Universit¨at Bielefeld, Prof. Dr. Thomas Dahm Bielefeld, den 16.04.2015 ¨ Ubungen zur Theoretischen Physik II Sommersemester 2015 Blatt 2 Aufgabe 4: Hermitesche Operatoren (3 Punkte) In der Vorlesung wurde das Skalarprodukt zweier Wellenfunktionen ψ(~r) und ϕ(~r) definiert durch den Ausdruck Z hϕ|ψi = d3 rϕ∗ (~r)ψ(~r) Der Operator Aˆ† wird als der zum Operator Aˆ adjungierte Operator bezeichnet, wenn f¨ ur beliebige Wellenfunktionen ϕ und ψ gilt: D E D E † ˆ ˆ A ϕ|ψ = ϕ|Aψ Ein Operator Aˆ wird hermitesch genannt, wenn Aˆ = Aˆ† , d.h. wenn er selbstadjungiert ist. Zeigen Sie, dass sowohl der Ortsoperator ~ˆr als auch der Impulsoperator pˆ~ hermitesche ∂ hermitesch ? Operatoren sind. Ist der Ableitungsoperator ∂x Aufgabe 5: Freies Teilchen (10 Punkte) Betrachten Sie die eindimensionale Schr¨odinger-Gleichung f¨ ur ein freies Teilchen, d.h. ohne Potential V (x) = 0: ~2 ∂ 2 ψ ∂ψ =− i~ ∂t 2m ∂x2 a) Zeigen Sie, dass die ebenen Wellen ψ (x, t) = Cei(kx−ωk t) L¨osungen der freien Schr¨odinger-Gleichung sind. Welcher Zusammenhang muss dazu zwischen k und ωk bestehen ? (1 P.) b) Zeigen Sie, dass auch alle Linearkombinationen solcher ebenen Wellen von der Form Z ∞ dk C(k)ei(kx−ωk t) ψ (x, t) = −∞ L¨osungen der freien Schr¨odinger-Gleichung sind. Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Funktion C(k) also gerade die Fourier-Transformierte der Funktion ψ (x, t = 0). (1 P.) c) Zum Zeitpunkt t = 0 sei die Wellenfunktion des freien Teilchens gegeben durch: ( ) 1 (x − x0 )2 exp − ψ (x, t = 0) = √ + ik0 (x − x0 ) 4 4d2 2πd2 wobei d, x0 und k0 reelle Parameter seien. Berechnen Sie mit Hilfe einer Fourier-Transformation zun¨achst C(k) und dann mit Hilfe der Formel aus b) die Wahrscheinlichkeitsverteilung f¨ ur das Teilchen |ψ (x, t)|2 als Funktion der Zeit t. Beschreiben Sie in Worten, wie sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Laufe der Zeit ver¨andert. (3 P.) Hinweise: • Die Formel R∞ 2 dxe−αx = −∞ pπ α gilt auch f¨ ur komplexe α, wenn Re α > 0. • Zwischenergebnis: ik0 (x−x0 )− 2t i~k0 2m e q ψ (x, t) = √ 4 2 2πd 1 + (x−x0 − ~km0 t ) 2 i~t e 4(d + 2m ) 2 − i~t 2d2 m d) Da die Breite des Wellenpaketes zeitabh¨angig ist, zerfließt“ es. Wie lange dauert es, ” bis sich die Breite • eines Sandkornes (m ≈ 1 mg, d ≈ 1 mm) • eines Alphateilchens (42 He++ , m ≈ ?, d ≈ 10−13 m) jeweils verdoppelt hat ? Vergleichen Sie Ihr Resultat mit dem Alter des Universums. (1 P.) e) Berechnen Sie die Mittelwerte und Unsch¨arfen hˆ xi, ∆x, hˆ pi, ∆p von Ort und Impuls der Wellenfunktion ψ (x, t). Welches Ergebnis erhalten Sie f¨ ur das Produkt der Unsch¨arfen ∆x∆p ? Erf¨ ullt es die Heisenbergsche Unsch¨arferelation ? (4 P.) Aufgabe 6: Rechenregeln fu ¨ r Kommutatoren (3 Punkte) ˆ B ˆ und Cˆ Operatoren, die nicht untereinander kommutieren. Zeigen Sie Es seien A, folgende Rechenregeln: a) h i h i h i ˆ Cˆ = A, ˆ Cˆ + B, ˆ Cˆ Aˆ + B, (1 P.) b) h i h i h i ˆ Cˆ = Aˆ B, ˆ Cˆ + A, ˆ Cˆ B ˆ AˆB, (1 P.) c) h ˆ B ˆ A, i† h i ˆ † , Aˆ† = B ˆ † die adjungierten Operatoren von Aˆ und B ˆ sind. wobei Aˆ† und B Besprechung am 24.04.2015. (1 P.)