Kapitel 5:
Die Entscheidung
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
ews.tu-dortmund.de → ‘Mikro¨okonomie’
1 / 52
Outline
Optimale Entscheidung als Ber¨uhrungspunkt
Beispiele
perf. Substitute
perf. Komplemente
Cobb-Douglas % Quasi-lineare %
Ausnahmen der Tangentialbedingung
Implikationen der Tangentialbedingung
Mengensteuer vs. Pauschalsteuer
Optimale Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
2 / 52
Optimale Entscheidung als Ber¨uhrungspunkt
Beispiele
perf. Substitute
perf. Komplemente
Cobb-Douglas % Quasi-lineare %
Ausnahmen der Tangentialbedingung
Implikationen der Tangentialbedingung
Mengensteuer vs. Pauschalsteuer
Optimale Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
2 / 52
Die optimale Entscheidung bei monotonen Pr¨aferenzen
Die Konsumenten w¨
ahlen die besten G¨
uterb¨
undel, die sie
sich leisten k¨
onnen.
‘bestes G¨
uterb¨
undel’:
G¨
uterb¨
undel liegt auf der ‘h¨
ochsten’ Indifferenzkurve ...
‘sich leisten k¨onnen’:
... auf der Budgetgeraden
... in der Budgetmenge.
p1 · x1 + p2 · x2 = m
Mathematisch:
max u(x1 , x2 )
x1 ,x2 ≥0
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
u.d.B.
p1 · x1 + p2 · x2 ≤ m
3 / 52
Die optimale Entscheidung bei monotonen Pr¨aferenzen
Im besten G¨
uterb¨
undel, dass man sich leisten kann ber¨
uhrt die
Indifferenzkurve die Budgetgerade.
Gut 2
m
p2
x2∗
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
optimales G¨
uterb¨
undel
Indifferenzkurven
Budgetgerade
x1∗
m
p1
Gut 1
4 / 52
Angenommen, die Indifferenzkurve durch (x1 , x2 ) schneidet die
Budgetgerade...
Gut 2
m
p2
x2
Diese G¨
uterb¨
undel sind besser als x
und man kann sie sich leisten.
Indifferenzkurve
x1
m
p1
Gut 1
... dann ist die Konsumentscheidung nicht optimal.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
5 / 52
Optimale Entscheidung als Ber¨uhrungspunkt
Beispiele
perf. Substitute
perf. Komplemente
Cobb-Douglas % Quasi-lineare %
Ausnahmen der Tangentialbedingung
Implikationen der Tangentialbedingung
Mengensteuer vs. Pauschalsteuer
Optimale Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
6 / 52
Optimale Entscheidung bei perfekten Substituten
Nutzenfunktion: u(x1 , x2 ) = a · x1 + b · x2
Gut 2
m
p2
(x1∗ , x2∗ ) = 0, pm2
Indifferenzkurven
Budgetgerade
m
p1
Gut 1
Sind die Indifferenzkurven flacher als die Budgetgerade, kauft die
Konsumentin nur von Gut 2.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
7 / 52
Optimale Entscheidung bei perfekten Substituten
Drei F¨alle:
Indifferenzkurve flacher als Budgetgerade (MRS > − pp12 )
⇒ Konsumentin kauft nur Gut 2.
Indifferenzkurve steiler als Budgetgerade (MRS < − pp12 )
⇒ Konsumentin kauft nur Gut 1.
Indifferenzkurve parallel zur Budgetgerade (MRS = − pp12 )
⇒ Konsumentin ist indifferent zwischen Gut 1 und Gut 2.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
8 / 52
Optimale Entscheidung bei perfekten Substituten
Fall MRS > − pp12 ⇒ nur Gut 2
Gut 2
m
p2
(x1∗ , x2∗ ) = 0, pm2
Indifferenzkurven
Steigung: MRS
Budgetgerade
Steigung: − pp21
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
m
p1
Gut 1
9 / 52
Optimale Entscheidung bei perfekten Substituten
Fall MRS < − pp12 ⇒ nur Gut 1
Gut 2
m
p2
Budgetgerade
Indifferenzkurven
Steigung: MRS
Steigung: − pp12
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
(x1∗ , x2∗ ) =
m
p1
m
p1 , 0
Gut 1
10 / 52
Optimale Entscheidung bei perfekten Substituten
Fall MRS = − pp12 ⇒ alle G¨
uterb¨
undel auf der Budgetgerade
Gut 2
m
p2
xˆ∗
Indifferenzkurven
Budgetgerade
x˜∗
Steigung: MRS
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Steigung: − pp12
x∗
m
p1
Gut 1
11 / 52
Optimale Entscheidung als Ber¨uhrungspunkt
Beispiele
perf. Substitute
perf. Komplemente
Cobb-Douglas % Quasi-lineare %
Ausnahmen der Tangentialbedingung
Implikationen der Tangentialbedingung
Mengensteuer vs. Pauschalsteuer
Optimale Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
12 / 52
Optimale Entscheidung bei perfekten Komplementen
Nutzenfunktion: u(x1 , x2 ) = min {a · x1 , b · x2 }
x ∗ liegt auf der Budgetgeraden und
auf der Ecke der Indifferenzkurve.
Gut 2
m
p2
p1
·x
1
+
p2
·x
2
a · x1
=
=
⇒ x1∗ =
x2∗ =
a·m
b·p1 +a·p2
m
b · x2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
b·m
b·p1 +a·p2 ,
x∗
min{a · x1 , b · x2 } = u¯
m
p1
Gut 1
13 / 52
Optimale Entscheidung als Ber¨uhrungspunkt
Beispiele
perf. Substitute
perf. Komplemente
Cobb-Douglas % Quasi-lineare %
Ausnahmen der Tangentialbedingung
Implikationen der Tangentialbedingung
Mengensteuer vs. Pauschalsteuer
Optimale Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
14 / 52
Optimale Entscheidung bei Cobb Douglas Pr¨aferenzen
Nutzenfunktion: u(x1 , x2 ) = x1c · x2d
Gut 2
Im Optimum x ∗ hat die Indifferenzkurve
die gleiche Steigung wie die Budgetgerade.
m
p2
‘Tangentialbedingung’:
x∗
MRS = − pp21
Indifferenzkurven
Budgetgerade
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
m
p1
Gut 1
15 / 52
Optimale Entscheidung bei Cobb Douglas Pr¨aferenzen
¨
L¨
osungsweg per Lagrange, siehe Kapitel 9, Satz 9.4 MfO
Optimierungsproblem:
max u(x1 , x2 )
x1 ,x2 ≥0
u.d.B.
p1 · x1 + p2 · x2 = m
¨
Uberpr¨
ufe zun¨achst, ob Randl¨
osung ein Optimum ist!
Lagrange Ansatz:
L(x1 , x2 , λ) := u(x1 , x2 ) − λ (p1 · x1 + p2 · x2 − m)
Die Bedingungen 1. Ordnung sind notwendig f¨
ur ein Optimum des
originalen Problems.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
16 / 52
Optimale Entscheidung bei Cobb Douglas Pr¨aferenzen
L¨
osungsweg per Lagrange, notwendige Bedingungen
L(x1 , x2 , λ) := u(x1 , x2 ) − λ (p1 · x1 + p2 · x2 − m)
∂L
∂x1
=0
⇒
∂u(x1 ,x2 )
∂x1
− λ · p1 = 0
⇒
1
p1
· MU1 = λ
∂L
∂x2
=0
⇒
∂u(x1 ,x2 )
∂x2
− λ · p2 = 0
⇒
1
p2
· MU2 = λ
⇒
⇔−
1
1
· MU1 = λ =
· MU2
p1
p2
MU1
p1
=−
MU2
p2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Tangentialbedingung!
17 / 52
Optimale Entscheidung bei Cobb Douglas Pr¨aferenzen
L¨
osungsweg per Lagrange, notwendige Bedingungen
L(x1 , x2 , λ) := u(x1 , x2 ) − λ (p1 · x1 + p2 · x2 − m)
∂L
=0
∂λ
⇒
⇔ p1 · x1 + p2 · x2 = m
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
p1 · x1 + p2 · x2 − m = 0
Budgetbedingung!
18 / 52
Optimale Entscheidung bei Cobb Douglas Pr¨aferenzen
Nutzenfunktion: u(x1 , x2 ) = x1c · x2d
Gut 2
x2
x1
MRS = − dc ·
= − pp12
m
p2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
x∗
⇒ x1∗ =
c
c+d
·
m
p1 ,
x2∗ =
d
d+c
·
m
p2
p1 · x1 + p2 · x2 = m
m
p1
Gut 1
19 / 52
Optimale Entscheidung als Ber¨uhrungspunkt
Beispiele
perf. Substitute
perf. Komplemente
Cobb-Douglas % Quasi-lineare %
Ausnahmen der Tangentialbedingung
Implikationen der Tangentialbedingung
Mengensteuer vs. Pauschalsteuer
Optimale Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
20 / 52
Optimale Entscheidung bei quasilinearen Pr¨aferenzen
Gut 2
MRS = −v 0 (x1 )
Tangentialbedingung:
−v 0 (x1∗ ) = − pp21
m
p2
Budgetbedingung:
x∗
p1 · x1 + p2 · x2 = m
⇒ x1∗ , x2∗
Indifferenzkurve
Indifferenzkurven
Budgetgerade
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
m
p1
Gut 1
21 / 52
Optimale Entscheidung als Ber¨uhrungspunkt
Beispiele
perf. Substitute
perf. Komplemente
Cobb-Douglas % Quasi-lineare %
Ausnahmen der Tangentialbedingung
Implikationen der Tangentialbedingung
Mengensteuer vs. Pauschalsteuer
Optimale Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
22 / 52
Optimale Entscheidung bei quasilinearen Pr¨aferenzen
Nutzenfunktion: u(x1 , x2 ) = v (x1 ) + x2
Vorsicht Ausnahme!
Falls ein Gut sehr teuer ist, sind Randl¨
osungen m¨
oglich.
Die Tangentialbedingung gilt bei Randl¨
osungen nicht.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
23 / 52
Optimale Entscheidung bei quasilinearen Pr¨aferenzen
Beispiel f¨
ur eine Ausnahme
Gut 2
m
p2
Randl¨
osung,
falls Gut 2 zu teuer.
m
p2
x∗
m
p2
m
p2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
x∗
x ∗∗
xx ∗∗
xxx∗∗∗∗
x
x∗
m
p1
Gut 1
24 / 52
Weitere Ausnahmen f¨ur die Tangentialbedingung
Konkave Pr¨
aferenzen: nicht aus Versehen die Tangentialbedingung benutzen!
Gut 2
Indifferenzkurven
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
y
Budgetgerade
x∗
Gut 1
25 / 52
Optimale Entscheidung als Ber¨uhrungspunkt
Beispiele
perf. Substitute
perf. Komplemente
Cobb-Douglas % Quasi-lineare %
Ausnahmen der Tangentialbedingung
Implikationen der Tangentialbedingung
Mengensteuer vs. Pauschalsteuer
Optimale Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
26 / 52
Implikationen der MRS Bedingung
Externe Tauschrate:
Marktbewertung durch Preise p1 , p2 → − pp21
Interne Tauschrate:
MU1
Grenzrate der Substitution → − MU
2
Optimum:
p1
1
jede/r hat gleiche interne Grenzbewertung: − MU
MU2 = − p2 .
→ Preisverh¨altnisse dienen als Indikatoren f¨
ur interne
Grenzbewertungen.
→ wir k¨onnen wirtschaftspolitische Maßnahmen beurteilen:
Ist es w¨
unschenswert auf ein Gut zu Gunsten eines anderen Gutes
zu verzichten?
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
27 / 52
Optimale Entscheidung als Ber¨uhrungspunkt
Beispiele
perf. Substitute
perf. Komplemente
Cobb-Douglas % Quasi-lineare %
Ausnahmen der Tangentialbedingung
Implikationen der Tangentialbedingung
Mengensteuer vs. Pauschalsteuer
Optimale Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
28 / 52
Anwendung: Die Entscheidung u¨ber Steuern
Was ist besser: eine Mengensteuer oder eine Kopfsteuer?
Mengensteuer t auf Gut 1:
Preis f¨
ur Gut steigt von p1 auf p1 + t.
Budgetgleichung: (p1 + t) · x1 + p2 · x2 = m.
Steigung der Budgetgerade bei Mengensteuer t: − p1p+t
2
→ Steuereinnahmen bei optimaler Entscheidung (x1t , x2t ): t · x1t
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
29 / 52
Gut 2
m
p2
Budgetgerade ohne Mengensteuer
Budgetgerade mit
Mengensteuer t
xt
Steigung: − pp21
Steigung: − p1p+t
2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
m
p1 +t
m
p1
Gut 1
30 / 52
Anwendung: Die Entscheidung u¨ber Steuern
Was ist besser: eine Mengensteuer oder eine Kopfsteuer?
Kopfsteuer T
Das Einkommen m sinkt um T auf m − T .
Budgetgleichung: p1 · x1 + p2 · x2 = m − T
Steigung der Budgetgerade bei Kopfsteuer T : − pp21
→ Steuereinahmen bei optimaler Entscheidung (x1T , x2T ): T
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
31 / 52
Gut 2
m
p2
Budgetgerade ohne Steuer
m−T
p2
Budgetgerade bei
xT
Steigung: − pp12
Kopfsteuer T
Steigung: − pp12
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
m−T
p1
m
p1
Gut 1
32 / 52
Anwendung: Die Entscheidung u¨ber Steuern
Was ist besser: eine Mengensteuer oder eine Kopfsteuer?
W¨ahle Kopfsteuer T so, dass die gleichen Steuereinnahmen wie bei
Mengensteuer t erzielt werden!
Steuereinnahmen bei Mengensteuer: t · x1t
Steuereinnahmen bei Kopfsteuer: T
Budgetgerade bei Mengensteuer t:
Budgetgerade bei Kopfsteuer T :
⇒ T = t · x1t
(p1 + t) · x1 + p2 · x2 = m
p1 · x1 + p2 · x2 = m − t · x1t
| {z }
=T
¨
Ubung:
Zeigen Sie, dass sich die beiden Budgetgeraden im B¨
undel (x1t , x2t )
schneiden!
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
33 / 52
W¨ahle Steuersatz T so, dass beide Steuerregime f¨
ur den Staat
gleich gut sind (gleiche Steuereinnahmen)!
Gut 2
m
p2
Budgetgerade bei Mengensteuer t
m−T
p2
xt
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
Die Konsumentin findet die Kopfsteuer besser.
xT
Budgetgerade bei Kopfsteuer T = t · x1t
m
p1 +t
m−T
p1
Gut 1
34 / 52
Optimale Entscheidung als Ber¨uhrungspunkt
Beispiele
perf. Substitute
perf. Komplemente
Cobb-Douglas % Quasi-lineare %
Ausnahmen der Tangentialbedingung
Implikationen der Tangentialbedingung
Mengensteuer vs. Pauschalsteuer
Optimale Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
35 / 52
Die Optimale Entscheidung bei n G¨utern
Im Folgenden leiten wir eine einfache notwendige und hinreichende
Bedingung f¨
ur die optimale Entscheidung bei n G¨
utern her.
Wir beschr¨anken uns allerdings auf Pr¨aferenzen, die durch eine
Cobb-Douglas-Nutzenfunktion dargestellt werden k¨onnen!
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
36 / 52
Die Entscheidung bei drei G¨utern
Falls zwei Tangentialbedingungen erf¨
ullt sind, so ist auch die dritte Bedingung erf¨
ullt.
Gut 1
p1
U1
M U2
M
−
=
Gut 2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
− p2
MU1
MU2
1
−
−
−
− MU
=
MU2
MU3
MU3
p1
− pp32
= − − p2
= − pp13
−
M
M U2
U
3
=
−
p
p3 2
Gut 3
37 / 52
Die Entscheidung bei drei G¨utern
Drei Gleichungen und drei Unbekannte:
Das optimale G¨
uterb¨
undel (x1∗ , x2∗ , x3∗ ) erf¨
ullt demnach
I
zwei Tangentialbedingungen
und
I
die Budgetbedingung.
Es ist unwichtig, welche zwei der drei Tangentialbedingungen
benutzt werden.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
38 / 52
Die Entscheidung bei vier G¨utern
Falls drei bestimmte Tangentialbedingungen der sechs m¨
oglichen Bedingungen erf¨
ullt
sind, so sind auch die anderen drei Bedingungen erf¨
ullt.
Gut 2
Gut 1
MU1
− MU
= − pp12
2
√
√
p2
2
− MU
MU3 = − p3
√
Gut 3
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
MU3
− MU
= − pp34
4
Gut 4
39 / 52
Die Entscheidung bei vier G¨utern
Vier Gleichungen und vier Unbekannte:
Das optimale G¨
uterb¨
undel (x1∗ , x2∗ , x3∗ , x4∗ ) erf¨
ullt demnach
I
drei Tangentialbedingungen
und
I
die Budgetbedingung.
Es ist wichtig, welche drei der sechs Tangentialbedingungen
benutzt werden.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
40 / 52
Die Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
Falls n − 1 bestimmte Tangentialbedingungen erf¨
ullt sind, dann sind alle
Bedingungen erf¨
ullt.
n·(n−1)
2
m¨
ogliche
Gut 1
MU
p
− MU1 =− p1
2
2
Gut 2
Gut n
p
MU
− MU2 =− p2
3
−
3
MUn−1
p
=− n−1
MUn
pn
Gut n − 1
Gut 3
MU
MU
p
4
4
n−1
n−1
Gut n − 2
Gut 4
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
p
− MUn−2 =− pn−2
− MU3 =− p3
...
41 / 52
Die Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
n Gleichungen und n Unbekannte:
Das optimale G¨
uterb¨
undel (x1∗ , x2∗ , . . . , xn∗ ) erf¨
ullt demnach
I
n − 1 Tangentialbedingungen
und
I
die Budgetbedingung.
Es ist wichtig, welche n − 1 der
benutzt werden.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
n·(n−1)
2
Tangentialbedingungen
42 / 52
Die einfachere Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
Wit hatten in Kapitel 02 Die Budgetbeschr¨ankung festgestellt:
Der Preisvektor ist senkrecht zur Budgetgeraden!
Gut 2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
p1
p2
Gut 1
43 / 52
Der Preisvektor als Normalenvektor
Bei n ≥ 2 G¨
utern ist die Budgetgerade eine (Hyper-)Ebene mit
Normalenvektor (p1 , p2 , . . . , pn )T :
Gut 2
y
p1
p = p2
p3
x
Gut 1
Gut 3
F¨
ur jede zwei G¨
uterb¨
undel x und y , die auf dem Rand der
Budgetmenge liegen gilt: p T · (y − x) = 0.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
44 / 52
Die einfachere Entscheidung bei n ≥ 2 G¨utern
Wir hatten in Kapitel 04 Nutzen festgestellt:
Der Gradient ∇u ist senkrecht zur Indifferenzkurve!
Gut 2
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
∇u =
MU1
MU2
Gut 1
45 / 52
Indifferenkurve bei drei G¨utern
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
46 / 52
Betrachte kleine Ver¨anderung dx = (dx1 , dx2 , . . . , dxn )T :
u(x + dx) ≈ u(x) + dx1 · MU1 + . . . + dxn · MUn .
Falls dx eine Ver¨anderung entlang der Indifferenzkurve ist, also
x + dx ∼ x, also u(x + dx) = u(x), dann muss auch gelten
dx1 · MU1 + dx2 · MU2 + . . . + dxn · MUn = 0 .
Mit Gradient ∇u = (MU1 , MU2 , . . . , MUn ) ist Interpretation als
Skalarprodukt m¨oglich:
(dx1 , dx2 , . . . , dxn ) ·
MU1
MU2
..
.
= dx T · ∇u = 0
MUn
⇒ der Gradient ∇u ist senkrecht zur Indifferenzkurve!
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
47 / 52
Der Gradient ∇u ist senkrecht zur Indifferenzkurve.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
48 / 52
Die Optimalit¨atsbedingung bei n G¨utern
Anzahl der G¨
uter
2
n
Der Preisvektor p ist senkrecht zur Budgetgerade.
Der Preisvektor p ist senkrecht zur Budget-Hyperebene.
2
n
Der Gradient ∇u ist senkrecht zur Indifferenzkurve.
Der Gradient ∇u ist senkrecht zur Indifferenzkurve.
2
Die Budgetgerade hat im optimalen G¨
uterb¨
undel x ∗
die gleiche Steigung wie die Indifferenzkurve.
Der Preisvektor p ist im optimalen G¨
uterb¨
undel x ∗
kollinear zum Gradienten ∇u.
n
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
49 / 52
L¨osung f¨ur u(x) = x1α1 · x2α2 · . . . · xnαn
Preisvektor:
p T = (p1 , . . . , pn )
Grenznutzen:
∂u(x)
= αj ·
∂xj
Gradient:
T
∇u =
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
αi
i=1 xi
Qn
xj
=
αj
· u(x)
xj
α1 α2
αn
, ,...,
x1 x2
xn
· u(x)
50 / 52
Optimalit¨atsbedingung: p kollinear zu ∇u in x ∗
p und ∇u kollinear: es existiert ein β so dass p = β · ∇u.
⇒ p1 = β · u(x ∗ ) ·
α1
x1∗
,
...
,
pn = β · u(x ∗ ) ·
αn
xn∗
⇔ x1∗ = β · u(x ∗ ) ·
α1
p1
,
...
,
xn∗ = β · u(x ∗ ) ·
αn
pn
Budgetbedingung p1 · x1∗ + . . . + pn · xn∗ = m:
p1 · β · u(x ∗ ) ·
α1
p1
⇒β=
αj
m
m
⇒ xj∗ =
·
α1 + . . . + αn pj
· (α1 + . . . + αn )
u(x ∗ )
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
+
...
+
pn · β · u(x ∗ ) ·
αn
=m
pn
51 / 52
Summary
I
Im optimalen G¨
uterb¨
undel ber¨
uhrt die Indifferenzkurve die
Budgetgerade.
I
Bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen und bei Quasi-linearen
Nutzenfunktionen (vorsicht Ausnahme!) ist die
Tangentialbedingung nur im optimalen G¨
uterb¨
undel erf¨
ullt.
I
Wenn jeder die gleichen Preise f¨
ur ein Paar von G¨
utern zahlen
muss, ist die gerade noch akzeptierte Tauschrate f¨
ur alle sich
optimal entscheidenden Personen gleich.
I
F¨
ur n ≥ 2 G¨
uter k¨
onnen wir die Tangentialbedingung in eine
einfache Kollinearit¨atsbedingung u
¨bersetzen.
Mikro¨
okonomie SoSe 2015, Lars Metzger
52 / 52
© Copyright 2024 ExpyDoc
