理には，Z バッファ法とスキャンライン法がある．
光による陰影を付ける方法をシェーディングという．シェーディン
グには，フラットシェーディング法とスムーズシェーディング法が
ある．
表面に画像を張り付ける方法をテクスチャマッピングという．
光を追跡して高品位の画像を作成する方法をレイトレーシングと
いう．
3 次元空間に分布するデータを透視画像に変換する方法をボリュー
ムレンダリングという．
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参考文献
[1] James D. Foley, Steven K. Feiner, Andries van Dam, John F. Hughes, 佐藤
義雄 (訳).
コンピュータグラフィックス 理論と実践.
オーム社, 2001.
[2] 千葉則茂, 土井章男.
３次元 CG の基礎と応用.
サイエンス社, 2004.
[3] 林武文, 加藤清敬.
OpenGL による 3 次元 CG プログラミング.
コロナ社, 2003.
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