UE 2

Mathematik fu
¨ r Informatiker 2 – SoSe 2015
Dr. Hartwig Bosse
Blatt 2
Abgabe: Do 07.05.’15, 14:05 Uhr
Aufgabe 2.1 (Zweierkomplement).
3 Punkte
a) Stellen Sie n := −29 im Zweierkomplement-Format mit 7 Bits dar.
b) Welche ganze Zahl m ∈ Z hat die Zweierkomplement-Darstellung (1|010101)ZK ?
c) Wieviele Bits ben¨
otigt man mindestens um m := −75 im Zweierkomplement-Format darzustellen?
Aufgabe 2.2 (Zweierkomplement Addition).
4 Punkte
Es seien n, m ∈ Z zwei negative Zahlen m, n < 0, deren Summe m + n in Zweierkomplement-Dartellung
mit 7 Bits darstellbar ist, d.h.
−26 ≤ m + n
(?)
F¨
ur m und n seien die Zweierkomplement-Dartellungen mit 7 Bits gegeben durch:
∧
∧
m = (1|d5 d4 d3 d2 d1 d0 )ZK
n = (1|de5 de4 de3 de2 de1 de0 )ZK
(??)
Betrachtet man diese beiden Bitstrings als “gew¨ohnliche” Bin¨arzahlen und addiert diese, so entsteht
eine neue Bin¨
arzahl:
(1 d5 d4 d3 d2 d1 d0 )2
+ (1 de5 de4 de3 de2 de1 de0 )2
=
(c7 c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0 )2
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) Es gilt: (d5 d4 d3 d2 d1 d0 )2 + (de5 de4 de3 de2 de1 de0 )2 ≥ 26 , d.h.
(d5 d4 d3 d2 d1 d0 )2
+
=
(de5 de4 de3 de2 de1 de0 )2
(1 c5 c4 c3 c2 c1 c0 )2
b) Verwirft man das f¨
uhrende Bit c7 der Zahl (c7 c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0 )2 so erh¨alt man den Bitstring f¨
ur die
Zweierkomplement-Darstellung von m + n. Zu zeigen ist also:
∧
m + n = (c6 | c5 c4 c3 c2 c1 c0 )ZK
Tipps:
a) Berechnen Sie m + n indem Sie die Darstellungen aus (??) ausschreiben. Nutzen Sie dann (?) um die
“Summe der positiven Bits” abzusch¨atzen.
b) Welchen Wert hat das f¨
uhrende Bit in der Summe in a) ?
Aufgaben 2.3, 2.4 & 2.5 umseitig!
Homepage der Veranstaltung:
http://www.math.uni-frankfurt.de/~bosse/mafi
Blatt 2
Mathematik fu
¨ r Informatiker 2 – SoSe 2015
Aufgabe 2.3 (Festkommazahlen).
8 Punkte
Ein – zugegeben etwas primitiver – Rechner stellt reelle Zahlen im Festkommaformat mit einem Byte
dar. Dabei werden 1 Vorzeichen–Bit, 4 Bits vor dem Komma und 3 Bits hinter dem Komma verwendet.
a) Welche Darstellung haben die Zahlen (14, 625)10 und (−10, 375)10 in diesem Rechner?
b) Wie viele verschiedene Zahlen k¨
onnen in obigem Format dargestellt werden?
c) Geben sie die folgenden Zahlen in Dezimaldarstellung an:
i) die gr¨
oßte darstellbare Zahl xmax ,
ii) die kleinste darstellbare Zahl xmin sowie
iii) die betragsm¨
aßig kleinste darstellbare Zahl ungleich Null x|min| .
d) Skizzieren sie (bzw. plotten sie) auf einer Zahlengeraden alle darstellbaren Zahlen im Interval [0, 1].
Aufgabe 2.4 (Gleitkommazahlen).
8 Punkte
Der Ein-Byte-Rechner aus Aufgabe 2.4 soll nun mit Gleitkomma-Arithmetik ausgestattet werden. Bei
der (normalisierten) Zahldarstellung werden 1 Bit f¨
ur das Vorzeichen, 4 Bits f¨
ur den Exponenten und
3 Bits f¨
ur die Mantisse bei einem Bias von 8 verwendet. Die f¨
uhrende 1 in der Mantisse wird nicht
abgespeichert.
(a) Welche Darstellung haben die Zahlen 6,5 und -0,875?
(b) Wie viele verschiedene Zahlen k¨onnen in diesem Gleitkomma-Format dargestellt werden?
(c) Geben sie xmax , xmin sowie x|min| an.
(d) Skizzieren sie (bzw. plotten sie) auf einer Zahlengeraden alle darstellbaren Zahlen im Interval [0, 1].
Aufgabe 2.5 (Rundungsfehler).
3 Punkte
In den beiden Rechnern aus Aufgabe 2.3 und Aufgabe 2.4 werden jeweils nicht exakt darstellbare reelle
Zahlen auf die n¨
achste darstellbare Zahl gerundet (korrektes Runden).
a) Geben Sie die Zahl 2/3 als Bin¨
arzahl an.
b) Geben Sie f¨
ur die Zahl 2/3 jeweils an auf welche Maschinenzahl (in diesem Festkomma- bzw. Gleitkommaformat) 2/3 gerundet wird.
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http://www.math.uni-frankfurt.de/~bosse/mafi

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