Kapitel 2:
Budgetbeschr¨
ankung
Mikro¨
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ews.tu-dortmund.de → “Mikro¨okonomie”
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Konsumententheorie
Die Konsumenten w¨
ahlen die besten G¨
uterb¨
undel, die sie
sich leisten k¨
onnen.
”G¨
uterb¨
undel”:
Warenkorb, bestehend aus mehreren G¨
utern
”sich leisten k¨
onnen”:
Kapitel 2 Budgetbeschr¨ankung
”beste”:
bzgl. der Vorlieben der Konsumenten, Kapitel 3 Pr¨aferenzen
Mikro¨
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Die Budgetbeschr¨ankung
(x1 , x2 ) – G¨
uterb¨
undel: konsumierte Menge von Gut 1 und Gut 2
(p1 , p2 ) – Preise der beiden G¨
uter
m – Geld, welches die Konsumentin ausgeben kann
Budgetbeschr¨ankung:
p1 · x1 + p2 · x2 ≤ m
Wert des G¨
uterb¨
undels ≤ verf¨
ugbares Einkommen
Alle G¨
uterb¨
undel, welche diese Ungleichung erf¨
ullen, kann man
sich leisten.
Mikro¨
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Die Budgetmenge
Alle G¨
uterb¨
undel (x1 , x2 ), welche die Budgetbeschr¨ankung erf¨
ullen,
bilden die Budgetmenge des Konsumenten:
{x1 , x2 ≥ 0 : p1 · x1 + p2 · x2 ≤ m}
Gut 2
m
p2
Budgetgerade
Budgetmenge
0
0
Mikro¨
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m
p1
Gut 1
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Warum nur zwei G¨uter?
Die Theorie funktioniert auch mit mehr als zwei G¨
utern
– es f¨allt aber schwerer, Grafiken zu zeichnen.
Betrachte das Gut 2 als zusammengesetztes Gut bzw. als
Num´
eraire.
Gut 1:
Das Gut, welches in der Fragestellung des Modells fokussiert wird.
Beispiel: Mietwohnung
Gut 2: repr¨asentativer Warenkorb aller anderen G¨
uter
oder: Ausgaben f¨
ur alle anderen G¨
uter → Geld
Mikro¨
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Die Budgetgerade
p1 · x1 + p2 · x2 = m
Umgeformt: x2 =
m
p2
⇔
−
p1
p2
p2 · x2 = m − p1 · x1
· x1
Die Budgetgerade hat die Steigung − pp21 und den
Ordinatenabschnitt (Abschnitt vertikale Achse)
Setze x1 = 0 um den Ordinatenabschnitt
m
p2
m
p2 .
zu finden.
Setze x2 = 0 um den Abszissenabschnitt (Abschnitt
horizontale Achse =
Mikro¨
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m
p1 )
zu finden.
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Die Budgetgerade
p1 · x1 + p2 · x2 = m ⇔ x2 =
m
p2
−
p1
p2
· x1
Steigung der Budgetgeraden: − pp12
misst Opportunit¨atskosten f¨
ur Gut 2
Welche Menge an Gut 2 muss ich aufgeben, um mehr von
Gut 1 zu konsumieren?
Ordinatenabschnitt:
m
p2
So viel kann ich maximal von Gut 2 kaufen.
Abzissenabschnitt:
m
p1
So viel kann ich maximal von Gut 1 kaufen.
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Die Budgetgerade
p1 · x1 + p2 · x2 = m ⇔ x2 =
m
p2
−
p1
p2
· x1
{x1 , x2 ≥ 0 : p1 · x1 + p2 · x2 ≤ m}
Gut 2
Ordinatenabschnitt
m
p2
Budgetgerade:
{x1 , x2 ≥ 0 : x1 · p1 + x2 · p2 = m}
Steigung: − pp12
Budgetmenge
0
0
Mikro¨
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Abzissenabschnitt
m
p1
Gut 1
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Wie sich die Budgetgerade ver¨andert
Eine Einkommenserh¨ohung (m % m0 ) verschiebt die Budgetgerade
parallel nach außen:
Gut 2
m0
p2
St
ei
m
p2
St
eig
u
gu
ng
:
−
p
p2 1
ng
:−
p
p2 1
0
0
Mikro¨
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m
p1
m0
p1
Gut 1
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Wie sich die Budgetgerade ver¨andert
Wird Gut 1 teurer (p1 % p10 ), so wird die Budgetgerade steiler:
Gut 2
p1 < p10
⇔
m
p2
p0
u
eig
St
St
ei
− pp12 > − p12
gu
ng
p
p2 1
0
0
p1
p2
:−
ng
0
:−
m
p10
m
p1
Gut 1
Analog: wird Gut 2 teurer, so wird die Budgetgerade flacher.
Mikro¨
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Inflation
Multipliziert man alle Preise mit t, entspricht dies einer Division
des Einkommens durch t.
→ die Kaufkraft sinkt.
Multipliziert man alle Preise und das Einkommen mit t, ver¨andert
dies die Budgetgerade nicht.
→ Eine perfekt ausbalancierte Inflation l¨asst die
Konsumm¨oglichkeiten unver¨andert.
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Das Num´eraire und die Budgetgerade
Manchmal ist es sinnvoll, den Preis f¨
ur das Num´eraire auf 1 zu
normieren.
→ dividiere alle Preise und das Einkommen durch p2 !
p1 · x1 + p2 · x2 = m
⇔
m
p1
· x1 + 1 · x2 =
p2
p2
→ normierter Preis f¨
ur Gut 1: p˜1 =
p1
p2
normierter Preis f¨
ur Gut 2: p˜2 = 1
normiertes Einkommen: m
˜=
m
p2
⇒ p10 · x1 + x2 = m0
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Steuern, Subventionen und Rationierung
Mengensteuer
erhoben f¨
ur jede gekaufte Mengeneinheit: p t = p + t
Wertsteuer (aka Ad Valorem Steuer)
erhoben f¨
ur jeden ausgegebenen Euro: p τ = p + τ · p
Subvention
Gegenteil einer Steuer: a) p s = p − s,
b) p σ = p − σ · p
Pauschalsteuer oder -subvention (aka Kopfsteuer)
H¨ohe der Steuer oder Subvention ist unabh¨angig von der
Konsumentscheidung.
Rationierung
Man kann nicht mehr als eine bestimmte Menge eines Gutes
kaufen.
Mikro¨
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Mengensteuer t auf Gut 1
Die Konsumentin muss p1 + t Geldeinheiten f¨
ur jedes Gut 1 bezahlen.
Gut 2
m
p2
St
Ste
ng
:−
p1
p2
t
+
p1 p2
:−
ng
u
eig
igu
0
0
Mikro¨
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m
p1 +t
m
p1
Gut 1
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Wertsteuer τ auf Gut 1
Der Konsument muss p1 + τ · p1 = p1 · (1 + τ ) Geldeinheiten f¨
ur jedes Gut 1 bezahlen.
Gut 2
m
p2
St
Ste
u
eig
igu
ng
ng
0
Mikro¨
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p1
p2
τ)
+
·(1
p1 p2
:−
0
:−
m
p1
·
1
1+τ
m
p1
Gut 1
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Pauschalsteuer T
Die Konsumentin hat T Geldeinheiten weniger zur Verf¨
ugung.
Gut 2
m
p2
Ste
igu
ng
:−
Ste
igu
m−T
p2
p1
p2
ng
:−
p1
p2
0
0
Mikro¨
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m−T
p1
m
p1
Gut 1
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Rationierung K
Der Konsument kann maximal K Einheiten von Gut 1 kaufen.
Gut 2
m
p2
Ste
igu
ng
:−
p1
p2
0
0
Mikro¨
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K
Gut 1
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Ver¨anderung des Konsums entlang der Budgetgeraden
Gut 2
p1 · (x1 + dx1 ) + p2 · (x2 + dx2 ) = m
x2 + dx2
x2
⇒ p1 · dx1 + p2 · dx2 = 0
dx1
dx2
x1 + dx1 x1
Mikro¨
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p1 · x1 + p2 · x2 = m
Gut 1
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Ver¨anderung des Konsums entlang der Budgetgeraden
Gut 2
das Skalarprodukt von dx und p = 0
x2 + dx2
x2
p
dx1
dx2
p1 · dx1 + p2 · dx2 = 0
Geometrische Interpretation:
Der Preisvektor ist senkrecht
zur Budgetgeraden!
x1 + dx1 x1
Mikro¨
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Gut 1
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Ver¨anderung des Konsums entlang der Budgetgeraden
Gut 2
das Skalarprodukt von dx und p = 0
x2 + dx2
x2
p
dx1
dx2
p1 · dx1 + p2 · dx2 = 0
¨
Okonomische
Interpretation:
Ver¨anderungen entlang der
Budgetgeraden sind kostenlos!
x1 + dx1 x1
Mikro¨
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Gut 1
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Die Budgetgerade und der Preisvektor
Der Preisvektor p = (p1 , p2 ) ist senkrecht zur Budgetgeraden.
Dieser Zusammenhang gilt auch bei Betrachtung von mehr als
zwei G¨
utern!
Im folgenden beschreiben wir das Konzept der
Budgetbeschr¨ankung f¨
ur den Fall von drei bzw. allgemeiner von
n ≥ 2 G¨
utern.
Mikro¨
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Die Budgetbeschr¨ankung bei drei G¨utern
G¨
uterb¨
undel x = (x1 , x2 , x3 ): Menge der G¨
uter 1, 2 und 3
p = (p1 , p2 , p3 ) – Preise der drei G¨
uter
m – Geld, welches die Konsumentin ausgeben kann
Budgetbeschr¨ankung:
p1 · x1 + p2 · x2 + p3 · x3 ≤ m
Rand der Budgetbeschr¨ankung:
p1 · x1 + p2 · x2 + p3 · x3 = m
Problem: wir k¨onnen den Rand der Budgetbeschr¨ankung nicht
mehr in Form einer Geradengleichung beschreiben.
Mikro¨
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Grafische Darstellung bei 3 G¨utern
Gut 2
0, pm2 , 0
m
p1 , 0, 0
Gut 1
0, 0, pm3
Gut 3
Mikro¨
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Die Budget-Ebene (bei 3 G¨utern)
Die Gleichung
p1 · x1 + p2 · x2 + p3 · x3 = m
beschreibt eine Ebene im 3-dimensionalen G¨
uterraum.
Achsenabschnitte:
m m
p1 , p2
und
m
p3
√
Steigung?
Mikro¨
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Die Budget-Ebene und der Preisvektor p = (p1 , p2 , p3 )
Betrachte wieder eine beliebiges Konsumg¨
uterb¨
undel (x1 , x2 , x3 ) in
der Budget-Ebene
p1 · x1 + p2 · x2 + p3 · x3 = m
(1)
und eine beliebige Ver¨anderung (dx1 , dx2 , dx3 ) innerhalb der
Budget-Ebene
p1 · (x1 + dx1 ) + p2 · (x2 + dx2 ) + p3 · (x3 + dx3 ) = m .
(2)
(2)-(1) ergibt nun
p1 · dx1 + p2 · dx2 + p3 · dx3 = 0 ,
(3)
⇒ der Preisvektor (p1 , p2 , p3 ) ist senkrecht zur Budget-Ebene!
Mikro¨
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Grafische Darstellung bei 3 G¨utern
Gut 2
0, pm2 , 0
(p1 , p2 , p3 )
x + dx
dx
x
m
p1 , 0, 0
Gut 1
0, 0, pm3
Gut 3
Mikro¨
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Die Budget-Ebene (bei 3 G¨utern)
Die Gleichung
p1 · x1 + p2 · x2 + p3 · x3 = m
beschreibt eine Ebene im 3-dimensionalen G¨
uterraum.
Achsenabschnitte:
√
, 0, pm2 , 0 und 0, 0, pm3
m
p1 , 0, 0
Steigung
Normalenvektor: (p1 , p2 , p3 )
Mikro¨
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Die Budgetbeschr¨ankung bei n ≥ 2 G¨utern
G¨
uterb¨
undel x = (x1 , . . . , xn ): Menge der G¨
uter 1 bis n
p = (p1 , . . . , pn ) – Preise der n G¨
uter
m – Geld, welches die Konsumentin ausgeben kann
Budgetbeschr¨ankung:
p1 · x1 + . . . + pn · xn ≤ m
Rand der Budgetbeschr¨ankung:
p1 · x1 + . . . + pn · xn = m
Mikro¨
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⇔
p·x =m
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Die Budget-Hyperebene bei n ≥ 2 G¨utern
Formale Definition der Budget-Hyperebene:
x ∈ Rn+ : p · x = m
Problem:
Die Budget-Hyperebene ist f¨
ur n > 3 nicht mehr grafisch
darstellbar.
Mikro¨
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Die Budget-Hyperebene und der Preisvektor p
Betrachte ein beliebiges G¨
uterb¨
undel x in der Hyperebene
p·x =m
(4)
und eine beliebige Ver¨anderung dx innerhalb der
Budget-Hyperebene
p · (x + dx) = m .
(5)
(4)-(5) ergibt nun
p · dx = 0 .
⇒ der Preisvektor p ist senkrecht zur Budget-Hyperebene!
Mikro¨
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Summary
I
Die Budgetmenge bezeichnet diejenigen G¨
uterb¨
undel, welche
sich ein Konsument bei gegebenen Preisen und bei gegebenem
Einkommen leisten kann.
I
Die Budgetgerade wird durch die Gleichung
p1 · x1 + p2 · x2 = m bestimmt. Ihre Steigung ist durch − pp12
gegeben, ihre Achsenabschnitte durch pm1 und pm2 .
I
Eine Erh¨ohung des Einkommens verschiebt die Budgetgerade
nach aussen.
I
Eine Erh¨ohung des Preises p1 dreht die Budgetgerade um den
Achsenabschnitt von Gut 2 nach innen. Die Budgetgerade
wird steiler.
I
Eine Erh¨ohung des Preises p2 dreht die Budgetgerade um den
Achsenabschnitt von Gut 1 nach innen. Die Budgetgerade
wird flacher.
Mikro¨
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