Kapitel 51 Wege im Rn © R. Plato .... ........ . .... .. ... .. ... ....... .... .... .. ... ... .... . .. ... ... ... ... ... ........ ... .... . ....... .... ... .. ... .. . . . .... . ... .. ... .... ... .... ... .... .. ... .... .. . . . . . .... . . .... .. ............ ... ...... .... ... ... ... .......... .... ............ ........ .......... . ........ ... ... .... ......... .... .. ....... ....... . . . .. ... ....... . . ...... .. .. .... . . . .. ..... .. . .. .. .. .... ........ ....................... ....... ...................................... ... .............. .... .... ....... ....... ....................... ...... ....... ...... .............. . ....... ............................... ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ................. ..... ....... ...... ..... ........................... .... ....... ...... .. ..... .......................... ............. ...... ... .. ..... ........................... ...... ..... ... ...................................................................... . .. .. ... ....... ................ ...... . . . . . . . . . . . . ................ . ... ... .. .. .. ... ....... ............... .......... .. ... .... ..... ..... ............ ................ ... . . . ................ .. .. ... ..... ..... ............ ................. ... ....... .. .... .. ... . . . . . . . ....... ... ... . ... .. . . . . . . ........... . ....... ... ... ... . . . . . .... ....... ... .... .. ....... . ... ... .. ... ........... ... ... ... ....... ... ... ... ...... .... .... ... . . . ...... ... ......... . . . . ..... ... ......... ... x3 6 3 5 4 Abb. 77: Weg .t cos.2 t/; t sin.2 t//; 0 t 1 und einige Tangenten Der grafische Verlauf dieses Weges sowie die Tangenten in den Punkten fE.t/; t D k=20; k D 1; 2; : : : ; 20, M sind in Abbildung 77 dargestellt. Beispiel 51.10. Für den Weg fE.t/ D .cos t; sin t; t=.2//>; 0 t 7 (vergleiche Beispiel 51.4 auf Seite 115) gilt fE0 .t/ D sin t cos t 1=.2/ ! ; 0 t 7: Der grafische Verlauf dieses Weges sowie die Tangenten in den Punkten fE.t/ für t D 7k=15; k D 1; 2; : : : ; M 15, sind in Abbildung 78 dargestellt. Beispiel 51.11. Ein Fahrzeug bewege sich in dem Zeitintervall von a bis b im Raum R3 fort. Zum Zeitpunkt t mit a < t < b sei die Position fE.t/ 2 R3 , mit den SI-Einheiten Œ t D s und Œ fE.t/ D m. Zu einem fest gewähltem Zeitpunkt t bedeutet fE D fE.t C t/ fE.t/ die in dem Zeitintervall von t bis t C t vollzogenene Positionsänderung, und den Quotienten fE t D fE.t C t / t fE.t / aus Positionsänderung und der dafür benötigen Zeit bezeichnet man als Durchschnittsgeschwindigkeit für fE D m/s. Für dieses Zeitintervall, mit der Einheit Œ t 117 ......................... ................... .......... ...... ..... ...... ....... ... ......... .. ... .. ... .. ...... ... . ... ... ... ... ..... ..... ................................................................................................... ........ . . . . . . . . .. . ... ...... ... ............................... .......... ..... ................... .. ...... ................ . ........... ........................ .. . .... ....... ..... ... ....... .... ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................... .. .................. ... ............ ........... .................... ................................. .... .............. .. . .. . . . . . .... . . . . ..................................... ... .. ........ .......... .. ............ .... . .............. .............. . . ... ........... ..... . . . . . . . . ..................... .................. ............... .... ...... ......... ......... ... .............. .... .............. ......... ... ... .... .............. ............. ................................................... . ... ............. .. ..... . .. .... . . . .... . ...................................................... .. ..... ... 2 .... ...... ....... .... ... .......... ......................... . ... x x1 Abb. 78: Weg .cos t; sin t; t=.2//>; 0 t 7 , und einige Tangenten t ! 0 konvergiert dieser Differenzenquotient gegen fE0 .t/, falls der Weg fE im Punkt t differenzierbar ist. Man bezeichnet dann diesen Grenzwert fE0 .t/ als die Momentangeschwindigkeit oder nur kurz Geschwindigkeit des Fahrzeugs zum Zeitpunkt t mit der Einheit Œ fE0 D m/s. M 51.3 Höhere Ableitungen für Wege Wir führen nun höhere Ableitungen von Wegen ein. Mit ihnen lassen sich physikalische Vorgänge wie die Beschleunigung eines bewegten Objekts beschreiben. Höhere Ableitungen lassen sich rekursiv definieren: Definition 51.12. Für einen Weg fE W I ! R mit einem Intervall I R als Definitionsbereich setzt man fE.0/ WD fE. Für n D 1; 2; : : : geht man nun rekursiv so vor: Falls die .n 1/-te Ableitung fE.n 1/ W I ! R des Weges fE auf einer Menge der Form f 2 I j j t j < "g mit einem " > 0 existiert und diese in t 2 I differenzierbar ist, so nennt man fE.n/ .t/ D .fE.n 1/ 0 / .t/ die n-te Ableitung oder auch die Ableitung n-ter Ordnung des Weges fE an der Stelle t . Alternative Notationen für die zweite und dritte Ableitung sind R « fE.t/ D fE00 .t/ D fE.2/ .t/; fE.t/ D fE000 .t/ D fE.3/ .t/: M Beispiel 51.13. Ein Objekt bewege sich in dem Zeitintervall von t0 bis t1 im Raum R3 fort. Zum Zeitpunkt 118 © R. Plato Teil I Mehrdimensionale Differenzialrechnung t mit t0 < t < t1 sei die Position fE.t/ 2 R3 , mit den SI-Einheiten Œ t D s und Œ fE.t/ D m. Der Weg fE W Œt0 ; t1 ! R3 sei zweimal differenzierbar. Zu einem fest gewähltem Zeitpunkt t bedeutet fE0 D fE0 .t C t/ fE0 .t/ die Änderung der Geschwindigkeit in dem Zeitintervall von t bis t C t (hier ist t > 0 angenommen). Der Quotient fE0 t D fE0 .t C t / t Beispiel. a) Für Vektoren vE 2 Rn und x E 2 Rn beschreibt fE.t/ D x E C t vE; t 0, eine geradlinige und gleichförmige Bewegung. Ausgangspunkt ist fE.0/ D xE , die konstante Geschwindigkeit ist fE0 .t/ D vE, und eine E Beschleunigung liegt nicht vor, d. h. fE00 .t/ 0. b) Für Vektoren a E 2 Rn und xE 2 Rn und ein Skalar 2 a; t 0, eine c 2 R beschreibt fE.t/ D xE C .ct C t2 /E geradlinige und gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Ausgangspunkt ist fE.0/ D xE , und die Geschwindigkeit ist fE0 .t/ D .c C t/E a . Die Beschleunigung ist mit fE00 .t/ aE konstant. M Beispiel 51.14. Der Weg fE.t/ D r.cos.!t/; sin.!t//>; t 0 beschreibt die kreisförmige Rotation eines Massenpunktes um den Ursprung entgegen dem Uhrzeigersinn, mit der Winkelgeschwindigkeit ! > 0 und dem Abstand r > 0 zum Ursprung. (Für Periode T und Frequenz f gilt T D 2=! und f D 1=T .) Für Geschwindigkeit und Beschleunigung des Weges gilt dann sin.!t/ ; cos.!t/ cos.!t/ fE00 .t/ D r! 2 sin.!t/ für t 0. Für die Beträge von Geschwindigkeit und Beschleunigungsvektoren und die Skalarprodukte zwischen beiden Vektoren gilt damit j fE0 .t/j D r!; j fE00 .t/j D r! 2 ; 1:2 ................ . ........... .............................................. .......... .......... . ......... ..... ............... ..... . . . . ......... . . . . . . ... . . . . ........ ..................... ........ ..... ....... ... ..... ... . . .... . . .... ... . . . ..... . ..... . .. ............. ...... ..... . . . . . . . . . . ...... ... ......... ... ......... . . . .. .. ..... . .. .. . .. .. .. ..... ... ..... ........... .... ..... ... .. .. .. . ............................. ......................... .. . .... .. . . ..... .. ..... ... ... .......... . ......... .. ... .. .... ......... ..... ...... ......... .... ... .............. ........ ...... ... ....... . . . . . . . .... ... ... ... .... .... .. ...... ......... ..... ........ ....... ........ ........................... . . ... ....... ... . . . . . ..... ....... ... .. ................... ........ ........... .. .......................................... .......... .. ................ fE0 .t / aus dieser Geschwindigkeitsänderung und der dafür benötigen Zeit ist die Durchschnittsbeschleunigung in dem betrachteten Zeitraum, mit der Einheit Œ fE=t D m=s2 . Für t ! 0 konvergiert dieser Differenzenquotient gegen fE00 .t/. Man bezeichnet diesen Grenzwert fE00 .t/ als die Momentanbeschleunigung oder nur kurz Beschleunigung des bewegten Objekts zum Zeitpunkt t , mit der Einheit Œ fE00 .t/ D m=s2 . M fE0 .t/ D r! Für r D 1 und ! D 21 ist der grafische Verlauf dieses Weges in Abbildung 79 dargestellt, inklusive der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren in den Punkten fE.t/; t D k=10; k D 1; 2; : : : ; 10. M fE0 .t/ fE00 .t/ D 0 für t 0. Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren stehen also in diesem Fall senkrecht aufeinander. Die Beschleunigungsvektoren zeigen dabei in Richtung des Ursprungs. 1:2 1:2 1:2 Abb. 79: Weg .cos.t=2/; sin.t=2//; 0 t 4 , und einige Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren Beispiel (Flugbahn Massenpunkt). Die in Beispiel 51.6 auf Seite 115 angegebene Darstellung der Flugbahn eines Massenpunktes lässt sich mit den vorgestellten Begriffen nun leicht herleiten. In der vorliegenden Situation gilt fE00 .t/ D 0 0 v x ; t 0; fE.0/ D ; fE0 .0/ D ; g 10 0 wobei diese Identitäten der Reihe nach eine mathematische Beschreibung der konstanten Fallbeschleunigung und der zu Beginn vorliegenden Position beziehungsweise Geschwindigkeit liefern. Es handelt sich hierbei also um ein Anfangswertproblem für ein entkoppeltes System von zwei gewöhnlichen Differenzialgleichungen. Eine zweimalige Integation dieser Differenzialgleichung liefert die Darstellung fE.t/ D c1 t C c2 ; gt =2 C c3 t C c4 2 t 0; mit den vier Integrationskonstanten c1 ; c2 ; c3 ; c4 2 R. Anpassung an die Anfangsbedinungen liefert dann unmittelbar die in Beispiel 51.6 auf Seite 115 angegebene Darstellung für fE.t/. M
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